Окружность девяти точек задачи

§ 8. Окружность девяти точек

Чтобы облегчить восприятие дальнейшего, мы уберем некоторые линии на рисунке 15 и добавим несколько других; в результате получим рисунок 16. Рассмотрим внимательно новый чертеж, на котором K, L, M — середины отрезков AH, BH, CH, лежащих на высотах. Так как BC — общая сторона двух треугольников ABC и HBC, а точки C′, B′ и LM, M являются серединами других их сторон соответственно, то отрезки C′B′ и LM параллельны прямой BC (а их длины равны половине длины отрезка BC). Аналогично, так как AH — общая сторона двух треугольников BAH и CAH, то оба отрезка C′L и B′M параллельны прямой AH (а их длины равны половине длины отрезка AH). Следовательно, B′C′LM — параллелограмм. Так как отрезки BC и AH — перпендикулярны, то этот параллелограмм — прямоугольник. Аналогично, A′B′KL — прямоугольник (как и C′A′MK). Следовательно, A′K, B′L, C′M являются тремя диаметрами окружности, как показано на рисунке 17.

Так как ∠A′DK — прямой, эта окружность (построенная на отрезке A′K, как на диаметре) проходит через точку D. Точно также она проходит через точки E и F. Суммируя вышесказанное, получаем:

Теорема 1.81. Основания трех высот произвольного треугольника, середины трех его сторон и середины трех отрезков, соединяющие его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности радиуса 1 2 ⁢ R .

Следуя Ж. В. Понселе, мы называем ее окружностью девяти точек этого треугольника. Так как три точки K, L, M диаметрально противоположны точкам A′, B′, C′, то каждый из двух треугольников KLM или A′B′C′ может быть получен из другого поворотом на 180° вокруг центра этой окружности. Очевидно, что этот поворот, который меняет местами эти два конгруэнтных треугольника, должен также поменять местами и их ортоцентры H и O. Следовательно, центром окружности девяти точек является середина отрезка HO, которую уже ранее мы обозначили через N, имея в виду ее будущую роль центра окружности девяти точек. Другими словами:

Теорема 1.82. Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.

История этих двух теорем несколько запутана. Задача Б. Бивана, опубликованная в английском журнале в 1804 году, по-видимому, указывает на то, что эти теоремы уже тогда были известны. Иногда они ошибочно приписываются Эйлеру, который уже в 1765 году доказал, что ортотреугольник и серединный треугольник имеют общую описанную окружность. И в самом деле, европейские авторы часто называют эту окружность «окружностью Эйлера». По-видимому, первое полное доказательство было опубликовано в 1821 году Понселе. К. Фейербах переоткрыл частичный результат Эйлера еще позже и добавил новое свойство, которое является настолько замечательным, что побуждает многих авторов называть окружность девяти точек «окружностью Фейербаха». Теорема Фейербаха (которую мы докажем в § 6 гл. 5) утверждает, что окружность девяти точек касается вписанной и всех вневписанных окружностей.

Упражнения

1. Четырехугольник AKA′O (см. рис. 16) — параллелограмм.

2. В окружности девяти точек (см. рис. 17) точки K, L, M делят пополам соответственно дуги EF, FD и DE.

3. Окружность, описанная вокруг треугольника ABC, является окружностью девяти точек треугольника I_aI_bI_c.

4. Пусть три конгруэнтные окружности имеют общую точку и пересекаются еще в трех точках A, B и C. Тогда радиус каждой из этих окружностей равен радиусу окружности, описанной вокруг треугольника ABC, и их общая точка является ортоцентром этого треугольника.

5. Окружность девяти точек пересекает стороны треугольника под углами B ^ − C ^ , C ^ − A ^ , A ^ − B ^ .

Видео:Окружность девяти точек уничтожает задачу на ЕГЭСкачать

Окружность девяти точек задачи

«Единственный путь, ведущий к знанию – деятельность»

«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать». С этим высказыванием Галилео Галилея трудно поспорить, ведь геометрия  удивительная наука, с историей, насчитывающей не одно тысячелетие, но постоянно удивляющей каждое новое поколение учеников красотой своих открытий . Геометрия  это мир вокруг нас: красивый, удивительный, сложный. Поэтому для познания нашего мира важно геометрическое знание.

Однако многие школьники считают геометрию одним из сложных и неинтересных предметов. Пожалуй, трудно найти родителя школьника или будущего школьника, кто не слышал бы страшилку про геометрию: «Геометрия  это ужас, её никто не понимает». Проведенный нами опрос среди учащихся 10 классов (32 человека) Кубанского казачьего кадетского корпуса им. атамана М.П. Бабыча показал, что 75% респондентов считают геометрию сложным и неинтересным разделом математики, 70% убеждены в том, что не знают планиметрию 7-9 класса.

Статистические данные результатов ОГЭ и ЕГЭ подтверждают данные нашего опроса: 80% выпускников не решают геометрические задачи на ОГЭ и ЕГЭ по математике, около 60% даже не берутся. На вопрос: «Почему?» отвечают: «Геометрию с седьмого класса не понимаю». Вот такая геометрия. Становится обидно за нее  самую «загадочную» науку, в которой решение почти каждой задачи похоже на разгадывание загадки [1] .

Как можно изменить восприятие и понимание геометрического материала, и, следовательно, отношение к изучаемому предмету. Ведь общеизвестным является тот факт, что не интересно то, что не понятно. Попробуем совместить традиционный подход для выполнения геометрических построений с помощью линейки , циркуля и транспортира с привычным для современного школьника инструментом  компьютером при изучении наиболее сложных геометрических задач геометрии с целью визуализации учебной информации и улучшения ее представления, восприятия, понимания и запоминания. Учеными доказано, что до 80 – 85% всей информации человек воспринимает с помощью органов зрения, а запоминают, в том числе и школьники, 5% услышанного и 20% увиденного. Если же информация будет сопровождаться аудио- и/или видеофрагментами, то запоминаемость материала повышается до 40–50 %.

Актуальность применения компьютера и возможностей компьютерных технологий в процессе изучения геометрического материала обусловлена рядом преимуществ по сравнению с традиционным обучением, среди которых расширенный по сравнению с геометрией “на бумаге” набор элементарных операций, упрощающих построение чертежа за счет снижения технических трудностей и рутинной работы, связанной с выполнением однотипных операций.

На сегодняшний день существуют различные программы, с помощью которых можно внести изменения в традиционный подход к изучению геометрии .Эти программы постоянно обновляются и улучшаются. Нами выбрана система динамической геометрии (СДГ) GeoGebra . Она разработана Маркусом Хохенвартером, бесплатно распростран яется , обладает простым интерфейсом пользователя, имеет русскоязычную версию. Программу можно скачать на официальном сайте GeoGebra https://www.geogebra.org, поэтому ее удобно применять как на уроках, так и дома [ 6 ].

Возможности СДГ Geo G ebra , в том числе и анимационные, послужили идеей экспериментального изучения некоторых сложных задач планиметрии, изучаемых в школьном курсе геометрии 10 класса, путем конструирования учебных моделей их решения с применением компьютерной технологии. Несмотря на высокий развивающий потенциал систем динамической геометрии их почти не используют в школьном курсе математики и отсутствует методика их использования.

Экспериментальный метод в обучении математике появился еще в середине XVIII века благодаря М.В. Ломоносову. Он предлагал начинать объяснение нового материала с постановки специальных демонстрационных экспериментов, делающих истинность научных положений наглядной, что способствовало бы выработке интереса и потребности к знаниям [4].

Из истории математики нам известно, что многие математические результаты были получены в результате исследования, посредством экспериментов и индуктивных рассуждений, и только позднее они были доказаны дедуктивным методом. Среди них можно выделить математические открытия Л.Эйлера, которые являются уникальным результатом творческой исследовательской деятельности.

Тема проекта « Экспериментальный метод изучения задачи Эйлера».

Цель проекта : экспериментальный метод изучения некоторых сложных задач планиметрии из школьного курса геометрии 10 класса с использованием системы динамической геометрии GeoGebra.

Провести теоретический обзор некоторых сложных задач планиметрии курса геометрии 10 класса .

Познакомиться с интерфейсом и инструментарием системы динамической геометрии GeoGebra, необходимыми для проведения экспериментальной работы .

Создать наглядную модель решения задачи Эйлера и ее свойств .

Продемонстрировать разработанные модели на занятиях внеурочной деятельности («Математическая лаборатория по решению избранных задач»), определить целесообразность применения нетрадиционного подхода с помощью системы динамической геометрии GeoGebra при изучении сложных задач планиметрии .

Гипотеза . Так как программа GeoGebra обладает широкими функциональными возможностями, в том числе и анимационными, то ее целесообразно использовать для конструирования моделей решения сложных задач планиметрии и использовать созданные модели на уроках геометрии с целью визуализации сложной информации для лучшего представления и восприятия.

Объектисследования: система динамической геометрии GeoGebra.

Предмет исследования: модели решения сложных задач планиметрии в системе динамической геометрии GeoGebra.

И зучение и обобщение .

1. В ходе работы над проектом будут изучены возможности СДГ GeoGebra: сконструированы модели решения сложных задач планиметрии на примере задачи Эйлера .

2 . Разработка презентаци и для изучения сложных вопросов планиметрии с применением сконструированных моделей .

3 . Результаты выполнения практической работы в системе GeoGebra позволят определить целесообразность ее применения для успешного усвоения сложных задач планиметрии.

Практическая значимость исследования заключается в возможности применения разработанного материала при проведении уроков геометрии и во внеурочной деятельности , в создании образовательных веб-ресурсов.

1 . Некоторые сведения из планиметрии

Четыре замечательные точки треугольника

Планиметрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Одной из самых интересных фигур является треугольник, который привлекал внимание как ученых древности (Герон, Менелай, Птолемей), так и ученых более близких к нашему времени (Эйлер, Понселе и др.). Поэтому в качестве одной из сложных задач планиметрии была взята задача Эйлера из главы VIII «Некоторые сведения из планиметрии» учебника 10-11 класса, необязательная для базового уровня подготовки, но необходимая для профильной подготовки учащихся [2].

С четырьмя замечательными точками треугольника, о которых идет речь в задаче Эйлера, мы знаком ились в курсе геометрии 79 класса, доказывая следующие теоремы и следствия из них[ 3 ]:

биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной в треугольник окружности;

серединные перпендикуляры к сторонам треугольника (медиатрисы) пересекаются в одной точке, являющейся центром описанной около треугольника окружности;

высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника;

медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести треугольника или центроиде), которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

В задаче Эйлера речь идет об окружности девяти точек – окружности, на которой лежат основания высот, основания медиан, точки, расположенные на серединах отрезков от ортоцентра до вершин треугольника; о точках, лежащих на одной прямой – прямой Эйлера (ортоцентр, центроид и центр описанной окружности); о свойствах центроида, центра окружности девяти точек и о других свойствах

Рис унок 1. Окружность девяти точек

Окружность девяти точек (задача Эйлера) : основания трех высот произвольного треугольника, середины трех его сторон и середины трех отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, радиус которой в два раза меньше радиуса описанной окружности [2] .

D , Е, F  основания высот треугольника ABC ;

H  ортоцентр треугольника ABC (точка пересечения высот);

X , Y , Z  середины отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром.

Прямая Эйлера: ортоцентр, центроид и центр описанной окружности произвольного треугольника лежат на одной прямой. Центроид делит отрезок, соединяющий ортоцентр и центр описанной окружности, в отношении 2  1, считая от ортоцентра.

Прямая, на которой лежат эти три точки, называется прямой Эйлера (рисунок 2).

Рисунок 2. Прямая Эйлера

Свойства прямой Эйлера и окружности девяти точек :

Рисунок 3. Демонстрация первого свойства

Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности, а ее радиус в два раза меньше радиуса описанной окружности (рисунок 3).

Точки, симметричные точке пересечения высот H (или их продолжений) относительно сторон треугольника и их середин, лежат на описанной окружности.

Точки, симметричные центру описанной окружности относительно прямых, содержащих средние линии треугольника, лежат на окружности Эйлера.

2.Экспериментальный метод изучения задачи Эйлера

2.1. Графические возможности GeoGebra

GeoGebra ( geo metry+al gebra) — свободно распространяемое программное обеспечение ( GPL — открытое лицензионное соглашение), имеющее русскоязычную версию. В отличие от других подобных программ идея GeoGebra заключается в интерактивном сочетании геометрического, алгебраического и числового представления.

GeoGebra была создана Маркусом Хохенвартером. Программа написана на языке Java, приложение поддерживает работу в различных операционных системах: Windows, Mac OS X, Linux, Android. С сайта производителя можно будет скачать обычную версию программы GeoGebra для установки на компьютер. Также можно будет скачать переносную версию программы (GeoGebra Portable) для соответствующей операционной системы.

Рассмотрим графические возможности программы GeoGebra [5]:

с тандартный набор инструментов, позволяющий создавать основные геометрические объекты (точка, линия, окружность, вектор, многоугольник, угол);

и нструменты, реализующие дополнительные операции над геометрическими объектами (деление отрезка пополам, деление угла на n равных частей и другие);

инструменты, позволяющие выполнять экспериментальную и исследовательскую работу (измерение длины отрезка, измерение величины угла и др.);

ввод данных, команд и функций в строке ввода;

возможность движущейся точки оставлять след;

возможность создания анимации – автоматического перемещения точек вдоль заданных траекторий.

Ниже представлены инструменты для экспериментальной работы:

Рисунок 4 . Инструменты для компьютерного эксперимента

2.2. Построение четырех замечательных точек треугольника

Первая замечательная точка треугольника (рис унок 5 ).

Постановка з адач и : п остроить точку пересечения биссектрис треугольника. Показать, что она является центром вписанной окружности.

Построим треугольник АВС.

Проведем биссектрисы его углов (М, K , L точки их пересечения со сторонами Δ ABC ). Скроем биссектрисы углов.

Проведем отрезки AM , BK , CL . Обозначим точку их пересечения через О. Отметим углы при вершинах треугольника, образованные биссектрисами.

Через точку О проведем прямую, перпендикулярную прямой А C , и обозначим точку их пересечения Р. Скроем проведенную прямую, соединим точки А и Р отрезком.

Проведем окружность с центром О и точкой Р.

Точки пересечения окружности со сторонами BC , AB обозначим M и R соответственно.

Скроем обозначения построенных линий. Изменим цвет, толщину и стиль линий.

С помощью инструмент а «Отношение объектов» определим соотношение длин отрезков OP , OM , OR . Инструмент определяет отношение метрических свойств объектов: равенство длин двух отрезков (отрезки не будут идентичны ввиду их различного расположения).

Рис унок 5. П ерв ая замечательн ая точк а треугольника

Вторая замечательная точка треугольника (рисунок 6) .

Постановка з адач и : п остроить точку пересечения серединных перпендикуляров треугольника. Показать, что она является центром описанной окружности.

Построим треугольник АВС.

Проведем серединные перпендикуляры к его сторонам ( P , R , S – основания серединных перпендикуляров к сторонам Δ ABC ). Обозначим точку пересечения серединных перпендикуляров через О.

Соединим отрезками точку О с вершинами треугольника (построим отрезки ОА, ОВ, ОС).

Скроем обозначения построенных линий. Изменим цвет, толщину и стиль линий.

Проведем окружность с центром О и радиусом ОА.

С помощью инструмента « Текст » выведем на полотно длины отрезков ОА, ОВ, ОС.

С помощью инструмент а «Отношение объектов» определим соотношение длин отрезков O А, O В, O С.

Рис унок 6. Вторая замечательн ая точк а треугольника

Третья замечательная точка треугольника .

Постановка з адач и : п ока зать , что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке. П ока зать , что продолжения высот тупоугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Построим треугольник АВС.

Через его вершины проведём прямые, перпендикулярные противоположным сторонам и найдём точки их пересечения D, E, Fс этими сторонами.

Проведём высоты AD, BE, CF. Обозначим точку их пересечения H .

Отметим углы при основаниях высот. Скроем обозначения построенных линий. Изменим цвет, толщину и стиль линий.

Форму треугольника можно изменять, но высоты или их продолжения будут пересекаться в одной точке.

Четвертая замечательная точка треугольника (рисунок 7) .

Постановка з адач и : п остроить точку пересечения медиан треугольника. Показать, что она делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины .

Построим треугольник АВС.

Отметим середины его сторон точками А ₁ , B ₁ , C ₁ . Проведем медианы AA ₁ , BB ₁ , CC ₁ . Обозначим точку их пересечения через O .

Рис унок 7 . Четвертая замечательн ая точк а треугольника

Скроем обозначения построенных линий. Изменим цвет, толщину и стиль линий.

Найдем отношение длин отрезков AO и OA ₁ , BO и OB ₁ , CO и OC ₁ .

Используя формулу, покажем, что эти отношения равны между собой.

2.3. Построение окружности девяти точек

Возможности GeoGebra позволяют не только достаточно быстро построить окружность девяти точек, используя готовые инструменты динамической системы, но и продемонстрировать в динамике ее свойства.

Постановка з адач и : п остроить окружность девяти точек .

Решение: а лгоритм построения окружности девяти точек в среде GeoGebra включает в себя следующие шаги построения.

Построить произвольный треугольник ABC

Отметить середины сторон треугольника: A 1, B 1, C 1

Построить высоты треугольника: AD , BE , CF (точки D , E , F определяются как точки пересечения двух объектов)

Отметить точку пересечения высот H как пересечение двух объектов

Отметить середины отрезков AH , BH , CH , соединяющих вершины треугольника с точкой пересечения высот, как Z , X , Y

Построить окружность по трем точкам

Построенная таким образом окружность описана около трех треугольников (рисунок 1): серединного треугольника Δ A ₁ B ₁ C ₁ , ортотреугольника Δ DE F и треугольника Δ XYZ , вершинами которого являются середины отрезков, соединяющих вершины исходного треугольника с ортоцентром.

Далее продемонстрируем свойство окружности девяти точек: радиус окружности девяти точек в два раза меньше радиуса описанной окружности (рисунок 3) .

Постановка задачи: построить окружность девяти точек. Показать, что ее радиус меньше радиуса описанной окружности в два раза.

Построим треугольник АВС. Построим ортоцентр треугольника H как точку пересечения его высот AD , BE , CF . Скроем высоты треугольника и их обозначения.

Проведем окружность через точки D , E , F . Это окружность девяти точек.

Построим описанную окружность, проведя ее через вершины треугольника A , B , C . Построим центр описанной окружности О как точку пересечения серединных перпендикуляров. Скроем серединные перпендикуляры треугольника и их обозначения.

Построим отрезок OH . Найдем его середину. Обозначим через G .

Построим радиус GC ₁ окружности Эйлера.

Построим радиус АО описанной окружности.

Найдем отношение АО к GC ₁ .

Выполнив динамический чертеж (перемещая одну из вершин треугольника). Понаблюдаем за значением отношения двух радиусов.

2.4. Построение прямой Эйлера

Постановка з адач и : п остроить прямую Эйлера . Показать, что центроид делит расстояние от ортоцентра до центра описанной окружности в отношении 2  1.

Решение: а лгоритм построения, наглядно подтверждающий данный факт, включает в себя следующие шаги (рисунок 2).

Построить произвольный треугольник ABC

Построить медианы треугольника: найти середины сторон треугольника, соединить середины сторон с вершинами треугольника  A А ₁ , BB ₁ , CC ₁

Отметить точку пересечения медиан М (центроид) как пересечение двух объектов

Построить высоты треугольника AD , BE , CF (точки D , E , F определяются как точки пересечения двух объектов)

Отметить точку пересечения высот H (ортоцентр) как пересечение двух объектов

Построить серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Отметить точку пересечения серединных перпендикуляров О как пересечение двух объектов

Провести прямую линию через две точки, например, О и H

Используя инструмент «Перемещать» для вершины С треугольника ABC , можно, изменяя вид треугольника, наглядно и понятно показать истинность утверждения для произвольного треугольника или же создать динамический чертеж рассмотренного геометрического построения.

Экспериментальным методом также наглядно подтверждаются следующие два свойства задачи Эйлера:

Точки, симметричные точке пересечения высот H (или их продолжений) относительно сторон треугольника и их середин, лежат на описанной окружности (рисунок 8).

Точки, симметричные центру описанной окружности относительно прямых, содержащих средние линии треугольника, лежат на окружности девяти точек.

Алгоритм построения динамического чертежа первого свойства :

Шаги построения
динамического чертежа

Постройте остроугольный треугольник ABC

Постройте высоты треугольника: AA ₁, BB ₁, CC ₁ (точки А₁, В₁, С₁ определяются как точки пересечения двух объектов).

Отметьте точку пересечения высот H как точку пересечения двух объектов

Постройте окружность по трем точкам А, В и С

«Окружность по трем точкам»

Отметьте точку, симметричную точке Н относительно прямой ВС. Обозначьте А₂

«Отражение относительно прямой»

Отметьте точку, симметричную точке Н относительно прямой АС. Обозначьте В₂

«Отражение относительно прямой»

Отметьте точку, симметричную точке Н относительно прямой АВ. Обозначьте С₂

«Отражение относительно прямой»

Вывод: точки, симметричные точке пересечения высот H относительно сторон треугольника, лежат на описанной вокруг треугольника АВС окружности

Рис унок 8 . Демонстрация первого свойства

Система динамической геометрии GeoGebra обладает широкими возможностями: наглядность, моделирование, динамика. Эти возможности позволяют использовать GeoGebra в качестве инструмента для проведения компьютерного эксперимента с целью изучения сложных задач планиметрии из школьного курса геометрии 10 класса, путем конструирования и демонстрации наглядных учебных моделей их решения .

Достигнутые результаты носят практико-ориентированный характер: созданные модели могут быть использованы на при проведении уроков геометрии, на занятиях внеурочной деятельности, в домашних условиях, для создания образовательных веб-ресурсов.

Список использованной литературы

1.Андрафанова Н.В. Компьютерные технологии в организации внеурочной деятельности в предметной области «Математика»//Мир педагогики и психологии: международный научно–практический журнал. Нижний Новгород: НИЦ «Открытое знание», 2020. №12 (53). С.25-33.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни. М.: Просвещение, 2009.

3. Атанасян Л.С. Геометрия 7-9 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. Просвещение, 2016. – 300-328 с.

4 . Буторина Т.С. М.В.Ломоносов и педагогика: монография. Архангельск: Изд-во АЕТУ, 2001, 223.

5. О.Л. Безумова, Р.П. Овчинникова, О.Н. Троицкая и др. Обучение геометрии с использованием возможностей GeoGebra: учебно-методическое пособие. КИРА, 2011. – 140 с.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Урок «Окружность девяти точек»

Видео:#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Видео:16 задание. Профильный ЕГЭ 2023. 9 точек окружности, окружность Эйлера. Что это?Скачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Окружность девяти точек Построение окружности Эйлера с помощью GeoGebra

Окружность девяти точек Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 942 человека из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 332 человека из 73 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 699 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

• Горбовец Екатерина АлександровнаНаписать 1310 24.12.2017

Номер материала: ДБ-985960

24.12.2017 312

24.12.2017 283

24.12.2017 306

24.12.2017 257

24.12.2017 100

24.12.2017 826

24.12.2017 870

24.12.2017 2926

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Детский омбудсмен предложила ужесточить наказание за преступления против детей

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения готовит рекомендации по построению «идеальной школы»

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

📹 Видео

26 Окружность девяти точекСкачать

Окружность девяти точек, Эйлера, Фейербаха, Теркема...Скачать

ШМ. Окружность девяти точек. Теория для сложной геометрии ОГЭ и ЕГЭ.Скачать

Окружность Эйлера (окружность 9 точек) и прямая ЭйлераСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Окружность. 7 класс.Скачать

Уравнение окружности (1)Скачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Прямая Эйлера и окружность девяти точек -- Олимпиадная математика AllesСкачать

Окружность девяти точекСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Шпаргалка Прямая Эйлера, окружность 9 точекСкачать

9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

Длина окружности. 9 класс.Скачать

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать