Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1 : 3 : 15 : 17. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
Пусть дуга AB равна x, тогда
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно,
Заметим, что составители ЕГЭ дали в условии рисунок, не соответствующий вычисленным значениям углов.
Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать
Задание 3 ЕГЭ по математике (профиль) часть 6
Тренажер задания 3 профильного ЕГЭ по математике-2022 (с ответами). Здесь приведены прототипы задания 3 — задачи на нахождение элементов в окружности. Это задание на планиметрию. Номер заданий соответствует номеру заданий в базе mathege.ru.
Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать
Элементы в окружности
27857. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную радиусу окружности. Ответ дайте в градусах.
27858. Найдите хорду, на которую опирается угол 30º, вписанный в окружность радиуса 3.
27864. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна 1/5 длины окружности. Ответ дайте в градусах.
27866. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, имеет градусную меру 200º, а дуга окружности BC, не содержащая точки A, имеет градусную меру 80º. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
27862. Найдите хорду, на которую опирается угол 120º, вписанный в окружность радиуса 
27867. Хорда AB делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 5 : 7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
27868. Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
27859. Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.
27869. AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 38º. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
27870. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 110º. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
27871. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58º. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
27872. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95º, 49º, 71º, 145º. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
27873. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4 : 2 : 3 : 6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
27874. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105º, угол CAD равен 35º. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
27875. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75º, угол CAD равен 35º. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
27876. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110º, угол ABD равен 70º. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
27877. Хорда AB стягивает дугу окружности в 92º. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.
27878. Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32º. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.
27879. Через концы A, B дуги окружности в 62º проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
27880. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122º. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
27881. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, сторона CO пересекает окружность в точке B (см. рис.), а меньшая дуга окружности AB, заключенная внутри этого угла, равна 64º. Ответ дайте в градусах.
27883. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, сторона CO пересекает окружность в точках B и D (см. рис.), а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 116º. Ответ дайте в градусах.
27884. Угол ACO равен 24º. Его сторона CA касается окружности с центром в точке O. Найдите градусную меру большей дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
27882. Угол ACO равен 28º, где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Сторона CO пересекает окружность в точке B (см. рис.). Найдите величину меньшей дуги AB окружности. Ответ дайте в градусах.
27885. Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные меры которых равны соответственно 118º и 38º. Ответ дайте в градусах.
27886. Угол ACB равен 42º. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 124º. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Геометрия. Урок 5. Задания. Часть 2.
№12. Четырехугольник A B C D вписан в окружность. Угол ∠ A B C равен 70 ° , угол ∠ C A D равен 49 ° . Найдите угол ∠ A B D .
Решение:
Оба вписанных угла ∠ D A C и ∠ D B C опираются на одну дугу ∪ D C .
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
∠ D A C = ∠ D B C = 49 °
Рассмотрим △ A B C :
∠ A B D + ∠ D B C = ∠ A B C
№13. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника △ A B C , в котором A B = B C и ∠ A B C = 177 ° . Найдите величину угла ∠ B O C .
Решение:
∠ A B C – вписанный, опирается на дугу ∪ A C .
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
∪ A C = 2 ⋅ ∠ A B C = 2 ⋅ 177 ° = 354 °
∪ A B C = 360 ° − 354 ° = 6 °
Дуги ∪ A B и ∪ B C равны, так как их стягивают равные хорды.
∪ A B = ∪ B C = ∪ A B C 2 = 6 ° 2 = 3 °
∠ B O C – центральный.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
№14. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 14 . Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120 ° . Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
Решение:
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Сумма углов в треугольнике равна 180 ° .
α + α + 120 ° = 180 °
Применим расширенную теорему синусов для стороны B C и угла ∠ B A C :
B C sin ∠ B A C = 2 R
Поскольку диаметр окружности равен двум радиусам,
№15. В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла ∠ A B C .
Решение:
Равные хорды стягивают равные дуги. Правильный восьмиугольник разбивает окружность на восемь равных дуг. Градусная мера одной дуги равна
∠ A B C – вписанный, он равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
∠ A B C = 45 ° + 45 ° + 45 ° + 45 ° 2 = 90 °
№16. Точки A , B , C и D лежат на одной окружности так, что хорды A B и C D взаимно перпендикулярны, а ∠ B D C = 25 ° . Найдите величину угла ∠ A B D .
Решение:
∠ B A O = ∠ B D C = 25 ° , так как они опираются на одну и ту же дугу d .
Рассмотрим треугольник △ A B O , он прямоугольный, поэтому:
∠ A B O + 25 ° + 90 ° = 180 °
∠ A B O = 180 ° − 90 ° − 25 ° = 65 °
№17. На окружности по разные стороны от диаметра A B взяты точки M и N . Известно, что ∠ N B A = 38 ° . Найдите угол ∠ N M B .
Решение:
∠ N M B = ∠ N A B , так как они опираются на одну и ту же дугу.
∠ N A B найдем из треугольника △ A N B .
Так как по условию задачи A B – диаметр, ∠ A N B = 90 ° , то есть △ A N B прямоугольный.
∠ N A B + 38 ° + 90 ° = 180 °
∠ N A B = 180 ° − 90 ° − 38 °
∠ N A B = 52 ° = ∠ N M B
№18. Треугольник △ A B C вписан в окружность с центром в точке O . Найдите градусную меру угла C треугольника △ A B C , если ∠ A O B = 115 ° .
Решение:
∠ A O B – центральный.
Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.
Значит ∪ A B = 115 ° .
∠ A C B – вписанный, опирается на дугу ∪ A B
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
∠ A C B = ∪ A B 2 = 115 ° 2 = 57,5 °
№19. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠ A O B = 120 ° . Длина меньшей дуги ∪ A B равна 67 . Найдите длину большей дуги.
Решение:
1 способ:
Обозначим большую дугу за l .
Длина дуги окружности, на которую опирается центральный угол α равна:
l α = π R 180 ∘ ⋅ α
∪ A B = π R 180 ° 3 ⋅ 120 ° 2 = 67
2 π R 3 = 67 ⇒ π R = 3 ⋅ 67 2
Центральный угол, который опирается на большую дугу l равен 360 ° − 120 ° = 240 ° .
Найдем длину дуги l по формуле:
l = π R 180 ° ⋅ 240 ° = 3 ⋅ 67 2 ⋅ 240 ° 4 180 ° 3 = 3 ⋅ 67 2 ⋅ 4 2 3 = 67 ⋅ 2 = 134
2 способ:
На большую дугу опирается угол в 240 ° , он в два раза больше, чем угол, который опирается на меньшую дугу. Значит длина большей дуги будет в два раза больше, чем длина меньшей дуги.
№20. A C и B D – диаметры окружности с центром O . ∠ A C B = 78 ° . Найдите угол ∠ A O D .
Решение:
∠ A O D = ∠ B O C , так как они вертикальные.
Рассмотрим треугольник △ B O C . Он равнобедренный, O B = O C , так как они являются радиусами окружности.
Раз △ B O C равнобедренный, справедливо равенство: ∠ C B O = ∠ B C O = 78 ° .
∠ B O C + 78 ° + 78 ° = 180 °
∠ B O C = 180 ° − 78 ° − 78 °
№21. Центр окружности, описанной около треугольника △ A B C , лежит на стороне A B . Найдите угол ∠ A B C , если ∠ B A C = 24 ° .
Решение:
Центр окружности лежит на стороне A B , значит A B – диаметр окружности, тогда ∠ A C B = 90 ° , так как является вписанным углом, опирающимся на дугу в 180 ° .
∠ A B C + 24 ° + 90 ° = 180 °
∠ A B C = 180 ° − 90 ° − 24 °
№22. В угол ∠ C = 71 ° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B , точка O – центр окружности. Найдите угол ∠ A O B .
Решение:
O A и O B – радиусы окружности, которые проведены к точкам касания A и B соответственно.
Радиус, проведенный к точке касания, образует с касательной прямой угол.
Рассмотрим четырехугольник A B C D .
Сумма углов в четырехугольнике равна 360 ° .
🔍 Видео
Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать
8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать
Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать
Задача 6 №27867 ЕГЭ по математике. Урок 108Скачать
Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Вписанные углы в окружностиСкачать
Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать
Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать
Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать
Геометрия Концы хорды AB делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 3:7Скачать
Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать
ОКРУЖНОСТЬ и ПРЯМОУГОЛЬНИК. ГЕНИАЛЬНО!Скачать
Задание 24 ОГЭ по математике #10Скачать
ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать
УГОЛ И ОКРУЖНОСТЬ: центральный угол, вписанный угол, длина дуги окружностиСкачать
