Уравнение окружности отрицательный радиус

Уравнение окружности.

Окружностью принято обозначать множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра.

В формулировке окружности упоминается расстояние между точкой окружности и центром.

Формула расстояния между двумя точками М11; у1) и М22; у2) имеет вид:

Уравнение окружности отрицательный радиус,

Уравнение окружности отрицательный радиус

Применив формулу и формулировку окружности, получаем уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r.

Уравнение окружности отрицательный радиус

Отметим произвольную точку М(х; у) на этой окружности.

Уравнение окружности отрицательный радиус.

Предположим, что М принадлежит окружности с центром С и радиусом r, то МС = r.

Следовательно, МС 2 = r 2 и координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности (х – х0 ) 2 +(у – у0 ) 2 = r 2 .

Из выше изложенного делаем вывод, что уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r имеет вид:

В случае когда центр окружности совпадает с началом координат, то получаем частный случай уравнения окружности с центром в точке О (0;0):

Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

9 класс, 6 урок, Уравнение окружности

Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение окружности

п.1. Понятие уравнения с двумя переменными

Мы уже знакомы со многими функциями и умеем их записывать в виде формул:
y = 2x + 5 – прямая, y = 5x 2 + 2x – 1 – парабола, (mathrm) – гипербола.

Если записать такое выражение: x 2 (x + y) = 1 – y – в нём тоже есть две переменные x и y, и постоянная 1.

Для наших примеров:
F(x; y) = 2x – y + 5 = 0 – прямая
F(x; y) = 5x 2 + 2x – y – 1 = 0 – парабола
F(x; y) = (mathrm) – y = 0 – гипербола
F(x; y)=x 2 (x + y) + y – 1 = 0 – некоторая кривая (график — ниже).

Уравнение окружности отрицательный радиус

п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения

Пусть F(x; y) = 0 – исходный график некоторой функции

Симметричное отображение относительно оси OY

Симметричное отображение относительно оси OX

Центральная симметрия относительно начала координат

Параллельный перенос графика на a единиц вправо

Параллельный перенос графика на a единиц влево

Параллельный перенос графика на b единиц вниз

Параллельный перенос графика на b единиц вверх

Сжатие графика к оси OY в a раз

Сжатие графика к оси OX в b раз

F(x; by) = 0
0 Например:

Уравнение окружности отрицательный радиус

Окружность с центром в точке O(2; 1) и радиусом R = 3 задаётся уравнением: $$ mathrm $$

п.4. Примеры

Пример 1. Постройте график уравнения:
а) 2x + 7y – 14 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm<y=frac=-frac + 2 > ) – это прямая

Уравнение окружности отрицательный радиус

б) xy + 4 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm<y=frac> ) – это гипербола

Уравнение окружности отрицательный радиус

в) ( x+ 2) 2 + y 2 = 4
Это – уравнение окружности с центром O(–2; 0), радиусом ( mathrm<R=sqrt=2> )

Уравнение окружности отрицательный радиус

г) x 2 + 5y – 2 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm<y=frac> ) – это парабола

Уравнение окружности отрицательный радиус

Пример 2*. Постройте график уравнения:
а) 2|x| + 5y = 10
( mathrm<y=frac=-frac25|x|+2> )
Строим график для ( mathrm ), а затем отражаем его относительно оси OY в левую полуплоскость.

Уравнение окружности отрицательный радиус

б) 3x + |y| = 6
|y| = –3x + 6
Строим график для y > 0: y = –3x + 6, а затем отражаем его относительно оси OX в нижнюю полуплоскость.

Уравнение окружности отрицательный радиус

в) |x| + |y| = 2
|y| = –|x| + 2
Строим график для x > 0, y > 0: y = –x + 2, а затем отражаем его относительно осей OX и OY.

Уравнение окружности отрицательный радиус

г) |x – 1| + |y – 2| = 4
Получим тот же ромб (квадрат), что и в (в), но его центр будет перенесен из начала координат в точку O(1; 2).

Уравнение окружности отрицательный радиус

д) (mathrm<frac+2|y-2|=4>)
Ромб по x растянется в 2 раза по диагонали, а по y – сожмётся в 2 раза по диагонали.

Уравнение окружности отрицательный радиус

Пример 3. Постройте график уравнения:
а) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 4 = 0
Выделим полные квадраты:
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 – 6y + 9) – 9 = 0
(x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 3 2 – уравнение окружности с центром (–2; 3), радиусом 3.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Окружность — модель устройства мира

Число Пи ( π ) и Золотая пропорция (φ) связаны абсолютными тождествами (см. Тождественность числа Пи и Золотой пропорции):

При этом 2* π = 360° — это окружность.

Число Пи (выраженное в градусах) — угловая величина и Золотая пропорция – линейная величина, являются различными математическими выражениями одного и того же закона Мироздания, суть которого — целостность и гармоничность мира.

2) Золотая пропорция и уравнение окружности

Золотая пропорция, есть частный случай уравнения окружности x 2 + y 2 = r 2 , при r = 1, а x = y 2 , где x = y 2 – это уравнение параболы (см. Тождественность числа Пи и Золотой пропорции).

Если есть два параметра, числа или явления, связанные между собой Золотой пропорцией, то это говорит о том, что есть также уравнение окружности, включающее в себя эти параметры, т.е. всё, что гармонично, явно или неявно связано функционально через окружность.

3) Теорема Пифагора и окружность

Уравнение окружности задано уравнением x 2 + y 2 = r 2 :

Уравнение окружности отрицательный радиус

Рассмотрим треугольник ABC:

Т.к. величина ВС равна значению x для точки A, и величина AC равна значению y для точки A, при этом радиус окружности г равен AB, то уравнение окружности x 2 + y 2 = r 2 можно записать в виде:

(ВС) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

А это ничто иное, как уравнение прямоугольного треугольника ABC, с катетами AC, ВС, и гипотенузой AB (Теорема Пифагора).

График взаимосвязи параметров x и y, представляет собой, множество всех точек A прямоугольного треугольника ABC, при изменяемых величинах катетов AC, ВС и постоянной величине гипотенузы AB ( r = const ).

4) Окружность и энергия

Число π в угловых единицах измерения — это 180°, и это — ровно половина окружности. Если угол, соответствующий полной окружности — 2 π , обозначить любой другой буквой, например П (П= 2 π = 360°), то уравнение площади круга запишется в виде:

а уравнение периметра окружности запишется в виде:

Сравните полученные формулы с формулой кинетической энергии тела:

и формулой импульса тела:

Не означает ли это принципиальную связь массы тела с числом Пи? Сопоставляя формулы (например, импульса и длины окружности), из размерностей величин входящих в них, можно увидеть, что отношение массы ко времени будет иметь тот же математический смысл, что и число Пи.

p = mV = ml/t, где l — длина, имеющая ту же размерность, что и радиус окружности [м], а t — время [c].

5) Синус, косинус и уравнение окружности

Уравнение окружности отрицательный радиус

Так как у = sin(a), а x = cos(a), то уравнение окружности с единичным радиусом x 2 + y 2 = 1, можно записать, как:

В этом случае уравнение окружности будет отражать зависимость не от двух параметров х от y, а только от одного — угла a:

Уравнение окружности отрицательный радиус

Можно перечислить всё, что, так или иначе, связано с окружностью:

  • Окружность — это геометрическая фигура.
  • Окружность — это траектория движения, орбита.
  • Окружность — это цикличность всех процессов происходящих в мире.
  • Прямая линия, это крайний случай дуги окружности с бесконечным радиусом. Так как этот случай один из бесконечного числа вариантов, и окружность с бесконечным радиусов в пределах нашей, конечной по размерам, Вселенной существовать не может, то можно утверждать, что в мире нет прямых линий, также, как и нет прямолинейного движения.
  • Уравнение окружности можно представить в виде уравнений синуса и косинуса, поэтому все процессы с параметрами, изменяющиемися, как функция синуса или косинуса (а это — электромагнитные излучения, свет, звук, тепловое излучение, радиоволны, рентгеновское излучение и т.д. и т.п.), т.е. все или почти все процессы во Вселенной, являются частью процессов, изменяющихся по уравнению окружности.
  • Уравнение, связывающее катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника (Теорема Пифагора), есть ни что иное, как уравнение окружности в том виде, что гипотенуза — это радиус окружности, а катеты — это проекции радиуса окружности (гипотенузы) на координатные оси.
  • Уравнение окружности включает в себе Золотую пропорцию (как частный случай уравнения окружности), и это позволяет связать музыкальную и эстетическую гармонию, а также целостность Вселенной, с окружностью.
  • Косвенно, на связь с уравнением окружности указывает подобие формул кинетической энергии, импульса тела и формул площади круга и длины окружности.
  • Окружность в виде сферы – самая распространенная форма во Вселенной. Из всех возможных тел, при условии равенства их объёмов, только сфера имеет самую маленькую площадь поверхности.

И это конечно же, далеко не весь список.

Если человечество когда-либо найдёт универсальное математическое описание всему, что происходит в мире, то нет никаких сомнений, что этим описанием будет формула окружности.

📽️ Видео

начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать

начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.

№969. Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если: а) М (-3; 5),Скачать

№969. Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если: а) М (-3; 5),

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИСкачать

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ

№966. Напишите уравнение окружности радиуса r с центром А, если: а) А(0;5), r= 3; б) А(-1;2), r = 2Скачать

№966. Напишите уравнение окружности радиуса r с центром А, если: а) А(0;5), r= 3; б) А(-1;2), r = 2

№967. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку В (-1; 3).Скачать

№967. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку В (-1; 3).

Найти центр и радиус окружностиСкачать

Найти центр и радиус окружности

Уравнение окружности ? Окружность в системе координат / Функция окружностиСкачать

Уравнение окружности ? Окружность в системе координат / Функция окружности

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ 8 и 9 класс геометрияСкачать

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ 8 и 9 класс геометрия

№968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).Скачать

№968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямой

№970. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А (1; 3), если известноСкачать

№970. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А (1; 3), если известно

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ | 9 класс Алимов | задачи 447 455Скачать

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ | 9 класс Алимов | задачи 447 455

Составить уравнение окружности. Геометрия. Задачи по рисункам.Скачать

Составить уравнение окружности. Геометрия. Задачи по рисункам.

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Уравнение окружности. Видеоурок 7. Геометрия 9 классСкачать

Уравнение окружности. Видеоурок 7. Геометрия 9 класс

ПРОСТОЙ СЕКРЕТ ДЛЯ НАЧИНАЮЩИХ! Реши алгебру за 12 минут — Уравнение ОкружностиСкачать

ПРОСТОЙ СЕКРЕТ ДЛЯ НАЧИНАЮЩИХ! Реши алгебру за 12 минут — Уравнение Окружности

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Уравнение окружности | Геометрия 7-9 класс #90| ИнфоурокСкачать

Уравнение окружности | Геометрия 7-9 класс #90| Инфоурок
Поделиться или сохранить к себе: