В любой момент времени радиус вектор спутника и вектор константы площадей (2 видео)

Небесная механика — один из разделов астрономии (стр. 5 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5

tgE(t)= 1-e2(t) sinυ(t) /(cosυ(t)+e(t);

n(t) = μ/a3(t) .

Итак, по векторам r(t) и r`(t) с помощью формул (35.3) мы получили шесть оскулирующих элементов орбиты: .

На рис. 35.1 показаны оскулирующие орбиты, соответствующие векторам r(t) и r`(t).

Оскулирующие (эллипсоидальные) орбиты должны удовлетворять трем условиям:

1)проходить через точку m, в которой в данный момент времени t находится спутник;

2)проходить так, чтобы касательная к нему совпадала с вектором скорости r`(t) в этот момент времени t;

3) проходить так, чтобы один из фокусов (эллипса) орбиты располагался в притягивающем центре — точке О.

Если такие оскулирующие (эллипсы) орбиты строить непрерывно вдоль возмущенной траектории спутника, то мы получим семейство оскулирующих орбит (рис. 35.1). в результате возмущенная траектория будет являться огибающей (кривой) семейства оскулирующих орбит.

Определение оскулирующей орбиты

Оскулирующая орбита – это мгновенное (виртуальное) коническое сечение, которое определяется вектором положения и вектором скорости спутника, находящегося на возмущенной траектории, в момент времени t (на основании формул (35.2)).

Таким образом, оскулирующая орбита может считаться постоянной в пределах ограниченного отрезка времени в зависимости от заданной точности расчета траектории (рис. 35.2).

Рисунок 35.2 – Пределы применимости оскулирующей орбиты на момент t0 на интервале [t0-Δ; t0+Δ] при заданной погрешности расчета возмущающей траектории.

Тема 16. Интеграл Лапласа.

Продолжаем интегрировать движение спутника

Приведем к виду, удобному для получения еще одного интеграла, независимого от первых двух: интеграл площадей и интеграл энергии.

Для этого умножим равенство (16.1) на векторную константу площадей с первое слагаемое в (16.1) и на r x r´ — второе слагаемое, так как

Преобразуем второе слагаемое в (16.3), где имеется, так называемое двойное векторное слагаемое, которое раскрывается по правилу: «БАЦ – ЦАБ».

Применяя (16.5) к (16.3), находим

Подставляя (16.4) к (16.6)

В равенство (16.3), получаем

Где — λ — произвольная векторная константа которая взята специально со знаком «-»,для того чтобы вектор λ был направлен как будет показано ниже, в ближайшую точку орбит.

И так выражение

где rº = r / r — орт носит название в небесной механике интеграла Лапласа.

Произвольная постоянно может быть определена как обычно, по начальным условиям движения

Так как интеграл Лапласа справедлив для любого момента времени то он справедлив и для начального t0. По этому

Для выяснения физического смысла λ необходимо преобразование (16.8).

Тема №17 Физический смысл вектора Лапласа

17.1 Уравнение орбит полярных координатах.

Мы получили три интеграла:

-энергии h = v² — 2μ/r (17.3)

Наша цель: получить явные выражения для векторов положение r и вектора скорости r´в виде функции времени t и НУ r0, r´0 в t0. Чтобы достичь конечной цели нужно выяснить физический смысл константы (переменной) интегрирования с, h,. Первые две константы с, h: для них установлен физический смысл. Установим физический смысл константы λ. Для этого умножим сколярно интеграл Лапласа (17.4) на текущий радиус-вектор спутника r.

λ · r = -( c x r´)· r — μ rº· r

λ · r = (r x r´)· с — μ (r · r)/ r

Раскроем левую часть (17.5)

Где угол v = λ,^r — как угол между вектора Лапласа и текущим радиус-вектором спутника r обозначает, как правило, v и называется истиной аномалией спутника.

С учетом (17.7) перепишем (17.5)

λrCosv = с² — μr (17.8)

Разрешая уравнение (17.8) относительно r, получаем

r = (17.9)

Обычно (17.9) записывают так (учитывая то что μ ≠ 0)

r = (17.10) — уравнение орбиты в полярных константах r и v.

Чтобы установить физический смысл вектора Лапласа λ нужно сопоставить уравнение (17.10) с уравнением конического сечения в полярных координатах, при этом полярные константы нужно выбрать особым образом.

17.2 . Конические сечения.

Всякая кривая второго порядка есть коническое сечение.

К кривым второго порядка относят:

— вырожденный случай — прямая.

Конические сечения получаются как результат. Сечение поверхности конуса (прямого, кругового) плоскостью. Если плоскость пересечет конус ортогонально оси симметрии конуса, то в сечении получится окружность (рис. 17.1). Если плоскость пересечет конус параллельно образующей линии конуса в сечение парабола (рис. 17.2). Если плоскость пересекает конус параллельно оси симметрии конуса в сечение гипербола.

Если плоскость проходит через вершину конуса и параллельна образующей прямая линия как касательная конуса. Если плоскость пересечет не параллельно и не перпендикулярно оси симметрии эллипс.

Рис.17.1 π || H, то L – окружность Рис.17.5 π перпендикулярна Н, то L – эллипс

π π

Рис.17.2 Если π||Q, то L – парабола Рис.17.3 Если π || H, то L — гипербола

От выбора, то есть от выбора расположения начало координат О и выбора ориентировки осей координат, а так же выбора вида координат (прямоугольных, полярных) зависит вид уравнений конических сечений. Например, если выбрать начало координат О в центре симметрии кривой ориентировать оси прямоугольника С координат по оси симметрии кривой, то получается, так называемое коническое уравнение второго порядка.

x²/a² + y²/b² = ± 1 (17.11), где +1 – уравнение эллипса а и b; y

π y

L x x

O Рис.17.6 эллипс в Oxyz с полуосями

Рис.17.4 если π проходит через О и касается образующей, L – прямая (два луча)

Если вместо двух переменных x и y выбрать один, так называемый лонгальный параметр Е, то уравнение (17.11) перепишем в виде двух параметрических уравнений.

x = aCosE, y = bSinE (17.12)

Если же переместить начало координат О из центра симметрии эллипса в один из его фокусов (F1 или F2) и заменить вид координат – вместо прямоугольных x и y, взять полярные координаты ρ и φ, то уравнение (17.11) перепишем так (рис. 17.7)

ρ = p / 1 + εCosφ (17.13)

b O ρ р

F2 F1 x

Рис.17.7 Эллипс в полярных координатах

Расстояние между фокусами эллипса F1 и F2

F1 F2 = 2aε (17.14)

и называется фокальным расстоянием. В формуле (17.13) — это половина хорды, проходит через один из фокусов кривой (F1 или F2) перпендикулярно оси симметрии (или точнее, большой полуоси эллипса а) на рис. 17.7 p = F1 Q и p ┴ а. Он связан с большей полуосью формулой

ε = (a² – b²) / a² (17.16)

(17.16) – эксцентриситет эллипса. Теперь сопоставляя уравнения кривой второго порядка (из аналитической геометрии) (17.13) с уравнением (17.10), заключаем, что

r ρ, v φ

c²/μ p, λ/μ ε (17.17)

Уравнение (17.10) – уравнение конического сечения в полярных координатах r и v с полюсом в центре масс центрального тела, (так как исходное уравнение γ мы интегрируем в инерциальную систему координат r´ + (μ/r²)rº = 0)

Являющегося одним из фокусов (F1 или F2) конического сечения. Далее фокальный параметр орбиты p равен

и является одной из констант интегрирования эксцентриситета орбиты

ε ≡ e = λ/μ (17.19),( в небесной механике эксцентриситет обычно обозначают «е» ).

Из того, что v => φ, выясняется направления вектора Лапласа – вектор λ направлен по оси симметрии эллипса в ближайшую точку орбиты π (рис. 17.8)

b P r m

F полюс полярной СК

Рис.17.8 Центр орбины в полярной СК

r = p/ 1+eCosv (17.20) ≡ (17.10) – уравнение орбиты в полярных координатах.

Из сопоставления выражения, получается как следствие интеграла Лапласа,

r = (17.10)

с каноническим выражением конических сечений

ρ = p / 1 + εCosφ (17.13)

следует, что равенство (17.10) представляет собой уравнение конического сечения (окружность, эллипсоид, парабола, гипербола) и переписывается окончательно в виде

r = p/ 1+eCosv (17.20),

р = c²/μ, ε ≡ e = λ/μ, v = μ, е > 1, то орбита — гипербола.

Всякий вектор в трехмерном пространстве должен характеризовать три параметра. Мы установили только для вектора Лапласа, нужно установить физический смысл для направления вектора Лапласа. Таким образом, два оставшихся параметра в векторе λ характеризует его направление в пространстве, которое определяется осью симметрии конического сечения и ближайшей точки орбиты фокуса.

Тема 18. Точки и линии орбиты спутника.

С помощью интеграла площадей мы установили, что орбита спутника – плоскостная кривая, лежащая в плоскости, лежащая в инерциальной системе координат. Эта кривая: замкнутая или разомкнутая и представляет собой одно из конических сечений. Это коническое сечение постоянной орбиты ориентирования внутри орбитальной плоскости. (рис. 18.1 )

b m(t)

α O´ v λ

ω π

линия узлов орбиты

Рис.18.1. Точки и линии эллиптической орбиты.

На рис. 18.1 О’ – центр симметрии конического сечения

F1 и F2 – фокусы симметрии конического сечения

π – перицентр орбиты

α – апоцентр орбиты

Оπ — линия апсид орбиты

ОΩ — линии узлов орбиты

Угол v — истинная аномалия спутника

Угол ω — аргумент широты орбиты

ω = π + ωгл, если f 0.

Тема 19. Связь константы площадей энергии спутника h с большой полуосью орбиты a.

Для установления связи h и a воспользуемся интегралом энергии.

Так как интеграл энергии справедлив для любой точки орбиты, вычислим его в точке перицентра орбиты π.(рис19.1)

Vπ

Ω´

v λ

Но из уравнения орбиты

r = p/ 1+eCosv (17.20), получаем

vπ = 0º, rπ = p / (1 + e) = a (1 — e²)/1 +e = a (1 — e)(1 + e)/1 + e = a (1 — e)

rπ = a (1 — e), rα = a (1 + e) (19.3)

Вычислим линейную скорость спутника V в точке π, как произведение угловой скорости радиуса – вектора спутника r. Относительно фокуса О — это υπ на длину вектора r, то есть

Угловую скорость υ получим из полярной формы интеграла площадей

Но из рисунка 18.1 имеем

Дифференцируя (19.6) и учитывая, что ω – константа, получаем, что u´≡ v´ (19.7)

Тогда интеграл площадей, записывают

Сравнивая (19.8) и (19.4) получаем, что

Учитывая, что c = μp

Получаем, что Vπ = μp / 2π = μa(1 — e²) / a(1 — e) (19.10)

После алгебраического преобразования получаем

h = — μ/a (19.11) – установлена связь константы с большой полуосью.

Тема№20. Период обращения спутника. Третий закон Кеплера.

В невозмущенном движении период обращения спутника имеет смысл только для замкнутых орбит (эллипс, окружность). Периодом обращения называется промежуток времени между двумя последовательными прохождениями спутника через одну и ту же (любую) точку орбиты.

Рис.20.1 период обращения спутника.

На рис.20.1 точка О – центральное тело

точка m — любая точка орбиты, через которую проходит спутник дважды в моменты

где T – период обращения

Установим связь Т с большой полуосью орбиты а. Для этого дважды вычислим S эллипса орбиты, один раз из геометрических соображений, другой раз из динамических соображений.

Из аналитической геодезии.

Рис. 20.2 Площадь орбитального эллипса из геометрии

S прямоугольника = 4аb

S эллипса =π ab ( 20.3)

Вычислим из динамических соображений, воспользовавшись вторым законом Кеплера, но в современной формулировке.

Где S´ – скорость изменения площади (секториальная скорость) движения спутника на орбите,

C — константа площадей

Возьмем интеграл по t от выражения (20.4)

∫ S´dt = S орбитального эллипса из динамики (20.6)

∫ ½ С dt = ½ С ( t + T – t ) = ½ μр T (20.7)

Таким образом, S эллипса из динамики = T (20.8)

Поскольку площади S эллипса из геометрии должна быть равна площади из динамики S эллипса из динамики то, приравнивая (20.3) и (20.8), получаем

p = a ( 1 – e2 ), b = a 1 – e2

T = 2πab / μр = 2πa а 1 – e2 / μ а ( 1 – e2 ) = 2π / μ/а3

Формула (20.9) связывает через константы π и μ, период обращения спутника T с большой полуосью его орбиты а. Отсюда следует, что параметр T определяем размер орбиты (полуось а), но большая полуось связана с константой энергии h по формуле.

Но mh/2 — полная энергия спутника, следовательно период обращения спутника T связан с полной энергией спутника и является одной из констант интегрирования дифференциального уравнения движения спутника.

Среднее движение спутника.

Выясним физический смысл знаменателя в формуле

Из (20.9) имеем μ/а3 = 2π / Т (20.11)

Но 2π — полный угол, который описывает радиус-вектор r за время T (период).

Следовательно величина μ/а3 есть средняя угловая скорость движения спутника по орбите. В небесной механике используется термин — среднее движение спутника обозначается «n»

Тогда формула (20.11) переписывается так

n = 2π / Т или Т = 2π / n (20.13)

Из формул (20.11, 20.12) или (20.9) следует третий закон Кеплера в современной формулировке

Из (20.14) следует третий закон Кеплера: «произведение квадрата среднего движения спутника на куб большой полуоси его орбит есть величина постоянная ».

Получим выражение с помощью (20.14) из которой следует формулировка третьего закона (Кеплера) (рис.20.3)

Рассмотрим одно центровое тело O, вокруг которого движение нескольких спутников

( проекция солнечной системы )

Рис. 20.3 Третий закон Кеплера в классической формулировке

Применим (20,14) к системе спутников m1, m2,….,

n12a13= n22a23= n32a33=…=μ (20.15)

Для двух спутников m1 и m2, получаем отношение

n12/ n22 = a23/ a13 (20.16)

Из формулы (20.17) следует третий закон Кеплера в классической формулировке ; «квадраты периодов обращения двух спутников относительно одного и того же центрального тела как

кубы больших полуосей их орбит».

Заменим в (20.16) средние движение n периодом T

(2π / Т1)2 a23 Т12 a23

(2π / Т2)2 a13 Т22 a13

Кеплер установил этот закон эмпирическим путем по Тиха Браги. Мы получили этот закон как частный случай трех законов Ньютона.

Тема№21. Связь трех констант интегрирования;

Лапласа, энергии и площадей.

Наша цель показать, что три произведения постоянного интегрирования ДУ движения спутника λ, h и с. Они являются между собой зависимыми величинами. Для этого воспользуемся интегралом Лапласа и площадей.

λ = с x r´ — μrº; c = r x r´ ( 21.1)

Возьмем в квадрат левую и правую части интеграла Лапласа

λ 2 = [ — (с x r´ + μrº)] = (с x r´)2 +2(с x r´)(μr) + μ2 (rº)2 (21.2)

λ 2 = λ 2 – как скалярный квадрат (21.3)

(с x r´)2 = │ с x r´│2 = │сv Sin (с^v)│2 = (сv)2 (21.4)

r ≡ v – двоякое обозначение вектора скорости

2(с x r´)(μrº) = 2μ (с x r´)rº = 2μ (с x r´) r/r = 2μ/ r (с x r´) r =

= 2μ/ r (r´ x r) с = 2μ/ r (- с2) = — 2μс2/ r

2(с x r´)(μrº) = — 2μс2/ r (21.5)

λ 2 = μ2 + с2h (21.6)

ТЕМА №22. Радиальная трансверсальная составляющие скорости движения спутника.

Скорость движения спутника всегда направлена по касательной к его орбите. Этот вектор скорости раскладывается на две ортогональных составляющих: радиальную и трансверсальную, рис.22.1

Рис.22.1. Радиальная и трансверсальная скорость движения спутника.

На рисунке 22.1 показана орбитальная дуга, притягивает центр О, перицентр π, вектор Лапласа λ, текущее положение спутника m в t, его радиус-вектор r и вектор скорости v, касательный к орбите в точке m.

Vr — вектор радиальной скорости спутника;

Vτ — вектор трансверсальной скорости спутника;

rº — орт радиального направления (он же орт радиус-вектора спутника )

τº — орт трансвкрсального направления

Вектор скорости спутника v можно представить разложение по ортам rº и τº, как сумму двух векторов

V = Vr rº+ Vτ τº (22.2)

Из курса физики вектор скорости V есть производная по времени то радиус — вектора r/t.

V = d/ dt (r (t)) = r´(t) (22.3)

Но радиус-вектор r (t) можно представить как произведение его модуля r (t) на орт rº(t).

r (t) = r (t) • rº(t) (22.4)

Берем производную от равенства (22.4) получаем

V = d/ dt (r (t) rº(t)) = d/ dt [r (t)] rº(t) + r (t) d/ dt[rº(t)] (22.5)

d/ dt (r (t)) = r´ (22.6)

Из курса физики производная от любого вектора r, вращающегося с угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через начало вектора r в направлении ωº, равна векторному произведению r, рис. 22.2 .

d/ dt (r) = ω x r (22.7)

Рис.22.2 Представление линейной скорости.

V = d/ dt (r) = ω x r (22.7)

Применим формулу (22.7´) для вычисления производной и d/ dt (rº (t)), рис.22.3.

Орт rº вращается с угловой скоростью υ´ — скорость изменения истинной аномалии со временем, от сюда следует, что υ´ ≡ ω – модуль угловой скорости (22.7´).

Орт оси вращения вектора rº есть орт сº – векторной константы площадей с.

тогда r´º = ω x rº (22.9)

или r´º = υ´сº x rº

или r´º = υ´ τº (22.10),

где τº = сº x rº (22.11).

Перепишем (22.5) с учетом (22.10)

V = Vr rº + rυ´ τº (22.12)

Сравнивая (22.12) с (22.2)

V = Vr rº+ Vτ τº (22.2), приравнивая их правые части и приравнивая скалярные множители при одинаковых ортах, получаем

Vr = r´ , Vτ = r υ´ (22.13)

Из формул (22.13) следует, что радиальная составляющая скорости отвечает за изменение длины радиуса – вектора спутника, а трансверсальная составляющая – отвечает за линейную скорость и движения спутника по виртуальной окружности радиуса r. Установим связь радиальной Vr и трансверсальной Vτ скорости спутника с параметрами орбиты: р — фокальный параметр орбиты, е – эксцентриситетом орбиты и углом υ– истинной аномалии силы.

Для этого воспользуемся двумя интегралами:

— уравнением орбиты в полярных координатах

r = p/ 1+eCosυ (22.14),

— интегралом площадей в полярных координатах

c = r²υ´, c = μp (22.15)

Дифференцируя (22.14) по t, получаем

Vr = r´ = p(e+Sinυ)υ´ p = μp eSinυ = μ / p eSinυ

Итак, Vr = μ / p eSinυ (22.16)

Для получения трансверсальной скорости Vτ как функции р, е и υ сравнивают два выражения (22.13) с (22.15)

c = r²υ´ Vτ = с/r (22.17)

Или с учетом (22.14) и (22.15), находим

Vτ = μ / p (1+eCosυ) (22.18)

Формулы (22.16) и (22.18) устанавливаем связь Vr и Vτ с направлением орбиты р, е и υ. Полезны формулы, связи скорости:

V = 2μ / r + h (22.20) — интеграл энергии.

ТЕМА №23. Эксцентрическая аномалия (геометрическая интерпретация) спутника.

Для определения положения спутника на заданной орбите в небесной механике используется три аномалии:

Истинная была введена в разделе уравнения орбиты нормальных координат. Она отслеживает истинный угол вращения спутника рис.23.1.

Рис. 23.1 Истинная аномалия

Истинная аномалия более сложным образом связана со временем t. Эксцентрическая аномалия Е связана со временем Е(t) более простой формулой, чем υ(t).

Средняя аномалия М связана со временем наиболее просто по линейному закону.

Все три аномалии связаны между собой.

υ ( E ( M (t))) = υ (t) (23.1)

Покажем на рис.23.2 геометрическую интерпретацию эксцентрической аномалии.

Рис. 23.2 Эксцентрическая аномаоия

На рис.23.2 О’ – центр симметрии орбитального эллипса, О – притягивающий центр

( центральное тело ), m – положение спутника на орбите в текущий момент времени, вектор qm перпендикулярен линии апсид Оπ,

угол πОm = υ – истинная аномалия спутника, которая отслеживает истинный угол υ поворота радиус – вектора спутника r относительно вектора Лапласа λ ( или линии апсид ), угол πО’m’ = Е – эксцентрическая аномалия спутника, вершина угла Е находится не в центре масс тела, а в центре симметрии орбитального эллипса, точка m’ – виртуальная точка движения по окружности радиуса в центре с центром симметрии эллипса и получается как результат пересечения перпендикулярно вектору qm с окружностью.

Из рис.23.2 видно, что две точки m и m’ при движении спутника m по орбите сливаются в одну точку в двух случаях:

1. когда спутник находится в перицентре π,

2. когда спутник находится в апоцентре α.

Правильное применение терминов перицентр ( перигей ), апоцентр ( апогей ) и т. п.

Когда центральное тело безымянное или же обсуждается задача двух без относительно какого либо центрального тела, то точки орбиты π и α называется перицентром и апоцентром. Если же уентральное тело имеет имя, или решение конкретной реальной задачи двух тел, то название точек меняется ( см. в таблице ).

центральное тело перицентр апоцентр

Земля( спутник: Луна, иск. Спутник ) перигей апогей

Солнце ( спутник 6 Земля, Венере и т. д. ) перигелий афелий

Луна ( иск. спутник ) переселений апоселений

Тема№24. Эксцентрическая аномалия спутника. Аналитическая связь двух аномалий.

Для получения формулы выражающие эксцентриситет аномалии через истинную или наоборот введем три орбитальных системы координат. Орбитальная система — основная плоскость совпадает с плоскостью орбиты.

1. Система координат Oξη с началом притягивающим центре О и осью Oξ абсцисс, направленный по линии апсид Oπ.

α m линия апсид полярная ось

Рис. 24.1 Связь истинной и эксцентрической аномалии.

2.Полярная система координат с полюсом в точке О и полярной осью направлена по линии апсид с полярными координатами r и υ.

r – полярное расстояние

υ – полярный угол

( в небесной механике r – модуль радиус-вектора спутника, υ – истинная аномалия спутника)

3. Прямоугольная система координат О´xy с началом O´ в центре симметрии орбиты и осью абсцисс O´y направленной по линии апсид. Уравнение орбиты спутника в системе координат О´xy имеет вид (см. аналитический геометрический метод ).

Уравнение орбиты спутника в полярной системе координат ( r,υ) имеет вид

r = p/ 1+ eCosυ (24.2)

где p = a(1-e²), e² = a² – b² / a² , b = a 1 — e² (24.3)

ae = О´О– полуфокальное расстояние

Уравнение орбиты спутника в параметрической форме

Уравнение дано без выводов, где Е — параметр. Если подставить (24.4) в (24.1),то получим тождество, что свидетельствует о правомерности введение уравнения (24.4).уравнение орбиты в координатах ξ и η (из рис. 24.1)

ξ = rCosυ, η = rSinυ (24.5)

С другой стороны, с центром (24.4) и рис.24.1 получаем

ξ = x – ae = aCosE – ae = a(CosE – e)

η = y = bSinE = a 1 — e² Sin E

y = a 1 — e² Sin E (24.6)

Сопоставляя (24.6) и(24.5), находим искомую связь

rCosυ = a(CosE — e)

rSinυ = a 1 — e² Sin E (24.7)

Заменим r с помощью формулы

r = a(1 — eCosE) (24.8),

которая получается из рис.24.1 по теореме Пифагора

r² = ξ² + η² = [a(CosE – e)]² + (a 1 — e² Sin E )²

Подставляя (24.8) в (24.7), получаем окончательно –

Cosυ = CosE – e / 1 – eCosE (24.9)

Sinυ = 1 — e² Sin E / 1 – eCosE (24.9)

Формулы (24.9) устанавливают связь Е и υ в одну сторону: Е => υ. Получим обратную связь:

υ =>Е. Можно воспользоваться формулой для тангенса половинного угла

tg α/2 = 1 – Cosα/ 1 + Cosα (24.10)

Заменим в (24.10) α на υ

tg υ/2 = 1 – Cosυ/ 1 + Cosυ (24.11)

Подставив в (24.11) равенство (24.9), получим окончательно

tg υ/2 = 1 + e / 1 – e tg E/2 (24.12)

tgE/2 = 1 + e / 1 – e tg υ/2 (24.13),

формулы (24.9),(24.12),(24.13) устанавливают связь Е υ.

Тема№25. Уравнение Кеплера.

Уравнение Кеплера — последний четвертый независимый интеграл решаемого дифференциального уравнения.

Уравнение устанавливает связь угла поворота равенств со временем t. Для получения этой связи воспользуемся интегралом площадей в полярной форме

Где υ´=dυ/dt — скорость измерения истинной аномалией υ со временем t.

Из (25.2) получаем интеграл r²•dυ/dt = c или разделяя переменные υ и t, так чтобы они находились в различных частях равенства.

и интегрируя t(υ)

Интеграл (25.4) сложен

∫ a(1 — e²) /1 + eCosυ dυ = ?

Необходимо привести его к табличному виду

r = a ( 1 – eCosE ) (25.5)

Остается найти dυ через dE.

Для этого воспользуемся формулой

Cosυ = CosE – e / 1 – eCosE (25.6)

Дифференцируя по υ левую часть и по Е правую, находим

-SinEdE (1 – eCosE) – (CosE – e)(eSinE)

Завершить самостоятельно; используем для Sinυ формулу (24.9)

Итог: dυ = 1 — e² dE / 1 — eCosE (25.7)

Подставляя (25.7), (25.5) в (25.4), получаем

∫ a²(1 — eCosE)² 1 — e² / 1 – eCosE dE = ∫ cdt

∫ (1 — eCosE) dE = ∫ c / a² 1 — e² dt (25.8)

Выражение (25.8) легко интегрируется.

Интегрируя левую часть (25.8), находим

E – eSinE = E – eSinE (25.9)

Учитывая, что при υ=0, эксцентрическая аномалия Е так же равна нулю.

Интегрируя правую часть (25.9), находим

t = t = (t — tπ) = n (t — tπ) (25.10) a 1 — e² a² 1 — e² a 1 — e²

Из третьего закона Кеплера n²a3 = μ имеем n = μ/а3

Где n — среднее движение спутника,

а — большая полуось орбиты,

μ — гравитационный параметр центрального тела.

Объединяя (25.10) и (25.9) согласно (25.8), находим окончательно, что

E – eSinE = n (t — tπ) (25.11)

Выражение (25.11) носит название в небесной механике – уравнение Кеплера.

Оно связывает эксцентрическую аномалию спутника Е со временем t через три параметра : e, a, tπ — константы.

Уравнение Кеплера – четвертый интеграл r´´ + (μ/r²)rº = 0, для четвертого интеграла достаточно построить траекторию спутника и выразить явно радиус спутника r как функцию времени t: r(t).

Тема№26. Средняя аномалия спутника.

В уравнение Кеплера Е – eSinE = n (t — tπ) (26.1)≡(25.11),

выясним физический смысл правой части n (t — tπ) — ?

Параметр n — есть угловая скорость (средн.) движения спутника по орбите. Тогда произведение n (t — tπ) представляет собой угол, который обозначен через μ.

При текущем времени t, равном tπ, из формулы (26.2) следует, что μ = 0. Отсюда вытекает, что угол μ отсчитывается от точки π — перицентра. Угол μ в небесной механики называется средней аномалией спутника. И этот угол отслеживает движение фиктивной точки по окружности с постоянной угловой скоростью n. (см. рис.26.1). Момент tπ истинная υ и эксцентрическая Е аномалии равны 0. В tπ : υπ = 0, Еπ = 0 и как следует из (26.2), Мπ так же равняется 0. То есть образованные все три аномалии учитываются от одного и того же направления – линии апсид (или, что то же самое от вектора Лапласа ).

В небесной механики вводят понятие средней аномалии спутника в начальную эпоху t0, по формуле, на основе (26.2)

M0 = M(t0) = n (t0 — tπ) (26.3)

Тогда выражение (26.2) для средней аномалии M перепишется так:

M = M0 + n (t – t0) (26.4)

Рис.26.1 три аномалии спутника: υ(t), E(t), M(t).

Подстановкой в (26.4) формулы (26.3) самостоятельно проверить совпадение с формулой (26.2) С учетом введенных обозначений для средней аномалии M уравнение Кеплера (25.11) ≡ (26.1) обычно записывают в виде

E – eSinE = M (26.5) .

Тема№27. Итеративный метод решения уравнения Кеплера.

Уравнение Кеплера M = E – eSinE (27.1) ≡ (26.5)

в одну сторону решается явно (то есть когда дана эксцентрическая аномалия Е и ищется средняя аномалия спутника M, при условии, что эксцентриситет известен). В обратную сторону (то есть когда дано M, а ищется Е то нет в математике способов решения таких нелинейных (трансцендентных уравнений) явно аналитического решения получить не возможно, то есть

M => E — проблема аналитического решения.

Для таких трансцендентных уравнений (когда искомая функция входит под знак тригонометрической функции так и явно) существует множество численных методов, мы рассмотрим один — итерационный способ решения. Этот способ применим только тогда, когда

Итеративная формула имеет вид

Где k = 1, 2…. – порядковый номер итерации

В качестве начального значения Е (0) можно принять любое число, например Е(0) = 0º,или Е(0) =М (в последнем случае на одну итерацию будет меньше).

к = 1 Е(1) = М + e sin Е(0)

k = k E(k) = M + e sin Е(k-1)

продолжая до тех пор пока не выполнится критерии окончания итерации: два последовательных значения эксцентрической аномалии E(k) и Е(k-1) не станут различаться между собой на заданную величину погрешности расчетов ε.

│E(k) — Е(k-1)│≤ ε ( в радианах ).

Тема 28. Связь трёх аномалии спутника v, Е и М со временем t полёта.

Приведем здесь сводку формул, полученных в предыдущих разделах, связывая три аномалии спутника v, Е и М, как между собой, так и со временем t.

tg (v/2) = 1 + e /1 — e tgE/2 (28.1)

tg (Е/2) = 1 + e /1 — e tgυ/2 (28.2)

М = Е – е sin E (28.3)

M = M0 + n(t – t0) (28.5)

С помощью формул (28.7) решается все множество задач связанных с полетом спутника от одной точки орбиты до другой. В этих задачах вычисляется либо время полета между двумя точками либо угол поворота.

Содержание

Орбиты космических аппаратов
Технологии использования космических средств в топографогеодезическом производстве
Системы координат и время, используемые в космической геодезии
Понятие пространственной прямоугольной системы координат
Преобразование пространственных прямоугольных координат Параллельный перенос координатных осей
Системы времени
Системы координат, принятые в космической геодезии
Небесные системы координат
Основы теории орбитального движения искусственных спутников Земли
Общие положения
Невозмущенное движение спутника
Элементы спутниковой орбиты
Методы космической геодезии
Решение геодезических задач для наблюдений спутников
Методы наблюдения за спутниками
Глобальные спутниковые системы позиционирования
Роль спутниковых методов в геодезии
Геодинамические исследования с использованием космической геодезии
Вывод:
📸 Видео

Видео:Радиус векторСкачать

Орбиты космических аппаратов

В теории движения планет для получения достаточно хорошего представления о характере движения часто используется подход, основанный на учете воздействия наиболее сильно притягивающего тела и пренебрежения влиянием других тел. Для движения КА относительно Земли такой подход приводит к задаче движения непритягивающей (а лишь притягиваемой) материальной точки в ньютоновском поле притяжения притягивающей материальной точки (центр Земли, в котором сосредоточена вся ее масса). Тогда при использовании инерциальной системы координат векторное представление уравнений движения имеет вид:

где: F — радиус-вектор КА,

ц — гравитационный параметр.

Интеграл площадей. Для интегрирования умножаем равенство (3.8) векторно на г и получим

Поскольку

с учётом (3.8) получим и

где: 0, то в > 0 (в любой момент времени t). А это значит, что угол в наклона радиуса-вектора КА и оси Ох постоянно растет; движение КА все время происходит в положительном направлении, «против часовой стрелки». Аналогично, если а 2 Ав/2, откуда

При At —? О, найдем:

Величину dS/dt называют в механике векториальной скоростью точки Р относительно точки О. Из формулы (3.12) следует, что:

Таким образом, интеграл площадей означает, что секториалъная скорость КА относительно притягивающего центра постоянна.

Пусть за промежуток времени от момента t₀ до момента // КА описал дугу, а радиус-вектор КА успел замести криволинейный сектор, площадь которого обозначим через S. Интегрируя уравнение (3.14) в пределах от t₀ до t_h получим:

Эта формула выражает второй закон Кеплера:

Площадь, заметенная радиусом-вектором КА, пропорциональна времени, в течение которого она заметена. Иногда формулируют несколько иначе: за равные промежутки времени радиус-вектор КА заметает равные площади.

Интеграл энергии. Умножая уравнение (3.8) скалярно на 2г , получим:

Поэтому,

некоторая константа (ее называют константой энергии). Формула (3.16) носит название интеграла энергии (или интеграла живых сил). Для объяснения этого названия перепишем ее так:

Слагаемое v 2 /2 — это кинетическая энергия («живая сила») КА, приведённая к единице массы, р/г — потенциальная энергия. Формула показывает, что полная энергия КА (то есть сумма его кинетической и потенциальной энергии) в течение всего времени его движения остается постоянной.

Константу h можно найти из начальных условий: если в какой-то момент to расстояние КА от притягивающего центра равно го и абсолютная величина скорости равна Vo. Простейшие следствия из интеграла энергии:

1) При удалении КА от притягивающего центра скорость КА уменьшается (КА тормозится); при приближении КА к притягивающему центру скорость КА возрастает (КА разгоняется). Действительно, из (3.9) видно, что при возрастании г скорость v убывает и, наоборот, при убывании г возрастает V.
2) Пусть КА в своем движении может удаляться от притягивающего центра неограниченно далеко. Из формулы (3.9) видно, что при г—^величина скорости будет приближаться к некоторому пределу (v«), причем v«, = h. (Заметим, что этот предельный переход возможен лишь при h >= 0.)

Интеграл Лапласа. Будем исходить из дифференциального уравнения движения КА (3.8) и интеграла площадей. Перемножим эти выражения:

Преобразуя правую часть при помощи известного выражения для двойного векторного произведения, получим

где: А — некоторый постоянный вектор.

Равенство (3.18) носит название векторного интеграла Лапласа. Вектор А называют вектором Лапласа.

Покажем, что вектор Лапласа А ортогонален векторной константе площадей, то есть, что их скалярное произведение равно нулю

Умножим скалярно обе части (3.18) на вектор и и получим

На основании (3.11) а-г=0. Это означает, что при любом выборе прямоугольной системы координат между тремя компонентами вектора Лапласа и тремя компонентами векторной константы площадей существует зависимость:

Видео:ЕГЭ по Физике 2022. Кинематика. Радиус-векторСкачать

Технологии использования космических средств в топографогеодезическом производстве

Содержание:

Предмет:	Геодезия
Тип работы:	Курсовая работа
Язык:	Русский
Дата добавления:	15.04.2019

Данный тип работы не является научным трудом, не является готовой выпускной квалификационной работой!
Данный тип работы представляет собой готовый результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала для самостоятельной подготовки учебной работы.

Если вам тяжело разобраться в данной теме напишите мне в whatsapp разберём вашу тему, согласуем сроки и я вам помогу!

По этой ссылке вы сможете найти много готовых курсовых работ по геодезии:

Посмотрите похожие темы возможно они вам могут быть полезны:

Введение:

Космическая геодезия — это раздел геодезии, в котором изучаются проблемы теории движения искусственных и природных небесных тел для решения научно-технических задач геодезии. Кроме того, в космической геодезии используются результаты наблюдений, проводимых как с поверхности планеты, так и непосредственно со спутников. космическая геодезия пространственная

Основными задачами космической геодезии являются:

Определение фундаментальных постоянных, характеризующих форму, размер и суточное вращение Земли, Луны и планет, а также изменение этих постоянных во времени;
Определение параметров гравитационного поля Земли и планет;
Определение (уточнение) координат точек в системе, относящихся к центру масс Земли, создание единой мировой геодезической сети;
Определение положения центра эллипсоида в пространственной геодезической системе координат (с началом в центре масс Земли);
Установление связи между различными геодезическими системами.

Космическая геодезия также решает ряд прикладных задач:

Координатно-временная привязка результатов космических съемок Земли и планет, выполненных при изучении природных ресурсов и космического картографирования;
Установление характера и особенностей движения континентов, закономерностей тектонических процессов и т. д. Космическая геодезия тесно связана с небесной механикой, астрономией, математикой, физикой и другими дисциплинами.

Бурное развитие космической геодезии связано с запуском первого искусственного спутника Земли (AES) 4 октября 1957 года, а также с последующими запусками космических объектов и спутниковых систем, которые могут эффективно решать традиционные и новые задачи геодезии.

Существует три основных метода космической геодезии: геометрический, динамический и орбитальный.

Геометрический метод используется для передачи координат на большие расстояния. Он основан на синхронном наблюдении спутников из нескольких точек земной поверхности. Здесь небесное тело используется как высоко поднятая цель. Используя синхронные наблюдения, различные виды пространственных надрезов решаются для определения координат неизвестных точек.

Динамический метод, в отличие от геометрического, основан на использовании теории движения искусственного спутника Земли на орбите. Для реализации динамического метода необходимо иметь модель движения спутника.

Динамический метод включает в себя совместное определение координат наземных точек, элементов орбиты спутника, а также уточнение параметров модели возмущающих сил, действующих на спутник. Реализация динамического метода космической геодезии требует сложных алгоритмов и гигантских программных комплексов для самых современных компьютеров, разработка которых требует больших трудозатрат для целых команд квалифицированных математиков и программистов.

Орбитальный метод является частным случаем динамики, в котором параметры модели возмущающих сил, действующих на спутник, строятся с необходимой точностью и не уточняются при решении. В орбитальном методе, основанном на наблюдениях, проводимых в наземных точках или непосредственно со спутника, координаты точек и элементы орбит определяются совместно.

Если предположить, что элементы орбиты во время измерения известны, то только координаты точек, которые определяются путем решения обратных пространственных засечек, будут определенными величинами. Эта процедура называется упрощенным орбитальным методом и используется для решения задач навигации.

Системы координат и время, используемые в космической геодезии

Понятие пространственной прямоугольной системы координат

Положение точки в трехмерном пространстве может быть определено в пространственной системе координат. Если мы проведем три взаимно перпендикулярных оси OX, OY, OZ через определенную точку O пространства, соответственно: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликатора, то мы можем определить положение точки в пространстве относительно этих осей.

Пусть вектор r задан в принятой системе координат, начало которой совпадает с началом системы координат, а конец — с точкой Q (x, y, z), имеющей координаты x, y, z.

По правилу сложения векторов вы можете написать r = r1 + r2 + r3.

Это равенство показывает, что любой вектор можно разложить на компоненты, лежащие на осях координат. Векторы членов r1, r2 и r3 называются компонентами или компонентами данного вектора r относительно системы координат OXYZ. Положив в положительном направлении каждую из координатных осей вдоль вектора i, j и k, длины которых равны единице, получим

Поскольку выбор начала координат системы координат и положительных направлений их осей является произвольным, можно говорить о многообразии пространственных прямоугольных систем координат. Поэтому на практике часто бывает необходимо преобразовать одну систему прямоугольных координат в другую.

Преобразование пространственных прямоугольных координат Параллельный перенос координатных осей

Пусть x1, y1, z1 — координаты произвольной точки Q относительно пространственной прямоугольной системы координат O1 X1Y1Z1, а x2, y2, z2 — координаты той же точки относительно системы координат O2 X 2Y2 Z 2. Пусть Dx, Dy, Dz обозначают координаты начала координат системы координат O2 X 2Y2 Z 2 в системе O1 X1Y1Z1.

Если единицы шкалы по осям указанных систем координат совпадают.

Обратите внимание, что скалярное произведение двух единичных векторов равно косинусу угла между этими векторами.

Рассмотрим особые случаи. Предположим, что в двух системах координат оси начала и оси абсцисс совпадают, а оси ординат и аппликаторов лежат в плоскости O1Y1Z1 и разнесены на угол m соответственно.

Выражения соответствуют правой системе координат и положительным углам поворота при вращении против часовой стрелки, если смотреть от положительного конца оси вращения (u) к началу координат.

Системы времени

В космической геодезии рассматриваются два аспекта времени: эра и интервал. Эра определяет момент события, а интервал — время, прошедшее между двумя эпохами.

Обычно эпоха определяется днем, месяцем, годом (григорианский стиль). Однако вычитание более ранней даты одного события из более поздней может привести к некоторым неудобствам и привести к неопределенности в результате. Поэтому проблема количества дней, прошедших между двумя данными датами, более удобно решается с использованием юлианского периода.

Юлианский период — это система подсчета времени в днях, предложенная в 1583 году французским ученым Дж. Скалигером для хронологических расчетов. Удобство юлианского периода состоит в том, что все дни в нем пронумерованы по порядку, независимо от принятой календарной системы, номера года, месяца или недели. В хронологии юлианский период позволяет связать различные календарные эпохи, выражая их через дни юлианского периода — юлианские дни.

Начало каждого юлианского дня считается средним гринвичским полднем. В астрономических ежегодниках или в специальных таблицах целые числа даются для юлианских дней, прошедших с начала счета до среднего гринвичского полдня определенной даты. Чтобы перейти к Greenwich Mean Midnight, вы должны вычесть 0,5 из полученной даты.

Показывает угол поворота земной системы координат относительно небесной.

Действует как независимая переменная в уравнениях движения небесных тел.

В соответствии с решаемыми задачами используются два типа систем времени: астрономический и атомный.

Астрономические системы времени основаны на ежедневном вращении Земли. Стандарт для построения шкалы астрономического времени — солнечные или звездные дни. Истинное звездное время s — это часовой угол истинной точки весеннего равноденствия.

Среднее звездное время по Гринвичу S0 в полночь по всемирному времени определяется из выражения веков между фундаментальной эпохой 2000.0 (JD = 2451545.0) и рассматриваемым моментом (JD).

Из-за неравномерного вращения Земли и постоянно растущих потребностей науки и техники была введена атомная шкала времени TAI, которая не зависит от вращения и движения Земли. За единицу атомного времени берется секунда, которая равна 9192 631 770 периодам колебаний излучения, соответствующим периоду между двумя ультратонкими уровнями основного состояния атома цезия -133. Точность атомных часов составляет около 10-12. Стабильность частоты современных атомных водородных квантовых генераторов достигает 5 × 10–14. Значения разности UT1-TAI регулярно публикуются в бюллетенях «Мировое время и полюсные координаты».

Системы координат, принятые в космической геодезии

Под эталонными системами понимают совокупность систем координат и систем измерения времени.

Координаты — это величины, которые определяют положение любой точки на поверхности Земли или в пространстве относительно принятой системы координат.

Система координат устанавливает начало координат, ориентацию в пространстве основной плоскости координат, направление осей координат.

В космической геодезии используются различные системы координат. Таким образом, при расчете орбит спутников, прогнозировании их движения используется одна система координат, другие системы используются для определения координат точек наблюдения, и совершенно разные системы должны использовать полученные координаты при решении различных прикладных задач.

Система координат, начало которой находится в центре планетарного тела, называется планетоцентрической (например, гелиоцентрическая, луноцентрическая, геоцентрическая с началом координат в центре масс Солнца, Луны, Земли соответственно). Система координат, начало которой совпадает с точкой наблюдения на поверхности Земли, называется топоцентрической.

В зависимости от выбранной главной плоскости координат различаются экваториальная, эклиптическая (плоскость эклиптики), горизонтальная (плоскость локального горизонта) и орбитальная (плоскость орбиты небесного объекта) системы координат.

Направления осей системы координат задаются относительно некоторых точек небесной сферы или земной поверхности.

В направлении координатных осей относительно точек пространства системы координат делятся на звездные (небесные) и земные (координатные оси ориентированы соответственно относительно звезд или точек на поверхности Земли).

Направление осей координат может быть установлено относительно основных векторов. Эти векторы включают вектор кинетического момента Земли, направления мгновенной оси ее вращения, вектор направления гравитации, нормаль к орбите Земли (к эклиптике), вектор линии узлы орбиты Земли (направление весны весеннего равноденствия) и другие. Координаты, связанные с вертикальной линией, называются астрономическими.

В каждой системе положение точки может быть представлено в форме прямоугольных (декартовых) или сферических координат, а для систем, связанных с эллипсоидами, также в форме геодезических (сфероидальных, или эллипсоидальных, или криволинейных) координат.

Из-за прецессии и нутации оси вращения Земли основные плоскости и координатные оси меняют положение и направление в пространстве во времени. Поэтому планетарные координаты фиксируются на определенную эпоху. Координаты, связанные с положением оси вращения Земли в момент наблюдения, называются мгновенными или истинными.

В связи с тем, что точки, выбранные для ориентации систем координат, могут менять свое положение, обязательно учитывается эпоха — тот момент времени, к которому относится направление осей.

Небесные системы координат

В космической геодезии небесная (звездная) система координат часто используется для определения положения небесных объектов.

Такая система определяется следующим образом:

начало О находится в центре масс Земли;
ось Z совпадает с мгновенной осью вращения Земли в направлении истинного северного полюса P;
ось X лежит в экваториальной плоскости QoQ ‘и направлена к истинной точке весеннего равноденствия (точке пересечения плоскости истинный экватор Земли с орбитой Земли E E ‘, наклоненной к экватору на угол;
ось Y лежит в плоскости QoQ ‘и дополняет систему справа.

В этой системе координат вектор r определяет положение небесного объекта. Компоненты вектора r могут задаваться либо прямоугольными координатами x, y, z, либо сферическими координатами r . Здесь r — расстояние от начала системы координат до небесного тела.

Прямое восхождение и склонение объекта наблюдения соответственно. Прямое восхождение — это угол в экваториальной плоскости, измеренный против часовой стрелки от весеннего равноденствия до круга склонения. Склонение объекта — это острый угол, измеряемый от плоскости экватора к телам.

Основы теории орбитального движения искусственных спутников Земли

Общие положения

Траектория, по которой движется искусственный спутник Земли (AES) в полете, называется орбитой. Орбитальное движение спутников происходит в гравитационном поле Земли. Однако, в дополнение к гравитационным силам Земли, у спутника есть и другие силы, такие как притяжение Солнца и Луны, давление солнечного излучения, атмосферное сопротивление и другие геофизические эффекты.

Математически уравнения движения спутника выражаются дифференциальными уравнениями второго порядка, которые решаются во времени. Во время интегрирования начальные условия движения задаются в виде векторов положения и скорости в начальную эпоху. Рассчитанные на некоторое время впереди положения спутников можно сравнить с положением, полученным из наблюдений. Расхождения между этими позициями используются для уточнения моделей сил, действующих на спутник, и координат станций наблюдения.

Невозмущенное движение спутника

Мы предполагаем, что на движение спутника не влияют никакие другие силы, кроме гравитации Земли. В этом случае мы будем представлять Землю как шар с массой M со сферически-симметричным распределением плотности.

При таких условиях движение спутника называется невозмущенным, подчиняясь трем законам Кеплера:

Спутник движется по эллипсу, в одном из очагов которого находится центр масс Земли;
Радиус-вектор спутника за равные периоды времени описывает равные области;
Отношение квадрата периода вращения спутника к кубу большой полуоси его орбиты является постоянной величиной.

Вывод дифференциальных уравнений движения спутника основан на трех законах Ньютона и законе всемирного тяготения, согласно которому все тела притягиваются друг к другу с силой F, прямо пропорциональной произведению их масс M и m и обратно пропорциональна квадрату расстояния r 2 между ними.

Формула позволяет определить силу взаимодействия двух точечных тел, однородных шариков или шариков с равномерным распределением масс по концентрическим сферам. Гравитационные поля этих тел называются центральными. В первом приближении гравитационное поле Земли можно считать центральным. В этом случае на спутник действует сила, направленная на центр масс Земли, а спутник, согласно второму закону Ньютона, получает ускорение который не зависит от массы спутника m.

Произведение fM = определяется более точно, чем каждый из факторов, и называется геоцентрической гравитационной постоянной, которая является одной из фундаментальных постоянных.

В инерциальной системе координат Oxyz (истинная небесная система координат) положение спутника определяется радиус-вектором r, скоростью — вектором V, а ускорение — вектором a.

Дифференциальные уравнения (2.4) описывают невозмущенное, или кеплеровское, движение. Он имеет шесть независимых констант интегрирования, которые позволяют в любое время рассчитать положение и скорость спутника (x, y, z, x, y, z).

Элементы спутниковой орбиты

От постоянной интеграции уравнений движения обычно переходят к другим постоянным параметрам, по которым можно рассчитать координаты и скорости спутника в любое время. Они называются элементами орбиты. По своему назначению элементы орбиты делятся на три группы.

В первую группу входят элементы, характеризующие размер и форму орбиты. Это главная а и малая b полуоси орбитального эллипса.

К той же группе элементов орбиты относятся: эксцентриситет орбиты e, параметр фокуса p, радиус орбиты спутника в перигее r и апогей rA, среднее движение n и период циркуляции P.

Причем период обращения спутника P вокруг центрального тела — это интервал времени между моментами двух последовательных прохождений через произвольную точку на орбите. Среднее движение n интерпретируется как средняя угловая скорость спутника.

В зависимости от величины эксцентриситета орбиты различаются в форме круга (e = 0), эллипса (0 1) и прямая линия (е = — Ґ). В дальнейшем мы будем рассматривать только эллиптические орбиты.

Элементы второй группы определяют ориентацию орбиты в пространстве. они включают: наклон i (угол между плоскостью экватора и плоскостью орбиты); долгота восходящего узла W (угол, лежащий в экваториальной плоскости, отсчитываемый от направления до весеннего равноденствия в направлении восходящего узла орбиты W) и аргумент перигея (угол, лежащий в плоскости орбита между направлениями к восходящему узлу — W и перигею — P рассчитывается.

Элементы третьей группы определяют положение спутника на орбите. Это истинные v и средние M аномалии. Истинная аномалия — это угол между направлениями на перигей P и спутник m. Средняя аномалия M представляет угол от направления к перигею к направлению к некоторому фиктивному положению спутника, равномерно движущегося по орбите:

Согласно 1-му закону Кеплера (движение спутника вокруг притягивающего тела происходит вдоль конического сечения, одним из фокусов которого является притягивающий центр), соотношение для расстояния r от центра масс притягивающего тела до спутник действителен.

Вектор скорости спутника V, направленный вдоль касательной к орбите, разлагается на две составляющие: вектор радиальной скорости Vr, направленный вдоль вектора радиуса спутника, и вектор Vn поперечной скорости, направленный в плоскости орбиты, перпендикулярной вектору радиуса.

Движение спутника вокруг Земли только в первом приближении происходит в соответствии с законами Кеплера. Помимо центрального спутника на него действуют другие силы различной физической природы; следовательно, движение спутника отличается от невозмущенного (кеплеровского) движения. Фактическое движение спутника называется возмущенным, а его орбита называется возмущенной орбитой.

Различия между элементами возмущенных и невозмущенных орбит одновременно называются возмущениями.

Возмущения в дифференциальных уравнениях возмущенного движения, выраженные в виде возмущающих ускорений.

Решение этих уравнений в квадратурах для реальных условий возможно только для некоторых частных случаев. В этом случае используются различные модели движения, которые позволяют достичь решения с достаточной точностью. Замена реальных сил модельными силами, которые допускают интеграцию, приводит к концепции промежуточной орбиты. При исследовании возмущенного движения используется принцип Лагранжа, согласно которому движение возмущенного спутника происходит на орбите, элементы которой меняются со временем. Это означает, что в каждый момент времени возмущающая орбита совпадает с некоторой орбитой, имеющей радиус вектора r и вектор скорости V с ней. Такие орбиты называются осциллирующими (контактирующими) орбитами, а элементы орбит называются осциллирующими элементами.

Наибольшее беспокойство вызывают следующие факторы:

отклонение реального гравитационного поля Земли от созданного телом, имеющим форму шара с радиальным распределением плотностей;
Притяжение луны и солнца;
Устойчивость к атмосфере;
Легкое давление;
Лунно-солнечные приливы;
Влияние прецессии и нутации на земную ось;
Релятивистские эффекты и др.

Учет этих факторов необходим при значительном повышении точности теории измерительной техники.

Методы космической геодезии

Решение геодезических задач для наблюдений спутников

Существует два основных метода использования спутника в геодезии: геометрический и динамический.

В геометрическом методе построение пространственных геодезических сетей осуществляется с использованием синхронных (одновременных) спутниковых наблюдений от источника и определенных точек земной поверхности, для которых нет необходимости в точных знаниях законов движения спутника. Пусть векторы RA и RB определяют положение начальной (A) и определенной (B) точек наблюдения в земной системе координат (X, Y, Z) соответственно, а векторы сA и сB — в одной и той же координате. Система измеренных положений спутников (м) на орбите относительно точек наблюдения.

Следует, что если известны координаты одной точки, то вы можете рассчитать координаты второй в системе начальной точки, и вам не нужно знать теорию движения спутника.

Динамические методы космической геодезии позволяют определять координаты точек в абсолютной системе, относящиеся к центру масс, параметры гравитационного поля Земли, а также уточнять элементы орбиты спутника. Частным случаем динамического метода является орбитальный метод, когда только элементы орбиты и координаты точек наблюдения определяются совместно.

В общем, геоцентрический радиус-вектор r спутника представляет собой комплексную функцию элементов орбиты E, параметров гравитационного поля Земли G и времени t.

Если измеренные значения в общем случае можно считать вектором топоцентрического радиуса c, то его связь с геоцентрическим положением спутника r определяется известным выражением

Здесь R — вектор геоцентрического радиуса точки измерения на поверхности Земли; E0, G 0, R 0 — приблизительные значения соответствующих величин.

Методы наблюдения за спутниками

Методы наблюдения искусственных спутников Земли можно разделить на две группы: оптические и радиоэлектронные.

Оптические наблюдения включают визуальные, фотографические, фотоэлектрические и лазерные наблюдения. Точность визуальных наблюдений недостаточна для использования их в геодезических целях. Фотографические наблюдения спутников были широко распространены в 1960-1970 гг. В то же время наблюдения спутника были привязаны к временной шкале, и его положение на изображении было привязано к эталонным звездам в системе какого-то фундаментального каталога. Однако турбулентные процессы, происходящие в атмосфере, не позволяли нам получать направления из фотографических наблюдений с точностью, превышающей 0,4-1,5 дюйма, поэтому в оптическом диапазоне начали проводиться только измерения лазерного диапазона.

Измерения помех, доплеровских и радиодиапазонов относятся ко второй группе — радиоэлектронные.

Наибольшее распространение в геодезической практике от различных видов интерференционных систем получила радиоинтерферометрия большой дальности. Здесь в качестве радиоисточника используются космические радиоисточники — квазары — удаленные от Земли на сотни световых лет. Принцип их использования основан на том, что сигналы от квазаров на антенны радиотелескопов, расположенных на большом расстоянии друг от друга, поступают не одновременно, а с некоторой задержкой из-за разницы расстояний от базовых точек до квазар.

Положим d = c — разницу расстояний от базовых точек A и B до квазара; с — скорость распространения электромагнитных волн; D — базовая линия; — угол между базовой линией и направлением на квазар.

Уравнение представляет собой соотношение между измеренной величиной и координатами (DX, DY, DZ) точки B относительно точки A, прямого восхождения и склонения квазара. Следует отметить, что для радиоисточников (квазаров) ошибки в прямом восхождении составляют ± 0,00035 «, а в склонении — ± 0,00040».

В доплеровском методе измеряется разница между частотой, полученной на станции, и стандартом частоты. Таким образом, если передатчик на борту спутника излучает сигнал с частотой колебаний f, то наземный приемник будет регистрировать излучение с частотой f E.

Доплеровские системы позволяют получать радиальную составляющую скорости топоцентрического спутника с погрешностью не более 0,01 м / с.

При выполнении измерений радиодиапазона спутниковый импульсный приемопередатчик принимает модулированный по фазе сигнал, посылаемый наземной станцией. И он передает его как фазовую модуляцию с измененной несущей частотой. На наземной станции фазовый сдвиг модуляции измеряется фазовым измерителем, а расстояние рассчитывается по нему.

Класс измерений дальности включает спутниковое выравнивание. Спутниковое выравнивание (спутниковая альтиметрия) используется для: определения высоты геоида, получения информации о топографии океанов, определения (уточнения) положения центра масс Земли и в других случаях.

Метод выравнивания спутника заключается в определении расстояния от спутника до подстилающей поверхности (воды, суши) по измеренным временным различиям между моментами отправки и возврата вертикально направленного радиоимпульса.

Глобальные спутниковые системы позиционирования

Стремительное развитие космической геодезии стало возможным благодаря совершенствованию систем глобального позиционирования, которые могут эффективно решать традиционные и новые задачи геодезии. В начале 1980-х появились спутниковые радионавигационные системы (СРНС) — американские GPS и советские ГЛОНАС. Каждый из этих ARNS, когда он полностью развернут, состоит из 24 спутников, движущихся по почти круговым орбитам с высотой около 20000 км. Спутники GPS распределены в 6, а спутники ГЛОНАС.

x орбитальных плоскостей, развернутых на 60 ° и 120 ° в долготе восходящего узла и с наклоном орбиты 55 ° и 65 ° соответственно. Период обращения спутников составляет примерно 12 часов. Орбиты расположены таким образом, что в любой момент над любой точкой земной поверхности вы можете увидеть «созвездие», состоящее как минимум из четырех космических кораблей. На борту каждого спутника имеются: атомные стандарты частоты и времени; оборудование для передачи и приема радиосигналов; бортовые вычислительные средства, предназначенные для хранения и обработки данных, полученных от наземных центров управления и различного вспомогательного оборудования. Спутники непрерывно передают сигналы, содержащие информацию об их местоположении и точном времени, а также коды дальности, которые позволяют измерять расстояние.

Координаты пользователя СРНС определяются с использованием специальных спутниковых приемников. Каждый приемник может проводить измерения независимо от других приемников или синхронно с другими приемниками. В первом случае, называемом абсолютным методом, достигается точность однократного определения координат порядка 1-15 м. Более высокая точность может быть получена при одновременном наблюдении спутников несколькими приемниками. При этом методе измерения один из приемников обычно располагается в точке с известными координатами. Затем положение остальных приемников может быть определено относительно первого приемника с точностью до нескольких миллиметров. Этот метод называется относительным методом.

Методы измерений ГЛОНАС / GPS можно разделить на статические и кинематические. При статических измерениях все приемники неподвижны в точках. Продолжительность наблюдений составляет от пяти минут до нескольких часов и даже дней, в зависимости от требуемой точности и расстояния между точками. При кинематических измерениях один из приемников постоянно находится в исходной точке, а второй (мобильный) находится в движении. Точность кинематических наблюдений несколько ниже, чем в статике (обычно 2-3 см на линию до 10 км).

Основой для определения координат спутникового приемника является четырехлучевая линейная выемка. Роль опорных точек выполняют космические корабли (не менее 4), координаты которых известны в любое время. С помощью наземного и спутникового оборудования измеряются расстояния Si, A до спутника. Аналитическое решение состоит в том, чтобы решить систему уравнений

Роль спутниковых методов в геодезии

Первые искусственные спутники Земли использовались в геодезии только в качестве высоко поднятых прицельных целей. Развитие динамического метода космической геодезии, когда спутник стал носителем координат, позволило комплексно решать геодезические задачи — определять координаты станций наблюдения, параметры гравитационного поля Земли и гораздо более. В настоящее время фундаментальные геодезические константы, определяющие геодезическую систему отсчета, определяются с высокой точностью. Основные задачи координатно-временного обеспечения решаются с использованием современных быстроразвивающихся космических технологий: радиоинтерферометрия с удлиненной базой, лазерная локация AES, системы глобального позиционирования, доплеровские системы. Эти технологии используются для решения таких проблем, как: создание небесных и наземных систем координат координат; определение параметров ориентации этих систем — постоянный мониторинг вращательного движения Земли. Параметры ориентации Земли (POS) включают в себя координаты полюса, универсальное время, прецессию и нутацию. Служба вращения Земли Земля публикует данные RRP в отчетах, ежемесячных и еженедельных информационных бюллетенях.

Особая роль отводится космической геодезии в создании государственной геодезической сети. Строительство такой сети началось в 1999 году. Сеть, как и прежде, строится от общего к частному.

Включает в себя геодезические конструкции различных классов точности:

фундаментальная астрономическая и геодезическая сеть (ФАГС);
высокоточная геодезическая сеть (ВГС);
спутниковая геодезическая сеть 1-го класса (СГС-1);
астрономо-геодезический сит 1 и 2 класса;
геодезические сети сгущения классов 3 и 4.

Сеть FAGS создана с целью долгосрочного обслуживания высокоточной трехмерной геоцентрической системы координат и включает в себя: постоянно действующие точки и обсерватории для наблюдения за спутниками и другими космическими объектами; периодически определяемые точки, наблюдения в которых планируется повторять с интервалом не более 10 лет. Точки FAGS расположены на территории страны равномерно, расстояние между соседними точками составляет 650-1000 км. В точках FAGS измеряется абсолютное значение силы тяжести. Пространственное положение точек здесь определяется методами космической геодезии в геоцентрической системе координат. Среднеквадратичная ошибка определения положения центра масс Земли составляет 10-15 см, а среднеквадратичная ошибка взаимного положения точек FAGS должна составлять не более 2 см в плановом положении и 3 см в Высота с учетом скорости их изменения во времени.

Точки HCV основаны на точках FAGS и находятся на расстоянии 150-300 км друг от друга. Основными функциями ВГС являются дальнейшее расширение системы геоцентрической координат на всей территории России и уточнить параметры взаимной ориентации геоцентрической и опорных систем координат. Среднеквадратичная ошибка в определении планового положения точек ВГС не должна превышать 3 мм + 5 × 10-8 D (D — расстояние между точками в мм) и 5 мм + 7 × 10-8 D в зависимости от геодезической высоты.

Основной функцией SGS-1 является обеспечение оптимальных условий для реализации точности и эксплуатационных возможностей спутникового оборудования при переводе геодезического обеспечения территории России на спутниковые методы определения координат. Точки SGS-1 спроектированы в наиболее удобных местах для использования с хорошими условиями наблюдения, со средним расстоянием между соседними точками порядка 25-35 км. В то же время предполагается максимально возможное сочетание точек сети с существующими наземными контрольными точками, чтобы исключить дорогостоящие работы на центрах прокладки. Среднеквадратичная ошибка в определении положения точек GHS-1 относительно ближайших точек FAGS и GHS не должна превышать 1-2 см в районах с сейсмической активностью 7 или более точек и 2-3 см в остальной части страны.

Геодинамические исследования с использованием космической геодезии

С разработкой новых средств изучения фигуры Земли и ее гравитационного поля, кинематического аспекта геодезии — определения изменений положения точек земной поверхности и параметров гравитационного поля Земли во времени, становится все более важным. В науке о Земле появился новый раздел, лежащий на стыке геодезии, геофизики и астрономии, занимающийся проблемами изучения изменений пространственного положения точек и гравитационного поля Земли во времени и их интерпретаций, называется геодинамика.

Динамика Земли проявляется в движениях полюса и неравномерности его вращения. Допплеровские и лазерные наблюдения за спутниками, лазерная локация Луны и радиоинтерферометрия на больших расстояниях открывают новые возможности в изучении движения полюсов.

Для объективной интерпретации изменений в точках на поверхности Земли используются различные современные теории: тектоника плит, упругие деформации, приливы и вращения Земли и т. д.

Вывод:

В последние десятилетия благодаря значительному увеличению точности измерительной техники. Используемые для определения параметров движения спутника методы космической геодезии стали широко использоваться для изучения глобальных и региональных геодинамических процессов и движения Земли как планеты. Важнейшим вкладом космической геодезии в глобальную тектонику было подтверждение обоснованности движений литосферных плит. Движение крупных пластин довольно устойчиво на поверхности сфероида и происходит со средней скоростью 50 мм / год. Местные тектонические движения вблизи границ плит характеризуются большим вертикальным сдвигом.

Принципиальное различие между результатами, полученными из спутниковых наблюдений наземных гравиметрических и астрономических наблюдений, состоит в том, что они не связаны с вертикальной линией и не зависят от особенностей внутренней структуры Земли. Поэтому совместный анализ спутниковых наблюдений, гравиметрических и астрономических данных позволяет получать новые научные результаты и количественно определять механические деформации Земли.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.