Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Серединные перпендикуляры свойства и окружность— серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Теорема

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Доказательство

1) Дано: m — серединный перпендикуляр отрезка АВ, О — середина АВ, МСерединные перпендикуляры свойства и окружностьm

Доказать: АМ = ВМ

Доказательство:

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Если О = М, то АМ = ВМ, т.к. О — середина АВ.

Пусть О Серединные перпендикуляры свойства и окружностьМ. Рассмотрим Серединные перпендикуляры свойства и окружностьОАМ и Серединные перпендикуляры свойства и окружностьОВМ: так как m — серединный перпендикуляр отрезка АВ, то рассматриваемые треугольники прямоугольные. ОА = ОВ, т.к. О — середина отрезка АВ, ОМ — общий катет, следовательно, Серединные перпендикуляры свойства и окружностьОАМ = Серединные перпендикуляры свойства и окружностьОВМ, по двум катетам, а в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, поэтому АМ = ВМ.

2) Дано: m — серединный перпендикуляр отрезка АВ, О — середина АВ, АN = ВN

Доказать: NСерединные перпендикуляры свойства и окружностьm

Доказательство:

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Рассмотрим произвольную точку N.

Если NСерединные перпендикуляры свойства и окружностьАВ, то N = О, а, значит, она лежит на прямой m.

Если N не лежит на АВ, то Серединные перпендикуляры свойства и окружностьANB — равнобедренный, так как АN = ВN. О — середина АВ, следовательно, — медиана Серединные перпендикуляры свойства и окружностьANB, а, значит, и высота по свойству равнобедренного треугольника. Поэтому Серединные перпендикуляры свойства и окружностьАВ, следовательно, прямые и m совпадают, так как по устовию m — серединный перпендикуляр отрезка АВ, т.е. N — точка прямой m. Теорема доказана.

Следствие 1

Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от концов отрезка, является серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Следствие2

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:8 класс, 36 урок, Свойства серединного перпендикуляра к отрезкуСкачать

8 класс, 36 урок, Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Серединные перпендикуляры свойства и окружностьСерединный перпендикуляр к отрезку
Серединные перпендикуляры свойства и окружностьОкружность описанная около треугольника
Серединные перпендикуляры свойства и окружностьСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Серединные перпендикуляры свойства и окружностьДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№30 - Свойство серединного перпендикуляра.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№30 - Свойство серединного перпендикуляра.)

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:75. Свойства серединного перпендикуляра к отрезкуСкачать

75. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Серединные перпендикуляры свойства и окружность,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Серединные перпендикуляры свойства и окружностьВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаСерединные перпендикуляры свойства и окружностьОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиСерединные перпендикуляры свойства и окружностьЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиСерединные перпендикуляры свойства и окружностьЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовСерединные перпендикуляры свойства и окружность
Площадь треугольникаСерединные перпендикуляры свойства и окружность
Радиус описанной окружностиСерединные перпендикуляры свойства и окружность
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаСерединные перпендикуляры свойства и окружность

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиСерединные перпендикуляры свойства и окружность

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиСерединные перпендикуляры свойства и окружность

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиСерединные перпендикуляры свойства и окружность

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовСерединные перпендикуляры свойства и окружность

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Серединные перпендикуляры свойства и окружность,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаСерединные перпендикуляры свойства и окружность

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиСерединные перпендикуляры свойства и окружность

Для любого треугольника справедливо равенство:

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Серединные перпендикуляры свойства и окружность.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Серединный перпендикулярСкачать

Серединный перпендикуляр

Серединный перпендикуляр — определение, свойства и формулы

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Общие сведения

Серединным перпендикуляром отрезка называют прямую, которая проходит под прямым углом через среднюю точку, т. е. середину отрезка. Для полного понимания материала следует остановиться на базовых элементах геометрии.

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Точка — единица, при помощи которой строятся прямые, отрезки, лучи и фигуры. Прямая — простая фигура в форме бесконечной линии, состоящей из множества точек, лежащих в одной плоскости. Луч — базовая геометрическая фигура в виде бесконечной линии с одной стороны и точки-ограничителя — с другой. Иными словами, луч имеет начало, но не имеет конца. Отрезок — некоторая часть прямой (луча или другого отрезка), ограниченная двумя точками.

Кроме того, в геометрии серединный перпендикуляр встречается в треугольниках. Из определения можно сделать вывод, что им может быть прямая, отрезок и даже луч.

Аксиомы геометрии Евклида

Евклидовой геометрией называется наука о фигурах на плоскости, основанная на аксиомах и теоремах. Аксиома — базовое утверждение, не требующее доказательства. Оно используется для доказательства каких-либо теорем. Математики выделяют пять аксиом:

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

  1. Принадлежности.
  2. Порядка.
  3. Конгруэнтности.
  4. Параллельности прямых.
  5. Непрерывности.

Формулировка первой имеет такой вид: если существует в геометрическом пространстве плоскость, состоящая из множества точек, то через любые из них можно провести только одну прямую. Иными словами, можно взять произвольные две точки и провести через них одну прямую. Чтобы начертить еще одну прямую, следует взять две другие точки.

Следующее утверждение называется аксиомой порядка. Она гласит, что существует точка, которая лежит между двумя другими на прямой. Значение слова «конгруэнтность» не совсем понятно для новичка, однако нужно постепенно привыкать к терминологии. Оно обозначает «равенство». Третий геометрический факт формулируется таким образом: когда два отрезка или угла конгруэнтны третьему, тогда они равны между собой. Аксиома касается только отрезков и углов.

Чтобы убедиться в ее правильности, нужно разобрать следующий пример: длина первого отрезка составляет 10 см, второго — тоже, а третий равен первому. Необходимо доказать, что они равны между собой. Это делается очень просто:

  • Вводятся обозначения: первый — MN, второй — OP и третий — RS.
  • Устанавливаются значения по условию: MN = 10 см, ОР = 10 см, а RS = MN.
  • Доказательство строится таким образом: MN = RS = 10 (см). Следовательно, отрезки равны, поскольку MN = ОР = RS = 10 (см).

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Следует отметить, что данные действия оказались лишними — было потрачено время на понимание простой «истины». Параллельность прямых является также аксиомой и формулируется таким образом: если существует некоторая прямая на плоскости и точка, не лежащая на ней, то через последнюю можно провести только одну параллельную ей прямую.

И последняя аксиома называется Архимедовой. Ее формулировка имеет такой вид: для произвольных отрезков, лежащих на одной прямой, существует некоторая последовательность базовых элементов (точек), лежащих на одном и другом отрезках, таких, что заданные их части равны между собой. Иными словами, на одной прямой могут быть расположены равные между собой отрезки.

Информация о треугольниках

Треугольником является любая фигура, состоящая из трех вершин (точек) соединенных отрезками (сторонами), причем точки не лежат на одной прямой в одной плоскости. Они классифицируются по такому типу:

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

В первом случае фигуры делятся на остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. Остроугольным называется треугольник, у которого все углы острые (меньше 90 градусов). У тупоугольного — один угол тупой (> 90), а в прямоугольном — один из углов равен 90 градусам. Следует отметить, что сумма градусных мер углов любого треугольника эквивалентна 180.

Когда стороны у треугольника неравны между собой, тогда его называют разносторонним. При равенстве двух боковых сторон он считается равнобедренным, у которого третья сторона — основание. Если все стороны равны, то значит, фигура является равносторонней или правильной.

У треугольника есть еще и другие параметры. Их называют медианой, биссектрисой и высотой. Первый параметр является отрезком, который проводится из любой вершины на среднюю точку стороны. Высота — часть прямой, которая проводится из произвольной вершины и перпендикулярна противоположной стороне. Биссектрисой называется прямая, делящая угол на две равные части.

Медиана, высота и биссектриса, проведенные из вершины к основанию, совпадают и эквивалентны серединному перпендикуляру в треугольниках равнобедренного и равностороннего типов. Это очень важно при решении задач. Еще одним признаком, по которому выполняется классификация — подобность треугольников. У них могут быть равными только углы и некоторые стороны. Они отличаются между собой по определенному параметру, который называется коэффициентом подобия. Последний влияет только на размерность сторон. Говорят, что фигуры подобны по определенному признаку (их всего три).

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Основные теоремы

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Теорема — гипотеза (предположение), которую нужно доказать. Они применяются для оптимизации расчетов и вычисления отдельных параметров заданной фигуры. Кроме того, существуют следствия, полученные при доказательстве таких научных предположений. Эти аспекты упрощают и автоматизируют вычисления. Например, при вычислении площади треугольника нет необходимости выводить формулу, достаточно воспользоваться уже готовой.

Математики выделяют всего три теоремы о СП, которые могут значительно упростить расчеты. К ним можно отнести следующие:

  • Прямая.
  • Обратная.
  • Пересечение в треугольнике.

Первая теорема называется прямой о СП. Она показывает, каким свойством обладают точки серединного перпендикуляра. Ее формулировка следующая: произвольная точка, которая взятая на перпендикуляре, удалена на равные расстояния от конечных точек отрезка, ограничивающих его на плоскости.

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

Для доказательства следует рассмотреть два прямоугольных треугольника с общей вершиной (искомая точка), общей стороной — катетом и равными катетами (по определению). Фигуры равны по одному из признаков равенства треугольников. Следовательно, их гипотенузы (стороны, равенство которых нужно доказать), равны между собой. Первая теорема доказана.

Следующая теорема — обратная: если точка удалена на равные расстояния от концов отрезка, то значит, она лежит на СП. В этом случае следует рассматривать равнобедренный треугольник, вершиной которого она является. Удалена точка на одинаковые расстояния от вершин основания по условию. Следовательно, этот факт доказывает, что полученный треугольник является равнобедренным, а в нем медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Значит, она лежит на серединном перпендикуляре. Утверждение доказано.

Следующую теорему нет необходимости доказывать, поскольку известно, что в равнобедренном и равностороннем треугольниках высоты (медианы и биссектрисы) имеют общую точку пересечения. Они являются также и СП. Следовательно, это утверждение справедливо для них.

Видео:Свойство точек серединного перпендикуляра (серпера)Скачать

Свойство точек серединного перпендикуляра (серпера)

Важные свойства

Иногда трех теорем недостаточно для решения какой-либо сложной задачи. В этом случае необходимо знать еще и некоторые свойства СП:

  1. Центр описанной окружности вокруг треугольника соответствует точке их пересечения.
  2. Точка, взятая на СП, равноудалена от конечных точек отрезка и образует равнобедренный или равносторонний треугольник.
  3. В треугольниках равнобедренного и равностороннего типов им является высота, медиана и биссектриса.

В первом случае все зависит от типа треугольника. Если он является остроугольным, то центр лежит внутри него. Для тупоугольного — во внешнем пространстве, а в прямоугольном — на середине гипотенузы.

Следует отметить, что есть формулы для его расчета. Если предположить, что существует некоторый произвольный треугольник со сторонами а, b и с. Кроме того, для них выполняется условие a >= b >= c. Исходя из полученных данных, можно записать формулы перпендикуляров (Р), проведенных к определенной стороне:

  1. а: Pa = (2 * а * S) / (a^2 + b^2 — c^2).
  2. b: Pb = (2 * b * S) / (a^2 + b^2 — c^2).
  3. c: Pc = (2 * c * S) / (a^2 — b^2 + c^2).

Иными словами, Р является отношением удвоенного произведения стороны на площадь треугольника к сумме квадратов смежных сторон без квадрата противоположной. Кроме того, справедливы неравенства: Pa >= Pb и Pс >= Pb. Стороны — известные параметры, а вот площадь находится по некоторым соотношениям, которые выглядят следующим образом:

  1. Основание и высоту, проведенную к нему: S = (1/2) * a * Ha = (1/2) * b * Hb = (1/2) * c * Hc.
  2. Через радиус вписанной окружности: S = (1/2) * r * (a + b + c).
  3. Формулу Герона через полупериметр (р) и без него: S = [p * (p — a) * (p — b) * (p — c)]^(1/2) и S = 1/4 * [(a + b + c) * (b + c — a) * (а + c — b) * (a + b — c)]^(1/2).

В основном по таким соотношениям и нужно определить площадь. Полупериметр вычисляется таким образом: р = (а + b + с) / 2.

Бывают задачи, в которых необходимо просто подставить значения в формулу. Они называются простейшими. Однако встречаются и сложные. К ним относятся все виды без некоторых промежуточных параметров фигуры.

Видео:Геометрия. 8 класс. Урок 10 "Серединный перпендикуляр как ГМТ. Описанная окружность"Скачать

Геометрия. 8 класс.  Урок 10 "Серединный перпендикуляр как ГМТ. Описанная окружность"

Пример решения задачи

В интернете попадаются примеры решения простых задач, а сложные приходится решать самостоятельно, просить помощи у кого-нибудь или покупать на сайтах готовое решение. Для примера нужно решить задание с такими данными:

Серединные перпендикуляры свойства и окружность

  1. Прямоугольник, изображенный на рисунке 1 с диагональю равной d.
  2. Серединный перпендикуляр, проведенный к диагонали прямоугольника.
  3. Точка Е делит сторону на отрезки а и 2а.

Нужно найти: углы, указанные на рисунке, стороны и ОЕ. Кроме того, дополнительные данные можно узнать из чертежа, который используется для решения задачи (рис. 1). К любому заданию нужно делать графическое представление, поскольку оно позволяет избежать ошибок при вычислении

Рисунок 1. Чертеж для решения задачи.

Числовых значений нет, тогда необходимо решать в общем виде. Углы можно найти по такому алгоритму:

  1. Нужно рассмотреть треугольник ВДЕ. Он является равнобедренным, поскольку ОЕ — СП, а диагональ — отрезок. Следовательно, ВЕ = ДЕ = 2а.
  2. Необходимо найти угол ЕВО. Сделать это проблемно. Рекомендуется обратить внимание на треугольник АВЕ.
  3. При помощи тригонометрической функции синуса можно вычислить значение угла АBE: sin(АBE) = a/2а = 0,5. Следовательно, arcsin(0,5) = 30 (градусов).
  4. Угол СВЕ вычисляется следующим образом: 90 — 30 = 60 (градусов).
  5. Следовательно, искомый угол равен 30, поскольку 90 — 30 — 30 = 30.
  6. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны между собой: ЕДО = ЕВО = 30 (градусов).

Для нахождения сторон нужно составить уравнение в общем виде, обозначив неизвестную величину АВ литерой «х». Рассмотрев прямоугольный треугольник АВЕ, по теореме Пифагора можно вычислить АВ: x = [4a^2 + a^2]^(1/2) = a * [5]^(1/2). Следовательно, АВ = a * [5]^(1/2) и ВС = 3а. ОЕ находится по формуле: ОЕ = (2 * 2 * а * S) / (8 * a^2 — d^2). Можно править соотношение таким образом через прямоугольный треугольник ДОЕ: ОЕ = [4 * a^2 — (d^2) / 4]^(1/2).

Таким образом, нахождение серединного перпендикуляра позволяет значительно уменьшить объемы вычислений. Однако для этого нужно знать не только основные теоремы, но и его свойства.

🔍 Видео

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Свойства биссектрисы угла. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку. 8класс.Скачать

Свойства биссектрисы угла. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку. 8класс.

Почему серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке? | Vasily mathsСкачать

Почему серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке? | Vasily maths

Св-ва биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку | Геометрия 7-9 класс #72 | ИнфоурокСкачать

Св-ва биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку | Геометрия 7-9 класс #72 | Инфоурок

Геометрия 7 класс. ГМТ. Окружность. Серединный перпендикуляр. Биссектриса углаСкачать

Геометрия 7 класс. ГМТ. Окружность. Серединный перпендикуляр. Биссектриса угла

КАК ПРОВЕСТИ СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР? #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #перпендикулярСкачать

КАК ПРОВЕСТИ СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР? #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #перпендикуляр

Геометрическое место точек (окружность, биссектриса угла и серединный перпендикуляр отрезка)Скачать

Геометрическое место точек (окружность, биссектриса угла и серединный перпендикуляр отрезка)

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС

Урок 12. Серединный перпендикуляр к отрезку (7 класс)Скачать

Урок 12.  Серединный перпендикуляр к отрезку (7 класс)
Поделиться или сохранить к себе: