Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Содержание
  1. Определение расстояния между двумя параллельными прямыми
  2. Определение расстояния от прямой общего положения до параллельной ей плоскости
  3. Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами
  4. Решение метрических задач методами преобразовании проекций
  5. Четыре основных задачи преобразовании проекций
  6. Способ вращения
  7. Способ плоскопараллельного перемещения
  8. Способ замены плоскостей проекций
  9. Способ плоскопараллельного перемещения
  10. Способ замены плоскостей проекций
  11. Метрические задачи
  12. Определение расстояний между геометрическими объектами
  13. Перпендикулярность плоскостей
  14. Определение углов между прямой и плоскостью и между двумя плоскостями
  15. Примеры метрических задач
  16. Теорема о проекциях прямого угла
  17. Линии наибольшего наклона плоскости
  18. Перпендикулярность прямой и плоскости
  19. Взаимная перпендикулярность плоскостей
  20. Определение метрических задач
  21. Определение длины отрезка
  22. Определение площади треугольника
  23. Проецирование прямого угла
  24. Перпендикулярность прямых и плоскостей
  25. Перпендикулярность прямой и плоскости
  26. Расстояние от точки до плоскости
  27. Перпендикулярность плоскостей
  28. Определение натуральных величин геометрических элементов
  29. Определение расстояния между геометрическими элементами (образами)
  30. Определение углов наклона геометрических элементов к плоскостям проекций H и V
  31. Расстояние между двумя параллельными прямыми: определение и примеры нахождения
  32. Расстояние между двумя параллельными прямыми: определение
  33. Нахождение расстояния между параллельными прямыми
  34. 📺 Видео

Видео:Определение расстояние между параллельными прямыми (Способ замены плоскостей проекции).Скачать

Определение расстояние между параллельными прямыми (Способ замены плоскостей проекции).

Определение расстояния между двумя параллельными прямыми

Задача решается способом двойной замены плоскостей проекций. На заключительном этапе одна из плоскостей проекций должна быть перпендикулярной к одной из скрещивающихся прямых. Тогда кратчайшее расстояние между ними определяется величиной отрезка перпендикуляра к другой скрещивающейся прямой (рис. 199).

Первая замена плоскостей проекций Пх/Т.2 на новую Ylx/Y4 преобразует прямую общего положения АВ в прямую уровня и отрезок А4В4 || П4. Последующая замена плоскостей проекций П]/П4на П45 преобразует прямую уровня в проецирующую прямую, которая на П5 вырождается в точку А5 = В5. Искомая проекция M5N5 от а2

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

резка MN перпендикулярна C5D5 и изображается в натуральную величину. С помощью проекционных линий связи производят построения отрезка MN на других плоскостях проекций. Следует помнить, что проекция искомого отрезка M4N4 на плоскости П4 перпендикулярна линиям связи, так как отрезок MN в системе плоскостей проекций П45 является прямой уровня и перпендикулярен к прямой АВ.

Видео:19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми

Определение расстояния от прямой общего положения до параллельной ей плоскости

Прямая / параллельна заданной плоскости ААВС, так как ее проекции параллельны проекциям прямой т, принадлежащей плоскости /t || тх, /21| т2 (рис. 200): Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

С помощью замены плоскостей проекций преобразуем плоскость общего положения (ААВС) в проецирующую плоскость, тогда расстояние от прямой общего положения / до параллельной ей плоскости (АЛВС) определится длиной перпендикуляра MN, проведенного через произвольную точку М прямой к плоскости ААВС.

Видео:Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекции

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

К метрическим задачам относятся задачи на определение натуральной величины отрезков, расстояний углов, площадей плоских фигур.

Определение натуральной величины отрезка и углов наклона к плоскостям проекций методом прямоугольною треугольника Натуральная величина отрезка равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка, а вторым — разность расстояний концов отрезка от той плоскости, на которой ведется построение. При этом угол между гипотенузой и катетом проекций является углом наклона отрезка к той плоскости, ряльной величины выполнено на горизонтальной проекции. Поэтому одним катетом прямоугольного треугольника, является горизонтальная проекцияОпределить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Если необходимо определить угол наклона отрезка АВ к плоскости Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхто построение прямоугольного треугольника ведется на фронтальной проекции.

Видео:Расстояние между параллельными прямымиСкачать

Расстояние между параллельными прямыми

Решение метрических задач методами преобразовании проекций

Положении геометрических образов, при которых расстоянии и углы не искажаются на плоскостях проекций

Метрические характеристики объектов на чертежах не искажаются, если геометрические образы занимают частное положение относительно плоскостей проекций.

Приведем некоторые из них.

1. Прямая проецируется в натуральную величину, если она параллельна плоскости проекций (рисунок 3.2).

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях— угол наклона к плоскостиОпределить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

2. Расстояние от точки до прямой проецируется в натуральную величину, если прямая проецирующая (рисунок 3.3).

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

3. Расстояние между параллельными прямыми проецируется в натуральную величину, если прямые проецирующие (рисунок 3.4).

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

4. Расстояние между скрещивающимися прямыми проецируется в натуральную величину, если одна из прямых проецирующая (рисунок 3.5).

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

5. Угол между плоскостями (двугранный угол) проецируется в натуральную величину, если ребро угла проецирующее (рисунок 3.6).

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

6. Угол наклона плоскости к плоскости проекций проецируется в натуральную величину, если плоскость проецирующая (рисунок 3.7) Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

7. Расстояние от точки до плоскости проецируется в натуральную величину, если плоскость проецирующая (рисунок 3.8)

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

8. Любая плоская фигура проецируется в натуральную величину, если она параллельна плоскости проекций (рисунок 3.9а,б)

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Таким образом, для решения метрических задач целесообразно данный объект привести в частное положение с тем, чтобы на одной из новых проекций получить более простое решение задачи.

Для такого перехода и служат способы преобразования проекций.

Существует несколько способов преобразовании проекций: способ вращения вокруг осей перпендикулярных плоскостям проекций, способ плоскопараллельного перемещения, способ замены плоскостей проекций и др.

Четыре основных задачи преобразовании проекций

Этими способами решаются четыре основные задачи:

  • Задача 1. Прямую общего положения преобразуем в линию уровня (одно преобразование).
  • Задача 2. Прямую общего положения преобразуем в проецирующую (два преобразования)
  • Задача 3. Плоскость общего положения преобразуем в проецирующую (одно преобразование)
  • Задача 4. Плоскость общего положения преобразуем в плоскость уровня (два преобразования)

Решение 1-ой и 2-ой задачи преобразовании проекций методом вращении, плоскопараллельного перемещении и замены плоскостей проекций

Способ вращения

Способ вращения заключается в том, что геометрические образы вращаются вокруг осей перпендикулярных плоскостям проекций до занятия ими какого-либо частного положения относительно плоскостей проекций. При этом одна проекция точки перемещается по окружности, вторая — но прямой параллельной оси проекций.

На рисунке 3.10 вокруг осиОпределить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхвращаем отрезок ЛВ до положения параллельного плоскостиОпределить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях(1 задача). Далее вращением вокруг осиОпределить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхполученный отрезок до положения перпендикулярного плоскости Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхНа Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхотрезок с проецируется в точку Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Способ плоскопараллельного перемещения

Способ плоскопараллельного перемещения является разновидностью способа вращения (вращение без закрепленных осей), т.е. положение объекта можно преобразовывать путем перемещения его параллельно одной плоскости проекций, одновременно изменяя его положение относительно другой плоскости проекций до занятия им какого-либо частного положения.

На рисунке 3.11 сначала АВ переводим из общего положения в положение горизонтальное. При этом Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхдолжно быть равно по величина Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхнаходим в пересечении вертикальных линий связи и линий Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхпараллельных оси Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях(1 задача). Далее отрезок Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхперемещаем до положения перпендикулярного оси Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхПри этом Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхНа фронтальной проекции отрезок с проецируется в точку Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях(2 задача).

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что старая система плоскостей проекций заменяется на новую, с таким расчетом, чтобы относительно новой системы плоскостей, геометрический образ занял какое-то частное положение. При этом нужно помнить, что линии связи будут перпендикулярны относительно новой оси проекций и расстояния от новой оси проекций до новой проекции точки равно расстоянию от старой проекции точки до старой оси.

На рисунке 3.12 произведена первая замена плоскость Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхзаменена на новую фронтальную плоскость Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхпараллельную прямой АВ. При этом новая ось Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхпроводится параллельно проекции Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхЛинии связи проводятся перпендикулярно оси Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхи на них от Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхоткладываются координаты z точек А и В (1 задача).

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Далее прямую АВ преобразуем в проецирующую. Для этого проводим новую ось Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхперпендикулярно проекцииОпределить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях. Т.к. Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхпараллельна оси Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях, расстояние до проекций Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхбудет одинаковое и прямая спроецируется в точку Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях(2 задача)

Решение 3-ой и 4-ой задачи преобразовании проекций методом плоскопараллельного перемещения и замены плоскостей проекций

Так как метод вращения является более громоздким, рассмотрим решение 3-ей и 4-ой задачи преобразования методом плоскопараллельного перемещения и методом замены плоскостей проекций.

Способ плоскопараллельного перемещения

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Для того чтобы плоскость из общего положения перевести в проецирующее, нужно иметь ввиду, что при этом ее горизонталь или фронталь должна быть перпендикулярна плоскости проекций. Поэтому на рисунке 3.13 проведена горизонталь Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхДалее Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхрасполагаем перпендикулярно оси Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхОткладываем на ней отрезок Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхи циркулем строим треугольник Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхравный по величине Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхНа фронтальной проекции треугольник проецируется в линию (3 задача).

Чтобы плоскость треугольника перевести в положение плоскости уровня, достаточно полученную фронтальную проекцию Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхрасположить параллельно оси Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхпри этом на горизонтальной проекции треугольник проецируется в натуральную величину (4-я задача)

Способ замены плоскостей проекций

При решении задачи методом замены (рисунок 3.14) новую ось Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхпроводим перпендикулярно горизонтали Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхтогда на новую фронтальную плоскость Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхтреугольник спроецируется в линию, т.е. станет перпендикулярным (3-я задача). Чтобы плоскость перевести в положение плоскости уровня, необходимо новую ось Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхпровести параллельно плоскости Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхНа новую плоскость Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхтреугольник спроецируется в натуральную величину.

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Для того, чтобы методами преобразования решить любую метрическую задачу, необходимо определить какую из четырех основных задач преобразования необходимо решать в каждом конкретном случае.

Видео:57. Определение расстояния между двумя параллельными прямымиСкачать

57. Определение расстояния между двумя параллельными прямыми

Метрические задачи

Метрические задачи — это задачи на определение линейных или угловых размеров геометрических объектов, а также расстояний и углов между ними.

Главным вопросом метрических задач является вопрос о построении перпендикуляра к прямой или плоскости. Построение взаимно перпендикулярных прямых было рассмотрено ранее.

Из элементарной геометрии известно, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости. В качестве этих пересекающихся прямых наиболее целесообразно использовать горизонталь и фронталь плоскости. Это объясняется тем, что только в этом случае прямой угол будет проецироваться в натуральную величину на соответствующие плоскости проекций. На рисунке 5.1 приведен пространственный чертеж, на котором из плоскости а (из точки А) восстановлен перпендикуляр АВ. Из приведенного изображения можно выяснить методику построения проекций перпендикуляра к плоскости: горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости проводится перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали или горизонтальному следу плоскости, а фронтальная проекция перпендикуляра проводится перпендикулярно фронтальной проекции фронтали или фронтальному следу плоскости. Таким образом, необходимо выполнить следующий алгоритм проведения проекций перпендикуляра к плоскости:

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Построение перпендикуляра к плоскость и восстановление перпендикуляра из плоскости называется прямой задачей, а построение плоскости, перпендикулярной к прямой — обратной задачей. Обе задачи решаются по одному и тому же вышеописанному алгоритму. При этом плоскость, перпендикулярную заданной прямой, можно задать следами или пересекающимися горизонталью и фронталью.

На рисунке 5.2 показано решение прямой (а) и обратной (б) задач. В прямой задаче из точки A треугольника AВС восстановлен перпендикуляр, в обратной задаче через точку К проведена плоскость, перпендикулярная прямой АВ. Плоскость задана пересекающимися горизонталью и фронталью.

Здесь же приведены примеры прямой и обратной задач, если плоскость задана следами. В прямой задаче (в) из точки Л построен перпендикуляр на плоскость, в обратной (г) — через точку К проведена плоскость перпендикулярно прямой АВ. Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Определение расстояний между геометрическими объектами

Среди этих задач можно выделить следующие задачи: расстояние от точки до плоскости, расстояние от точки до прямой, расстояние между двумя параллельными прямыми, расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, расстояние между двумя параллельными плоскостями и другие. В общем случае все задачи сводятся к определению расстояний между двумя точками.

Чтобы определить расстояние от точки до плоскости, необходимо выполнить ряд логических действий:

  1. Из точки опустить перпендикуляр на заданную плоскость;
  2. Найти точку встречи перпендикуляра с плоскостью;
  3. Определить НВ расстояния между заданной и найденной точками.

Задача на определение расстояния от точки до прямой решается по следующему плану:

  1. Через точку к провести плоскость, перпендикулярную заданной прямой;
  2. Найти точку встречи М заданной прямой с проведенной плоскостью;
  3. Соединить полученные точки (это будет перпендикуляр из точки на прямую);
  4. Определить НВ перпендикуляра.

Пространственная модель решения второй задачи представлена на рисунке 5.3. Рассмотренная задача относится также к задачам на перпендикулярность двух прямых.

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Другие упомянутые задачи на определение расстояний легче решаются методами преобразования эпюра, которые будут рассмотрены в последующих разделах.

Перпендикулярность плоскостей

Плоскость перпендикулярна другой плоскости, если она содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости (рисунок 5.4а). Таким образом, для того, чтобы провести плоскость, перпендикулярную другой, необходимо сначала провести перпендикуляр к заданной плоскости, а затем через него провести искомую плоскость. На рисунке 5.46 представлена задача: через точку К провести плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника AВС. Искомая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, одна из которых перпендикулярна заданной плоскости.

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Если две плоскости являются одноименными плоскостями частного положения (например, горизонтально- или фронтально-проецирующими), то при перпендикулярности плоскостей их собирательные следы будут перпендикулярны друг другу (рисунок 5.4в,г).

Если плоскости являются плоскостями общего положения, то при их перпендикулярности одноименные следы не будут взаимно перпендикулярны. Другими словами, перпендикулярность одноименных следов плоскостей общего положения не является достаточным условием для перпендикулярности самих плоскостей.

Определение углов между прямой и плоскостью и между двумя плоскостями

Определение углов между геометрическими объектами является трудоемкой задачей, если её решать традиционными геометрическими способами. Так, например, задачу на определение угла между прямой и плоскостью (рисунок 5.5) можно решить способом, алгоритм которого содержит следующие операции:

  1. Определить точку встречи прямой АВ с плоскостью а;
  2. Из точки В построить перпендикуляр на плоскость;
  3. Найти точку встречи перпендикуляра с плоскостью;
  4. Точки К и N соединить и определить НВ угла BKN.

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Однако задача может быть значительно упрощена, если использовать способ решения задачи с помощью дополнительного угла. Дополнительным углом назовем угол между заданной прямой АВ и перпендикуляром BN, обозначенный через Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхИз приведенного рисунка видно, что, если из точки В прямой построить на плоскость перпендикуляр, определить НВ дополнительного угла Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхто искомый угол определится по формуле:

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

которую можно решить графически, достроив угол Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхдо 90°.

То же самое можно сказать о задаче на определение двугранного угла, то есть угла между двумя плоскостями (рисунок 5.66). Первый способ (геометрический) достаточно трудоемок. Он заключается в пересечении угла вспомогательной плоскостью а, перпендикулярной ребру АВ, построении линий пересечения KN и KL и определении натуральной величины угла NKL.

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

С помощью дополнительного угла задача решается следующим образом. В растворе двугранного угла (рисунок 5.6в) берут любую точку К и строят из неё перпендикуляры на обе плоскости двугранного угла, которые образуют дополнительный угол Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхДалее определяют НВ дополнительного угла и дополняют его (графически) до 180 градусов, исходя из формулы:

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Дополненный угол будет искомым.

Натуральную величину дополнительного угла Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхв обеих задачах наиболее целесообразно определять методом вращения вокруг горизонтали или фронтали, который будет изложен в последующих темах.

Пример: Из любой вершины треугольника АВС восстановить перпендикуляр длиной 40 мм.

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Решение: Сначала необходимо в плоскости треугольника АВС провести горизонталь и фронталь для того, чтобы построить проекции восстановленного перпендикуляра. Далее из точки С проводим проекции перпендикуляра согласно рассмотренному выше алгоритму о перпендикуляре к плоскости. Для того, чтобы отложить 40 мм, необходимо определить НВ ограниченного отрезка перпендикуляра CF (точку F берем произвольно). НВ отрезка CF определяем методом прямоугольного треугольника на горизонтальной проекции CF. Полученную точку К возвращаем на проекции по теореме Фалеса. Получаем проекции перпендикуляра длиной 40 мм (рисунок. 5.7).

Пример: Найти расстояние от точки А до плоскости, заданной следами

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Решение: Из точки А строим перпендикуляр на заданную плоскость. Проекции перпендикуляра проводим перпендикулярно следам. Далее находим точку встречи перпендикуляра с заданной плоскостью с помощью вспомогательной фронтально-проецирующей плоскости Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхНаходим линию пересечения плоскостей Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях(линия 1-2) и точку встречи Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхв месте пересечения горизонтальной проекции перпендикуляра с линией 1-2. Методом прямоугольного треугольника определяем НВ расстояния АК (рисунок 5.8).

Пример: Определить расстояние от точки К до прямой AВ.

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Решение: Через точку К проводим плоскость, перпендикулярную заданной прямой. Плоскость задаем пересекающимися горизонталью и фронталью. Их проекции проводим согласно алгоритму о перпендикуляре к плоскости (обратная задача). Далее находим точку встречи прямой с проведенной плоскостью (точка М). Определяем натуральную величину КМ методом прямоугольного треугольника (рисунок 5.9).

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Примеры метрических задач

Задачи, в которых определяются различные геометрические величины -расстояния между объектами, длины отрезков, углы, площади и т.д. называются метрическими. Решение многих метрических задач, например задач на определение кратчайших расстояний, требует построения перпендикулярных прямых и плоскостей.

Перпендикулярность является частным случаем пересечения прямых, прямой и плоскости или двух плоскостей. Необходимо установить соотношения, по которым строятся проекции перпендикулярных прямых и плоскостей.

Теорема о проекциях прямого угла

Прямой угол проецируется на плоскость без искажения, если одна из его сторон параллельна этой плоскости (рис. 10.1).

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Рис. 10.1. Теорема о проекциях прямого угла

Дано :Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхBAC = 90°; AB || П’

Доказать, что C’A’Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхA’B’

Доказательство: если AB||П’, то A’B’||AB, но AA’Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхП’^AA’Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхA’B’ значит ABОпределить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхAA,AB Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхплоскости CAA’C’, тогда и A’B’ Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхCAA’C’. Следовательно,CA’Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхA’B’.

На основании этой теоремы две взаимно перпендикулярные прямые (пересекающиеся или скрещивающиеся) проецируются на П1 в виде взаимно перпендикулярных прямых, если одна из них горизонталь, на П2 — если одна из них фронталь (рис. 10.2,а).

Условие перпендикулярности скрещивающихся прямых (рис. 10.2,б) сводятся к условиям перпендикулярности пересекающихся прямых, поведенных через произвольную точку и соответственно параллельных скрещивающимся прямым. Таким образом, понятие перпендикулярности можно отнести как к пересекающимся, так и к скрещивающимся прямым.

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Рис. 10.2. Перпендикулярные прямые:
а -пересекающиеся a1 Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхh1 Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхa Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхh ;
б -скрещивающиеся b2 Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхОпределить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях2 Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхb Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхОпределить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Линии наибольшего наклона плоскости

Прямые, лежащие в плоскости и перпендикулярные линиям уровня этой плоскости, называются линиями наибольшего наклона к соответствующей плоскости проекций (рис. 10.3). Так, прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная горизонтали плоскости, называется линией наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций, а прямая, перпендикулярная фронтали — линией наибольшего наклона к фронтальной плоскости проекций.

Угол между линией наибольшего наклона и ее проекцией на соответствующую плоскость равен углу наклона плоскости к плоскости проекций (см. рис. 9.15).
Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Рис. 10.3. Линия наибольшего наклона плоскости а к П1:
а — плоскость общего положения; h ∈α — горизонталь плоскости а; AB Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхh — линия наибольшего наклона;
φ = Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхAB, AB 1 — угол наклона плоскости а к П1

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. На основании теоремы о проекциях прямого угла можно получить условие перпендикулярности прямой общего положения и плоскости общего положения:
Если прямая а перпендикулярна плоскости α(ABC), то ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция — фронтальной проекции фронтали плоскости.

Например, при построении прямой а, перпендикулярной плоскости α(ABC) (рис. 10.4,а), в плоскости строятся линии уровня — горизонталь и фронталь, затем через произвольную точку в плоскости, в данном случае точку K(h×Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях), строится прямая, горизонтальная проекция которой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости α(ABC), а фронтальная проекция — фронтальной проекции фронтали плоскости.

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Рис. 10.4. Перпендикулярность прямой и плоскости:

а -построение прямой, перпендикулярной плоскости: Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

б -построение плоскости, перпендикулярной прямой: Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Аналогично решается задача о построении плоскости, перпендикулярной прямой общего положения (рис. 10.4,б)

Если плоскость проецирующая, проекции линий уровня совпадают со следом плоскости, перпендикулярность устанавливается по отношению к следу плоскости. Горизонтальная проекция перпендикуляра к горизонтально-проецирующей плоскости строится перпендикулярно горизонтальному следу плоскости (рис. 10.5,а). Прямая, перпендикулярная горизонтально-проецирующей плоскости, занимает положение горизонтальной линии уровня.
Аналогично, фронтальная проекция перпендикуляра к фронтально-проецирующей плоскости строится перпендикулярно фронтальному следу плоскости (рис. 10.5,б). Прямая, перпендикулярная фронтально-проецирующей плоскости, занимает положение фронтали.

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Рис. 10.5. Перпендикулярность прямой и проецирующей плоскости:
а -построение прямой, перпендикулярной плоскости;
б -построение плоскости, перпендикулярной прямой

Взаимная перпендикулярность плоскостей

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Таким образом, построение взаимно перпендикулярных плоскостей сводится к построению перпендикулярных прямой и плоскости. Например, чтобы через произвольную точку А провести плоскость, перпендикулярную плоскости a(Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях× h) (рис. 10.6), достаточно построить прямую n,перпендикулярную плоскости α(Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях×h): n1Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхh1; n2Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхОпределить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях2. Вторая прямая m, определяющая искомую плоскость, может быть задана произвольно — как пересекающая прямую n или параллельная ей.

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Рис. 10.6. Перпендикулярность двух плоскостей

Дано: α(h × Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях ) ; A (A1, A2).

Построить: A ∈ β Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхα .

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Видео:7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямымиСкачать

7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

Определение метрических задач

Традиционно задачи, связанные с измерением длин, углов, площадей и объемов относят к метрическим. В основе решения этих задач лежит определение длины отрезка и, как производной от этого, площади плоской фигуры.

Определение длины отрезка

Одним из наиболее распространенных методов (рисунок 5.1) является метод прямоугольного треугольника (так его называют в начертательной геометрии) или метод ортогональных дополнений (название, принятое в линейной алгебре).
Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Идея метода базируется на следующем. Истинная величина отрезка AВ является гипотенузой прямоугольного треугольника, один из катетов которого, является проекцией отрезка AВ на плоскость проекции Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияха второй катет -разница координат Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхконцов отрезка для оси, отсутствующей в рассматриваемой плоскости проекции (ортогональное дополнение). Угол между проекцией и гипотенузой этого треугольника (а) определяет наклон прямой к соответствующей плоскости проекции.

На комплексном чертеже возможно решение как на плоскости Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхтак и на плоскости Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхПри правильных построениях Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях. Углы а и Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях-углы наклона отрезка прямой АВ к плоскости Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхсоответственно.

Определение площади треугольника

Определение площади треугольника и величины плоского угла можно свести к известной задаче построения треугольника по трем сторонам.

Для этого достаточно, используя рассмотренный выше способ прямоугольного треугольника, найти по порядку истинные величины сторон Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях(в соответствии с рисунком 5.2), а затем на свободном месте построить треугольник по трем сторонам.

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях
Величина плоского угла между двумя любыми сторонами этой фигуры может быть измерена на истинной величине треугольника.

Проецирование прямого угла

Решение многих задач Начертательной геометрии связано с необходимостью построения на чертеже взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей. Базой для этого служит умение строить прямые углы на комплексном чертеже.

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях
Известная в теории чертежа теорема (приведем ее без доказательства) утверждает, что прямой угол (в соответствии с рисунком 5.3) проецируется на

соответствующую плоскость проекций вез искажения, если одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций, а вторая — ей не перпендикулярна.

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Выше уже отмечалось, что в трехмерном Евклидовом пространстве отсутствует полная параллельность, то же самое можно сказать и о перпендикулярности. Понятие перпендикулярности так же, как и параллельности, вводится через определение.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Считают, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся (любым) прямым этой плоскости.

При решении задачи возможны два варианта: проведение перпендикулярной прямой к плоскости из внешней точки и из точки, лежащей в плоскости.
Рассмотрим возможность проведения перпендикуляра из точки К, лежащей в плоскости общего положения Р, заданной следами (рисунок 5.4).

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях
Рисунок 5.4 — Перпендикулярность прямой и плоскости

В плоскости Р (через точку К) проводятся горизонталь h и фронталь f. Прямые, перпендикулярные соответствующим проекциям линий уровня Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхв соответствии с теоремой о проецировании прямого угла и данным выше определением, могут быть приняты за проекции прямой Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях.

В том случае, когда точка К не лежит в плоскости Р, решение задачи аналогично (рисунок 5.5).

Поскольку положение точки пересечения искомого перпендикуляра не определено, решение соответствует следующей схеме:

а) в плоскости проводятся горизонталь h (через точку В) и фронталь f (через точку A), в случае задания плоскости следами за фронталь и горизонталь принимаются соответствующие следы плоскости Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Рисунок 5.5 — Перпендикуляр к плоскости

б) из внешней точки К к соответствующим проекциям линий уровня (следам) проводятся перпендикулярные прямыеОпределить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях— Линия t принимается за перпендикуляр, опущенный из точки К к плоскости Р;

в) определяется точка S пересечения этого перпендикуляра t и плоскости.

Расстояние от точки до плоскости

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях
Рисунок 5.6 — Расстояние от точки до плоскости

Задачу на определение расстояние от точки до плоскости (рисунок 5.6) можно свести к решению уже известных задач на построение перпендикуляра к плоскости (рисунок 5.5) и определения натуральной величины отрезка прямой (рисунок 5.1)

Перпендикулярность плоскостей

Считают, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Задача может ставиться, как проведение плоскости, перпендикулярной заданной, проходящей через точку или прямую.

При проведении искомой плоскости через точку, как и в предыдущем случае, возможны два варианта проведения плоскости перпендикулярной заданной: через точку, лежащую в плоскости и через точку вне ее (рисунок 5.7).

Точно такой же вариант возникает и при проведении перпендикулярной плоскости через прямую (лежащую в исходной плоскости или не лежащую).

Рассмотрим вариант построения плоскости, проходящей через точку. Пусть точка А лежит в плоскости Р. Линии Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхперпендикулярные соответствующим проекциям линий уровня (следам), определят перпендикуляр t к плоскости Р.

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях
Рисунок 5.7 — Перпендикулярность плоскостей
Проведение через точку А произвольной прямой s позволяет определить плоскость Q, которая будет перпендикулярна плоскости Р.

Если точка А лежит вне плоскости Р, то решение аналогично. Проведение через точку А перпендикуляра t и произвольной прямой s определит плоскость Q, которая также, по определению, будет перпендикулярна плоскости Р.

Решение задачи на проведение плоскости через прямую аналогично решению задачи по проведению плоскости через точку. Достаточно вместо произвольной прямой s использовать заданную прямую АВ. И тогда, в соответствии с рисунком 5.8, задача сведется к проведению перпендикуляра t к плоскости Р (из точки, лежащей в плоскости или лежащей вне ее).
Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Рисунок 5.8 — Перпендикулярность плоскостей

Определение натуральных величин геометрических элементов

1. Определить натуральную величину отрезка общего положения:

  • способом прямоугольного треугольника;
  • способом замены плоскостей проекций преобразовать в прямую уровня;
  • способом вращения вокруг проецирующей оси преобразовать в прямую уровня.

2. Определить натуральную величину плоскости общего положения (замкнутого отсека):

  • способом замены плоскостей проекций преобразовать в плоскость уровня;
  • способом вращения вокруг линии уровня преобразовать в плоскость уровня;
  • способом плоскопараллельного перемещения преобразовать в плоскость уровня.

Определение расстояния между геометрическими элементами (образами)

1. Определить расстояние от точки до прямой общего положения:

  • способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость, заданную прямой и точкой, в плоскость уровня (задачи 3 и 4 преобразования; прямую и точку рассматривать как плоскость);
  • способом замены плоскостей проекций преобразовать прямую общего положения в проецирующую прямую (задачи 1 и 2 преобразования);
  • способом вращения вокруг линии уровня преобразовать плоскость, заданную прямой и точкой, в плоскость уровня;
  • способом плоскопараллельного перемещения преобразовать плоскость, заданную прямой и точкой, в плоскость уровня;
  • способом задания плоскости, перпендикулярной к прямой (3-й тип задач), построить через заданную точку плоскость, перпендикулярную к прямой, и определить точку пересечения последней с плоскостью.

2. Определить расстояние между параллельными прямыми:

  • способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость, заданную параллельными прямыми, в плоскость уровня (задачи 3 и 4 преобразования);
  • способом замены плоскостей проекций преобразовать две параллельные общего положения в проецирующие прямые (задачи 1 и 2 преобразования);
  • способом вращения вокруг линии уровня преобразовать плоскость, заданную параллельными прямыми, в плоскость уровня, ограничив ее замкнутым отсеком;
  • способом плоскопараллельного перемещения преобразовать плоскость, заданную параллельными прямыми, в плоскость уровня;
  • способом задания плоскости, перпендикулярной к прямой (3-й тип задач), построить плоскость через любую точку, принадлежащую одной из прямых, перпендикулярную ко второй прямой, и определить точку пересечения этой плоскости со второй прямой.

3. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми, преобразовав одну из прямых в проецирующую (задачи 1 и 2 преобразования).

4. Определить расстояние от точки до плоскости:

  • по теме «Перпендикулярность» – провести перпендикуляр к плоскости, построить точку пересечения этого перпендикуляра с заданной плоскостью и найти любым способом натуральную величину построенного отрезка (см. пункт 1);
  • способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость общего положения в плоскость проецирующую.

5. Определить расстояние от точки до поверхности вращения:

  • способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость, проведенную через точку и ось вращения поверхности, в плоскость уровня (задача 4 преобразования);
  • способом вращения вокруг проецирующей оси повернуть плоскость, проведенную через точку и ось вращения поверхности, в плоскость уровня.

Определение углов наклона геометрических элементов к плоскостям проекций H и V

1. Определить углы наклона прямой общего положения к плоскостям проекций H и V:

  • способом прямоугольного треугольника построить на двух проекциях натуральные величины отрезка и определить углы наклона прямой;
  • способом замены плоскостей проекций преобразовать прямую общего положения в горизонтальную, а затем во фронтальную прямую (задача 1 преобразования);
  • способом вращения вокруг соответствующей проецирующей оси преобразовать прямую общего положения в горизонтальную и во фронтальную прямые.

2. Определить угол наклона прямой к заданной плоскости общего положения:

  • из любой точки прямой опустить перпендикуляр к плоскости;
  • способом вращения вокруг линии уровня преобразовать построенную плоскость, заданную прямой и перпендикуляром, в плоскость уровня;
  • искомый угол будет дополнять построенный угол до 90°.

3. Определить величину двухгранного угла, если на чертеже есть линии пересечения плоскостей, образующих двухгранный угол (ребро):

  • способом замены плоскостей проекций преобразовать ребро двухгранного угла в проецирующую прямую (задачи 1 и 2 преобразования).

4. Определить угол между двумя плоскостями общего положения, если на чертеже нет линии пересечения заданных плоскостей (ребра):

  • задача решается косвенным путем, для чего из любой точки пространства следует опустить перпендикуляры к заданным плоскостям, которые, в свою очередь, задают вспомогательную плоскость, перпендикулярную к этим плоскостям;
  • эту вспомогательную плоскость способом вращения вокруг линии уровня следует преобразовать в плоскость уровня, определив угол между перпендикулярами (преобразование вспомогательной плоскости в плоскость уровня возможно и другими способами – ее плоскопараллельным перемещением или заменой плоскостей проекций);
  • искомый угол будет дополнять построенный угол до 180° (углом между плоскостями считают угол острый).

Структуризация материала тринадцатой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 13.1 (лист 1). На последующих листах 2–7 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального повторения изученного материала при его повторении (рис. 13.2–13.7).

Метрические задачи:

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Определение натуральной величины геометрических элементов:

1. Определение длины отрезка

Способ прямоугольного треугольника

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Способ замены плоскостей проекций (задача 1)

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Способ вращения вокруг проецирующей оси

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

2. Определение площади замкнутого отсека

Способ замены плоскостей проекций (задачи 3 и 4)

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Способ вращения вокруг прямой уровня (горизонтали)

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Способ вращения вокруг проецирующей оси i(i Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхV)

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Способ плоско-параллельного перемещения (переноса)

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Определение расстояний:

1. Расстояние между точками — определяется величиной отрезка, соединяющего эти точки

2. Расстояние от точки до прямой — определяется величиной перпендикуляра, опущенного из точки к прямой

а. Прямой путь (перпендикулярность)

б. Способ замены плоскостей проекций: определить натуральную величину плоскости, которую определяют точка и прямая (см.рис. 13.2, г)

в. Способ вращения вокруг прямой уровня: определить натуральную величину плоскости, которую определяют точка и прямая (см.рис.13.2, д)

г. Способ плоскопараллельного переноса: определить натуральную величину плоскости, которую определяют точка и прямая (см.рис.13.2, ж)

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

3. Расстояние между параллельными прямыми — определяется величиной перпендикуляра, проведённого из произвольной точки одной прямой к другой прямой

а. Способ замены плоскостей проекции (рассматриваем две прямые) — задачи 1 и 2 (преобразовать прямые общего положения AB и CD в проецирующие)

б. Способ замены плоскостей проекции (рассматриваем плоскость, которую определяют параллельные прямые) — задачи 3 и 4 (определить натуральную величину плоскости ? (AB//СВ))

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

4. Расстояние между скрещивающимися прямыми — определяется величиной перпендикуляра, проведённого от одной из прямых, преобразованной в точку, к другой прямой (задачи 1 и 2 замены плоскостей проекции).

Способ замены плоскостей проекций — задачи 1 и 2

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

5. Расстояние от точки до плоскости — определяется величиной перпендикуляра, проведённого из точки на плоскость до точки его пересечения с этой плоскостью.

а. Прямой путь (перпендикулярность)

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

б. Способ замены плоскостей проекций (плоскость преобразовать в проецирующую — задача 3)

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

6. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью — определяется величиной перпендикуляра, проведённого из произвольной точки на прямой к плоскости.

7. Расстояние между параллельными плоскостями — определяется величиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки одной плоскости на другую плоскость (до точки пересечения с другой плоскостью).

8. Расстояние от точки до поверхности

a. Cпособ вращения вокруг проецирующей оси

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

б. Способ замены плоскостей проекции

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Определение величин углов:

1. Угол φ между скрещивающимися прямыми — определяется плоским углом, образованным двумя пересекающимися прямыми, проведёнными из произвольной точки пространства параллельно скрещивающимся прямым (рис. 13.6, а)

Способ вращения вокруг линии уровня

Дано:
а и b — скрещивающиеся прямые
Требуется:

φ — ?

Решение:
1.
Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях
2.φ — вращением вокруг фронтали, проведённой в построенной плоскости α(dс)

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

2. Угол φ между прямой и плоскостью — определяется углом между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Дано:
α(h ∩ f);
AB — прямая общего положения
Требуется:
φ — ?

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Решение:
1. l Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях α(h ∩ f);
lОпределить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях» Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхf»;
lОпределить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекцияхh’;
2. ∠φ — вращением вокруг фронтали, проведённой в построенной плоскости β(AB∩l)

3. Угол φ между плоскостями α и β — определяется линейным углом, образованным двумя прямыми, по которым некоторая плоскость γ, перпендикулярная плоскостям (или их ребру), пересекает эти плоскости (углом между плоскостями считают острый угол).

а. Если на чертеже нет ребра (линии пересечения заданных плоскостей) — угол φ определяется способом вращения вокруг линии уровня (рис. а)

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Дано:
(m // h); (а
b).
Требуется:
φ — ?
Решение:
1. провести в заданной плоскости фронтали и горизонтали;

2. из произвольной точки пространства D (D’, D») провести перпендикуляры l1 и l2 к заданными плоскостям, которые определяют плоскость γ(l1 l2);
3.
φ — вращением вокруг горизонтали h3, проведённой в построенной плоскости γ(l1 l2).

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

б. Если на чертеже есть ребро (линия пересечения заданных плоскостей) — угол φ определяется способом замены плоскостей проекций (задачи 1 и 2, рис. б)

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

ребро АВ двугранного угла преобразовать двумя заменами в проецирующую прямую.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Инженерная графика
  2. Начертательная геометрия
  3. Компас
  4. Автокад
  5. Черчение
  6. Проекционное черчение
  7. Аксонометрическое черчение
  8. Строительное черчение
  9. Техническое черчение
  10. Геометрическое черчение
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Тени в ортогональных проекциях
  • Кривые поверхности
  • Пересечения криволинейных поверхностей
  • Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью
  • Пересечение поверхности плоскостью и прямой
  • Развертки поверхностей
  • Способы преобразования проекций
  • Взаимное положение прямой и плоскости

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Видеоурок "Расстояние между прямыми в пространстве"Скачать

Видеоурок "Расстояние между прямыми в пространстве"

Расстояние между двумя параллельными прямыми: определение и примеры нахождения

В материале этой статьи разберем вопрос нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, в частности, при помощи метода координат. Разбор типовых примеров поможет закрепить полученные теоретические знания.

Видео:№277. Расстояние между параллельными прямыми а и b равно 3 см, а между параллельными прямымиСкачать

№277. Расстояние между параллельными прямыми а и b равно 3 см, а между параллельными прямыми

Расстояние между двумя параллельными прямыми: определение

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от некоторой произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Приведем иллюстрацию для наглядности: Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

На чертеже изображены две параллельные прямые a и b . Точка М 1 принадлежит прямой a , из нее опущен перпендикуляр на прямую b . Полученный отрезок М 1 Н 1 и есть расстояние между двумя параллельными прямыми a и b .

Указанное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Кроме того, данное определение взаимосвязано со следующей теоремой.

Когда две прямые параллельны, все точки одной из них равноудалены от другой прямой.

Пусть нам заданы две параллельные прямые a и b . Зададим на прямой а точки М 1 и М 2 , опустим из них перпендикуляры на прямую b , обозначив их основания соответственно как Н 1 и Н 2 . М 1 Н 1 – это расстояние между двумя параллельными прямыми по определению, и нам необходимо доказать, что | М 1 Н 1 | = | М 2 Н 2 | .

Определить расстояние между параллельными прямыми ав и сd решить задачу в 2 х проекциях

Пусть будет также существовать некоторая секущая, которая пересекает две заданные параллельные прямые. Условие параллельности прямых, рассмотренное в соответствующей статье, дает нам право утверждать, что в данном случае внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении секущей заданных прямых, являются равными: ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Прямая М 2 Н 2 перпендикулярна прямой b по построению, и, конечно, перпендикулярна прямой a . Получившиеся треугольники М 1 Н 1 Н 2 и М 2 М 1 Н 2 являются прямоугольными и равными друг другу по гипотенузе и острому углу: М 1 Н 2 – общая гипотенуза, ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Опираясь на равенство треугольников, мы можем говорить о равенстве их сторон, т.е.: | М 1 Н 1 | = | М 2 Н 2 | . Теорема доказана.

Отметим, что расстояние между двумя параллельными прямыми – наименьшее из расстояний от точек одной прямой до точек другой.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№26 - Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№26 - Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.)

Нахождение расстояния между параллельными прямыми

Мы уже выяснили, что, по сути, чтобы найти расстояние между двумя параллельными прямыми, необходимо определить длину перпендикуляра, опущенного из некой точки одной прямой на другую. Способов, как это сделать, несколько. В каких-то задачах удобно воспользоваться теоремой Пифагора; другие предполагают использование признаков равенства или подобия треугольников и т.п. В случаях, когда прямые заданы в прямоугольной системе координат, возможно вычислить расстояние между двумя параллельными прямыми, используя метод координат. Рассмотрим его подробнее.

Зададим условия. Допустим, зафиксирована прямоугольная система координат, в которой заданы две параллельные прямые a и b . Необходимо определить расстояние между заданными прямыми.

Решение задачи построим на определении расстояния между параллельными прямыми: для нахождения расстояния между двумя заданными параллельными прямыми необходимо:

— найти координаты некоторой точки М 1 , принадлежащей одной из заданных прямых;

— произвести вычисление расстояния от точки М 1 до заданной прямой, которой эта точка не принадлежит.

Опираясь на навыки работы с уравнениями прямой на плоскости или в пространстве, определить координаты точки М 1 просто. При нахождении расстояния от точки М 1 до прямой пригодится материал статьи о нахождении расстояния от точки до прямой.

Вернемся к примеру. Пусть прямая a описывается общим уравнением A x + B y + C 1 = 0 , а прямая b – уравнением A x + B y + C 2 = 0 . Тогда расстояние между двумя заданными параллельными прямыми возможно вычислить, используя формулу:

M 1 H 1 = C 2 — C 1 A 2 + B 2

Выведем эту формулу.

Используем некоторую точку М 1 ( x 1 , y 1 ) , принадлежащую прямой a . В таком случае координаты точки М 1 будут удовлетворять уравнению A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 . Таким образом, справедливым является равенство: A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 ; из него получим: A x 1 + B y 1 = — C 1 .

Когда С 2 0 , нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0

При С 2 ≥ 0 нормальное уравнение прямой b будет выглядеть так:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y — C 2 A 2 + B 2 = 0

И тогда для случаев, когда С 2 0 , применима формула: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2 .

А для С 2 ≥ 0 искомое расстояние определяется по формуле M 1 H 1 = — A A 2 + B 2 x 1 — B A 2 + B 2 y 1 — C 2 A 2 + B 2 = = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Таким образом, при любом значении числа С 2 длина отрезка | М 1 Н 1 | (от точки М 1 до прямой b ) вычисляется по формуле: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Выше мы получили: A x 1 + B y 1 = — C 1 , тогда можем преобразовать формулу: M 1 H 1 = — C 1 A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 = C 2 — C 1 A 2 + B 2 . Так мы, собственно, получили формулу, указанную в алгоритме метода координат.

Разберем теорию на примерах.

Заданы две параллельные прямые y = 2 3 x — 1 и x = 4 + 3 · λ y = — 5 + 2 · λ . Необходимо определить расстояние между ними.

Решение

Исходные параметрические уравнения дают возможность задать координаты точки, через которую проходит прямая, описываемая параметрическими уравнениями. Таким образом, получаем точку М 1 ( 4 , — 5 ) . Требуемое расстояние – это расстояние между точкой М 1 ( 4 , — 5 ) до прямой y = 2 3 x — 1 , произведем его вычисление.

Заданное уравнение прямой с угловым коэффициентом y = 2 3 x — 1 преобразуем в нормальное уравнение прямой. С этой целью сначала осуществим переход к общему уравнению прямой:

y = 2 3 x — 1 ⇔ 2 3 x — y — 1 = 0 ⇔ 2 x — 3 y — 3 = 0

Вычислим нормирующий множитель: 1 2 2 + ( — 3 ) 2 = 1 13 . Умножим на него обе части последнего уравнения и, наконец, получим возможность записать нормальное уравнение прямой: 1 13 · 2 x — 3 y — 3 = 1 13 · 0 ⇔ 2 13 x — 3 13 y — 3 13 = 0 .

При x = 4 , а y = — 5 вычислим искомое расстояние как модуль значения крайнего равенства:

2 13 · 4 — 3 13 · — 5 — 3 13 = 20 13

Ответ: 20 13 .

В фиксированной прямоугольной системе координат O x y заданы две параллельные прямые, определяемые уравнениями x — 3 = 0 и x + 5 0 = y — 1 1 . Необходимо найти расстояние между заданными параллельными прямыми.

Решение

Условиями задачи определено одно общее уравнение, задаваемое одну из исходных прямых: x-3=0. Преобразуем исходное каноническое уравнение в общее: x + 5 0 = y — 1 1 ⇔ x + 5 = 0 . При переменной x коэффициенты в обоих уравнениях равны (также равны и при y – нулю), а потому имеем возможность применить формулу для нахождения расстояния между параллельными прямыми:

M 1 H 1 = C 2 — C 1 A 2 + B 2 = 5 — ( — 3 ) 1 2 + 0 2 = 8

Ответ: 8 .

Напоследок рассмотрим задачу на нахождение расстояния между двумя параллельными прямыми в трехмерном пространстве.

В прямоугольной системе координат O x y z заданы две параллельные прямые, описываемые каноническими уравнениями прямой в пространстве: x — 3 1 = y — 1 = z + 2 4 и x + 5 1 = y — 1 — 1 = z — 2 4 . Необходимо найти расстояние между этими прямыми.

Решение

Из уравнения x — 3 1 = y — 1 = z + 2 4 легко определются координаты точки, через которую проходит прямая, описываемая этим уравнением: М 1 ( 3 , 0 , — 2 ) . Произведем вычисление расстояния | М 1 Н 1 | от точки М 1 до прямой x + 5 1 = y — 1 — 1 = z — 2 4 .

Прямая x + 5 1 = y — 1 — 1 = z — 2 4 проходит через точку М 2 ( — 5 , 1 , 2 ) . Запишем направляющий вектор прямой x + 5 1 = y — 1 — 1 = z — 2 4 как b → с координатами ( 1 , — 1 , 4 ) . Определим координаты вектора M 2 M → :

M 2 M 1 → = 3 — ( — 5 , 0 — 1 , — 2 — 2 ) ⇔ M 2 M 1 → = 8 , — 1 , — 4

Вычислим векторное произведение векторов :

b → × M 2 M 1 → = i → j → k → 1 — 1 4 8 — 1 — 4 = 8 · i → + 36 · j → + 7 · k → ⇒ b → × M 2 M 1 → = ( 8 , 36 , 7 )

Применим формулу расчета расстояния от точки до прямой в пространстве:

M 1 H 1 = b → × M 2 M 1 → b → = 8 2 + 36 2 + 7 2 1 2 + ( — 1 ) 2 + 4 2 = 1409 3 2

📺 Видео

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми, 7 классСкачать

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми, 7 класс

38. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямымиСкачать

38. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми. Способ перемены плоскостей проекцийСкачать

Расстояние между скрещивающимися прямыми. Способ перемены плоскостей проекций

№278. Прямая AB параллельна прямой CD. Найдите расстояние между этими прямыми, если ∠ADCСкачать

№278. Прямая AB параллельна прямой CD. Найдите расстояние между этими прямыми, если ∠ADC

Определение кратчайшей расстояние от точки до плоскости способом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение кратчайшей расстояние от точки до плоскости способом замены плоскостей проекции

Урок 23. Расстояние между параллельными прямыми (7 класс)Скачать

Урок 23.  Расстояние между параллельными прямыми (7 класс)

Расстояние между параллельными плоскостямиСкачать

Расстояние между параллельными плоскостями

Определение расстояния между скрещивающимися прямыми. Способ параллельного перемещенияСкачать

Определение расстояния между скрещивающимися прямыми. Способ параллельного перемещения

Следы прямой Взаимное положение двух прямыхСкачать

Следы прямой  Взаимное положение двух прямых

Геометрия. Свойства параллельных прямых. Расстояние между параллельными прямымиСкачать

Геометрия. Свойства параллельных прямых. Расстояние между параллельными прямыми
Поделиться или сохранить к себе: