Радиус вписанной окружности конуса

В данной публикации мы рассмотрим, как найти радиус вписанного в конус шара (сферы), а также площадь его поверхности и объем.

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Нахождение радиуса шара/сферы

В любой конус можно вписать шар (сферу). Другими словами, вокруг любого шара можно описать конус.

Чтобы найти радиус шара (сферы), вписанного в конус, чертим осевое сечение конуса. Таким образом, мы получаем равнобедренный треугольник (в нашем случае – ABC), в который вписана окружность радиусом r.

Радиус основания конуса (R) равняется половине основания данного треугольника (AC), а образующие ( l ) являются его боковыми сторонами (AB и BC).

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC, в том числе, является радиусом шара, вписанного в конус. Он находится по формуле:

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Формулы площади и объема шара/сферы

Зная радиус (r) можно найти площадь поверхности (S) сферы и объем (V) шара, ограниченного этой сферой:

Примечание: π округленно равняется 3,14.

Видео:Конус. 11 класс.Скачать

Радиус и высота конуса

Видео:РАДИУС ОСНОВАНИЯ ? Конус / база #506339Скачать

Свойства

Через радиус конуса можно найти все параметры конуса, связанные с основанием, а значение высоты позволяет вычислить площади, объемы и все остальные объемные параметры конуса. Так, диаметр конуса равен удвоенному радиусу, периметр окружности в основании вычисляется по стандартной формуле через радиус, равно как и площадь основания. d=2r P=2πr S_(осн.)=πr^2

Прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей конуса, связывает эти три значения теоремой Пифагора, по которой можно вычислить неизвестную образующую, а также угол между образующей и основанием. Тем временем, угол α рассчитывается из равнобедренного треугольника, сформированного двумя образующими и диаметром из того принципа, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. (рис.40.1, 40.2) l=√(h^2+r^2 ) tan⁡β=h/r α=180°-2β

Чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, необходимо умножить радиус и апофему на число π. Площадь полной поверхности конуса состоит из площади его основания и площади боковой поверхности. В обеих формулах вместо апофемы нужно подставить квадратный корень через высоту и радиус, полученный по теореме Пифагора. S_(б.п.)=πrl=πr√(h^2+r^2 ) S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=πrl+πr^2=πr(l+r)=πr(√(h^2+r^2 )+r)

Чтобы найти объем конуса, достаточно знать значения радиуса и высоты, тогда формула объема выглядит как произведение числа π на квадрат радиуса и высоту, деленное на три. V=1/3 S_(осн.) h=(πr^2 h)/3

Радиус сферы, вписанной в конус, зависит не только от радиуса основания конуса и его высоты, но и от образующей, поэтому чтобы вычислить радиус вписанной сферы конуса через радиус конуса и высоту, нужно вместо образующей подставить полученное для нее выше выражение. Радиус описанной сферы может быть представлен сразу формулой только с переменными радиуса и высоты. (рис.40.3, 40.4) r_1=hr/(l+r)=rh/(√(h^2+r^2 )+r) R=(h^2+r^2)/2h

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Презентация » Вписанные и описанные конусы»

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Видео:Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Пирамида, вписанная в конус Пирамида называется вписанной в конус, если ее основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. При этом конус называется описанным около пирамиды. Около пирамиды можно описать конус тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность.

Упражнение 1 Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1.

Упражнение 2 Найдите сторону основания правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1.

Упражнение 3 Найдите сторону основания правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1. Ответ: 1.

Пирамида, описанная около конуса Пирамида называется описанной около конуса, если ее основание описано около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. При этом конус называется вписанным в пирамиду. В пирамиду можно вписать конус тогда и только тогда, когда в ее основание можно вписать окружность.

Упражнение 1 Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1.

Упражнение 2 Найдите сторону основания правильной четырехугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1. Ответ: 2.

Упражнение 3 Найдите сторону основания правильной шестиугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1.

Сфера, вписанная в конус Сфера называется вписанной в конус, если она касается его основания и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом конус называется описанным около сферы. В любой конус (прямой, круговой) можно вписать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, вписанной в треугольник, являющийся осевым сечением конуса. Напомним, что радиус r окружности, вписанный в треугольник, находится по формуле где S – площадь, p – полупериметр треугольника.

Упражнение 1 В конус, радиус основания которого равен 1, а образующая равна 2, вписана сфера. Найдите ее радиус.

Упражнение 2 В конус, радиус основания которого равен 2, вписана сфера радиуса 1. Найдите высоту конуса.

Упражнение 3 Радиус основания конуса равен 1. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 45о. Найдите радиус вписанной сферы.

Упражнение 4 Высота конуса равна 8, образующая 10. Найдите радиус вписанной сферы.

Упражнение 5 Можно ли вписать сферу в наклонный конус? Ответ: Нет.

Сфера, вписанная в усеченный конус Сфера называется вписанной в усеченный конус, если она касается его оснований и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом усеченный конус называется описанным около сферы. В усеченный конус можно вписать сферу, если в его осевое сечение можно вписать окружность. Радиус этой окружности будет равен радиусу вписанной сферы.

Упражнение 1 В усеченный конус, радиусы оснований которого равны 2 и 1, вписана сфера. Найдите радиус сферы и высоту усеченного конуса.

Упражнение 2 В усеченный конус, радиус одного основания которого равен 2, вписана сфера радиуса 1. Найдите радиус второго основания. Решение. Пусть A1O1= 2. Обозначим r = A2O2. Имеем: A1A2 = 2+r, A1C = 2 – r. По теореме Пифагора, имеет место равенство из которого следует, что выполняется равенство Решая полученное уравнение относительно r, находим

Упражнение 3 В усеченном конусе радиус большего основания равен 2, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60о. Найдите радиус вписанной сферы.

Упражнение 4 Образующая усеченного конуса равна 2, площадь осевого сечения 3. Найдите радиус вписанной сферы.

Упражнение 5 Можно ли вписать сферу в усеченный наклонный конус. Ответ: Нет.

Сфера, описанная около конуса Сфера называется описанной около конуса, если вершина и окружность основания конуса лежат на сфере. При этом конус называется вписанным в сферу. Около любого конуса (прямого, кругового) можно описать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, описанной около треугольника, являющимся осевым сечением конуса. Напомним, что радиус R окружности, описанной около треугольника, находится по формуле где S – площадь, a, b, c – стороны треугольника.

Упражнение 1 Около конуса, радиус основания которого равен 1, а образующая равна 2, описана сфера. Найдите ее радиус.

Упражнение 2 Около конуса, радиус основания которого равен 4, описана сфера радиуса 5. Найдите высоту h конуса.

Упражнение 3 Радиус основания конуса равен 1. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 45о. Найдите радиус описанной сферы.

Упражнение 4 Высота конуса равна 8, образующая 10. Найдите радиус описанной сферы.

Упражнение 5 Можно ли описать сферу около наклонного конуса?

Сфера, описанная около усеченного конуса Сфера называется описанной около усеченного конуса, если окружности оснований усеченного конуса лежат на сфере. При этом усеченный конус называется вписанным в сферу. Около усеченного конуса можно описать сферу, если около его осевого сечения можно описать окружность. Радиус этой окружности будет равен радиусу описанной сферы.

Упражнение 1 Около усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 2 и 1, а образующая равна 2, описана сфера. Найдите ее радиус.

Упражнение 2 Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 1, образующая равна 2 и составляет угол 45о с плоскостью другого основания. Найдите радиус описанной сферы.

Упражнение 3 Радиус одного основания усеченного конуса равен 4, высота 7, радиус описанной сферы 5. Найдите радиус второго основания усеченного конуса.

Упражнение 4 Найдите радиус сферы, описанной около усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 2 и 4, а высота равна 5.

Упражнение 5 Можно ли описать сферу около усеченного наклонного конуса. Ответ: Нет.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 937 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 703 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 336 человек из 72 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Презентация не является моей авторской разработкой,я нашла ее в своих архивах. Хочу поделиться с вами этим материалом, т.к он хорошо подходит для отработки № 8 ЕГЭ. Презентация содержит набор задач с решениями ( каждая следующая сложнее предыдущей), хорошо сделанные рисунки ( что помогает учителю, за урок разобрать большее количество задач)

• Иванченко Ирина АлексеевнаНаписать 3081 08.02.2019

Номер материала: ДБ-429916

08.02.2019 107

08.02.2019 71

08.02.2019 52

08.02.2019 69

08.02.2019 557

07.02.2019 101

07.02.2019 150

07.02.2019 105

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Проходной балл ЕГЭ для поступления на бюджет снизился впервые за 10 лет

Время чтения: 3 минуты

Ретроспектива культовой сказки «Вечера на Хуторе близ Диканьки»

Время чтения: 5 минут

В России ежегодно будут обучать плаванию не менее 500 тыс. детей

Время чтения: 2 минуты

Более половины россиян сталкиваются с конфликтами в родительских чатах

Время чтения: 2 минуты

Стартовал региональный этап Всероссийской олимпиады школьников

Время чтения: 2 минуты

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

🎬 Видео

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Радиус вписанной окружности #математика #егэ #огэ #огэ2023 #математикапрофиль2023 #fyp #школаСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

11 класс, 17 урок, Площадь поверхности конусаСкачать

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 188... (ЕГЭ, проф.)Скачать

11 класс, 36 урок, Объем конусаСкачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

Стереометрия. ЕГЭ. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шараСкачать

ЗАДАНИЕ 2| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Высота конуса равна 30, а диаметр равен 32. Найдите образующую конуса.Скачать