Чевиана в треугольнике теорема

Please wait.

Видео:✓ Теорема Чевы | Осторожно, спойлер! | Борис ТрушинСкачать

✓ Теорема Чевы | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:ЧевианаСкачать

Чевиана

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:#189 ЧЕВИАНЫ // ТРЕУГОЛЬНИКСкачать

#189 ЧЕВИАНЫ // ТРЕУГОЛЬНИК

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d67379d2c9075bb • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Видео:Чевиана в Московском пробнике по математике #егэ2023 #егэ #геометрия #чевианаСкачать

Чевиана в Московском пробнике по математике #егэ2023 #егэ #геометрия #чевиана

Теорема Чевы и Менелая — формулировка, применение и примеры решения

Теоремы Чевы и Менелая – одни из базовых основ планиметрии и геометрии, которым репетиторы и школьные учителя уделяют особое внимание, а ученикам задают писать научные доклады и рефераты на эту тему в качестве домашнего задания.

Их изучение рекомендуется не только в том случае, если вы – математик, но и в помощь ученикам старшего уровня (по уровню сложности может подойти и любой средний класс) и студентам профильных специальностей, которые всерьёз интересуются данной наукой.

Именно для этого мы подготовили данный материал. В нем вы узнаете, чем интересны данные основы, принципы их доказательств и рассмотрите решения некоторых задач из ЕГЭ.

Видео:Теорема Менелая | Математика | TutorOnlineСкачать

Теорема Менелая | Математика | TutorOnline

Формулировка теоремы Менелая

Менелай Александрийский — древнегреческий математик и астроном, живший в I в. Большой вклад внес в развитие сферической тригонометрии, где для получения формул использовал именно эту теорему, которую теперь изучают все школьники.

Прежде чем приступить к проработке, сделаем соответствующий рисунок.

Что мы имеем? Треугольник ABC и прямую, которая пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны.

Чевиана в треугольнике теорема

Особенность теоремы заключается и в том, что приведённый рисунок чаще всего встречается в заданиях формата ЕГЭ. Это – весьма распространённая геометрическая конструкция, когда какая-то прямая таким образом пересекает треугольник.

Если мы видим приведённый выше рисунок, можно записать формулу:

Чевиана в треугольнике теорема

Запомнить отношение просто: действуем по принципу «вершина — точка, точка — вершина». То есть, если на стороне AB нам дана некоторая точка C1, их отношенное записывается следующим образом:

Чевиана в треугольнике теорема

Доказательство теоремы

Для доказательства теоремы Менелая проведём через точку C прямую, параллельную AB, таким образом:

Чевиана в треугольнике теорема

Обозначим точку пересечения данной прямой с B1C1 через точку D.

В таком случае мы получим несколько пар подобных треугольников.

Сторона CD параллельна AB. Тогда первой парой подобных треугольников будут треугольники B1CD и B1AC1. Они подобны по второму признаку подобия треугольников, то есть по двум пропорциональным сторонам и углу B1 между ними.

Углы B1CD и B1AC1 равны как соответственные при параллельных прямых CD, AB и секущей AC.

Анализируя данную пару подобных треугольников, можно записать условие пропорциональности сходственных сторон, а именно:

Чевиана в треугольнике теорема

Так как сторона CD не является составляющей исходного равенства, для дальнейшего доказательства её нужно выразить.

Используя описанное равенства, применив свойства пропорции, запишем:

Чевиана в треугольнике теорема

Запишем следующую пару подобных треугольников: треугольники CDA1 и BC1A1 подобны, так как углы CA1D и BA1C1 равны как вертикальные. Кроме этого, угол CDA1 равен углу BC1A1, как накрест лежащие при параллельных прямых CD, AB и секущей C1D.

Покажем это на рисунке:

Чевиана в треугольнике теорема

Из данного подобия можно записать некоторую пропорциональность сходственных сторон:

Чевиана в треугольнике теорема

Так же выразим CD:

Чевиана в треугольнике теорема

Осталось лишь приравнять. Дроби, с помощью которых мы выразили CD – равны.

Таким образом получаем:

Чевиана в треугольнике теорема

Умножив обе дроби на часть, обратную левой дроби, мы получили исходное равенство:

Чевиана в треугольнике теорема

Что и требовалось доказать.

Видео:Теорема ЧевыСкачать

Теорема Чевы

Формулировка теоремы Чевы

Джованни Чева — итальянский математик, инженер. Годы жизни 1648 — 1734 гг. Основные труды ученого в области геометрии и механики.

Рассматриваемая теорема была доказана ученым в 1678 г.

Рассмотрим приведённый ниже рисунок:

Чевиана в треугольнике теорема

Теорема звучит так: любые произвольные отрезки, выходящие из вершин треугольника, (но с одним условием: они должны пересекаться в одной точке) делят противолежащие этим вершинам стороны таким образом, что истинно равенство:

Чевиана в треугольнике теорема

В честь ученого, доказавшего эту теорему, данные отрезки называют «чевианами».

Доказательство теоремы

Чевиана в треугольнике теорема

Итак, мы имеем треугольник ABC и произвольные чевианы AA1 и BB1.

Третья чевиана CC1 обязательно должна проходить через точку пересечения первых двух. При этом получается, что:

Чевиана в треугольнике теорема

Обозначим за O точку пересечения данных прямых.

Продлим медиану BB1.

Проведём перпендикуляры из вершин A и С таким образом:

Чевиана в треугольнике теорема

Чевиана в треугольнике теорема

Треугольники AKB1 и CNB1 подобны по острому углу.

Чевиана в треугольнике теорема

Теперь перемножим равенства:

Чевиана в треугольнике теорема

что и требовалось доказать.

Видео:9 класс. Геометрия. Теорема Чевы.Скачать

9 класс. Геометрия. Теорема Чевы.

Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ

Теорема Менелая (как и обратная) применима и в первой части экзаменационного бланка, и в 16-м задании. Рассмотрим пару таких задач.

Задача 1

Дан треугольник ABC (см. рисунок ниже) с продолжением стороны CA. Также проведены медианы BM и AN. Точку их пересечения обозначим за O.

Чевиана в треугольнике теорема

Возьмём точку K на стороне AB, такую, что AK относится к AB, как 1/3.

AC = 4 см, AM = 2 см.

Проведём прямую OK до пересечения со стороной AC. Точку их пересечения обозначим за P.

Сторону AP обозначим за y.

Найти: чему равен отрезок AP.

Так как отношение сторон AB и AK равно 1/3, следовательно, AK = x, а KB = 3x.

Чевиана в треугольнике теорема

Рассмотрим треугольник ABM. Для него берём прямую OP.

Таким образом мы нашли искомые точки P, A, M, O, K и B.

Запишем теорему Менелая к данному рисунку.

Чевиана в треугольнике теорема

Подставляем в это соотношение известные данные:

Чевиана в треугольнике теорема

В итоге мы получаем, что y = 4.

Ответ: отрезок AP = 4 см.

Задача 2

Задача, связанная со свойствами теоремы Чевы.

Чевиана в треугольнике теорема

сумма AB и BC равна 13;

Найти: отношение BO и OB1.

Итак, запишем отношение:

Чевиана в треугольнике теорема

Чевиана в треугольнике теорема

Чевиана в треугольнике теорема

Конечным результатом является дробь 13/8.

Чевиана в треугольнике теорема


Видео:Математика-954. Чевиана и площади.Скачать

Математика-954. Чевиана и площади.

Теоремы Чевы и Менелая на ЕГЭ

Чевиана в треугольнике теорема

Теоремы Чевы и Менелая на ЕГЭ

Подробная статья «Вокруг теорем Чевы и Менелая» опубликована на нашем сайте в разделе СТАТЬИ. Она адресована учителям математики и учащимся старших классов, мотивированным на хорошее знание математики. К ней можно вернуться, если появится желание подробнее разобраться в вопросе. В этой заметке мы приведем краткие сведения из упомянутой статьи и разберём решения задач из сборника для подготовки к ЕГЭ-2016.

Пусть дан треугольник ABC и на его сторонах AB, BC и AC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно (рис. 1).

а) Если отрезки 1, BB1 и 1 пересекаются в одной точке, то

Чевиана в треугольнике теорема. (1)

б) Если верно равенство (1), то отрезки 1, BB1 и 1 пересекаются в одной точке.

На рисунке 1 изображен случай, когда отрезки 1, BB1 и 1 пересекаются в одной точке внутри треугольника. Это так называемый случай внутренней точки. Теорема Чевы справедлива и в случае внешней точки, когда одна из точек А1, B1 или С1 принадлежит стороне треугольника, а две другие — продолжениям сторон треугольника. В этом случае точка пересечения отрезков 1, BB1 и 1 лежит вне треугольника (рис. 2).

Чевиана в треугольнике теорема

Как запомнить равенство Чевы?

Обратим внимание на прием запоминания равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении обхода вершин треугольника ABC, начиная с точки A. От точки A идем к точке B, встречаем точку С1, записываем дробь Чевиана в треугольнике теорема. Далее от точки В идем к точке С, встречаем точку А1, записываем дробь Чевиана в треугольнике теорема. Наконец, от точки С идем к точке А, встречаем точку В1, записываем дробь Чевиана в треугольнике теорема. В случае внешней точки порядок записи дробей сохраняется, хотя две «точки деления» отрезка оказываются вне своих отрезков. В таких случаях говорят, что точка делит отрезок внешним образом.

Отметим, что любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой точкой прямой, содержащей противоположную сторону треугольника, называют чевианой.

Рассмотрим несколько способов доказательства утверждения а) теоремы Чевы для случая внутренней точки. Чтобы доказать теорему Чевы, надо доказать утверждение а) любым из предложенных ниже способов, а также доказать утверждение б). Доказательство утверждения б) приведено после первого способа доказательства утверждения а). Доказательства теоремы Чевы для случая внешней точки проводятся аналогично.

Доказательство утверждения а) теоремы Чевы с помощью теоремы о пропорциональных отрезках

Пусть три чевианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке Z внутри треугольника ABC.

Идея доказательства заключается в том, чтобы отношения отрезков из равенства (1) заменить отношениями отрезков, лежащих на одной прямой.

Через точку В проведем прямую, параллельную чевиане СС1. Прямая АА1 пересекает построенную прямую в точке М, а прямая, проходящая через точку C и параллельная АА1, — в точке Т. Через точки А и С проведем прямые, параллельные чевиане ВВ1. Они пересекут прямую ВМ в точках N и R соответственно (рис. 3).

Чевиана в треугольнике теоремаПо теореме о пропорциональных отрезках имеем:

Чевиана в треугольнике теорема, Чевиана в треугольнике теоремаи Чевиана в треугольнике теорема.

Тогда справедливы равенства

Чевиана в треугольнике теорема.

В параллелограммах ZСTM и ZСRВ отрезки TM, СZ и ВR равны как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно, Чевиана в треугольнике теоремаи верно равенство

Чевиана в треугольнике теорема.

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

При доказательстве утверждения б) используем следующее утверждение. Рис. 3

Лемма 1. Если точки С1 и С2 делят отрезок AB внутренним (или внешним) образом в одном и том же отношении, считая от одной и той же точки, то эти точки совпадают.

Докажем лемму для случая, когда точки С1 и С2 делят отрезок AB внутренним образом в одном и том же отношении: Чевиана в треугольнике теорема.

Доказательство. Из равенства Чевиана в треугольнике теоремаследуют равенства Чевиана в треугольнике теоремаи Чевиана в треугольнике теорема. Последнее из них выполняется лишь при условии, что С1B и С2B равны, т. е. при условии, что точки С1 и С2 совпадают.

Доказательство леммы для случая, когда точки С1 и С2 делят отрезок AB внешним образом проводится аналогично.

Доказательство утверждения б) теоремы Чевы

Пусть теперь верно равенство (1). Докажем, что отрезки 1, BB1 и 1 пересекаются в одной точке.

Пусть чевианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке Z, проведем через эту точку отрезок 2 (С2 лежит на отрезке AB). Тогда на основании утверждения а) получаем верное равенство

Чевиана в треугольнике теорема. (2)

Чевиана в треугольнике теоремаИз сравнения равенств (1) и (2) заключаем, что Чевиана в треугольнике теорема, т. е. точки С1 и С2 делят отрезок AB в одном и том же отношении, считая от одной и той же точки. Из леммы 1 следует, что точки С1 и С2 совпадают. Это означает, что отрезки 1, BB1 и 1 пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.

Можно доказать, что процедура записи равенства (1) не зависит, от того, от какой точки и в каком направлении совершается обход вершин треугольника.

Задание 1. Найдите длину отрезка АN на рисунке 4, на котором указаны длины других отрезков.

Задание 2. Чевианы AM, BN, CK пересекаются в одной точке внутри треугольника ABC. Найдите отношение Чевиана в треугольнике теорема, если Чевиана в треугольнике теорема, . Рис. 4

Ответ. Чевиана в треугольнике теорема.

Доказательство утверждения а) с помощью подобия треугольников

Чевиана в треугольнике теоремаПриведем доказательство теоремы Чевы из статьи [1]. Идея доказательства заключается в том, чтобы заменить отношения отрезков из равенства (1) отношениями отрезков, лежащих на параллельных прямых.

Пусть прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке O внутри треугольника АВС (рис. 5). Через вершину С треугольника АВС проведем прямую, параллельную AB, и ее точки пересечения с прямыми AA1, BB1 обозначим соответственно A2, B2.

Из подобия двух пар треугольников CB2B1 и ABB1, BAA1 и CA2A1, Рис. 5

Чевиана в треугольнике теорема, Чевиана в треугольнике теорема. (3)

Из подобия треугольников 1O и B2CO, 1O и A2CO имеем равенства Чевиана в треугольнике теорема, из которых следует, что

Чевиана в треугольнике теорема. (4)

Чевиана в треугольнике теоремаПеремножив равенства (3) и (4), получим равенство (1).

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

Рассмотрим доказательства утверждения а) теоремы Чевы с помощью площадей для внутренней точки. Оно изложено в книге [2] и опирается на утверждения, которые мы сформулируем в виде заданий 3 и 4.

Задание 3. Отношение площадей двух треугольников с общей вершиной и основаниями, лежащими на одной прямой, равно отношению длин этих оснований. Докажите это утверждение.

Задание 4. Докажите, что если Чевиана в треугольнике теорема, то Чевиана в треугольнике теоремаи Чевиана в треугольнике теорема. Рис. 6

Доказательство утверждения а) с помощью площадей

Пусть отрезки 1, BB1 и 1 пересекаются в точке Z (рис. 6), тогда

Чевиана в треугольнике теорема, Чевиана в треугольнике теорема. (5)

Чевиана в треугольнике теоремаИз равенств (5) и второго утверждения задания 4 следует, что Чевиана в треугольнике теоремаили Чевиана в треугольнике теорема. Аналогично получим, что Чевиана в треугольнике теоремаи Чевиана в треугольнике теорема. Перемножив три последние равенства, получим:

Чевиана в треугольнике теорема,

т. е. верно равенство (1), что и требовалось доказать.

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

Задание 15. Пусть чевианы пересекаются в одной точке внутри треугольника и разбивают его на 6 треугольников, площади которых равны S1, S2, S3, S4, S5, S6 (рис. 7). Докажите, что Чевиана в треугольнике теорема. Рис. 7

Задание 6. Найдите площадь S треугольника CNZ (площади других треугольников указаны на рисунке 8).

Задание 7. Найдите площадь S треугольника CNO, если площадь треугольника АNO равна 10 и Чевиана в треугольнике теорема, (рис. 9).

Задание 8. Найдите площадь S треугольника CNO, если площадь треугольника АBC равна 88 и Чевиана в треугольнике теорема, (рис. 9).

Чевиана в треугольнике теорема

Чевиана в треугольнике теоремаРешение. Так как Чевиана в треугольнике теорема, то обозначимЧевиана в треугольнике теорема, Чевиана в треугольнике теорема. Так как , то обозначим Чевиана в треугольнике теорема, Чевиана в треугольнике теорема. Из теоремы Чевы следует, что Чевиана в треугольнике теорема, и тогда Чевиана в треугольнике теорема. Если Чевиана в треугольнике теорема, то Чевиана в треугольнике теорема(рис. 10). У нас три неизвестные величины (x, y и S), поэтому для нахождения S составим три уравнения.

Так как Чевиана в треугольнике теорема, то Чевиана в треугольнике теорема= 88. Так как Чевиана в треугольнике теорема, то Чевиана в треугольнике теорема, откуда Чевиана в треугольнике теорема. Так как Чевиана в треугольнике теорема, то Чевиана в треугольнике теорема.

Итак, Чевиана в треугольнике теорема, откуда Чевиана в треугольнике теорема. Рис. 10

Задание 9. В треугольнике ABC точки K и L принадлежат соответственно сторонам AB и BC. Чевиана в треугольнике теорема, . P — точка пересечения отрезков AL и CK. Площадь треугольника PBC равна 1. Найдите площадь треугольника ABC.

Чевиана в треугольнике теоремаТеорема Менелая

Пусть дан треугольник ABC и на его сторонах AC и отмечены точки B1 и A1 соответственно, а на продолжении стороны AB отмечена точка C1 (рис. 11).

а) Если точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой, то

Чевиана в треугольнике теорема. (6)

б) Если верно равенство (7), то точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Рис. 11

Как запомнить равенство Менелая?

Прием запоминания равенства (6) тот же, что и для равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении обхода вершин треугольника ABC — от вершины к вершине, проходя через точки деления (внутренние или внешние).

Задание 10. Докажите, что при записи равенства (6) от любой вершины треугольника в любом направлении получается один и тот же результат.

Чтобы доказать теорему Менелая, надо доказать утверждение а) любым из предложенных ниже способов, а также доказать утверждение б). Доказательство утверждения б) приведено после первого способа доказательства утверждения а).

Доказательство утверждения а) с помощью теоремы о пропорциональных отрезках

I способ. а) Идея доказательства заключается в замене отношений длин отрезков в равенстве (6) отношениями длин отрезков, лежащих на одной прямой.

Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Через точку C проведем прямую l, параллельную прямой А1B1, она пересекает прямую АB в точке M (рис. 12).

Чевиана в треугольнике теорема

Рис. 12

По теореме о пропорциональных отрезках имеем: Чевиана в треугольнике теоремаи Чевиана в треугольнике теорема.

Тогда верны равенства Чевиана в треугольнике теорема.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Доказательство утверждения б) теоремы Менелая

Пусть теперь верно равенство (6), докажем, что точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Пусть прямые АB и А1B1 пересекаются в точке С2 (рис. 13).

Так как точки А1 B1 и С2 лежат на одной прямой, то по утверждению а) теоремы Менелая

Чевиана в треугольнике теоремаЧевиана в треугольнике теорема. (7)

Из сравнения равенств (6) и (7) имеем Чевиана в треугольнике теорема, откуда следует, что верны равенства

Чевиана в треугольнике теорема, Чевиана в треугольнике теорема, Чевиана в треугольнике теорема.

Последнее равенство верно лишь при условии Чевиана в треугольнике теорема, т. е. если точки С1 и С2 совпадают.

Утверждение б) теоремы Менелая доказано. Рис. 13

Доказательство утверждения а) с помощью подобия треугольников

Идея доказательства заключается в том, чтобы заменить отношения длин отрезков из равенства (6) отношениями длин отрезков, лежащих на параллельных прямых.

Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Из точек A, B и C проведем перпендикуляры АА0, BB0 и СС0 к этой прямой (рис. 14).

Чевиана в треугольнике теорема

Рис. 14

Из подобия трех пар треугольников AA0B1 и CC0B1, CC0A1 и BB0A1, C1B0B и C1A0A (по двум углам) имеем верные равенства

Чевиана в треугольнике теорема, Чевиана в треугольнике теорема, Чевиана в треугольнике теорема,

перемножив их, получим:

Чевиана в треугольнике теорема.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Доказательство утверждения а) с помощью площадей

Идея доказательства заключается в замене отношения длин отрезков из равенства (7) отношениями площадей треугольников.

Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Соединим точки C и C1. Обозначим площади треугольников S1, S2, S3, S4, S5 (рис. 15).

Тогда справедливы равенства

Чевиана в треугольнике теорема, Чевиана в треугольнике теорема, Чевиана в треугольнике теорема. (8)

Перемножив равенства (8), получим:

Чевиана в треугольнике теорема.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Чевиана в треугольнике теорема

Рис. 15

Подобно тому, как теорема Чевы остается справедливой и в том случае, если точка пересечения чевиан находится вне треугольника, теорема Менелая остается справедливой и в том случае, если секущая пересекает только продолжения сторон треугольника. В этом случае можно говорить о пересечении сторон треугольника во внешних точках.

Доказательство утверждения а) для случая внешних точек

Чевиана в треугольнике теоремаПусть секущая пересекает стороны треугольника ABC во внешних точках, т. е. пересекает продолжения сторон AB, BC и AC в точках C1, A1 и B1 соответственно и эти точки лежат на одной прямой (рис. 16).

По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

Чевиана в треугольнике теоремаи Чевиана в треугольнике теорема.

Тогда верны равенства

Чевиана в треугольнике теорема.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано. Рис. 16

Заметим, что приведенное доказательство совпадает с доказательством теоремы Менелая для случая, когда секущая пересекает две стороны треугольника во внутренних точках и одну во внешней.

Доказательство утверждения б) теоремы Менелая для случая внешних точек аналогично доказательству, приведенному выше.

Чевиана в треугольнике теоремаЗадание 11. В треугольнике АВС точки А1, В1 лежат соответственно на сторонах ВС и . P — точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1. Чевиана в треугольнике теорема, Чевиана в треугольнике теорема. Найдите отношение Чевиана в треугольнике теорема.

Решение. Обозначим Чевиана в треугольнике теорема, Чевиана в треугольнике теорема, Чевиана в треугольнике теорема, Чевиана в треугольнике теорема(рис. 17). По теореме Менелая для треугольника BCВ1 и секущей PA1 запишем верное равенство:

Чевиана в треугольнике теорема,

откуда следует, что

Чевиана в треугольнике теорема. Рис. 17

Ответ. Чевиана в треугольнике теорема.

Чевиана в треугольнике теоремаЗадание 12 (МГУ, заочные подготовительные курсы). В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне АВ взята точка К, делящая эту сторону в отношении Чевиана в треугольнике теорема, а на стороне АС — точка L, делящая АС в отношении Чевиана в треугольнике теорема. Точка P пересечения прямых СК и ВL удалена от прямой АВ на расстояние 1,5. Найдите длину стороны АВ.

Решение. Из точек Р и С опустим перпендикуляры PR и СМ на прямую АВ. Обозначим Чевиана в треугольнике теорема, Чевиана в треугольнике теорема, Чевиана в треугольнике теорема, Чевиана в треугольнике теорема(рис. 18). По теореме Менелая для треугольника AKC и секущей PL запишем верное равенство: Чевиана в треугольнике теорема, откуда получим, что Чевиана в треугольнике теорема, Чевиана в треугольнике теорема. Рис. 18

Из подобия треугольников КMC и КRP (по двум углам) получим, что Чевиана в треугольнике теорема, откуда следует, что Чевиана в треугольнике теорема.

Теперь, зная длину высоты, проведенной к стороне AB треугольника ABС, и площадь этого треугольника, вычислим длину стороны: Чевиана в треугольнике теорема.

Чевиана в треугольнике теоремаЗадание 13. Три окружности с центрами А, В, С, радиусы которых относятся как Чевиана в треугольнике теорема, касаются друг друга внешним образом в точках X, Y, Z как показано на рисунке 19. Отрезки AX и BY пересекаются в точке O. В каком отношении, считая от точки B, отрезок CZ делит отрезок BY?

Решение. Обозначим Чевиана в треугольнике теорема, Чевиана в треугольнике теорема, Чевиана в треугольнике теорема(рис. 19). Так как Чевиана в треугольнике теорема, то по утверждению б) теоремы Чевы отрезки АX, BY и СZ пересекаются в одной точке — точке O. Тогда отрезок CZ делит отрезок BY в отношении Чевиана в треугольнике теорема. Найдем это отношение. Рис. 19

По теореме Менелая для треугольника BCY и секущей OX имеем: Чевиана в треугольнике теорема, откуда следует, что Чевиана в треугольнике теорема.

Ответ. Чевиана в треугольнике теорема.

Задание 14 (ЕГЭ-2016).

Точки В1 и С1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника ABC, причём АВ1:B1С =
= АС1:С1B. Прямые ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О.

Чевиана в треугольнике теоремаа) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника ABC, если известно, что АВ1:B1С = 1:4. [8]

Решение. а) Пусть прямая AO пересекает сторону BC в точке A1 (рис. 20). По теореме Чевы имеем:

Чевиана в треугольнике теорема. (9)

Так как АВ1:B1С = АС1:С1B, то из равенства (9) следует, что Чевиана в треугольнике теорема, то есть CA1 = А1B, что и требовалось доказать. Рис. 20

б) Пусть площадь треугольника AB1O равна S. Так как АВ1:B1С = 1:4, то площадь треугольника CB1O равна 4S, а площадь треугольника AOC равна 5S. Тогда площадь треугольника AOB тоже равна 5S, так как треугольники AOB и AOC имеют общее основание AO, а их вершины B и C равноудалены от прямой AO. Причём площадь треугольника AOC1 равна S, так как АС1:С1B = 1:4. Тогда площадь треугольника ABB1 равна 6S. Так как АВ1:B1С = 1:4, то площадь треугольника CB1O равна 24S, а площадь треугольника ABC равна 30S. Теперь найдём отношение площади четырёхугольника AB1OC1 (2S) к площади треугольника ABC (30S), оно равно 1:15.

Задание 15 (ЕГЭ-2016).

Точки В1 и С1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника ABC, причём АВ1:B1С =
= АС1:С1B. Прямые ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника ABC, если известно, что АВ1:B1С = 1:3. [8]

Чевиана в треугольнике теоремаЗадание 16 (ЕГЭ-2016). На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что cosЧевиана в треугольнике теоремаABC = Чевиана в треугольнике теорема. В каком отношении прямая DL делит сторону АВ? [8]

Решение. а) Пусть углы при основании BC равнобедренного треугольника ABC (рис. 21) равны Чевиана в треугольнике теорема, так как BL биссектриса Чевиана в треугольнике теоремаABC, то Чевиана в треугольнике теоремаLBC = Чевиана в треугольнике теорема. Он равен углу LDB при основании BD равнобедренного треугольника BLD. Тогда внешний угол LCB треугольника DCL равен Чевиана в треугольнике теорема, а внутренний угол LDC, не смежный с ним, равен Чевиана в треугольнике теорема. Из свойства внешнего угла треугольника следует, что другой внутренний угол треугольника DCL равен Чевиана в треугольнике теоремаЧевиана в треугольнике теорема= Чевиана в треугольнике теорема, то есть треугольник DCL равнобедренный (DC = CL), что и требовалось доказать. Рис. 21

б) Пусть AK — медиана, проведённая к основанию BC равнобедренного треугольника ABC, она является высотой, поэтому BK:BA = cosЧевиана в треугольнике теоремаABC = Чевиана в треугольнике теорема. Обозначим BK = x, тогда BC = 2x, BA = BС = 6x. Биссектриса BL делит сторону в отношении CL:LA = BC:BA = 1:3. Тогда CL = CD = Чевиана в треугольнике теорема= 1,5x.

По теореме Менелая Чевиана в треугольнике теорема, откуда, учитывая, что CL = CD, имеем: Чевиана в треугольнике теорема= Чевиана в треугольнике теорема.

Задание 17 (ЕГЭ-2016). На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что cosЧевиана в треугольнике теоремаABC = Чевиана в треугольнике теорема. В каком отношении прямая DL делит сторону АВ? [8]

1. , Смирнов точки и линии треугольника. М.: Математика, 2006, № 17.

2. Мякишев геометрии треугольника. (Серия «Библиотека «Математическое просвещение»»). М.: МЦНМО, 2002. — 32 с.

3. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением / , , и др. — М.: Вита-Пресс, 2005. — 208 с.

4. Теоремы Чевы и Менелая. М.: Квант, 1990, № 3, С. 56–59.

5. Шарыгин Чевы и Менелая. М.: Квант, 1976, № 11, С. 22–30.

6. Вавилов и средние линии треугольника. М.: Математика, 2006, № 1.

7. Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902. — 334 с.

8. Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий / , , и др.; под ред. . – М.: Издательство «Экзамен», 2016. — 247 с.

📺 Видео

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Он вам не Чева. Теорему забанили на ЕГЭ 2022 по математике. Доказательство теоремы ЧевыСкачать

Он вам не Чева. Теорему забанили на ЕГЭ 2022 по математике. Доказательство теоремы Чевы

Вебинар 4. Планиметрия. Теоремы Менелая и Чевы в действииСкачать

Вебинар 4. Планиметрия. Теоремы Менелая и Чевы в действии

Теорема о медианеСкачать

Теорема о медиане

Теорема ЧевыСкачать

Теорема Чевы

Треугольник и теорема ЧевыСкачать

Треугольник и теорема Чевы

Теорема о трёх медианахСкачать

Теорема о трёх медианах

Теорема Чевы. Часть 2. | ГеометрияСкачать

Теорема Чевы. Часть 2. | Геометрия

69 Две чевианыСкачать

69 Две чевианы

11 класс, 51 урок, Теорема ЧевыСкачать

11 класс, 51 урок, Теорема Чевы

Геометрия: теоремы Менелая, Чевы | Профильная математика ЕГЭ 2023 | УмскулСкачать

Геометрия: теоремы Менелая, Чевы | Профильная математика ЕГЭ 2023 | Умскул

Олимпиадная задача за 2 минуты ➜ Найдите уголСкачать

Олимпиадная задача за 2 минуты ➜ Найдите угол
Поделиться или сохранить к себе: