Эллипс как сжатая окружность

Эллипс как сжатая окружность

Пусть, наконец, из точки P проведены к эллипсу две взаимно перпендикулярные касательные t1 и t2 (см. Рис. 17).

Эллипс как сжатая окружностьЭллипс как сжатая окружность

Отразим фокус Эллипс как сжатая окружностьотносительно прямой t2 и полученную точку Эллипс как сжатая окружностьсоединим с F. Очевидно, что Эллипс как сжатая окружностьи угол Эллипс как сжатая окружность— прямой (последнее следует из того, что угол между t1 и t2 прямой, и второй теоремы Понселе); следовательно Эллипс как сжатая окружностьЭллипс как сжатая окружность. Но Эллипс как сжатая окружность; поэтому Эллипс как сжатая окружностьЭллипс как сжатая окружность. С другой стороны, PO — медиана треугольника Эллипс как сжатая окружность, так что Эллипс как сжатая окружностьЭллипс как сжатая окружностьЭллипс как сжатая окружность. Учитывая предыдущее равенство получаем: PO 2 = 2a 2 — c 2 или PO 2 = (a 2 — c 2 ) + a 2 = a 2 + b 2 , т. е. вершины прямых углов, стороны которых касаются эллипса, расположены на окружности радиуса Эллипс как сжатая окружностьс центром в центре эллипса.

Эллипс как результат сжатия окружности. Пусть точка M, принадлежащая эллипсу, удалена от главной оси x на расстояние MM1 = y, а от главной оси y — на расстояние MM2 = x (см. Рис. 18). Симметрия эллипса позволяет ограничиться рассмотрением точек эллипса, расположенных внутри одного из прямых углов, образованных главными осями x и y. Из соотношений (2) следует:

Эллипс как сжатая окружностьЭллипс как сжатая окружностьЭллипс как сжатая окружностьЭллипс как сжатая окружностьЭллипс как сжатая окружность

После исключения r и d, получим:

Эллипс как сжатая окружностьЭллипс как сжатая окружностьЭллипс как сжатая окружность

откуда, умножая обе части равенства на a и учитывая соотношения (2), найдем окончательно:

Эллипс как сжатая окружность Эллипс как сжатая окружность(3)

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Эллипс — свойства, уравнение и построение фигуры

Среди центральных кривых второго порядка особое место занимает эллипс, близкий к окружности, обладающий похожими свойствами, но всё же уникальный и неповторимый.

Видео:Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика

Определение и элементы эллипса

Множество точек координатной плоскости, для каждой из которых выполняется условие: сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, называется эллипсом.

Эллипс как сжатая окружность

По форме график эллипса представляет замкнутую овальную кривую:

Наиболее простым случаем является расположение линии так, чтобы каждая точка имела симметричную пару относительно начала координат, а координатные оси являлись осями симметрии.

Отрезки осей симметрии, соединяющие две точки эллипса, называются осями. Различаются по размерам (большая и малая), а их половинки, соответственно, считаются полуосями.

Точки эллипса, являющиеся концами осей, называются вершинами.

Расстояния от точки на линии до фокусов получили название фокальных радиусов.

Расстояние между фокусами есть фокальное расстояние.

Отношение фокального расстояния к большей оси называется эксцентриситетом. Это особая характеристика, показывающая вытянутость или сплющенность фигуры.

Видео:Изображение окружности в перспективе. Эллипс.Скачать

Изображение окружности в перспективе. Эллипс.

Основные свойства эллипса

имеются две оси и один центр симметрии;

при равенстве полуосей линия превращается в окружность;

все точки фигуры лежат внутри прямоугольника со сторонами, равными большой и малой осям эллипса, проходящими через вершины параллельно осям.

Видео:Как начертить овал. Эллипс вписанный в ромбСкачать

Как начертить овал. Эллипс вписанный в ромб

Уравнение эллипса

Пусть линия расположена так, чтобы центр симметрии совпадал с началом координат, а оси – с осями координат.

Эллипс как сжатая окружность

Для составления уравнения достаточно воспользоваться определением, введя обозначение:

а – большая полуось (в наиболее простом виде её располагают вдоль оси Оx) (большая ось, соответственно, равна 2a);

c – половина фокального расстояния;

M(x;y) – произвольная точка линии.

В этом случае фокусы находятся в точках F1(-c;0); F2(c;0)

Эллипс как сжатая окружность

Эллипс как сжатая окружность

После ввода ещё одного обозначения

получается наиболее простой вид уравнения:

a 2 b 2 — a 2 y 2 — x 2 b 2 = 0,

a 2 b 2 = a 2 y 2 + x 2 b 2 ,

Эллипс как сжатая окружность

Параметр b численно равен полуоси, расположенной вдоль Oy (a > b).

В случае (b b) формула эксцентриситета (ε) принимает вид:

Эллипс как сжатая окружность

Эллипс как сжатая окружность

Чем меньше эксцентриситет, тем более сжатым будет эллипс.

Видео:Аналитическая геометрия: окружность и эллипсСкачать

Аналитическая геометрия: окружность и эллипс

Площадь эллипса

Площадь фигуры (овала), ограниченной эллипсом, можно вычислить по формуле:

Эллипс как сжатая окружность

Эллипс как сжатая окружность

a – большая полуось, b – малая.

Видео:Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. Эллипс

Площадь сегмента эллипса

Часть эллипса, отсекаемая прямой, называется его сегментом.

Эллипс как сжатая окружность

Видео:ЭллипсСкачать

Эллипс

Длина дуги эллипса

Длина дуги находится с помощью определённого интеграла по соответствующей формуле при введении параметра:

Эллипс как сжатая окружность

Видео:Длина эллипса и разложение в ряд для эллиптического интегралаСкачать

Длина эллипса и разложение в ряд для эллиптического интеграла

Радиус круга, вписанного в эллипс

В отличие от многоугольников, круг, вписанный в эллипс, касается его только в двух точках. Поэтому наименьшее расстояние между точками эллипса (содержащее центр) совпадает с диаметром круга:

Видео:КАК РИСОВАТЬ ЭЛЛИПСЫ. Простой и быстрый способ рисования ЭЛЛИПСОВСкачать

КАК РИСОВАТЬ ЭЛЛИПСЫ. Простой и быстрый способ рисования ЭЛЛИПСОВ

Радиус круга, описанного вокруг эллипса

Окружность, описанная около эллипса, касается его также только в двух точках. Поэтому наибольшее расстояние между точками эллипса совпадает с диаметром круга:

Онлайн калькулятор позволяет по известным параметрам вычислить остальные, найти площадь эллипса или его части, длину дуги всей фигуры или заключённой между двумя заданными точками.

Видео:Построение эллипса по восьми точкам в прямоугольной диметрииСкачать

Построение эллипса по восьми точкам в прямоугольной диметрии

Как построить эллипс

Построение линии удобно выполнять в декартовых координатах в каноническом виде.

Эллипс как сжатая окружность

Эллипс как сжатая окружность

Строится прямоугольник. Для этого проводятся прямые:

Эллипс как сжатая окружность

Сглаживая углы, проводится линия по сторонам прямоугольника.

Полученная фигура есть эллипс. По координатам отмечается каждый фокус.

При вращении вокруг любой из осей координат образуется поверхность, которая называется эллипсоид.

Видео:КАК НАРИСОВАТЬ КРУГ В ИЗОМЕТРИИ (ОВАЛ В ИЗОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ).Скачать

КАК НАРИСОВАТЬ КРУГ В ИЗОМЕТРИИ (ОВАЛ В ИЗОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ).

Эллипс — свойства, уравнение и построение фигуры

Эллипс как сжатая окружность

  • Определение и элементы эллипса
  • Основные свойства эллипса
  • Уравнение эллипса
  • Площадь эллипса
  • Площадь сегмента эллипса
  • Длина дуги эллипса
  • Радиус круга, вписанного в эллипс
  • Радиус круга, описанного вокруг эллипса
  • Как построить эллипс

Видео:построение эллипсаСкачать

построение эллипса

Определение и элементы эллипса

Множество точек координатной плоскости, для каждой из которых выполняется условие: сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, называется эллипсом.

Эллипс как сжатая окружность Эллипс как сжатая окружность

По форме график эллипса представляет замкнутую овальную кривую:

Наиболее простым случаем является расположение линии так, чтобы каждая точка имела симметричную пару относительно начала координат, а координатные оси являлись осями симметрии.

Отрезки осей симметрии, соединяющие две точки эллипса, называются осями. Различаются по размерам (большая и малая), а их половинки, соответственно, считаются полуосями.

Точки эллипса, являющиеся концами осей, называются вершинами.

Расстояния от точки на линии до фокусов получили название фокальных радиусов.

Расстояние между фокусами есть фокальное расстояние.

Отношение фокального расстояния к большей оси называется эксцентриситетом. Это особая характеристика, показывающая вытянутость или сплющенность фигуры.

Видео:10 Окружность и эллипсСкачать

10 Окружность и эллипс

Основные свойства эллипса

имеются две оси и один центр симметрии;

при равенстве полуосей линия превращается в окружность;

все точки фигуры лежат внутри прямоугольника со сторонами, равными большой и малой осям эллипса, проходящими через вершины параллельно осям.

Видео:Как разметить эллипс, Как нарисовать эллипсСкачать

Как разметить эллипс, Как нарисовать эллипс

Уравнение эллипса

Пусть линия расположена так, чтобы центр симметрии совпадал с началом координат, а оси – с осями координат.

Эллипс как сжатая окружность Эллипс как сжатая окружность

Для составления уравнения достаточно воспользоваться определением, введя обозначение:

а – большая полуось (в наиболее простом виде её располагают вдоль оси Оx) (большая ось, соответственно, равна 2a);

c – половина фокального расстояния;

M(x;y) – произвольная точка линии.

В этом случае фокусы находятся в точках F1(-c;0); F2(c;0)

Эллипс как сжатая окружность Эллипс как сжатая окружность

Эллипс как сжатая окружность Эллипс как сжатая окружность

После ввода ещё одного обозначения

получается наиболее простой вид уравнения:

a2b2 — a2y2 — x2b2 = 0,

a2b2 = a2y2 + x2b2,

Эллипс как сжатая окружность Эллипс как сжатая окружность

Параметр b численно равен полуоси, расположенной вдоль Oy (a > b).

В случае (b b) формула эксцентриситета (ε) принимает вид:

Эллипс как сжатая окружность Эллипс как сжатая окружность

Эллипс как сжатая окружность Эллипс как сжатая окружность

Чем меньше эксцентриситет, тем более сжатым будет эллипс.

Видео:Окружность. Эллипс.Скачать

Окружность. Эллипс.

Площадь эллипса

Площадь фигуры (овала), ограниченной эллипсом, можно вычислить по формуле:

Эллипс как сжатая окружность Эллипс как сжатая окружность

Эллипс как сжатая окружность Эллипс как сжатая окружность

a – большая полуось, b – малая.

Видео:Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |Скачать

Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |

Площадь сегмента эллипса

Часть эллипса, отсекаемая прямой, называется его сегментом.

Эллипс как сжатая окружностьЭллипс как сжатая окружность, где

(xo;y0) – крайняя точка сегмента.

Видео:11 класс, 52 урок, ЭллипсСкачать

11 класс, 52 урок, Эллипс

Длина дуги эллипса

Длина дуги находится с помощью определённого интеграла по соответствующей формуле при введении параметра:

Эллипс как сжатая окружность Эллипс как сжатая окружность

Видео:ПОСТРОЕНИЕ ОВАЛА │ КАК НАЧЕРТИТЬ ОВАЛ ПРИ ПОСТРОЕНИИ АКСОНОМЕТРИИ │ Урок #61Скачать

ПОСТРОЕНИЕ ОВАЛА │ КАК НАЧЕРТИТЬ ОВАЛ ПРИ ПОСТРОЕНИИ АКСОНОМЕТРИИ │ Урок #61

Радиус круга, вписанного в эллипс

В отличие от многоугольников, круг, вписанный в эллипс, касается его только в двух точках. Поэтому наименьшее расстояние между точками эллипса (содержащее центр) совпадает с диаметром круга:

Видео:Как начертить овал во фронтальной плоскостиСкачать

Как начертить овал во фронтальной плоскости

Радиус круга, описанного вокруг эллипса

Окружность, описанная около эллипса, касается его также только в двух точках. Поэтому наибольшее расстояние между точками эллипса совпадает с диаметром круга:

Онлайн калькулятор позволяет по известным параметрам вычислить остальные, найти площадь эллипса или его части, длину дуги всей фигуры или заключённой между двумя заданными точками.

Видео:Как начертить овал в горизонтальной плоскостиСкачать

Как начертить овал в горизонтальной плоскости

Как построить эллипс

Построение линии удобно выполнять в декартовых координатах в каноническом виде.

Эллипс как сжатая окружность Эллипс как сжатая окружность

Эллипс как сжатая окружность Эллипс как сжатая окружность

Строится прямоугольник. Для этого проводятся прямые:

Эллипс как сжатая окружность Эллипс как сжатая окружность

Сглаживая углы, проводится линия по сторонам прямоугольника.

Полученная фигура есть эллипс. По координатам отмечается каждый фокус.

При вращении вокруг любой из осей координат образуется поверхность, которая называется эллипсоид.

Поделиться или сохранить к себе: