Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые ad и bc

Видео:10 класс, 33 урок, Правильная пирамидаСкачать

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые ad и bc

БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 13. Стереометрия с доказательством.

25. Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, а BC равна 4√2. Высота пирамиды проектируется в центр пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD = 8.

26. Дана пирамида PABCD, в основании — трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.
а) Доказать, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PCD.
б) Найдите объём PKBC, если AB = BC = CD = 2, а высота равна 12.
Ответ: б) 4

27. SABCD — правильная пирамида с вершиной S. Точка M расположена на SD так, что SM : SD = 2 : 3. P — середина ребра AD, а Q середина ребра BC.
а) Доказать, что сечение пирамиды плоскостью MQP — равнобедренная трапеция.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MQP разбивает пирамиду.
Ответ: б) 2/7

28. В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра SA=SB=7, SC=5. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 4.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объём пирамиды SABC.
Ответ: б) 16√6

29. На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM:BM = CN:NB = 1:2. Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.
а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в плоскости.
б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
Ответ: б) 13/23

30. В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, AC = 4, BC = 16, AA₁=4√2. Точка Q — середина ребра A ₁ B ₁ , а точка P делит ребро B ₁ C ₁ в отношении 1 : 2, считая от вершины C ₁ . Плоскость APQ пересекает ребро CC ₁ в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC ₁ .
б) Найдите расстояние от точки A ₁ до плоскости APQ.

32. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах B₁C₁ и AB отмечены точки P и Q соответственно, причём PC ₁ =3, а AQ = 4. Плоскость A ₁ PQ пересекает ребро BC в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра BC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости A ₁ PQ.

33. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 2√3, а высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N — середины рёбер CD и AB, соответственно, а NT — высота пирамиды NSCD с вершиной N и основанием SCD.
а) Докажите, что точка T является серединой SM.
б) Найдите расстояние между NT и SC.
Ответ: б) √15/5

34. Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса — треугольник с углом 120◦ при вершине M. Образующая конуса равна 2√3. Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
а) Докажите, что получившийся в сечении треугольник тупоугольный.
б) Найдите площадь сечения.
Ответ: б) 4√2

35. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ является квадрат ABCD со стороной 5√2, высота призмы равна 2√14. Точка K — середина ребра BB ₁ . Через точки K и C ₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD ₁ .
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
Ответ: б) 26

36. Дана правильная пирамида SABCD. Точка M находится на SD так, что MS:SD=2:3. Точка P середина AD. Точка Q середина BC.
а) Доказать, что сечение пирамиды плоскостью MQP – равнобедренная трапеция.
б) Найдите соотношение объемов.
Ответ: б) 2/7

37. Основание прямой треугольной призмы ABCA ₁ B ₁ C ₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали граней AA ₁ B ₁ B и BB ₁ C ₁ C равны 15 и 9 соответственно, AB=13.
а) Докажите, что треугольник A ₁ C ₁ B – прямоугольный.
б) Найти объем пирамиды AA ₁ C ₁ B.
Ответ: б) 20√14

38. Основанием прямой треугольной призмы ABCA ₁ B ₁ C ₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC ₁ A ₁ является квадратом.
а) Докажите, что прямые CA ₁ и AB ₁ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми CA ₁ и AB ₁ , если AC = 4, BC = 7.

39. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания АВ=6, а боковое ребро AA ₁ =3. На ребре B ₁ C ₁ отмечена точка L так, что B ₁ L=1. Точки К и М – середины ребер АВ и A ₁ C ₁ соответственно. Плоскость ƴ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости ƴ
б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка М, а основание – сечение данной призмы плоскостью ƴ.
Ответ: б) 5√3

40. В правильной четырехугольной призме KLMNK ₁ L ₁ M ₁ N ₁ точка E делит боковое ребро KK ₁ в отношении KE:EK ₁ =1:3. Через точки L и E проведена плоскость α параллельная прямой KM и пересекающая ребро NN ₁ в точке F.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро NN ₁ пополам.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 6, KK ₁ =4.

43. Длина диагонали куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 3. На луче A₁C отмечена точка P так, что A ₁ P=4.
а) Докажите, что PBDC ₁ — правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка AP.
Ответ: б) √11

44. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=5√2.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA=DN:NC=2:3. Найдите площадь сечения MNB.
Ответ: б) 3√6

45. В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=2:1. Через точку Т параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
Ответ: б) 20/3

46. Дан цилиндр, в котором проведены диаметры оснований. AB – диаметр верхнего основания, CD — диаметр нижнего, причем отрезки AB и CD не лежат на параллельных прямых.
а) Докажите, что у пирамиды ABCD противоположные ребра равны.
б) Найдите высоту цилиндра, если AC=7, AD=6, а радиус основания цилиндра равен 2,5.
Ответ: б) √30

47. SABCD — правильная пирамида с вершиной S. Из точки В опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD.
а) Доказать, что угол AHC=90°.
б) Найдите объем пирамиды, если HA=1 и HC=7.

48. В кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ все рёбра равны 3. На его ребре BB ₁ отмечена точка K так, что KB=2. Через точки K и C ₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD ₁ .
а) Докажите, что плоскость α проходит через середину ребра A ₁ B ₁
. б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB ₁ C ₁ C.

Видео:№14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1Скачать

Задание №14. Стереометрия (на доказательство)

Дидактический материал в помощь учителю по математике для подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ 2020

Просмотр содержимого документа
«Задание №14. Стереометрия (на доказательство)»

Задание № 14. Стереометрия (на доказательство).

2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 5. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB=4. Через точки K и C₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.
а) Докажите, что A₁P:PB₁=3:1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.

3. Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью α, содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой AC, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD— квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC₁, если AA₁=10, AB=12.

4. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=6, а боковое ребро SA=4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
Ответ: б) 8 + 2√2

5. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=60, а боковое ребро SA=37. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.
Ответ: б) 5√3

6. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.

7. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 и BC=6. Длины боковых рёбер пирамиды SA=3, SB=5, SD=3√5.
а) Докажите, что SA— высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.
Ответ: б) 2,4

8. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=8 и BC=6. Длины боковых рёбер пирамиды SA=√21, SB=√85, SD=√57.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

9. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB=5 и диагональю BD=9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5.На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF=BE=4.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

10. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA₁ равно 2√2. На рёбрах AB, A₁B₁ и B₁C₁отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = B₁N= C₁K=2.
а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC. Докажите, что MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Ответ: б) 15

11. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA₁=3. На ребре AB отмечена точка K так, что AK=1. Точки M и L— середины рёбер A₁C₁ и B₁C₁соответственно. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.
Ответ: б) 3/4

12. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA₁ равно 4√2. На рёбрах BC и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причём BK= C₁L=2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A₁C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.

17. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 16, а высота равна 4. На ребрах АВ, CD и AS отмечены точки M, N и К соответственно, причем AM=DN=4 и АК=3.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.

18. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 12, а высота равна 1. На ребрах АВ, АС и AS отмечены точки М, N и К соответственно, причем АМ=AN=3 и AK=7/4.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.

19. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является квадрат ABCD со стороной 4, высота призмы равна 6. Точка K делит ребро AA₁ в соотношении AK:KA₁=1:2. Через точки K и B проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD₁ в точке M.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD₁ в отношении DM:MD₁=2:1.
б) Найдите площадь сечения.
Ответ: б) 8√6

20. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания равна 12, а боковое ребро AA₁ равно 3√6. На ребрах AB и B₁C₁ отмечены точки K и L соответственно, причем AK=2, B₁L=4. Точка M середина A₁C₁. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.
Ответ: б) √2

21. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=√5 и BC=2. Длины боковых рёбер пирамиды SA=√7, SB=2√3, SD=√11.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Ответ: б) 30

22. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 5. На ребрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что PA=AQ=RC=2.
а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.
б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.
Ответ: б) 7/2

23. В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB=13, PB=15, cos PBA=48/65. Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите объем пирамиды PABC.
Ответ: б) 90

25. Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, а BC равна 4√2. Высота пирамиды проектируется в центр пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 8.

26. Дана пирамида PABCD, в основании — трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.
а) Доказать, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PCD.
б) Найдите объём PKBC, если AB = BC = CD = 2, а высота равна 12.
Ответ: б) 4

27. SABCD — правильная пирамида с вершиной S. Точка M расположена на SD так, что SM : SD = 2 : 3. P — середина ребра AD, а Q середина ребра BC.
а) Доказать, что сечение пирамиды плоскостью MQP — равнобедренная трапеция.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MQP разбивает пирамиду.
Ответ: б) 2/7

28. В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра SA=SB=7, SC=5. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 4.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объём пирамиды SABC.
Ответ: б) 16√6

29. На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM:BM = CN:NB = 1:2. Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.
а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в плоскости.
б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
Ответ: б) 13/23

30. В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, AC = 4, BC = 16, AA₁=4√2. Точка Q — середина ребра A₁B₁, а точка P делит ребро B₁C₁ в отношении 1 : 2, считая от вершины C₁. Плоскость APQ пересекает ребро CC₁ в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC₁.
б) Найдите расстояние от точки A₁ до плоскости APQ.

32. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах B₁C₁ и AB отмечены точки P и Q соответственно, причём PC₁=3, а AQ = 4. Плоскость A₁PQ пересекает ребро BC в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра BC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости A₁PQ.

33. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 2√3, а высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N — середины рёбер CD и AB, соответственно, а NT — высота пирамиды NSCD с вершиной N и основанием SCD.
а) Докажите, что точка T является серединой SM.
б) Найдите расстояние между NT и SC.
Ответ: б) √15/5

34. Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса — треугольник с углом 120◦ при вершине M. Образующая конуса равна 2√3. Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
а) Докажите, что получившийся в сечении треугольник тупоугольный.
б) Найдите площадь сечения.
Ответ: б) 4√2

35. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является квадрат ABCD со стороной 5√2, высота призмы равна 2√14. Точка K — середина ребра BB₁. Через точки K и C₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
Ответ: б) 26

36. Дана правильная пирамида SABCD. Точка M находится на SD так, что MS:SD=2:3. Точка P середина AD. Точка Q середина BC.
а) Доказать, что сечение пирамиды плоскостью MQP – равнобедренная трапеция.
б) Найдите соотношение объемов.
Ответ: б) 2/7

39. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания АВ=6, а боковое ребро AA₁ =3. На ребре B₁C₁ отмечена точка L так, что B₁L=1. Точки К и М – середины ребер АВ и A₁C₁ соответственно. Плоскость ƴ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости ƴ
б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка М, а основание – сечение данной призмы плоскостью ƴ.
Ответ: б) 5√3

40. В правильной четырехугольной призме KLMNK₁L₁M₁N₁ точка E делит боковое ребро KK₁ в отношении KE:EK₁=1:3. Через точки L и E проведена плоскость α параллельная прямой KM и пересекающая ребро NN₁ в точке F.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро NN₁ пополам.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 6, KK₁=4.

44. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=5√2.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA=DN:NC=2:3. Найдите площадь сечения MNB.
Ответ: б) 3√6

45. В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=2:1. Через точку Т параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
Ответ: б) 20/3

46. Дан цилиндр, в котором проведены диаметры оснований. AB – диаметр верхнего основания, CD — диаметр нижнего, причем отрезки AB и CD не лежат на параллельных прямых.
а) Докажите, что у пирамиды ABCD противоположные ребра равны.
б) Найдите высоту цилиндра, если AC=7, AD=6, а радиус основания цилиндра равен 2,5.
Ответ: б) √30

47. SABCD — правильная пирамида с вершиной S. Из точки В опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD.
а) Доказать, что угол AHC=90°.
б) Найдите объем пирамиды, если HA=1 и HC=7.

49. В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 3 и радиусом основания 8 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объём пирамиды CABNM.
Ответ: б) 64+32√3

52. В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания ABCD равна 12, боковое ребро PA ―12√2. Через вершину A проведена плоскость a, перпендикулярная прямой PC и пересекающая ребро PC в точке K.
а) Докажите, что плоскость a делит высоту PH пирамиды PABCD в отношении 2:1, считая от вершины P.
б) Найдите расстояние между прямыми PH и BK.

53. Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁ . На ребре AA₁ отмечена точка K так, что AK: KA₁ = 1 : 2. Плоскость a проходит через точки B и K параллельно прямой AC. Эта плоскость пересекает ребро DD₁ в точке M.
а) Докажите, что MD:MD₁=2:1.
б) Найдите площадь сечения, если AB=4, AA₁=6.
Ответ: б) 8√6

54. На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ:OB=1:2. Точка P — середина ребра AS.
а) Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 6.
Ответ: б) √5

55. В правильном тетраэдре АВС точка Н — центр грани АВС, а точка М — середина ребра СD.
а) Докажите, что прямые АВ и СD перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямыми DН и ВМ.

56. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C₁, причём CC₁ — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=30°, AB=√2, CC₁=2.
а) Докажите, что угол между прямыми AC₁ и BC равен 45°.
б) Найдите объём цилиндра.
Ответ: б) 4π

57. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки B₁ и C₁, причем BB₁ — образующая цилиндра, а отрезок AC₁ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC₁ прямой.
б) Найдите угол между прямыми BB₁ и AC₁, если АВ = 6, BB₁=15, B₁C₁=8.

58. В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ . лежит равнобедренный (AB = BC) треугольник ABC. Точки K и M — середины рёбер A₁B₁ и AC соответственно.
а) Докажите, что KM = KB.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB₁, если AB = 8, AC = 6 и AA₁ = 3.

59. Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ , у которой сторон основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Через точки A, C₁и середину T ребра A₁B₁ проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
Ответ: б) arctg 3

61. В треугольной пирамиде SABC основанием является правильный треугольник ABC, а ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Точки D, E и F середины ребер AB, BC и BS соответственно.
а) Докажите, что плоскость DEF делит пополам высоту пирамиды, проведенную из вершины B.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости DEF, если AB=6, AS=10.

62. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 и BC=√33, все боковые ребра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребре AS – точка F так, что SF=BE=3.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна SB.
б) Пусть плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от Q до плоскости АВС.

63. Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD, все ребра которой равны 12. Точка N – середина бокового ребра MA, точка K делит боковое ребро MB в отношении 2:1, считая от вершины M.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и K параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией.
б) Найдите площадь этого сечения.
Ответ: б) 7√51

64. На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB=BC. Медиана AM треугольника ASC пересекает высоту конуса.
а) Точка N — середина отрезка AC. Докажите, что MNB прямой.
б) Найдите угол между прямыми AM и SB, если AS=2, AC=√6.

65. В основании правильной пирамиды PABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Сечение пирамиды проходит через вершину В и середину ребра PD перпендикулярно этому ребру.
а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к её основанию равен 60°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды.
Ответ: б) 12√3

66. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 4. На продолжении ребра SA за точку A отмечена точка P, а на продолжении ребра SB за точку B —точка Q, причём AP = BQ = SA.
а) Докажите, что прямые PQ и SC перпендикулярны друг другу.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и CPQ.

67. Плоскость α проходит через середину ребра AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ . перпендикулярно прямой BD₁.
а) Докажите, что угол между плоскостью α и плоскостью ABC равен углу между прямыми BB₁ и B₁D.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABC, если объём параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 48√3, AB = 2√3 и AD = 6.
Ответ: б) 60°

69. Дана пирамида SABC в которой SC=SB=AB=AC=√17, SA=BC=2√5.

а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.

б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA.

а) Докажите, что расстояние от вершины A1 до прямой BK равно ребру куба.

б) Найдите угол между плоскостями KBA1 и BCC1.

а) Докажите, что прямая KL проходит через середину ребра BC.

б) Найдите угол между прямыми AD1 и KL, если AB=2√2, AD=6, AA1=8.

72. На ребре AB правильной треугольной пирамиды SABC с основанием ABC отмечена точка K, причём AK=15, BK=3. Через точку K проведена плоскость α, параллельная плоскости SBC.

а) Докажите, что плоскость α проходит через середину высоты пирамиды.

б) Найдите расстояние между плоскостями α и SBC, если высота пирамиды равна 13.

73. В правильной треугольной пирамиде SABC точка P – делит сторону AB в отношении 2:3 считая от вершины A, точка K – делит сторону BC в отношении 2:3 считая от вершины C. Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость a.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью a является прямоугольником.

б) Найдите расстояние от точки S до плоскости a если известно, что SC=5, AC=6.

74. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=9, а боковое ребро SA=6. На ребрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK : KB=SM : MC =2:7. Плоскость a содержит прямую KM и параллельна прямой SA.

а) Докажите, что плоскость a делит ребро SB в отношении 2:7 считая от вершины S.

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.

75. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB=3, а боковое ребро SA=6. Точка K делит ребро SC, причем SK:KC=1:2. Плоскость a проходит через точку K и параллельна SAD.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскость a является равнобедренной трапецией.

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка S, а основание – сечение пирамиды SABC плоскость a.

🔥 Видео

Построение проекции пирамиды. Метод прямого треугольника.Скачать

Пирамида. 11 класс.Скачать

Построение сечений (часть 1). Пирамиды. сечениеСкачать

№55,б Пересечение пирамиды плоскостью общего положенияСкачать

№241. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 мСкачать

Построение сечения пирамиды по трем точкамСкачать

Определение точек встречи прямой с многогранником (пирамида, призма)Скачать

Лекция 5 Задача 4Скачать

Как правильно построить сечение пирамиды плоскостью.Скачать

10 класс, 32 урок, ПирамидаСкачать

№3. Как строить сечения пирамидСкачать

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основанияСкачать

Усеченная пирамида. 11 класс.Скачать

Начертательная геометрия. 14 урок. Пересечение пирамиды плоскостью общего положенияСкачать

ЕГЭ Задание 14 Пирамида вписана в сферуСкачать

Построение проекции пирамиды в трех плоскостях и построение точек 1 и 2, свободно расположенных в ееСкачать

Объём пирамидыСкачать

Усеченная пирамида Построение сечения, изометрии и развертки поверхности пошаговоСкачать