Постройте умозаключение доказывающее что четырехугольник авсд прямоугольник

Рассмотрим подробнее дедуктивные (правильные) умозаключения. Согласно определению (п. 25), в дедуктивном умозаключении посылки и заключение находятся в отношении логического следования. Это означает, что в нем всегда из истинных посылок следует истинное заключение. Но как строить такие умозаключения и проверять их правильность?

В логике считают, что правильность умозаключения определяется его формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. И в логике предлагаются такие правила, соблюдая которые, можно строить дедуктивные умозаключения. Эти правила называют правилами вывода или схемами дедуктивных (правильных) умозаключений. Правил много, но наиболее часто используются следующие:

— правило заключения;

— правило отрицания;

— правило силлогизма.

Выясним, что обозначают все знаки, использованные в записи этих правил; как их применять на практике.

Рассмотрим, например, правило заключения. В нем обозначены две посылки А(х) => В(х) и А (а). Первую называют общей посылкой, это может быть теорема, определение и, вообще, предложение вида А(х) => В(х). Вторую посылку А(а) называют частной, она получается из условия А(х) при х = а. Предложение В(а) — это заключение, оно получается из В(х) при х = а. Посылки отделены от заключения чертой, которая заменяет слово «следовательно».

Приведем пример умозаключения, выполненного по правилу заключения:

Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Запись числа 135 оканчивается цифрой 5. Следовательно, число 13-делится на 5.

В качестве общей посылки в этом умозаключении выступает утверждение вида «если А(х), то В(х)», где А(х) — это «запись числа x оканчивается цифрой 5», а В(х) — «число х делится на 5». Частная посылка представляет собой высказывание, которое получилось из условия общей посылки при х = 135 (т.е. это А(135)). Заключение является высказыванием, полученным из В(х) при х = 135 (т.е. это 5(135)). Приведем теперь пример умозаключения, выполненного по правилу отрицания:

Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Число 177 не делится на 5. Следовательно, оно не оканчивается цифрой 5.

Видим, что в этом умозаключении общая посылка такая же, как и в предыдущем, а частная представляет собой отрицание высказывания «число 177 делится на 5» (т.е. это ). Заключение — это отрицание предложения «Запись числа 177 не оканчивается цифрой 5» (т.е. ).

И наконец, рассмотрим пример умозаключения, построенного по правилу силлогизма.

Если число х кратно 12, то оно кратно 6. Если число х кратно 6, то оно кратно 3. Следовательно, если число х кратно 12, то оно кратно 3.

В этом умозаключении две посылки вида «если А(х), то В(х)» и «если В(х), то С(х)», где А(х) — это предложение «х кратно 12», В(х) -предложение «х кратно 6» и С(х) — предложение «х кратно 3». Заключение представляет собой высказывание «если А (х), то С(х)».

Конечно, возникает вопрос, почему умозаключения, выполненные по правилам заключения, отрицания и силлогизма, будут дедуктивными (правильными)? Дело в том, что, выполняя рассуждения по этим правилам, мы всегда будем получать истинное заключение, что и требуется в дедуктивном умозаключении. Убедиться в этом можно, если воспользоваться кругами Эйлера.

В логике существуют различные способы проверки правильности умозаключений. Мы рассмотрим тот, который предполагает использование кругов Эйлера. Сначала данное умозаключение можно записать на теоретико-множественном языке, затем посылки изобразить на кругах Эйлера, считая их истинными. После этого надо выяснить, всегда ли при таких посылках истинно заключение. Если оказывается, что всегда, то говорят, что данное умозаключение правильное, дедуктивное. Если же возможен рисунок, из которого видно, что заключение может быть ложным, то говорят, что всякое умозаключение, выполненное по такой схеме, является дедуктивным, неправильным.

Покажем, что умозаключение, выполненное по правилу заключения является дедуктивным. Сначала запишем это правило на теоретико-множественном языке.

Посылка А (х) => В(х) может быть записана в виде Т_А Ì Т_В, где Т_А и Т_В — множества истинности высказывательных форм А (х) и В(х).

Частная посылка А(а) означает, что а Î Т_А, а заключение В(а) показывает, что а Î Т_В.

Все умозаключение, построенное по правилу заключения, запишется на теоретико-множественном языке так:

Изобразив на кругах Эйлера множества Т_А и Т_в, и обозначив элемент а Î Т_А, мы увидим, что а Î Т_В (рис. 37), т. е. а Î Т_А Þа Î Т_В. Аналогичным образом можно проверить и другие правила дедуктивных умозаключений. Кроме того, такой способ проверки правильности умозаключений можно использовать и в тех случаях, когда умозаключение выполнено по схеме, отличной от рассмотренных.

Задача. Правильно ли следующее умозаключение: «если запись числа оканчивается цифрой 5, то число делится на 5. Число 125 делится на 5. Следовательно, запись числа 125 оканчивается цифрой 5».

Решение. Это умозаключение выполнено по схеме,

которую в общем виде можно представить так:

Но такой схемы среди названных выше нет. Является ли она правилом дедуктивного умозаключения?

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся кругами Эйлера. На теоретико-множественном языке полученное правило можно записать так:

(рис. 38).

Изобразим на кругах Эйлера множества Т_А и Т_B и обозначим элемент а, принадлежащий множеству Т_В. Но оказывается, что он может содержаться в множестве Т_А, а может и не принадлежать ему (рис. 38).

В логике считают, что такая схема не является правилом дедуктивного умозаключения, так как она не гарантирует истинности заключения. И вообще при анализе умозаключения нельзя отождествлять правильность умозаключения с истинности полученного заключения: заключение может быть истинным, а само умозаключение не быть дедуктивным, правильным.

Возвращаясь к вопросу нашей задачи, скажем, что данное в ней умозаключение не является правильным, так как выполнено по схеме, не гарантирующей истинности заключения.

Как же надо действовать, чтобы установить, правильно ли умозаключение или нет? Для этого есть два пути. Первый — это показа что данное умозаключение выполнено по одному из известных правил вывода. Второй — сформулировать данное умозаключение на теоретико-множественном языке и воспользоваться кругами Эйлера так, как описано выше.

Полезно запомнить и не путать с правилом заключения такую схему:

а с правилом отрицания схему:

Эти схемы не гарантируют истинности заключения и, следовательно, не являются правилами дедуктивных умозаключений.

Заметим, что полное дедуктивное умозаключение по приведенным трем правилам требует указания двух посылок. Однако в процессе рассуждений эти правила иногда сокращают, опуская одну из посылок. Например, объясняя, почему 6

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

Тема 4. Математическое доказательство

Тема 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Большую часть знаний об окружающей нас действитель­ности мы получаем с помощью рассуждений. Знание будет истинным, если оно получено путем правильного рассужде­ния, а таким считают рассуждение, построенное по прави­лам логики.

Рассуждения лежат в основе доказательства, без которого трудно представить математику. Но тех представлений о доказательстве, которые возникли у вас в процессе конкрет­ных доказательств, конечно, недостаточно, чтобы обучать доказательству младших школьников. Учителю нужны бо­лее глубокие знания о тех правилах, в соответствии с кото­рыми строятся правильные рассуждения, нужны знания о структуре и способах доказательства, о взаимосвязи индук­ции и дедукции.

Эти вопросы и будут рассмотрены в данной лекции.

1. Умозаключения и их виды

В логике вместо термина «рассуждения» чаще используют­ся (как его синоним) слово «умозаключение», им и будем пользоваться.

Умозаключение — это способ получения нового знания на ос­нове некоторого имеющегося.

Умозаключение состоит из посылок и заключения.

Посылки — это высказывания, содержащие исходное знание.

Заключение — это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного.

В умозаключении из посылок выво­дится заключение.

Рассмотрим примеры умозаключений, которые выполняют младшие школьники, изучая математику.

Пример 1. Ученику предлагается объяснить, почему чис­ло 23 можно представить в виде суммы 20 + 3. Он рассуждает: «Число 23 — двузначное. Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Следова­тельно, 23 = 20 + 3».

Первое и второе предложения в этом умозаключении по­сылки, причем одна посылка общего характера — это выска­зывание «любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых», а другая — частная, она харак­теризует только число 23 — оно двузначное. Заключение — это предложение, которое стоит после слова «следовательно», — также носит частный характер, так как в нем речь идет о кон­кретном числе 23.

Пример 2. Один из приемов ознакомления младших школьников с переместительным свойством умножения за­ключается в следующем. Используя различные средства на­глядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что 6 ∙ 3 = 3 ∙ 6, 5 ∙ 2 = 2 ∙ 5, 3 ∙ 7 = 7 ∙ 3. А затем, на основе полученных равенств делают вывод: для всех натуральных чисел а и b вер­но равенство а ∙ b =b ∙ а.

В данном умозаключении посылками являются первые три равенства, в них утверждается, что для конкретных натураль­ных чисел выполняется такое свойство. Заключением в дан­ном примере является утверждение общего характера — переместительное свойство умножения натуральных чисел.

Видим, что умозаключения бывают разные. В примере 1 заключение логически следует из посылок, и мы не сомнева­емся в его истинности. Такие умозаключения называют в ло­гике дедуктивными.

Определение. Дедуктивным называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении ло­гического следования.

Если посылки дедуктивного умозаключения обозначить бу­квами А1, А2, . , Аn, а заключение — буквой В, то схематично само умозаключение можно представить так: А1, А2,…,Ап => В.

Часто используют такую запись: B В ней черта заменяет слово «следовательно».

В примере 1 рассмотрено дедуктивное умозаключение. В дедуктивном умозаклю­чении всегда, когда истинны посылки, истинно и заключение.

Умозаключение, которое рассмотрено в примере 2, отлич­но от первого. В нем приведены три посылки частного харак­тера, которые показывают, что некоторые натуральные числа обладают свойством: от перестановки множителей произве­дение не изменяется. И на этой основе сделан вывод, что этим свойством обладают все натуральные числа. Такие умозаклю­чения называют неполной индукцией.

Определение. Неполная индукция — это умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса.

Неполная индукция не является дедуктивным умозаключе­нием, поскольку, рассуждая по такой схеме, можно прийти к ложному выводу.

Вообще к выводам, полученным с помощью неполной ин­дукции, надо относиться критически, так как они носят ха­рактер предположения, гипотезы и нуждаются в дальнейшей проверке: их надо либо доказать, либо опровергнуть.

Несмотря на то что неполная индукция не всегда приводит к истинным выводам, роль таких умозаключений в процессе познания велика. Почти все общие положения и, в частности, научные законы являются результатом умозаключений, назы­ваемых неполной индукцией.

Существует еще один пример рассуждений — по аналогии.

Слово «аналогия» в переводе с греческого означает «соответствие, сходство».

Вообще под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них дела­ется вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

Аналогия помогает открывать новые знания, способы дея­тельности или использовать усвоенные способы деятельности в измененных условиях.

Вывод по аналогии носит характер предположения, гипо­тезы и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в оп­ровержении.

Например, ученик установил, что число делится на 6, ес­ли оно делится на 2 и на 3. Затем, действуя по аналогии, сделал вывод: число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4. Чтобы убедиться в ложности полученного вывода, достаточно привести контрпример: число 12 делится на 2 и на 4, но не делится на 8.

Широко используется аналогия в обучении математике младших школьников. Это происходит при изучении свойств объектов, отношений между ними и действий с ними. Приве­дем несколько примеров.

Аналогию можно использовать для «открытия» новых свойств изучаемых объектов. Например, если при изучении классов установлено, что в классе единиц три разряда — еди­ницы, десятки, сотни, а в классе тысяч также три разряда-единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч, то вывод о числе разрядов в классе миллионов и их названии дети могут сде­лать самостоятельно, по аналогии.

Аналогия может быть использована для установления от­ношений между данными объектами. Например, учащиеся ус­тановили, что 4(3 + 7) > 4 ∙ 3 + 4 ∙ 6, так как 4 ∙ (3 + 7) = 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7, а 4 ∙ 7 > 4 ∙ 6. Рассматривая затем выражения 3 ∙ (8 + 9) и 3 ∙ 8 + 3 ∙ 7, учащиеся могут по аналогии сделать вывод о том, что 3 ∙ (8 + 9) > 3 ∙ 8 + 3 ∙ 7. Проверить его правильность можно либо путем рассуждений, аналогичных тем, что проводились при выполнении первого задания, либо при помощи вычислений.

Аналогия может быть использована и для выводов о спо­собе действия на основе изучения другого способа. Так, по­сле рассмотрения способа умножения двузначного числа на однозначное на примере умножения 27 на 3 (27 ∙ 3 = (20 + 7) ∙ 3 = 20 ∙ 3 + 7 ∙ 3 = 81) детям предлагается умножить 712 на 4. Действуя по аналогии, они устанавливают, что 712 ∙ 4 = (700+10 + 2) 4 = 2800 + 40 + 8 = 2848. Далее по анало­гии устанавливают, как умножить 6288 на 3.

Следующим шагом может быть обобщение, т. е. получение правила умножения многозначного числа на однозначное, т. е. использование неполной индукции.

2. Схемы дедуктивных умозаключений

Рассмотрим подробнее дедуктивные (правильные) умо­заключения. Согласно определению (п. 1), в дедуктивном умозаключении посылки и заключение находятся в отноше­нии логического следования. Это означает, что в нем всегда из истинных посылок следует истинное заключение.

В логике считают, что правильность умозаключения опре­деляется его формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. И в логике эти правила называют правилами вывода или схемами дедуктивных (правильных) умозаключений. Правил много, но наиболее часто используются следующие: А(х)=>В(х), А(а) — правило заключения;

А(х) => В(х), — правило отрицания;

Выясним, что обозначают все знаки, использованные в за­писи этих правил; как их применять на практике.

Рассмотрим, например, правило заключения. В нем обо­значены две посылки А(х) => В(х) и А(а). Первую называют общей посылкой, это может быть теорема, определение и, вообще, предложение вида А(х) => В(х). Вторую посылку А (а) называют частной, она получается из условия А(х) при х = а. Предложение В(а) — это заключение, оно получается из В(х) при х = а. Посылки отделены от заключения чертой, которая заменяет слово «следовательно».

Приведем пример умозаключения, выполненного по пра­вилу заключения:

Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х де­лится на 5. Запись числа 135 оканчивается цифрой 5. Следова­тельно, число 135 делится на 5.

В качестве общей посылки в этом умозаключении высту­пает утверждение вида «если А(х), то В(х)», где А(х) — это «запись числа х оканчивается цифрой 5», а В(х)- «число х делится на 5». Частная посылка представляет собой высказы­вание, которое получилось из условия общей при х = 135 (т. е. это Л(135)). Заключение является высказыванием, полу­ченным из В(х) при х = 135 (т. е. это 5(135)).

Приведем теперь пример умозаключения, выполненного по правилу отрицания.

Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х де­лится на 5. Число 177 не делится на 5. Следовательно, оно не оканчивается цифрой 5.

Видим, что в этом умозаключении общая посылка такая же, как и в предыдущем, а частная представляет собой отри­цание высказывания «число 177 делится на 5.

Заключение — это отрицание предложения «Запись числа 177 не оканчивается цифрой 5».

И, наконец, рассмотрим пример умозаключения, постро­енного по правилу силлогизма.

Если число х кратно 12, то оно кратно 6. Если число х кратно 6, то оно кратно 3. Следовательно, если число х крат­но 12, то оно кратно 3.

3. Способы математического доказательства

В обыденной жизни часто, когда говорят о доказательст­ве, имеют в виду просто проверку высказанного утвержде­ния. В математике проверка и доказательство — это разные вещи, хотя и связанные между собой. Пусть, например, тре­буется доказать, что если в четырехугольнике три угла пря­мые, то он — прямоугольник.

Если мы возьмем какой-либо четырехугольник, у кото­рого три угла прямые, и, измерив четвертый, убедимся в том, что он действительно прямой, то эта проверка сделает данное утверждение более правдоподобным, но еще не доказанным.

Чтобы доказать данное утверждение, рассмотрим произ­вольный четырехугольник, в котором три угла прямые. Так как в любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360°, то и в данном она составляет 360°. Сумма трех прямых углов равна 270° (90° ∙3 = 270°), и, значит, четвертый имеет величину 90° (360°- 270° = 90°). Если все углы четырехугольника прямые, он — прямоугольник. Следовательно, данный четырехугольник будет прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Заметим, что сущность проведенного доказательства со­стоит в построении такой последовательности истинных ут­верждений (теорем, аксиом, определений), из которых логиче­ски следует утверждение, которое нужно было доказать.

Вообще доказать какое-либо утверждение — это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.

Основным способом математического до­казательства является дедуктивный вывод. А само доказа­тельство — это цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в од­ном из последующих умозаключений.

Например, в приведенном выше доказательстве можно вы­делить следующие умозаключения:

1. В любом выпуклом четырехугольнике сумма углов рав­на 360°; данная фигура — выпуклый четырехугольник, следо­вательно, сумма углов в нем 360°.

2. Если известна сумма всех углов четырехугольника и сумма трех из них, то вычитанием можно найти величину четвертого; сумма всех углов данного четырехугольника рав­на 360°, сумма трех 270° (90° ∙3 = 270°), то величина четверто­го 360° — 270° = 90°.

3. Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четы­рехугольник — прямоугольник; в данном четырехугольнике все углы прямые, следовательно, он прямоугольник.

Все приведенные умозаключения выполнены по правилу заключения и, следовательно, являются дедуктивными.

Математическое доказательст­во — это не просто набор умозаключений, это умозаключения, расположенные в определенном порядке.

По способу ведения различают прямые и косвенные доказа­тельства. Рассмотренное ранее доказательство было прямым — в нем, основываясь на некотором истинном предложении и с учетом условия теоремы, строилась цепочка дедуктивных умо­заключений, которая приводила к истинному заключению.

К прямым доказательствам в математике относят полную индукцию — такой способ доказательства, при котором ис­тинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях.

Задача 1. Доказать, что каждое составное натуральное число, больше 4, но меньше 20, представимо в виде суммы двух простых чисел.

Решение. Вспомним определение простого и составного числа. Простым называется такое натуральное число, кото­рое делится только на 1 и на себя. Числа 2, 13, 5, 17- про­стые. Числа, которые имеют более двух делителей, называ­ются составными. Число 1 не является ни простым, ни со­ставным.

В данной задаче рассматривается множество чисел, ко­торые больше 4, но меньше 20. Составными в нем будут чис­ла: 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18. Каждое из них можно пред­ставить в виде суммы двух простых чисел: 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; 9 = 7 + 2; 10 = 5+5 (или 7+3); 12 = 5+7; 14 = 11+3 (или 7+7); 15 = 13+2; 16 = 13 + 3 (или 11 + 5), 18 = 13 + 5 (или 11+7). Так как данное утверждение истинно во всех частных случа­ях, то оно доказано.

Примером косвенного доказательства является доказатель­ство методом от противного. Сущность его состоит в следую­щем. Пусть требуется доказать теорему А => В. При доказатель­стве методом от противного допускают, что заключение теоре­мы (В) ложно, а, следовательно, его отрицание истинно. При­соединив предложение В к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых нахо­дится и условие А), строят цепочку дедуктивных умозаключе­ний до тех пор, пока не получится утверждение, противореча­щее одной из посылок и, в частности, условию А. Как только такое противоречие устанавливают, процесс доказательства заканчивают и говорят, что полученное противоречие доказы­вает истинность теоремы А => В.

Задача 2. Доказать, что если а + 3 > 10, то а ≠ 7.

Решение. Предположим, что заключение данного утвер­ждения ложно, тогда истинным будет его отрицание, т. е. предложение а = 7. Подставим это значение а в неравенство а + 3 > 10. Получим предложение 7 + 3 > 10 или 10 > 10, кото­рое ложно. Пришли в противоречию с определением отноше­ния «больше» для чисел. Следовательно, наше предположение неверное, и поэтому, если а + 3 > 10, то а ≠ 7.

Завершая обсуждение вопросов, связанных с математиче­ским доказательством, выясним, как связаны между собой неполная индукция с дедуктивным выводом.

Ранее было отмечено, что выводы, которые мы получаем с помощью неполной индукции (или аналогии) носят характер предположения и поэтому их надо либо доказывать, либо опровергать. Поскольку выводы, о которых идет речь, носят, как правило, характер обобщения, то они формулируются в виде предложений, содержащих квантор общности. И следо­вательно, чтобы их опровергнуть, надо привести контрпри­мер, а чтобы убедиться в истинности — доказать. Причем име­ется в виду дедуктивный вывод. Таким образом, в процессе познания неполная индукция и математическое доказательст­во оказываются тесно связанными.

Основные выводы темы 4

Для того чтобы разобраться с особенностями математи­ческого доказательства, нам пришлось познакомиться с по­нятиями:

— посылка и заключение,

— дедуктивные (правильные) умозаключения,

Мы выяснили, что неполная индукция и аналогия тесно свя­заны с дедукцией: выводы, полученные с помощью неполной индукции и аналогии, надо либо доказывать, либо опровер­гать, т. е. нужна дедукция. С другой стороны, дедукция не воз­никает на пустом месте, а является результатом предвари­тельного индуктивного изучения материала.

Дедуктивные умозаключения позволяют из уже имеющего­ся знания получать новые истины, и притом с помощью рас­суждения, без обращения к опыту, интуиции и т. д.

Мы выяснили, что математическое доказательство — это цепочка дедуктивных умозаключений, выполняемых по опреде­ленным правилам. Познакомились с простейшими из них: правилом заключения, правилом отрицания, правилом силлогиз­ма. Узнали, что проверять правильность умозаключения можно с помощью кругов Эйлера.

Упражнения по теме «Умозаключения и их виды»

1. Объясните, почему приведенные ниже высказывания
считают истинными:

а)7>5; в) (4 + 6):2 = 4:2 + 6:2;

б)7 + 3>7+1; г)(6-4):2 = (6:2)-4. Сформулируйте правила, которыми вы воспользовались. Содержат ли они квантор общности?

2. Известно, что если в треугольнике углы при основании
равны, то он — равнобедренный. Следует ли из этого, что:

а) треугольник с двумя углами по 40° — равнобедренный;

б) треугольник с двумя сторонами по 4 см — равнобедренный?

4. Известно, что запись числа оканчивается цифрой 8. Сле­дует ли из этого, что данное число делится на:

5. В четырехугольнике ABCD диагонали равны и в точке
пересечения делятся пополам. Верно ли, что ABCD:

а) ромб; б) квадрат; в) прямоугольник?

6. В четырехугольнике ABCD все стороны равны. Доста
точно ли этого для того, чтобы утверждать, что ABCD:

а) квадрат; б) ромб?

7. В четырехугольнике ABCD два угла прямые. Доста точно ли этого для того, чтобы утверждать, что ABCD — прямоугольник?

8. Выскажите предположение, рассмотрев несколько част ных случаев:

а) К однозначному числу приписали такую же цифру. Вс
сколько раз увеличилось число?

б) Имеются два числа, ни одно из которых не делится на 3
Может ли (и при каком условии) сумма этих чисел разделить
ся на 3?

в) Верно ли, что квадрат четного числа есть число, кратное 4

9. Около вершин треугольника поставьте какие-нибудь
числа. Возле каждой стороны — число, равное сумме чисел,
стоящих у прилегающих к ней вершин. Что можно сказать о
суммах, образованных числом, стоящим около стороны, и
числом, стоящим около противолежащей ей вершины?

Надо ли доказывать сделанный вами вывод?

10. Сравните значение выражений (а + 6)(7-а) и а(а

1) при
а = -3, 0, 2. Верно ли, что при любом целом а значение перво-
го выражения больше, чем второго?

11. Даны верные равенства: 74-47 = 27; 52-25 = 27;
63 — 36 = 27. Верно ли, что разность любого двузначного
числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном
порядке, равна 27?

12. Зная, что равенство ^—^ = — верно для любых натураль-

ных чисел а, Ъ и с, ученик решил, что верным будет и равенство:

а + С — — для любых натуральных чисел а, Ъ и с. Прав ли он? b+c b

13. Выяснив, что (12+4):2 = 12:2+4:2, ученик решил ана­логично действовать при нахождении значения выражения (12-4):2, и записал: (12-4):2 = (12:2)-(12:4). Прав ли он?

14. Известно, что если число делится на 6, то оно делится на 2 и на 3. Верны ли следующие высказывания, сформулиро­ванные по аналогии с данными:

а) Если число делится на 10, то оно делится на 2 и на 5.

б) Если число делится на 12, то оно делится на 2 и на 6.

в) Если число делится на 14, то оно делится на 2 и на 7.

15. Учителю необходимо подвести учащихся к выводу о
том, что «при сложении числа с нулем получается то число,
которое складывали с нулем». Какой метод рассуждений вы
выберете?

Упражнения по теме «схемы дедуктивных заключений»

1. В каждом из следующих умозаключений выделите по-
сылки и заключение:

а) Если число натуральное, то оно целое; если число целое,
то оно рациональное, следовательно, если число натуральное,
то оно рациональное.

б) Если число натуральное, то оно целое; число 138 — нату-
ральное, следовательно, оно целое.

в) Всякое натуральное число целое; число 138- целое, сле-
довательно, оно натуральное.

г) Всякое натуральное число целое; число 0,2 не является
целым, следовательно, оно не является и натуральным.

2. Проанализируйте схему каждого умозаключения из уп­ражнения 1. Есть ли среди них умозаключения, не являющиеся дедуктивными?

3. Используя правило заключения, закончите умозаключе­ние так, чтобы оно было дедуктивным:

а) Если четырехугольник — прямоугольник, то в нем диа-
гонали равны. В четырехугольнике ABCD.

б) Равные треугольники имеют равные площади. Тре-
угольники ABC и KLM.

в) Для того чтобы ромб был квадратом, достаточно, чтобы
в нем был прямой угол. В ромбе ABCD.

4. Используя правило отрицания, закончите умозаключе­ния из упражнения 3 так, чтобы они были дедуктивными.

5. Восстановите общую посылку в умозаключении:

а) Число 12- натуральное, следовательно, оно положи-
тельное.

б) Число 15 — нечетное, следовательно, оно не делится на 2.

6. Постройте дедуктивное умозаключение, доказывающее, что

а) 130 делится на 10,

б) 137 не делится на 10.

в) Четырехугольник ABCD — прямоугольник.

г) Четырехугольник ABCD не является прямоугольником.

7. Используя круги Эйлера, проверьте, правильны ли сле-
дующие умозаключения:

а) Всякий квадрат является прямоугольником; четырех-
угольник ABCD не квадрат, следовательно, он не является
прямоугольником.

б) Некоторые прямоугольники — квадраты; все квадраты —
правильные многоугольники, следовательно, некоторые пря-
моугольники являются правильными многоугольниками.

8. Сравнивая выражения 36-7 и 36-4, ученик рассуждал так: «36-7 меньше 36-4, так как 7 больше 4». Восстановите его рассуждение полностью. Назовите посылки и заключение.

Упражнения по теме «Способы математического доказательства»

Видео:№951. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдите егоСкачать

Урок: «Схемы дедуктивных рассуждений»

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема урока: «Схемы дедуктивных рассуждений»

Цель: закрепить схемы дедуктивных рассуждений, их практическое применение, познакомить учащихся с понятием «софизм», развивать умение анализировать рассуждение и находить скрытые ошибки, воспитывать культуру труда, прививать любовь к предмету.

Оборудование: мультимедиапроектор , презентация, дидактический материал для практической работы, карточки для индивидуальной работы.

— умение применять схемы дедуктивных рассуждений при решении задач;

— умение восстанавливать недостающую общую посылку и заключение, строить дедуктивное рассуждение;

-умение рассуждать, анализировать рассуждение;

— навыки публичного выступления, анализ проведённого исследования.

Организацион ное начало.

Работа по индивидуальным карточкам(3человека).

Выявите схему каждого рассуждения и укажите среди них дедуктивные:

Если четырехугольник – параллелограмм, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам. В четырехугольнике АВСД – противоположные стороны попарно параллельны, следовательно, его диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Если четырехугольник – параллелограмм, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам. В четырехугольнике АВСД –диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, АВСД- параллелограмм.

Используя правило заключения, закончите рассуждение так, чтобы оно было дедуктивным:

Если число делится на 9, то его сумма цифр делится на 9. Число 198…

Используя правило отрицания, закончите рассуждение так, чтобы оно было дедуктивным:

Если углы смежные, то их сумма равна 180 0 . Углы А и В …

Закончите рассуждение так, чтобы оно было дедуктивным:

1)Если число делится на 8, то оно делится на 4, Если число делится на 4, то оно делится на 2, следовательно…
2) Если сумма цифр числа делится на 9, то число делится на 9. Число 154 не делится на 9, следовательно…

У доски 1 учащийся с заданием: написать схемы дедуктивных рассуждений, привести примеры.

С остальными учащимися выполняем 1 задание из практической работы « Схемы дедуктивных рассуждений».

Проверка карточек, работы у доски, выставление отметок.

Объявление темы урока, постановка учебной задачи.

Выполнение практической работы « Схемы дедуктивных рассуждений»

Выступление студентов с результатами исследовательской работы.

(работа с презентацией).

Подведение итога урока.

Домашнее задание ( на презентации)

Повторить п. 26, упр.5(б), 7(а), разобрать софизмы.

Практическая работа « Схемы дедуктивных рассуждений»

1. Выявите схему каждого рассуждения и укажите среди них дедуктивные:
1)Если четырехугольник –параллелограмм, то его противоположные углы равны. Стороны четырехугольника АВСД попарно параллельны, следовательно,

2. Закончите рассуждение, чтобы оно было дедуктивным:

1)Если число делится на 18, то оно делится на 6, Если число делится на 6, то оно делится на 3, следовательно…
2) Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3. Число 154 не делится на 3, следовательно…
3)Все отличники III класса спортсмены. Третьеклассник Володя – отличник, следовательно…

3. Восстановите общую посылку в каждом из следующих рассуждений:

1) Число 12- натуральное, следовательно, оно положительное.

2) Треугольник АВС – равносторонний, следовательно, он равнобедренный.

3) Число 188 не делится на 9, следовательно, сумма его цифр не делится на 9.

4. Постройте дедуктивное рассуждение , доказывающее, что АВСД не является прямоугольником.

5.Найдите ошибку в следующих софизмах :

1. «Дважды два – пять!» Очевидно что: 4:4=5:5, вынесем общий множитель 4(1:1)=5(1:1) , сократим общие множители, получим: 4=5 или 2х2=5.

2. «Пять равно шести»

Возьмем тождество : 35+10-45=42+12-54.

В каждой части этого тождества вынесем за скобки общий множитель:

Теперь, разделив обе части полученного равенства на их общий множитель (7+2-9), получим, что 5=6 .

«Всякое число равно своей половине»

Запишем очевидное для любого числа a тождество a 2 — a 2 = a 2 — a 2 ,где а-любое число.

Вынесем a в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим a(a – a) = (a + a)(a — a).

Разделив обе части на a — a , получим a = a + a , или a=2a.

Разделим на 2 и получим а= а/2

«Всякое положительное число является отрицательным »

Пусть n-положительное число.

Возьмём другое произвольное положительное число a и умножим обе части неравенства на (-а): -2an+a

Вычитая из обеих частей этого неравенства величину (-2an), получим неравенство a

«Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра»

Докажем, что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. Возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и D. Соединим точки Е и D прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и ВD перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

🎬 Видео

В четырёхугольник ABCD вписана окружность. AB = 23 ,BC = 9 ,CD = 13 .Найдите четвертую сторонуСкачать

№47. В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CDСкачать

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

16) Четырехугольник АВСD описан около окружности, AD=7, DC=12, BC=13. Найдите AB. Математика огэ.Скачать

Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольникСкачать

2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABCСкачать

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Схемы дедуктивных умозаключенийСкачать

Четырехугольники. Вебинар | МатематикаСкачать

№14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1Скачать

#58. Олимпиадная задача о четырехугольникеСкачать

ОГЭ/База Все прототипы задач на четырехугольникиСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

10 класс, 14 урок, Задачи на построение сеченийСкачать