Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 16° и 33°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Больший из оставшихся углов лежит напротив меньшего из указанных в условии. Поэтому он равен 180° − 16° = 164°.
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 24° и 67°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Больший из оставшихся углов лежит напротив меньшего из указанных в условии. Поэтому он равен 180° − 24° = 156°.
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 65° и 41°. Найдите больший из оставшихся углов этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°, поэтому заданные углы — смежные. Больший из оставшихся углов даёт в сумме с меньшим из заданных 180°, поэтому он равен 180° − 41° = 139°.
Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 29° и 57°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Больший из оставшихся углов лежит напротив меньшего из указанных в условии. Поэтому он равен 180° − 29° = 151°.
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 
и 
Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Больший из оставшихся углов лежит напротив меньшего из указанных в условии. Поэтому он равен 180° − 58° = 122°.
Сумма углов четырехугольника
Свойства
- Сумма углов четырехугольника равна 360°.
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
- Если четырехугольник правильный, то каждый угол по 90°
и этот четырехугольник является квадратом.
∠A = ∠B = ∠C = ∠D, ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°,
ABCD — квадрат. - Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°,
если около четырехугольника описана окружность.
∠A + ∠С = ∠В + ∠D = 180°.
Такие четырехугольники называют вписанными.
Это все виды четырехугольников,
которые изучаются в школьном
курсе по геометрии.
Вписанный четырехугольник. Задание 6
Вписанный четырехугольник. Задание 6
При решении задач на нахождение углов вписанного четырехугольника нам нужно вспомнить, что
1. Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности:
2. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°:
Рассмотрим решение задач из Открытого банка заданий по математике:
1 .Задание B7 (№ 27871)
Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. 
Сумма углов А и С равна 180°, поэтому угол С равен 180°-58°=122°
Ответ: 122°
2 . Задание B7 (№ 27927)
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Углы 82° и 58° не могут быть противоположными, так как их сумма не равна 180°. Значит, оставшиеся углы являются противоположными к этим. очевидно. что величина большего угла равна 180°-58°=122°
3 . Задание B7 (№ 27928)
Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 1:2:3. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
Введем единичный угол. Тогда величины углов А, В и С можно записать так:
А=х, В=2х, С=3х. Суммы противоположных углов вписанного четырехугольника равны и равны 180°. Сумма углов А и С равна 4х и равна 180°. Отсюда х=45°.
Очевидно, что величина угла D равна 4х-2х=90°