Найти площадь четырехугольника ограниченного прямыми (4 видео)

Найти площадь четырехугольника ограниченного прямыми

Точка M — середина стороны AD параллелограмма ABCD . Из вершины A проведены два луча, которые разбивают отрезок BM на три равные части.

а) Докажите, что один из лучей содержит диагональ параллелограмма.

б) Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного двумя проведёнными лучами и прямыми BD и BC , если площадь параллелограмма ABCD равна 40.

а) Обозначим точки пересечения лучей с отрезком BM — буквами P и R (см. рисунок), и пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма, а N — точка пересечения луча AP и прямой BC.

Точка R делит медиану BM треугольника ABD в отношении 2 :1 считая от B. Следовательно, R лежит на медиане AO этого треугольника, то есть луч AR содержит диагональ AC .

б) Пусть L — точка пересечения AN и BD. Нужно найти площадь четырёхугольника LNCO. Пусть площадь параллелограмма равна S . Площадь треугольника BOC равна Найдём площадь треугольника BNL . Из подобия треугольников BPN и MPA следует, что

Теперь из подобия треугольников BNL и DAL следует, что их соответствующие высоты относятся как 1:4 , а поэтому высота треугольника BNL, проведённая к BN, составляет высоты параллелограмма, проведённой к стороне BC.

Следовательно, площадь четырёхугольника LNCO равна

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Содержание Найти площадь четырехугольника . Формулы вычисления площади произвольного четырёхугольника Определения и соглашения Нахождение площади четырёхугольника различными способами и методами Заключение Видео Видео Видео:Задача с канала PreMath — попробуй найти площадь четырехугольникаСкачать Найти площадь четырехугольника . найти площадь четырехугольника ограниченного прямыми 2х + 3у=12; 2х+3у=6 и осями координат Первая прямая отсекает на коорд. осях отрезки dx1=6 dy1=4; S1=dx1dy1/2;=12 вторая прямая: dx2=3; dy2=2; S2=dx2dy2/2=3. Площадь четырехугольника S=S1-S2=12-3=9 Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать Формулы вычисления площади произвольного четырёхугольника В школьных математических заданиях часто требуется определить площадь четырёхугольника. Все довольно просто, если задан частный случай фигуры — квадрат, ромб, прямоугольник, трапеция, параллелограмм, ромбоид. В случае же произвольного четырёхугольника все несколько сложнее, но также вполне доступно для среднего школьника. Ниже мы изучим различные методы расчётов площади произвольных четырёхугольников, запишем формулы и рассмотрим различные вспомогательные примеры. Видео:Площадь четырехугольникаСкачать Определения и соглашения В приведённой ниже таблице будут указаны определения и договорённости, которые будут использоваться в дальнейшем во время наших рассуждений. Четырёхугольник — это фигура из четырёх точек (вершин), из которых любые три не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон) последовательно их соединяющих. Диагональ — отрезок, соединяющий вершины многоугольника не лежащие на одной стороне (её обозначение – латинская буква d). Площадь фигуры — это численное значение территории, заключённой внутри многоугольника (её обозначение – латинская буква S). Синус угла — это число равное отношению противоположного катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. (её обозначение – запись sin). Косинус угла — это число равное отношению прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. В дальнейшем в статье для его обозначения будем использовать латинскую запись cos. Описанная окружность — это окружность, которой принадлежат все вершины многоугольника ( её радиуса обозается буквой R). Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. В дальнейшем в статье для обозначения её радиуса будем использовать латинскую букву r. Угол между сторонами a и b будем обозначать следующей записью (a,b). Видео:Найдите площадь четырёхугольникаСкачать Нахождение площади четырёхугольника различными способами и методами Узнаем как найти площадь четырёхугольника когда даны его диагонали и образуемый при их пересечении острый угол. Тогда площадь четырёхугольника будет вычисляться по формуле: S = 1/2d1d2sin(d1,d2). Рассмотрим пример. Пусть d1 = 15 сантиметров, d2 = 12 сантиметров, и угол между ними 30 градусов. Определим S. S = 1/21512sin30 = 1/215121/2 = 45 сантиметров квадратных. Теперь пусть даны стороны и противолежащие углы четырёхугольника. Пусть a, b, c, d известные стороны многоугольника; p — его полупериметр. Корень квадратный выражения условимся обозначать как rad (от латинского radical). Формула площади четырёхугольника будет находиться по формуле: S = rad(( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) − a b c d ⋅ c o s^2( (a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2(a + b + c + d). На первый взгляд, формула кажется очень сложной и вычурной. Однако ничего сложного здесь нет, что мы и докажем, рассмотрев пример. Пусть данные нашего условия следующие: a = 18 миллиметров, b = 23 миллиметра, c = 22 миллиметра, d = 17 миллиметров. Противолежащие углы будут равны (a,b) = 0,5 градуса и (c,d) = 1,5 градуса. Для начала находим полупериметр: p = 1/2(18 + 23 + 22 + 17) = 1/280 = 40 миллиметров. Теперь найдём квадрат косинуса полусуммы противолежащих углов: c o s^2( (a,b) + (c,d))/2) = c o s^2(0,5 + 1,5)/2 = c o s1c o s1 = (1/2)(1/2) = 0,9996. Подставим полученные данные в нашу формулу, получим: S = rad((40 — 18)(40 — 23)(40 — 22)(40 — 17) — 182322170,97) = rad(22171823 — 182322171/4) = rad((22171823(1 — 0,9996)) = rad(1548360,0004) = rad62 = 7,875 миллиметра квадратного. Разберёмся как находить площадь с помощью вписанной и описанной окружностей. При решении задач данной темы имеет смысл сопровождать свои действия вспомогательным рисунком, хотя это требование и не является обязательным. Если есть вписанная окружность и нужно найти площадь четырёхугольника формула имеет вид: Снова возьмём на рассмотрение пример: a = 16 метров, b = 30 метров, c = 28 метров, d = 14 метров, r = 6 метров. Подставим аши значения в формулу, получим: S = ((16 +30 + 28 + 14)/2)6 = 446 = 264 метров квадратных. Теперь займёмся вариантом когда окружность описана вокруг четырёхугольника. Здесь мы сможем воспользоваться следующей формулой: S = rad((p − a )( p − b )( p − c )( p − d ), где p равно половине длины периметра. Пускай в нашем случае стороны имеют следующие значения a = 26 дециметров, b = 35 дециметров, c = 39 дециметров, d = 30 дециметров. Первым делом определим полупериметр, p = (26 + 35 + 39 + 30)/2 = 65 дециметров. Подставим найденное значение в нашу формулу. Получим: S = rad((65 — 26)(65 — 35)(65 — 39)(65 — 30)) = rad(39302635) = 1032 (округлённо) дециметров квадратных. Видео:Найти площадь четырехугольника!Скачать Заключение Внимательно изучив все вышеизложенное, можно сделать вывод — определение площади произвольного четырёхугольника с разными сторонами сложнее, чем у них же специальных видов — квадрата, прямоугольника, ромба, трапеции, параллелограмма. Однако внимательно изучив все приведённые методы, можно с лёгкостью решать задачи необходимые для школьников. Сведём все наши формулы в одну таблицу: *S = 1/2d1d2sin(d1,d2); S = rad(( p − a )( p − b )( p − c )( p − d ) − abcdc o s^2( (a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2(a + b + c + d); S = ((a + b+ c + d)/2)r* *S = rad((p − a )( p − b )( p − c )( p − d ), где p равно половине периметра. Таким образом**, реально сложной является только формула номер 2, но и она вполне доступна, при условии хорошего понимания данных в статье определений и соглашений. Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс \| МатематикаСкачать Видео Разобраться в этой теме вам поможет видео. 📸 Видео Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭСкачать Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс \| МатематикаСкачать Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать Олимпиадная математика ➜ Найдите площадь четырёхугольника на рисункеСкачать Вирусная задача ★ Найдите угол на рисунке ★ Три способа решенияСкачать Вирусная задача. Найти площадь четырёхугольника.Скачать ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать Почти никто не решил ★ Красивая геометрия ★ Найдите площадь четырехугольника на рисункеСкачать Найти площадь 4-ка УСТНО!Скачать Найдите площадь четырехугольника на рисункеСкачать Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать Геометрия Как найти площадь четырехугольника, если нет формулыСкачать №481. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 смСкачать Поделиться или сохранить к себе: Search for: Треугольник Как посчитать стороны равнобедренного треугольника 1313 Четырехугольники Чему равна площадь неравностороннего четырехугольника 1314 Вектор Заданы два вектора такие что a 5 b 3 а угол между ними 45 1313 Прямые Прямая у 5х 6 параллельна касательной к графику функции х2 8х 7 найдите абсциссу точки 1313 Окружность Как написать дано окружность 1313 Смотрите также Является ли четырехугольник прямоугольником если все его углы равны все его стороны равны Является ли четырехугольник параллелограммом если сумма его соседних углов равна 180 градусам Является ли четырехугольник параллелограммом если сумма его соседних углов равна 180 degree180 Является ли четырехугольник параллелограммом если его противоположные углы равны да или нет Чья комната походила как будто на сарай имела неправильный вид четырехугольника Что можно сказать о четырехугольнике если серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке Четырехугольники авсд и дсеф имеют общую сторону сд точки а д ф Четырехугольник является правильным если все его стороны равны и один из углов О сайте \| \| © 2024 Курс школьной геометрии.

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Содержание

Найти площадь четырехугольника .
Формулы вычисления площади произвольного четырёхугольника
Определения и соглашения
Нахождение площади четырёхугольника различными способами и методами
Заключение
Видео
Видео

Видео:Задача с канала PreMath — попробуй найти площадь четырехугольникаСкачать

Найти площадь четырехугольника .

найти площадь четырехугольника ограниченного прямыми 2х + 3у=12; 2х+3у=6 и осями координат

Первая прямая отсекает на коорд. осях отрезки dx1=6 dy1=4; S1=dx1*dy1/2;=12 вторая прямая: dx2=3; dy2=2; S2=dx2*dy2/2=3. Площадь четырехугольника S=S1-S2=12-3=9

Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Формулы вычисления площади произвольного четырёхугольника

В школьных математических заданиях часто требуется определить площадь четырёхугольника. Все довольно просто, если задан частный случай фигуры — квадрат, ромб, прямоугольник, трапеция, параллелограмм, ромбоид. В случае же произвольного четырёхугольника все несколько сложнее, но также вполне доступно для среднего школьника. Ниже мы изучим различные методы расчётов площади произвольных четырёхугольников, запишем формулы и рассмотрим различные вспомогательные примеры.

Видео:Площадь четырехугольникаСкачать

Определения и соглашения

В приведённой ниже таблице будут указаны определения и договорённости, которые будут использоваться в дальнейшем во время наших рассуждений.

Четырёхугольник — это фигура из четырёх точек (вершин), из которых любые три не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон) последовательно их соединяющих.
Диагональ — отрезок, соединяющий вершины многоугольника не лежащие на одной стороне (её обозначение – латинская буква d).
Площадь фигуры — это численное значение территории, заключённой внутри многоугольника (её обозначение – латинская буква S).
Синус угла — это число равное отношению противоположного катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. (её обозначение – запись sin).
Косинус угла — это число равное отношению прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. В дальнейшем в статье для его обозначения будем использовать латинскую запись cos.
Описанная окружность — это окружность, которой принадлежат все вершины многоугольника ( её радиуса обозается буквой R).
Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. В дальнейшем в статье для обозначения её радиуса будем использовать латинскую букву r.
Угол между сторонами a и b будем обозначать следующей записью (a,b).

Видео:Найдите площадь четырёхугольникаСкачать

Нахождение площади четырёхугольника различными способами и методами

Узнаем как найти площадь четырёхугольника когда даны его диагонали и образуемый при их пересечении острый угол. Тогда площадь четырёхугольника будет вычисляться по формуле: S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2).

Рассмотрим пример. Пусть d1 = 15 сантиметров, d2 = 12 сантиметров, и угол между ними 30 градусов. Определим S. S = 1/2*15*12*sin30 = 1/2*15*12*1/2 = 45 сантиметров квадратных.

Теперь пусть даны стороны и противолежащие углы четырёхугольника.

Пусть a, b, c, d известные стороны многоугольника; p — его полупериметр. Корень квадратный выражения условимся обозначать как rad (от латинского radical). Формула площади четырёхугольника будет находиться по формуле: S = rad(( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) − a b c d ⋅ c o s^2( (a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2*(a + b + c + d).

На первый взгляд, формула кажется очень сложной и вычурной. Однако ничего сложного здесь нет, что мы и докажем, рассмотрев пример. Пусть данные нашего условия следующие: a = 18 миллиметров, b = 23 миллиметра, c = 22 миллиметра, d = 17 миллиметров. Противолежащие углы будут равны (a,b) = 0,5 градуса и (c,d) = 1,5 градуса. Для начала находим полупериметр: p = 1/2*(18 + 23 + 22 + 17) = 1/2*80 = 40 миллиметров.

Теперь найдём квадрат косинуса полусуммы противолежащих углов: c o s^2( (a,b) + (c,d))/2) = c o s^2(0,5 + 1,5)/2 = c o s1*c o s1 = (1/2)*(1/2) = 0,9996.

Подставим полученные данные в нашу формулу, получим: S = rad((40 — 18)*(40 — 23)*(40 — 22)*(40 — 17) — 18*23*22*17*0,97) = rad(22*17*18*23 — 18*23*22*17*1/4) = rad((22*17*18*23*(1 — 0,9996)) = rad(154836*0,0004) = rad62 = 7,875 миллиметра квадратного.

Разберёмся как находить площадь с помощью вписанной и описанной окружностей. При решении задач данной темы имеет смысл сопровождать свои действия вспомогательным рисунком, хотя это требование и не является обязательным.

Если есть вписанная окружность и нужно найти площадь четырёхугольника формула имеет вид:

Снова возьмём на рассмотрение пример: a = 16 метров, b = 30 метров, c = 28 метров, d = 14 метров, r = 6 метров. Подставим аши значения в формулу, получим:

S = ((16 +30 + 28 + 14)/2)*6 = 44*6 = 264 метров квадратных.

Теперь займёмся вариантом когда окружность описана вокруг четырёхугольника. Здесь мы сможем воспользоваться следующей формулой:

S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине длины периметра. Пускай в нашем случае стороны имеют следующие значения a = 26 дециметров, b = 35 дециметров, c = 39 дециметров, d = 30 дециметров.

Первым делом определим полупериметр, p = (26 + 35 + 39 + 30)/2 = 65 дециметров. Подставим найденное значение в нашу формулу. Получим:

S = rad((65 — 26)*(65 — 35)*(65 — 39)*(65 — 30)) = rad(39*30*26*35) = 1032 (округлённо) дециметров квадратных.

Видео:Найти площадь четырехугольника!Скачать

Заключение

Внимательно изучив все вышеизложенное, можно сделать вывод — определение площади произвольного четырёхугольника с разными сторонами сложнее, чем у них же специальных видов — квадрата, прямоугольника, ромба, трапеции, параллелограмма. Однако внимательно изучив все приведённые методы, можно с лёгкостью решать задачи необходимые для школьников. Сведём все наши формулы в одну таблицу:

S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2);
S = rad(( p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ) − a*b*c*d*c o s^2( (a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2*(a + b + c + d);
S = ((a + b+ c + d)/2)*r

S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине периметра.

Таким образом, реально сложной является только формула номер 2, но и она вполне доступна, при условии хорошего понимания данных в статье определений и соглашений.

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать