Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

Параллелограмм

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

ABCD — параллелограмм (по определению).

противолежащие стороны параллелограмма ABCD:

AB и CD; AD и BC

смежные стороны параллелограмма ABCD:

AB и BC; AB и AD; BC и CD; CD и AD;

противолежащие углы параллелограмма ABCD:

углы параллелограмма ABCD, прилежащие к одной стороне:

∠A и ∠B, ∠C и ∠D, ∠A и ∠D, ∠B и ∠C

Соседние вершины параллелограмма — это вершины, являющиеся концами одной из его сторон.

Соседние вершины параллелограмма ABCD : A и B, C и D, A и D, B и C

Диагонали параллелограмма — это отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.

диагонали параллелограмма ABCD: AC и BD

Большинство задач на параллелограмм сводятся к рассмотрению треугольников.

В следующий раз поговорим о свойствах параллелограмма.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Параллелограмм: свойства и признаки

Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

О чем эта статья:

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

  1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

  1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых
  2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых
  3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
    Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
    Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых
  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
    ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых
  4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
    ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых
  5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых
  6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
    Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

  1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
  2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
  3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
    • CO = AO
    • BO = DO

    Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныСкачать

Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB || CD
  • AB = CD

Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

  1. AC — общая сторона;
  2. По условию AB = CD;
  3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB = CD
  • BC = AD

Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

  • AC — общая сторона;
  • AB = CD по условию;
  • BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

  • CO = OA;
  • DO = BO;
  • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Параллелограмм, его свойства и признаки с примерами решения

Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

На рисунке 16 изображен параллелограмм Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

Рассмотрим свойства параллелограмма.

1. Сумма двух любых соседних углов параллелограмма равна 180°.

Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

Действительно, углы Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхпараллелограмма Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(рис. 16) являются внутренними односторонними углами для параллельных прямых Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи секущей Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхПоэтому Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхАналогично это свойство можно доказать для любой другой пары соседних углов параллелограмма.

2. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником.

Так как Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхто Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхАналогично Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхПоэтому параллелограмм — выпуклый четырехугольник.

3. В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.

Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

Доказательство:

Диагональ Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхразбивает параллелограмм Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхна два треугольника Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(рис. 17). Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых-их общая сторона, Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(как внутренние накрест лежащие углы для каждой из пар параллельных прямых Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи секущей Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхТогда Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(по стороне и двум прилежащим углам). Откуда, Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(как соответственные элементы равных треугольников). Так как Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхто Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

4. Периметр параллелограмма Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство:

Пусть Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых— точка пересечения диагоналей Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхпараллелограмма Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(рис. 18). Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(как противолежащие стороны параллелограмма), Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи секущих Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхсоответственно). Следовательно, Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(по стороне и двум прилежащим углам). Тогда Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(как соответственные стороны равных треугольников).

Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

Пример:

Дано: Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхпараллелограмм, Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых— биссектриса угла Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(рис. 19). Найдите: Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

Решение:

1) Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

2) Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи секущей Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

3) Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(по условию), тогда Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхТогда Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых— равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

4) Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, проведенный из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противолежащую сторону.

На рисунке 20 Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых— высота параллелограмма, Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхЧетырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

Из каждой вершины параллелограмма можно провести две высоты. Например, на рисунке 21 Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых— высоты параллелограмма, проведенные соответственно к сторонам Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

Рассмотрим признаки параллелограмма.

Теорема (признаки параллелограмма). Если в четырехугольнике: 1) две стороны параллельны и равны, или 2) противолежащие стороны попарно равны, или 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам, или 4) противолежащие углы попарно равны, — то четырехугольник является параллелограммом.

Доказательство:

1) Пусть в четырехугольнике Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(рис. 22). Проведем диагональ Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхРассмотрим Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи секущей Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых— общая сторона, Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(по условию). Следовательно, Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(по двум сторонам и углу между ними). Тогда Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(как соответственные). Но это накрест лежащие углы при пересечении прямых Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхсекущей Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхПоэтому Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(по признаку параллельности прямых). Следовательно, в четырехугольнике Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхпротиволежащие стороны попарно параллельны. Поэтому Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых-параллелограмм.

2) Пусть в четырехугольнике Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(рис. 22). Проведем диагональ Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхТогда Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(по трем сторонам). Поэтому Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи следовательно, Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхСледовательно, Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых— параллелограмм.

Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

3) Пусть в четырехугольнике Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхдиагонали Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхпересекаются в точке Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(рис. 23). Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(как вертикальные). Поэтому Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(по двум сторонам и углу между ними). Отсюда Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхАналогично доказываем, что Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхПринимая во внимание п. 2) этой теоремы, приходим к выводу, что Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых— параллелограмм.

4) Пусть в параллелограмме Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(рис. 16). Так как Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхто Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхт. е. Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхоткуда Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхНо Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых— внутренние накрест лежащие углы для прямых Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи секущей Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхПоэтому Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых

по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхСледовательно, Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых— параллелограмм.

Пример:

В четырехугольнике Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхЧетырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхДокажите, что Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых— параллелограмм.

Доказательство:

Пусть Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых— данный четырехугольник (рис. 22). Рассмотрим Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхи Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых— их общая сторона, Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(по условию). Тогда, Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямых(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхНо тогда в четырехугольнике Четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны то есть лежат на параллельных прямыхпротиволежащие стороны попарно равны, поэтому он является параллелограммом.

О некоторых видах четырехугольников (квадраты, прямоугольники, равнобокие и прямоугольные трапеции) знали еще древнеегипетские и вавилонские математики.

Термин «параллелограмм» греческого происхождения, считают, что он был введен Евклидом (около 300 г. до н. э.). Также известно, что еще раньше о параллелограмме и некоторых его свойствах уже знали ученики школы Пифагора («пифагорейцы»).

В «Началах» Евклида доказана следующая теорема: в параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны, а диагональ делит его пополам, но не упоминается о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую из них пополам.

Евклид также не упоминает ни о прямоугольнике, ни о ромбе.

Полная теория параллелограммов была разработана лишь в конце Средневековья, а в учебниках она появилась в XVII в. Все теоремы и свойства параллелограмма в этих учебниках основывались на аксиоме параллельности Евклида.

Термин «диагональ» — греческого происхождения; «диа» означает «через», а «гониос» — «угол», что можно понимать как отрезок, соединяющий вершины углов.

Следует отметить, что Евклид, как и большинство математиков того времени, для названия отрезка, соединяющего противолежащие вершины четырехугольника, в частности прямоугольника, употреблял другой термин — «диаметр». Это можно объяснить тем, что первые геометры свои рассуждения основывали на вписанных в окружность прямоугольниках. В Средние века для названия упомянутого отрезка использовали оба термина. Лишь в XVIII в. термин «диагональ» стал общепринятым.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площадь параллелограмма
  • Прямоугольник и его свойства
  • Ромб и его свойства, определение и примеры
  • Квадрат и его свойства
  • Свойство точек биссектрисы угла
  • Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
  • Четырехугольник и его элементы
  • Четырехугольники и окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔍 Видео

Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, тоСкачать

Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Доказательство первого признака параллелограммаСкачать

Доказательство первого признака параллелограмма

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограмма

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК 8 класс РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АтанасянСкачать

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК 8 класс РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Атанасян

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Задание 25 Доказать, что четырёхугольник параллелограмм Определение параллелограммаСкачать

Задание 25 Доказать, что четырёхугольник параллелограмм  Определение параллелограмма

Параллелограмм и вся его семейкаСкачать

Параллелограмм и вся его семейка

Противоположные стороны параллелограмма равны 8 клСкачать

Противоположные стороны параллелограмма равны 8 кл

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)

8 класс. Геометрия. Четырехугольник: вершины, стороны, диагонали. Свойства параллелограмма. Урок #1Скачать

8 класс. Геометрия. Четырехугольник: вершины, стороны, диагонали. Свойства параллелограмма. Урок #1

Паралеллограмм свойства . Геометрия 8 классСкачать

Паралеллограмм свойства . Геометрия 8 класс

Геометрия 8 класс (Урок№3 - Признаки параллелограмма)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№3 - Признаки параллелограмма)
Поделиться или сохранить к себе: