Если нормальные векторы плоскостей и являются коллинеарными то плоскости

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).

рис. 1

Видео:Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

Доказательство третего условия коллинеарности

Пусть есть два коллинеарные вектора a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < na_x ; na_y ; na_z >. Найдем их векторное произведение

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Примеры задач на коллинеарность векторов

Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это a_y . Если вектора колинеарны то

Найдем значение n a :

Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

Решим это уравнение:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.

Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:

Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12

Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12

Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это a_y . Если вектора колинеарны то

Найдем значение n a :

Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

Из этого соотношения получим два уравнения:

Решим эти уравнения:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.

Видео:5. Нормальное уравнение плоскости выводСкачать

Нормальный вектор плоскости

Вы будете перенаправлены на Автор24

Нормальный вектор плоскости — наиболее компактный и наглядный способ определить плоскость в трехмерной системе координат.

Вектор нормали к плоскости — любой ненулевой вектор, принадлежащий прямой, перпендикулярной к рассматриваемой плоскости. По отношению к такой прямой нормальный вектор является направляющим.

Для каждой плоскости существует бесконечное множество коллинеарных друг по отношению к другу нормальных векторов.

В качестве примера плоскостей, задаваемых нормальными векторами, можно рассматривать координатные плоскости системы координат $Oxyz$: $Oxy$, $Oxz$, $Oyz$. Для них нормальными векторами будут, векторы, направляющие оси, т.е., соответственно, $Oz$, $Oy$ и $Ox$ ($vec, vec, vec$).

Рисунок 1. Векторы в трехмерной системе координат. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим основные математические закономерности, показываюшие как найти вектор нормали к плоскости.

Формула нормального вектора выводится из общего уравнения плоскости, которое имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.

Плоскости, в уравнениях которых один из коэффициентов равен $0$, соответствуют базовым плоскостям системы координат ($Oxy, Oxz, Oyz$).

$Ax + D = 0 \ By + D = 0 \ Cz + D = 0$

описывают плоскости, параллельные $Oxy, Oxz, Oyz$ и отстоящие от них на расстояние, равное отношению свободного члена $D$ к соответствующему коэффициенту, например:

Нормальный вектор плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ можно выразить как $bar(A; B; C)$. Существует бесконечное множество плоскостей, перпендикулярных данному вектору. Для определения плоскости нужна еще точка на ней. Через любую точку также можно провести бесконечное количество плоскостей (их совокупность называется связкой). Нормальный вектор и точка взаимодополняют друг друга, определяя единственную плоскость.

Готовые работы на аналогичную тему

Точку на плоскости можно обозначить как $M_1(x; y; z)$. Вектор, соединяющий ее с любой другой точкой $M$ данной плоскости, при скалярном умножении на вектор нормали к плоскости $N$ дает ноль:

$overline cdot N = 0$

Переписав уравнение через проекции, получим

$overline cdot N = A(x — x_1) + B(y — y_1) + C(z — z_1) = 0$

Это дает нам возможность выводить уравнение плоскости через координаты точки и параметры нормального вектора плоскости.

Определить плоскость в пространстве можно и другими способами, например, с помощью указания координат трех ее точек, не лежащих на одной прямой, двух неколлинеарных векторов и точки и т.д. Однако форма записи с помощью нормального вектора плоскости и точки наиболее компактна. К ней другие методы задания плоскости можно привести путем алгебраических преобразований.

С помощью нормального вектора плоскости как ее определителя могут быть решены задачи на доказательство параллельности или перпендикулярности плоскостей, на составление уравнения плоскости, на нахождение угла между прямой и плоскостью, на нахождение угла между плоскостями.

Сформулируем уравнение плоскости, проходящей через точку с координатами $M(1; -2; 3)$ и перпендикулярной вектору $N = 2i + 4k$.

Для начала найдем коэффициенты, соответствующие координатам:

$A = 2 \ B = 0 \ C = 4$

Заметим, что $B = 0$ следует из того, что направляющий вектор $vec$ оси $Oy$ в исходном уравнении не упоминается.

Подставим значения в формулу:

$2(x — 1) + 0(y + 2) + 4(z — 3) = 0$

После стандартных преобразований получим ответ:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 03 2021

Видео:Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Скачать

Параллельные плоскости, признак и условия параллельности плоскостей

В данной статье будут изучены вопросы параллельности плоскостей. Дадим определение плоскостям, которые параллельны между собой; обозначим признаки и достаточные условия параллельности; рассмотрим теорию на иллюстрациях и практических примерах.

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Параллельные плоскости: основные сведения

Параллельные плоскости – плоскости, не имеющие общих точек.

Чтобы обозначить параллельность применяют такой символ: ∥ . Если заданы две плоскости: α и β , являющиеся параллельными, краткая запись об этом будет выглядеть так: α ‖ β .

На чертеже, как правило, плоскости, параллельные друг другу, отображаются как два равных параллелограмма, имеющих смещение относительно друг друга.

В речи параллельность можно обозначить так: плоскости α и β параллельны, а также – плоскость α параллельна плоскости β или плоскость β параллельна плоскости α .

Видео:Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать

Параллельность плоскостей: признак и условия параллельности

В процессе решения геометрических задач зачастую возникает вопрос: а параллельны ли заданные плоскости между собой? Для получения ответа на этот вопрос используют признак параллельности, который также является достаточным условием параллельности плоскостей. Запишем его как теорему.

Плоскости являются параллельными, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Доказательство этой теоремы приводится в программе геометрии за 10 — 11 класс.

В практике для доказательства параллельности, в том числе, применяют две следующие теоремы.

Если одна из параллельных плоскостей параллельна третьей плоскости, то другая плоскость или также параллельна этой плоскости, или совпадает с ней.

Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны некоторой прямой, то они параллельны.

На основе этих теорем и самого признака параллельности доказывается факт параллельности любых двух плоскостей.

Рассмотрим подробнее необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей α и β , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Допустим, что в некоторой прямоугольной системе координат задана плоскость α, которой соответствует общее уравнение A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , а также задана плоскость β , которую определяет общее уравнение вида A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Для параллельности заданных плоскостей α и β необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имела решения (являлась несовместной).

Предположим, что заданные плоскости, определяемые уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 являются параллельными, а значит не имеют общих точек. Таким образом, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, координаты которой отвечали бы условиям одновременно обоих уравнений плоскостей, т.е. система A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имеет решения. Если указанная система не имеет решений, тогда не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, чьи координаты одновременно отвечали бы условиям обоих уравнений системы. Следовательно, плоскости, заданные уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имеют ни одной общей точки, т.е. они параллельны.

Разберем использование необходимого и достаточного условия параллельности плоскостей.

Заданы две плоскости: 2 x + 3 y + z — 1 = 0 и 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 . Необходимо определить, являются ли они параллельными.

Решение

Запишем систему уравнений из заданных условий:

2 x + 3 y + z — 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0

Проверим, возможно ли решить полученную систему линейных уравнений.

Ранг матрицы 2 3 1 2 3 1 1 3 равен одному, поскольку миноры второго порядка равны нулю. Ранг матрицы 2 3 1 1 2 3 1 1 3 — 4 равен двум, поскольку минор 2 1 2 3 — 4 отличен от нуля. Таким образом, ранг основной матрицы системы уравнений меньше, чем ранг расширенной матрицы системы.

Совместно с этим, из теоремы Кронекера-Капелли следует: система уравнений 2 x + 3 y + z — 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 не имеет решений. Этим фактом доказывается, что плоскости 2 x + 3 y + z — 1 = 0 и 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 являются параллельными.

Отметим, что, если бы мы применили для решения системы линейных уравнений метод Гаусса, это дало бы тот же результат.

Ответ: заданные плоскости параллельны.

Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей возможно описать по-другому.

Чтобы две несовпадающие плоскости α и β были параллельны друг другу необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы плоскостей α и β являлись коллинеарными.

Доказательство сформулированного условия базируется на определении нормального вектора плоскости.

Допустим, что n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) являются нормальными векторами плоскостей α и β соответственно. Запишем условие коллинеарности данных векторов:

n 1 → = t · n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2 C 1 = t · C 2 , где t – некое действительное число.

Таким образом, чтобы несовпадающие плоскости α и β с заданными выше нормальными векторами были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы имело место действительное число t , для которого верно равенство:

n 1 → = t · n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2 C 1 = t · C 2

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства заданы плоскости α и β . Плоскость α проходит через точки: A ( 0 , 1 , 0 ) , B ( — 3 , 1 , 1 ) , C ( — 2 , 2 , — 2 ) . Плоскость β описывается уравнением x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 Необходимо доказать параллельность заданных плоскостей.

Решение

Удостоверимся, что заданные плоскости не совпадают. Действительно, так и есть, поскольку координаты точки A не соответствуют уравнению плоскости β .

Следующим шагом определим координаты нормальных векторов n 1 → и n 2 → , соответствующие плоскостям α и β . Также проверим условие коллинеарности этих векторов.

Вектор n 1 → можно задать, взяв векторное произведение векторов A B → и A C → . Их координаты соответственно: ( — 3 , 0 , 1 ) и ( — 2 , 2 , — 2 ) . Тогда:

n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → — 3 0 1 — 2 1 — 2 = — i → — 8 j → — 3 k → ⇔ n 1 → = ( — 1 , — 8 , — 3 )

Для получения координат нормального вектора плоскости x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 приведем это уравнение к общему уравнению плоскости:

x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 12 x + 2 3 y + 1 4 z — 1 = 0

Таким образом: n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4 .

Осуществим проверку, выполняется ли условие коллинеарности векторов n 1 → = ( — 1 , — 8 , — 3 ) и n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4

Так как — 1 = t · 1 12 — 8 = t · 2 3 — 3 = t · 1 4 ⇔ t = — 12 , то векторы n 1 → и n 2 → связаны равенством n 1 → = — 12 · n 2 → , т.е. являются коллинеарными.

Ответ: плоскости α и β не совпадают; их нормальные векторы коллинеарные. Таким образом, плоскости α и β параллельны.

📽️ Видео

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

Направляющий и нормальный вектор прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Коллинеарность векторовСкачать

9. Угол между плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности плоскостейСкачать

Математический анализ, 33 урок, Касательная плоскость и нормаль к поверхностиСкачать

10 класс, 43 урок, Компланарные векторыСкачать

Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать