Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Пересекающиеся окружности свойства и теоремыОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Пересекающиеся окружности свойства и теоремыСвойства хорд и дуг окружности
Пересекающиеся окружности свойства и теоремыТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Пересекающиеся окружности свойства и теоремыДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Пересекающиеся окружности свойства и теоремыТеорема о бабочке

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Видео:Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1Скачать

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьПересекающиеся окружности свойства и теоремы
КругПересекающиеся окружности свойства и теоремы
РадиусПересекающиеся окружности свойства и теоремы
ХордаПересекающиеся окружности свойства и теоремы
ДиаметрПересекающиеся окружности свойства и теоремы
КасательнаяПересекающиеся окружности свойства и теоремы
СекущаяПересекающиеся окружности свойства и теоремы
Окружность
Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругПересекающиеся окружности свойства и теоремы

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусПересекающиеся окружности свойства и теоремы

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаПересекающиеся окружности свойства и теоремы

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрПересекающиеся окружности свойства и теоремы

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяПересекающиеся окружности свойства и теоремы

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяПересекающиеся окружности свойства и теоремы

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеПересекающиеся окружности свойства и теоремыДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыПересекающиеся окружности свойства и теоремыЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныПересекающиеся окружности свойства и теоремыБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиПересекающиеся окружности свойства и теоремыУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыПересекающиеся окружности свойства и теоремыДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыПересекающиеся окружности свойства и теоремы

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыПересекающиеся окружности свойства и теоремы

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиПересекающиеся окружности свойства и теоремы

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныПересекающиеся окружности свойства и теоремы

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиПересекающиеся окружности свойства и теоремы

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыПересекающиеся окружности свойства и теоремы

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыПересекающиеся окружности свойства и теоремы
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиПересекающиеся окружности свойства и теоремы
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиПересекающиеся окружности свойства и теоремы
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаПересекающиеся окружности свойства и теоремы

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Пересекающиеся хорды
Пересекающиеся окружности свойства и теоремы
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Пересекающиеся окружности свойства и теоремы
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Пересекающиеся окружности свойства и теоремы
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Пересекающиеся окружности свойства и теоремы
Пересекающиеся хорды
Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Видео:Свойства касательной, секущей и пересекающихся хорд окружностиСкачать

Свойства касательной, секущей и пересекающихся хорд  окружности

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Тогда справедливо равенство

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Теорема о числе точек пересечения двух окружностейСкачать

Теорема о числе точек пересечения двух окружностей

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Основные теоремы, связанные с окружностями

Радикальная ось — прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей.
Линия центров окружностей — прямая, проходящая через центры двух окружностей.

Теорема 1.

1) Радикальная ось перпендикулярна линии центров окружностей.
2) Отрезки касательных, проведенных из любой точки радикальной оси к этим окружностям, равны.

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Доказательство:

1) Рассмотрим (triangle BMN) и (triangle AMN) : они равны по трем сторонам ( (BM=AM=R_1, BN=AN=R_2) — радиусы первой и второй окружностей соответственно). Таким образом, (angle BNM=angle ANM) , следовательно, (MN) — биссектриса в равнобедренном (triangle ANB) , следовательно, (MNperp AB) .

2) Отметим произвольную точку (O) на радикальной оси и проведем касательные (OK_1, OK_3) к первой окружности и (OK_2, OK_4) ко второй окружности. Т.к. квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то (OK_1^2=OK_2^2=OK_3^2=OK_4^2=OBcdot OA) .

Теорема 2.

Пусть две окружности с центрами (M) и (N) касаются внешним образом в точке (A) . Две общие касательные (внутренняя и внешняя) (a) и (b) этих окружностей пересекаются в точке (B) . Точки касания — точки (A, K_1, K_2) (как показано на рисунке). Тогда [(1) <large>] [(2) <large>]

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Доказательство:

1) Т.к. (BA) и (BK_1) — две касательные, проведенные к первой окружности из одной точки, то отрезки касательных равны: (BA=BK_1) . Аналогично, (BA=BK_2) . Таким образом, (BA=BK_1=BK_2) .

2) Значит, (BA) — медиана в (triangle K_1AK_2) , равная половине стороны, к которой она проведена. Значит, (angle A=90^circ) .

Теорема 3.

Пусть две окружности касаются внешним образом в точке (A) . Через точку (A) проведены две прямые (B_1B_2) и (C_1C_2) , пересекающие каждую окружность в двух точках, как показано на рисунке. Тогда: [(1) <large>] [(2) <large>]

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Доказательство:

1) Проведем через точку (A) общую касательную этих окружностей (OQ) . (angle OAC_2=angle QAC_1=alpha) как вертикальные. Т.к. угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то (angle OAC_2=frac12buildrelsmileover) , (angle QAC_1=frac12buildrelsmileover) . Следовательно, (buildrelsmileover=buildrelsmileover=2alpha) . Таким образом, (angle AB_1C_1=angle AB_2C_2=alpha) . Значит, по двум углам (triangle AB_1C_1sim triangle AB_2C_2) .

2) Т.к. (angle AB_1C_1=angle AB_2C_2) , то прямые (B_1C_1parallel B_2C_2) по накрест лежащим углам при секущей (B_1B_2) .

Теорема Птолемея

Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: [ACcdot BD=ABcdot CD+BCcdot AD]

Доказательство

Пусть для определенности (angle ABD . Проведем отрезок (BO) так, чтобы (O) лежала на (AC) и (angle ABD=angle CBO) :

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Т.к. (angle ACB=angle ADB) (опираются на одну и ту же дугу), то по двум углам (triangle OBCsim triangle ABD) . Значит: [dfrac=dfrac Rightarrow ADcdot BC=OCcdot BDphantom (1)]

Т.к. (angle BAC=angle BDC) (опираются на одну и ту же дугу), (angle ABO=angle CBD) (состоят из равных по построению (оранжевых) углов и общего угла (angle DBO) ), то по двум углам (triangle ABOsim triangle BDC) . Значит: [dfrac=dfrac Rightarrow ABcdot CD=AOcdot BD phantom (2)]

Сложим равенства ((1)) и ((2)) : (ADcdot BC+ABcdot CD=OCcdot BD+AOcdot BD=ACcdot BD) , чтд.

Формула Эйлера:

Пусть (R) — радиус описанной около треугольника (ABC) окружности, (r) — радиус вписанной окружности. Тогда расстояние (d) между центрами этих окружностей вычисляется по формуле: [<large>]
Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Доказательство:

а) Предположим, что (dne 0) . Пусть (O, Q) — центры описанной и вписанной окружности соответственно. Проведем диаметр описанной окружности (PS) через точку (Q) . Проведем также биссектрисы углов (angle A, angle B) — (AA_1, BB_1) соответственно (заметим, что они пересекутся в точке (Q) , т.к. центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис). Хорды (PS) и (BB_1) пересекаются, следовательно, отрезки этих хорд равны: (PQcdot QS=BQcdot QB_1) .

Т.к. (OP=OS=R, OQ=d) , то последнее равенство можно переписать в виде ((R-d)(R+d)=BQcdot QB_1 (*)) .

Заметим, что т.к. (AA_1, BB_1) — биссектрисы, то (buildrelsmileover=buildrelsmileover=x, buildrelsmileover=buildrelsmileover=y) . Т.к. угол между хордами равен полусумме дуг, заключенных между ними, то:
(angle AQB_1=frac12(x+y)) .

С другой стороны, (angle B_1AA_1=frac12big(buildrelsmileover+buildrelsmileoverbig)=frac12(x+y))

Таким образом, (angle AQB_1=angle B_1AA_1) . Следовательно, (triangle QB_1A) — равнобедренный и (B_1Q=B_1A) . Значит, равенство ((*)) можно переписать как:
(R^2-d^2=BQcdot AB_1 (**)) .

Проведем еще один диаметр описанной окружности (B_1B_2) . Тогда (triangle B_1AB_2) — прямоугольный ( (angle A) опирается на диаметр). Пусть также вписанная окружность касается стороны (AB) в точке (K) . Тогда (triangle BKQ) — прямоугольный.
Заметим также, что (angle KBQ=angle AB_2B_1) (т.к. они опираются на одну и ту же дугу).
Значит, (triangle B_1AB_2sim triangle BKQ) по двум углам, следовательно:

(dfrac=dfrac Rightarrow dfrac=dfrac Rightarrow BQcdot AB_1=2Rr) .

Подставим это в ((**)) и получим:

(R^2-d^2=2Rr Rightarrow d^2=R^2-2Rr) .

б) Если (d=0) , т.е. центры вписанной и описанной окружностей совпадают, то (AK=BK=sqrt Rightarrow AB=2sqrt) . Аналогично (AC=BC=AB=sqrt) , т.е. треугольник равносторонний. Следовательно, (angle A=60^circ Rightarrow angle KAO=30^circ Rightarrow r=frac12R Rightarrow R=2r) или (0=R^2-2Rr) (т.е. в этом случае формула также верна).

Теорема о бабочке:

Пусть через середину хорды (AB) — точку (O) , проведены две хорды (MN) и (KP) . Пусть (MPcap AB=X, KNcap AB=Y) . Тогда [<large>]

Пересекающиеся окружности свойства и теоремы

Доказательство:

Проведем перпендикуляры (XX_1, YY_2perp MN, XX_2, YY_1perp KP) .
Следующие углы равны, т.к. опираются на одну и ту же дугу: (angle PMO=angle NKO, angle MPO=angle KNO) .
Следующие углы равны, т.к. вертикальные: (angle XOX_1=angle YOY_2, angle XOX_2=angle YOY_1) .

Следующие прямоугольные треугольники подобны:

1) (triangle XX_1Osim triangle YY_2O Rightarrow dfrac=dfrac)

2) (triangle XX_2Osim triangle YY_1O Rightarrow dfrac=dfrac)

3) (triangle MXX_1sim triangle KYY_1 Rightarrow dfrac=dfrac)

4) (triangle PXX_2sim triangle NYY_2 Rightarrow dfrac=dfrac)

Из 1) и 2) следует, что

Из 3) и 4) следует, что

Совместив последние два равенства, получим:

Заметим, что для пересекающихся хорд (AB) и (MP) : (AXcdot XB=MXcdot PX) . Аналогично (AYcdot YB=KYcdot NY) . Значит:

Обозначим (OX=x, OY=y, OA=OB=t Rightarrow)

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Видео:Свойство хорд, пересекающихся внутри окружностиСкачать

Свойство хорд, пересекающихся внутри окружности

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Видео:Свойство пересекающихся хорд окружности. Геометрия 8-9 классСкачать

Свойство пересекающихся хорд окружности. Геометрия 8-9 класс

Длины и площади


  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

Видео:Секущая и касательная. 9 класс.Скачать

Секущая и касательная. 9 класс.

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    🎥 Видео

    Теорема о пересекающихся хордах. Доказательство.Скачать

    Теорема о пересекающихся хордах. Доказательство.

    Задание 24 Две пересекающиеся окружностиСкачать

    Задание 24 Две пересекающиеся окружности

    Пересекающиеся хорды окружности. Решишь задачу?Скачать

    Пересекающиеся хорды окружности. Решишь задачу?

    8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

    8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

    Теоремы о хордах, касательной и секущей окружностиСкачать

    Теоремы о хордах, касательной и секущей окружности

    11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать

    11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью

    теорема об отрезках пересекающихся хорд и еще несколько свойств окружностиСкачать

    теорема об отрезках пересекающихся хорд и еще несколько свойств окружности

    Свойства хорд окружностиСкачать

    Свойства хорд окружности

    Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.Скачать

    Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.
    Поделиться или сохранить к себе: