Приклади задач на колінеарність векторів на площині
Розв’язок: Так як вектори не містять компоненти що дорівнюють нулю, то скористаємось другою умовою колінеарності, яка у випадку плоскої задачі для векторів a і b буде мати наступний вигляд:
ax
=
ay
.
bx
by
Вектора a і b колінеарні т.я.
1
=
2
.
4
8
Вектори a і с не колінеарні т.я.
1
≠
2
.
5
9
Вектора с і b не колінеарні т.я.
5
≠
9
.
4
8
Розв’язок: Так як вектори мають компоненти що дорівнюють нулю, то скористаємось першою умовою колінеарності, знайдемо чи існує таке число n для якого:
Для цього знайдемо ненульовий компонент вектора a в даному випадку це ay . Якщо вектори колінеарні тоді
n =
by
=
6
= 2
ay
3
Знайдемо значення n a :
Так як b = n a , то вектори a і b колінеарні.
Розв’язок: Так як вектори не містять компонентів рівних нулю, то скористаємось другою умовою колінеарності
ax
=
ay
.
bx
by
3
=
2
.
9
n
Розв’яжемо це рівняння:
n =
2 · 9
= 6
3
Відповідь: вектори a і b колінеарні коли n = 6.
Приклади задач на колінеарність векторів в просторі
Розв’язок: Так як вектори не містять компоненти що дорівнюють нулю, то скористаємось другою умовою колінеарності, яка у випадку просторової задачі для векторів a і b буде мати наступний вигляд:
ax
=
ay
=
az
.
bx
by
bz
Вектора a і b колінеарні т.я.
1
=
2
=
3
.
4
8
12
Вектора a і с не колінеарні т.я.
1
=
2
≠
3
.
5
10
12
Вектора с і b не колінеарні т.я.
5
=
10
≠
12
.
4
8
12
Розв’язок: Так як вектори мають компоненти що дорівнюють нулю, то скористаємось першою умовою колінеарності, знайдемо чи існує таке число n для якого:
Для цього знайдемо ненульовий компонент вектора a в даному випадку це ay . Якщо вектори колінеарні тоді
n =
by
=
6
= 2
ay
3
Знайдемо значення n a :
Так як b = n a , то вектори a і b колінеарні.
Розв’язок: Так як вектори не містять компонентів рівних нулю, то скористаємось другою умовою колінеарності
ax
=
ay
=
az
.
bx
by
bz
3
=
2
=
m
9
n
12
З цього співвідношення отримаємо два рівняння:
3
=
2
9
n
3
=
m
9
12
Розв’яжемо ці рівняння:
n =
2 · 9
= 6
3
m =
3 · 12
= 4
9
Відповідь: вектори a і b колінеарні коли n = 6 і m = 4.
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Який вектор колінеарний до будь якого вектора
Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!
Видео:g091303 Властивості векторів Колінеарність векторівСкачать
Який вектор колінеарний до будь якого вектора
Название работы: Вектори і лінійні дії над ними
Предметная область: Математика и математический анализ
Описание: Багато фізичних величин повністю визначається своїм числовим значенням (об’єм, маса, температура); вони називаються скалярними. Але є такі, які крім числового значення мають ще і напрям (швидкість, сила).
Дата добавления: 2014-06-19
Размер файла: 594.5 KB
Работу скачали: 18 чел.
Вектори і лінійні дії над ними
1.1 Скалярні і векторні величини
Багато фізичних величин повністю визначається своїм числовим значенням (обєм, маса, температура); вони називаються скалярними. Але є такі, які крім числового значення мають ще і напрям (швидкість, сила). Це векторні величини.
Вектором називається напрямлений відрізок . Якщо початок вектора міститься у точці А, а кінець у точці В, то вектор позначають . Вектор позначають також малою буквою латинського алфавіту із стрілочкою зверху.
Відстань між початком вектора і його кінцем називається довжиною (або модулем) вектора і позначається або .
Вектор, довжина якого дорівнює о, називається нульовим () .
Одиничним називається вектор, довжина якого дорівнює одиниці. Він називається і має напрям вектора .
Вектори, які лежать на паралельних (або на одній і тій самій прямій) називаються колінеарними.
Вектори, які лежать на паралельних площинах (або на одній і тій самій площині), називаються компланарними.
Вектори називають рівними між собою, якщо вони колінеарні, однаково напрямлені і рівні за модулем.
Вектор, колінеарний даному вектору , рівний йому за модулем і протилежно напрямлений, називається протилежним вектором для вектора і позначається -.
Радіус-вектором точки М відносно точки О називається вектор .
1.2 Лінійні дії з векторами.
До лінійних дій з векторами належать додавання і віднімання векторів, множення вектора на число.
Додавання векторів. Сума двох векторів і є вектор , напрямлений з початку вектора в кінець вектора за умови, що початок вектора збігається з кінцем вектора . Це правило називають правилом трикутника.
Суму двох векторів можна побудувати за правилом паралелограма.
Щоб побудувати суму будь-якого скінченого числа векторів, потрібно в кінці першого вектора побудувати другий, в кінці другого побудувати третій і т.д. Напрямлений відрізок, що йде з початку першого вектора в кінець останнього і буде сумою даних векторів.
Віднімання векторів визначається як дія, обернена додаванню. Різницею називається вектор , який, будучи доданий до вектора , дає вектор .
Множення вектора на число. Цю операцію можна розширити, як „розтяг” вектора в λ > 1 і „стиск” при 0 λ . При λ 0 відбувається ще й зміна напрямку.
Лінійні операції над векторами мають такі властивості:
1.3. Розкладання вектора за базисом
Базисом на прямій називається ненульовий вектор на цій прямій.
Базисом на площині називається довільна упорядкована пара не колінеарних векторів.
Базисом у просторі довільна упорядкована трійка не компланарних векторів.
Вектори, що складають базис, називаються базисними. Розкласти вектор за базисом означає зобразити його у вигляді лінійної комбінації базисних векторів.
Якщо вектори , , складають базис і вектор , розкладений за базисом, тобто , то числа α, β, γ називаються координатами вектора в даному базисі.
Вектор є лінійною комбінацією векторів , , .
Кожен вектор, паралельний якій-небудь прямій, можна розкласти за базисом на цій прямій.
Кожен вектор, паралельний якій-небудь площині, можна розкласти за базисом на цій площині.
Кожен вектор можна розкласти за базисом у просторі.
Координати вектора у кожному випадку визначаються однозначно.
Розглянемо геометричний зміст цієї теореми.
Нехай АВСД паралелограм, M і N середини його сторін.
Розкласти вектор за векторами та
З 1-ї рівності . Підставимо у 2:
Тобто, якщо базисними векторами є вектори та , то координати вектора в цьому базисі є числа (4/3) та (-2/3).
2.1. Декартова система координат
Розглянемо в просторі точку О і деякий базис, що задається векторами , , . Сукупність точки і базису називається декартовою системою координат.
В цій системі координат вектор може бути розкладений
де х 1 , х 2 , х 3 координати цього вектора.
2.2. Прямокутня система координат
Ясно, що декартових систем координат може бути скільки завгодно. Серед них широко використовується прямокутня декартова система координат. Для визначення цієї системи введемо такі поняття.
Упорядкована трійка одиничних попарно ортогональних векторів називається ортонормованим базисом .
Прямокутню систему координат позначаємо О xyz . (Ох вісь абсцис, Оу вісь ординат, О z вісь аплікат).
А площини Оху, Oyz , Ozx координатні площини.
Прямокутна система координат називається правою, якщо її ортонормований базис утворює праву трійку векторів (,,), тобто з кінця вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого вектора видно проти годинникової стрілки. В протилежному випадку ліва.
Надалі ми будемо користуватися правою системою координат.
Нехай задана прямокутна система координат Oxyz і довільна точка М.
Тоді . Координати вектора ( x ; y ; z ) називають координатами точки М. M ( x ; y ; z ) .
З ортогональності базисних векторів системи Oxyz випливає, що координати точки М дорівнюють відповідним проекціям радіус-вектора цієї точки на осі координат:
х = пр. х ; у = пр. у ; z = пр. z .
Якщо прямокутна система задана на площині, то точка має дві координати: М(х;у).
3 . Вектори в системі координат.
3.1. Координати, довжина і напрямні косинуси вектора.
1. Координати вектора. Нехай в прямокутній системі координат О xyz задано вектор Це означає, що в ортонормованому базисі який задає цю систему, вектор
Де числа a x , a y , a z координати вектора в цьому базисі. Але
Отже, координати вектора в системі координат О xyz це його проекції на осі координат.
2. Довжина вектора .Зобразимо вектор в декартовій системі координат.
Вектор є діагоналлю прямокутнього паралелепіпеда з векторами тому довжина цього вектора дорівнює
Якщо початок вектора міститься в точці А( x 1 ;y 1 ;z 1 ), а кінець у точці В( x 2 ;y 2 ;z 2 ), то впливає, що
тобто — координати вектора
Цю формулу використовують, коли знаходять відстань між точками А і В.
3.2 Напрямні косинуси вектора .
Напрям довільного вектора ( a x , a y , a z ) визначаються кутами α, β, γ, які утворює вектор з осями координат. Косинуси цих кутів називаються напрямними косинусами
Підносимо обідві частини кожної рівності до квадрата і підсумовуючи їх, одержимо:
Знайти координати, довжину та котрим вектора якщо
задано точки А(0;-1;2) і В(-1;1;4).
Чи може вектор утворювати з осями координат кути
3.3. Лінійні дії з векторами. Рівність і колінеарність векторів.
Дії з векторами. Якщо відомі координати векторів, то лінійним діям з векторами відповідають відповідні арифметичні дії над їхніми координатами.
Нехай задамо вектори , і дійсне число . Тоді
Рівність векторів. Нехай вектори та рівні, тобто
мають однакові довжини і напрям, тоді
і навпаки: з рівності координат випливає рівність векторів.
Колінеарність векторів. Необхідною і достатньою умовою того, що вектори та колінеарні, є пропорціональність їх проекцій:
Приклад: Знайти вектор колінеарний вектору
Поділ відрізка в даному відношенні. Координата центру мас.
Нехай задамо відрізок АВ точками А( x 1 ;y 1 ;z 1 ) та B(x 2 ;y 2 ;z 2 ) . Якщо точка С ( x;y;z ) належить відрізку АВ і ділить його у відношенні
то координати точки С можна знайти за формулою:
Закрема, якщо точка С ділить відрізок АВ навкіл (), то
4. С каля рний добуток двох векторів.
4.1. Означення, геометричний та механічний зміст скалярного добутку.
Скалярним добутком двох векторів та називається число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута.
Оскільки ││со sφ = ; ││с osφ = =; то маємо:
Ці формули виражають геометричній зміст скалярного добутку — скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного вектора на проекцію на нього другого вектора.
З фізики видимо, що робота А сили при переміщенні матеріальної точки з початку в кінець вектора , який утворює з вектором
Отже, робота дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор переміщення. В цьому суть механічного скалярного добутку.
4.2. Властивості скалярного добутку.
4) Якщо , то коли кут -гострий, і коли кут — тупий.
6) Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини
Знайти скалярний добуток векторів і , якщо
Знайти довжину вектора , якщо
4.3. Вираз скалярного добутку через координати. Кут між векторами.
Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , який визначається трьома умовами:
вектор перпендикулярний до кожного з векторів і ;
вектор має такий напрямок, що при спостереженні з його кінця найближчий поворот від вектора до вектора виконується проти годинникової стрілки;
довжина вектора дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і ;
Вектор добуток позначають × ; або [].
Нехай в т. А прикладена сила і О деяка фізична точка. Відомо, що моментом сили від точки О називається вектор , довжина якого дорівнює добутку сили на плече і який направлений по осі одержання так, що коли дивитись з його кінця, то одержання тіла відбувається проти руху стрілки годинника.
Тобто момент сили , прикладеної у точку А відносно т. О виражається векторними добутком
Алгебраїчні властивості векторного добутку.
Геометричні властивості векторного добутку.
1. × = 0 тоді і лише тоді, коли і колінеарні.
2. Модуль векторного добутку не колінеарних векторів дорівнює площі S паралелограма, побудованого на векторах і , віднесених до спільного початку.
Векторні добутки ортів будуть:
5.2 Векторній добуток двох векторів,заданих координатами
Нехай в прямокутній системі координат задано вектори та . Покажемо, що їх векторний добуток визначається за формулою:
Знайти площу трикутника заданого вершинами А(1;2;0),
В(0;-2;1), С(-1;0;2). Площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах и .
Мішаний добуток векторів.
6.1. Означення і обчислення мішаного добутку
Множення трьох векторів ,і можна виконати різними способами. Розглянемо найбільш важливий з них.
Спочатку знайдемо векторний добуток × , а потім одержаний новий вектор полярно помножимо на , тобто отримаємо ( × ). Це і буде мішаним добутком векторів ,і.
Якщо векторі задані координатами, тобто та
Доведемо цю формулу . Знайдемо
А це і є визначення у розкритому вигляді
6.2 Властивості мішаного добутку
1. Якщо поміняти місцями які-небудь два множниками, то мішаний добуток змінить знак:
2. У мішаному добутку знаки векторного і скалярного добутків можна міняти місцями:
Тому мішаний добуток позлягають так: .
3. При циклічній перестановці множників мішаний добуток не змінюється:
Наступні три властивості виражають геометричний зміст мішаного добутку.
4. Модуль мішаного добутку дорівнює об єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , і , віднесених до спільного початку:
5. Якщо мішаний добуток додатній, то вектори утворюють праву трійку, якщо від ємний, то ліву.
6. Вектори компланарні тоді і тільки тоді, нам їхній мішаний добуток дорівнює нулю.
Знайти об єм тетраедра, заданого вершинами А(2;-1;0), В(5;5;3), С(3;2;-2), Д(4;1;2).
Відомо, що об єм тетраедра, побудованого на векторах дорівнює шостій частині об єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах.
💡 Видео
Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать
