Если хорды пересекаются вне окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Если хорды пересекаются вне окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Если хорды пересекаются вне окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Если хорды пересекаются вне окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Если хорды пересекаются вне окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Если хорды пересекаются вне окружностиТеорема о бабочке

Если хорды пересекаются вне окружности

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьЕсли хорды пересекаются вне окружности
КругЕсли хорды пересекаются вне окружности
РадиусЕсли хорды пересекаются вне окружности
ХордаЕсли хорды пересекаются вне окружности
ДиаметрЕсли хорды пересекаются вне окружности
КасательнаяЕсли хорды пересекаются вне окружности
СекущаяЕсли хорды пересекаются вне окружности
Окружность
Если хорды пересекаются вне окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругЕсли хорды пересекаются вне окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусЕсли хорды пересекаются вне окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаЕсли хорды пересекаются вне окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрЕсли хорды пересекаются вне окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяЕсли хорды пересекаются вне окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяЕсли хорды пересекаются вне окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:№672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекаетСкачать

№672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеЕсли хорды пересекаются вне окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыЕсли хорды пересекаются вне окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныЕсли хорды пересекаются вне окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиЕсли хорды пересекаются вне окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыЕсли хорды пересекаются вне окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Если хорды пересекаются вне окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыЕсли хорды пересекаются вне окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыЕсли хорды пересекаются вне окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды пересекаются вне окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныЕсли хорды пересекаются вне окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиЕсли хорды пересекаются вне окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыЕсли хорды пересекаются вне окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если хорды пересекаются вне окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Если хорды пересекаются вне окружности

Если хорды пересекаются вне окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыЕсли хорды пересекаются вне окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиЕсли хорды пересекаются вне окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиЕсли хорды пересекаются вне окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаЕсли хорды пересекаются вне окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если хорды пересекаются вне окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Если хорды пересекаются вне окружности

Если хорды пересекаются вне окружности

Пересекающиеся хорды
Если хорды пересекаются вне окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Если хорды пересекаются вне окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Если хорды пересекаются вне окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Если хорды пересекаются вне окружности
Пересекающиеся хорды
Если хорды пересекаются вне окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если хорды пересекаются вне окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Если хорды пересекаются вне окружности

Если хорды пересекаются вне окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Если хорды пересекаются вне окружности

Если хорды пересекаются вне окружности

Если хорды пересекаются вне окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Если хорды пересекаются вне окружности

Если хорды пересекаются вне окружности

Если хорды пересекаются вне окружности

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Если хорды пересекаются вне окружности

Если хорды пересекаются вне окружности

Тогда справедливо равенство

Если хорды пересекаются вне окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Если хорды пересекаются вне окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Если хорды пересекаются вне окружности

Если хорды пересекаются вне окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Если хорды пересекаются вне окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Если хорды пересекаются вне окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Если хорды пересекаются вне окружности

Если хорды пересекаются вне окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Если хорды пересекаются вне окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Если хорды пересекаются вне окружности

Если хорды пересекаются вне окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Если хорды пересекаются вне окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.Скачать

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Если хорды пересекаются вне окружности

Если хорды пересекаются вне окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Если хорды пересекаются вне окружности

Если хорды пересекаются вне окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Если хорды пересекаются вне окружности

Если хорды пересекаются вне окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Если хорды пересекаются вне окружности

Если хорды пересекаются вне окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Если хорды пересекаются вне окружности

Если хорды пересекаются вне окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Если хорды пересекаются вне окружности

Если хорды пересекаются вне окружности

Если хорды пересекаются вне окружности

Если хорды пересекаются вне окружности

Если хорды пересекаются вне окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Если хорды пересекаются вне окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.Скачать

№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.

Хорды пересекаются

Если хорды пересекаются, как этот факт можно использовать при решении задач?

Теорема

(Свойство отрезков пересекающихся хорд (пропорциональность хорд окружности))

Произведения длин отрезков пересекающихся хорд, на которые эти хорды делятся точкой пересечения, есть число постоянное.

То есть, если хорды AB и CD пересекаются в точке F, то

AF ∙ FB=CF ∙ FD

Если хорды пересекаются вне окружностиДано : окружность (O; R), AB и CD — хорды,

Если хорды пересекаются вне окружности

Доказать : AF ∙ FB=CF ∙ FD

1) Проведём отрезки BC и AD.

2) Рассмотрим треугольники AFD и CFB.

Если хорды пересекаются вне окружности∠AFD=∠CFB (как вертикальные);

Следовательно, треугольники AFD и CFB подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Если хорды пересекаются вне окружности

то есть отрезки пересекающихся хорд пропорциональны.

По основному свойству пропорции:

Если хорды пересекаются вне окружности

Что и требовалось доказать .

При решении задач с пересекающимися хордами можно использовать не только вывод теоремы, но также полученный в ходе её доказательства факт, что пересекающиеся хорды образуют пары подобных треугольников.

Через точку M, лежащую внутри окружности, проведена хорда, которая делится точкой M на отрезки, длины которых равны 6 см и 16 см. Найти расстояние от точки M до центра окружности, если радиус окружности равен 14 см.

Если хорды пересекаются вне окружностиДано : окружность (O; R), R=14 см, AB — хорда, M∈AB, AM=16 см, MB=6 см

Проведём через точку M диаметр CD.

Если хорды пересекаются вне окружностиПо свойству отрезков пересекающихся хорд:

Пусть OM=x см (x>0). Так как радиус равен 14 см, то MD= (14-x) см, CM=(14+x) см.

Составим и решим уравнение:

Следовательно, расстояние от точки M до центра окружности равно 10 см.

В окружности проведены хорды AB и CD , пересекающиеся в точке F. Найти длину отрезка AC, если AF=6, DF=8, BD=20.

Если хорды пересекаются вне окружностиДано : окружность (O; R), AB и CD — хорды,

Если хорды пересекаются вне окружности

В треугольниках AFC и BFD:

∠AFC=∠BFD (как вертикальные);

∠ACF=∠DBF (как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду AD).

Следовательно, треугольники AFC и BFD подобны (по двум углам). Поэтому

Видео:Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые.Скачать

Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые.

Хорда окружности — определение, свойства, теорема

Если хорды пересекаются вне окружности

Видео:Геометрия Докажите, что если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, то AM٠MB = DM٠MCСкачать

Геометрия Докажите, что если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, то AM٠MB = DM٠MC

Хорда в геометрии

Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.

Если хорды пересекаются вне окружности

Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.

Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:

Если хорды пересекаются вне окружности

  1. Это отрезок с наибольшей длиною в окружности это диаметр. Он обязательно будет проходить через центр круга.
  2. Если есть две равные дуги, то их отрезки, которые их стягивают, будут равны.
  3. Хорда, которая перпендикулярна диаметру, будет делить этот отрезок и его дугу на две одинаковые части (справедливо и обратное утверждение).
  4. Самый маленький отрезок в окружности это точка.
  5. Хорды будут равны, если они находятся на одном расстоянии от центра окружности (справедливо и обратное утверждение).
  6. При сравнении двух отрезков в кругу большая из них окажется ближе к центру окружности.
  7. Дуги, которые находятся между двумя параллельными хордами, равны.

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

Если хорды пересекаются вне окружности

Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.

Если хорды пересекаются вне окружности

Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.

Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.

Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.

Видео:№666. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если: а) АЕ = 5, ВЕСкачать

№666. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если: а) АЕ = 5, ВЕ

Касательная и секущая

Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.

Если хорды пересекаются вне окружности

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

Если хорды пересекаются вне окружности

Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.

Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.

Если хорды пересекаются вне окружности

Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.

Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Видео:Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика

Решение задач

При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:

Если хорды пересекаются вне окружности

  • Найти высоту детали, которая была получена путем сгибания заготовки в дугу. В начальных данных обязательно присутствует хорда и длина дуги.
  • Дана развертка, нужно найти длину части кольца. Задается хорда и диаметр.
  • Также можно находить длину хорды. В случае если заданы уравнения прямой и окружности, которые пересекаются.

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

💥 Видео

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

№660. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32Скачать

№660. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32

№661. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащейСкачать

№661. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей

Геометрия Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые, одна из которых пересекаетСкачать

Геометрия Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые, одна из которых пересекает

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°Скачать

№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°

теорема о произведении отрезков секущихСкачать

теорема о произведении отрезков секущих

Докажите, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хордыСкачать

Докажите, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды

Углы с вершинами внутри и вне кругаСкачать

Углы с вершинами внутри и вне круга
Поделиться или сохранить к себе: