Правильный четырехугольник призмы диагональ основания равна 3

Видео:№224. Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60°Скачать

Ваш ответ

Видео:№226. В правильной четырехугольной призме через диагональ основания проведено сечениеСкачать

решение вопроса

Видео:№225. Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°.Скачать

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,277
• гуманитарные 33,618
• юридические 17,900
• школьный раздел 606,680
• разное 16,822

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:№259. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковойСкачать

Четырехугольная призма: высота, диагональ, площадь

В школьном курсе стереометрии одной из самых простых фигур, которая имеет не нулевые размеры вдоль трех пространственных осей, является четырехугольная призма. Рассмотрим в статье, что это за фигура, из каких элементов она состоит, а также как можно рассчитать площадь ее поверхности и объем.

Видео:Задача о вычислении диагонали четырёхугольной призмыСкачать

Понятие о призме

В геометрии призмой полагают пространственную фигуру, которая образована двумя одинаковыми основаниями и боковыми поверхностями, которые соединяют стороны этих оснований. Отметим, что оба основания переходят друг в друга с помощью операции параллельного переноса на некоторый вектор. Такое задание призмы приводит к тому, что все ее боковые стороны всегда являются параллелограммами.

Количество сторон основания может быть произвольным, начиная от трех. При стремлении этого числа к бесконечности, призма плавно переходит в цилиндр, поскольку ее основание становится кругом, а боковые параллелограммы, соединяясь, образуют цилиндрическую поверхность.

Как и любой полиэдр, призма характеризуется сторонами (плоскости, которые ограничивают фигуру), ребрами (отрезки, по которым пересекаются две любые стороны) и вершинами (точки встречи трех сторон, для призмы две из них являются боковыми, а третья — основанием). Количества названных трех элементов фигуры связаны между собой следующим выражением:

Здесь Р, С и В — это число ребер, сторон и вершин, соответственно. Это выражение является математической записью теоремы Эйлера.

Выше приведен рисунок, где показаны две призмы. В основании одной из них (A) лежит правильный шестиугольник, и стороны боковые перпендикулярны основаниям. Рисунок B демонстрирует другую призму. Ее боковые стороны уже не перпендикулярны основаниям, а основание представляет собой правильный пятиугольник.

Видео:№221. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 смСкачать

Что такое призма четырехугольная?

Как понятно из описания выше, тип призмы в первую очередь определяется видом многоугольника, который образует основание (оба основания одинаковые, поэтому речь можно вести об одном из них). Если этим многоугольником является параллелограмм, то мы получаем четырехугольную призму. Таким образом, все стороны этого вида призмы являются параллелограммами. Четырехугольная призма имеет собственное название — параллелепипед.

Количество сторон параллелепипеда равно шести, причем каждая сторона имеет аналогичную параллельную ей. Поскольку основания параллелепипеда — это две стороны, то оставшиеся четыре являются боковыми.

Количество вершин параллелепипеда равно восьми, в чем легко убедиться, если вспомнить, что вершины призмы образуются только на вершинах базовых многоугольников (4х2=8). Применяя теорему Эйлера, получаем число ребер:

Из 12-ти ребер, только 4 образованы самостоятельно боковыми сторонами. Остальные 8 лежат в плоскостях оснований фигуры.

Далее в статье речь пойдет только о четырехугольных призмах.

Видео:Геометрия Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы имеет площадь 16 дм2 диагональСкачать

Виды параллелепипедов

Первый тип классификации заключается в особенности параллелограмма, лежащего в основании. Он может быть следующего вида:

• обычный, у которого углы не равны 90 o ;
• прямоугольник;
• квадрат — правильный четырехугольник.

Второй тип классификации заключается в угле, при котором боковая сторона пересекает основание. Здесь возможно два разных случая:

• этот угол не является прямым, тогда призму называют косоугольной или наклонной;
• угол равен 90 o , тогда такая призма является прямоугольной или просто прямой.

Третий тип классификации связан с высотой призмы. Если призма является прямоугольной, и в основании лежит либо квадрат, либо прямоугольник, тогда ее называют прямоугольным параллелепипедом. Если же в основании находится квадрат, призма является прямоугольной, а ее высота равна длине стороны квадрата, то мы получаем всем известную фигуру куб.

Видео:№230. Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом, равным 120Скачать

Поверхность призмы и ее площадь

Совокупность всех точек, которые лежат на двух основаниях призмы (параллелограммах) и на ее боковых сторонах (четыре параллелограмма), образуют поверхность фигуры. Площадь этой поверхности может быть вычислена, если рассчитать площадь основания и эту величину для боковой поверхности. Тогда их сумма даст искомое значение. Математически это записывается так:

Здесь S_o и S_b — площадь основания и боковой поверхности, соответственно. Цифра 2 перед S_o появляется в виду того, что оснований два.

Отметим, что записанная формула справедлива для любой призмы, а не только для площади четырехугольной призмы.

Полезно напомнить, что площадь параллелограмма S_p вычисляется по формуле:

Где символы a и h обозначают длину одной из его сторон и высоту, проведенную к этой стороне, соответственно.

Видео:№229. В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. ВычислитеСкачать

Площадь прямоугольной призмы с квадратным основанием

В правильной четырехугольной призме основание представляет собой квадрат. Обозначим для определенности его сторону буквой a. Чтобы рассчитать площадь правильной четырехугольной призмы, следует знать ее высоту. Согласно определению для этой величины, она равна длине перпендикуляра, опущенного из одного основания на другое, то есть равна расстоянию между ними. Обозначим ее буквой h. Поскольку все боковые грани перпендикулярны основаниям для рассматриваемого типа призмы, то высота правильной четырехугольной призмы будет равна длине ее бокового ребра.

В общей формуле для площади поверхности призмы стоит два слагаемых. Площадь основания в данном случае рассчитать просто, она равна:

Чтобы вычислить площадь боковой поверхности, рассуждаем следующим образом: эта поверхность образована 4-мя одинаковыми прямоугольниками. Причем стороны каждого из них равны a и h. Это означает, что площадь S_b буде равна:

Заметим, что произведение 4*a — это периметр квадратного основания. Если обобщить это выражение на случай произвольного основания, тогда для прямоугольной призмы боковую поверхность можно рассчитать так:

Где P_o — периметр основания.

Возвращаясь к задаче расчета площади правильной четырехугольной призмы, можно записать итоговую формулу:

Видео:№219. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. ДиагональСкачать

Площадь косоугольного параллелепипеда

Вычислить ее несколько сложнее, чем для прямоугольного. В этом случае площадь основания четырехугольной призмы вычисляется по той же формуле, что и для параллелограмма. Изменения касаются способа определения площади боковой поверхности.

Для этого используется та же формула через периметр, что приведена в пункте выше. Только теперь в ней появятся несколько иные множители. Общая формула для S_b в случае косоугольной призмы имеет вид:

Здесь с — это длина бокового ребра фигуры. Величина P_sr является периметром прямоугольного среза. Строится этот сред следующим образом: необходимо плоскостью пересечь все боковые грани таким образом, чтобы она была перпендикулярна всем им. Образованный прямоугольник и будет искомым срезом.

На рисунке выше приведен пример косоугольного параллелепипеда. Заштрихованное его сечение с боковыми сторонами образует прямые углы. Периметр сечения равен P_sr. Он образован четырьмя высотами боковых параллелограммов. Для этой четырехугольной призмы площадь боковой поверхности рассчитывается по указанной выше формуле.

Видео:ЕГЭ математика СТЕРЕОМЕТРИЯ 8#407🔴Скачать

Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда

Диагональ параллелепипеда — это отрезок, который соединяет две вершины, не имеющие общих сторон, которые их образуют. В любой четырехугольной призме диагоналей всего четыре. Для прямоугольного параллелепипеда, в основании которого расположен прямоугольник, длины всех диагоналей равны друг другу.

Ниже на рисунке приведена соответствующая фигура. Красный отрезок является ее диагональю.

Рассчитать ее длину очень просто, если вспомнить о теореме Пифагора. Каждый школьник может получить искомую формулу. Она имеет следующую форму:

Здесь D — длина диагонали. Остальные символы — это длины сторон параллелепипеда.

Многие путают диагональ параллелепипеда с диагоналями его сторон. Ниже приводится рисунок, где цветными отрезками изображены диагонали сторон фигуры.

Длина каждой из них также определяется по теореме Пифагора и равна квадратному корню из суммы квадратов соответствующих длин сторон.

Видео:Нахождение тангенса угла между плоскостями в пирамидеСкачать

Объем призмы

Помимо площади правильной четырехугольной призмы или других видов призм, для решения некоторых геометрических задач следует знать и их объем. Эта величина для абсолютно любой призмы вычисляется по следующей формуле:

Если призма является прямоугольной, тогда достаточно вычислить площадь ее основания и умножить его на длину ребра боковой стороны, чтобы получить объем фигуры.

Если призма является правильной четырехугольной, тогда ее объем будет равен:

Легко видеть, что эта формула преобразуется в выражение для объема куба, если длина бокового ребра h равна стороне основания a.

Видео:Призма и пирамида. Площадь и объем. Вебинар | Математика 10 классСкачать

Задача с прямоугольным параллелепипедом

Для закрепления изученного материала решим следующую задачу: имеется прямоугольный параллелепипед, стороны которого равны 3 см, 4 см и 5 см. Необходимо рассчитать площадь его поверхности, длину диагонали и объем.

Для определенности будем считать, что основанием фигуры является прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Тогда его площадь равна 12 см 2 , а период составляет 14 см. Используя формулу для площади поверхности призмы, получаем:

Для определения длины диагонали и объема фигуры можно непосредственно воспользоваться приведенными выше выражениями:

Видео:🔴 Найдите объём правильной четырёхугольной ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Задача с косоугольным параллелепипедом

Ниже на рисунке изображена косоугольная призма. Ее стороны равны: a=10 см, b = 8 см, с = 12 см. Необходимо найти площадь поверхности этой фигуры.

Сначала определим площадь основания. Из рисунка видно, что острый угол равен 50 o . Тогда его площадь равна:

Для определения площади боковой поверхности, следует найти периметр заштрихованного прямоугольника. Стороны этого прямоугольника равны a*sin(45 o ) и b*sin(60 o ). Тогда периметр этого прямоугольника равен:

Полная площадь поверхности этого параллелепипеда равна:

Подставляем данные из условия задачи для длин сторон фигуры, получаем ответ:

Из решения этой задачи видно, что для определения площадей косоугольных фигур используются тригонометрические функции.

Видео:Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 46Скачать

Объём и площадь поверхности правильной четырёхугольной призмы

В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела — многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Частным случаем является правильная четырёхугольная призма. Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).

Видео:СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

Как выглядит призма

Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры — прямой параллелепипед.

Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.

На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело. К ним принято относить:

1. Основы призмы — квадраты LMNO и L₁M₁N₁O₁.
2. Боковые грани — прямоугольники MM₁L₁L, LL₁O₁O, NN₁O₁O и MM₁N₁N, расположенные под прямым углом к основаниям.
3. Боковые рёбра — отрезки, расположенные на стыке между двумя боковыми гранями: M₁M, N₁N, O₁O и L₁L. Также выполняют роль высоты (поскольку лежат в параллельной основаниям плоскости). В призме боковые рёбра всегда равны между собой — это одно из важнейших свойств этого геометрического тела.
4. Диагонали, которые, в свою очередь, подразделяются ещё на 3 категории. К ним относится 4 диагонали основания (MO, N₁L₁), 8 диагоналей боковых граней (ML₁, O₁L) и 4 диагонали призмы, начала и концы которых являются вершинами 2 разных оснований и боковых сторон (MO₁, N₁L).

Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение — это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить — 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.

Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.

Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).

Видео:№231. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60°. МеньшаяСкачать

Площадь поверхности и объём

Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:

Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a, можно записать формулу в более подробном виде:

Если речь идёт о кубе — правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:

Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.

Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры:

С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a, формула принимает вид:

Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований:

Sполн = Sбок + 2Sосн

Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид:

Для площади поверхности куба:

Зная объём или площадь поверхности, можно вычислить отдельные элементы геометрического тела.

Видео:№241. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 мСкачать

Нахождение элементов призмы

Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:

• длина стороны основания: a = Sбок / 4h = √(V / h),
• длина высоты или бокового ребра: h = Sбок / 4a = V / a²,
• площадь основания: Sосн = V / h,
• площадь боковой грани: Sбок. гр = Sбок / 4.

Чтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2. Из этого следует:

Для вычисления диагонали призмы используется формула:

Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.

Видео:10 класс, 24 урок, Прямоугольный параллелепипедСкачать

Примеры задач с решениями

Вот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике.

В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше?

Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a. В таком случае для первой коробки объём вещества составит:

Для второй коробки длина основания составляет 2a, но неизвестна высота уровня песка:

Поскольку V₁ = V₂, можно приравнять выражения:

После сокращения обеих частей уравнения на a² получается:

В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см.

ABCDA₁B₁C₁D₁ правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.

Чтобы было проще понять, какие именно элементы известны, можно изобразить фигуру.

Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения — длина, ширина и высота — равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом.

Длина любого ребра определяется через известную диагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площадь полной поверхности находится по формуле для куба:

Sполн = 6a² = 6·6² = 216

В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей?

Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности.

Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м.

Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м².

Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей.

Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.

📺 Видео

Задача по стереометрии С2. ЕГЭ. Профильный уровень.Скачать