Построить произвольный четырехугольник abcd

Начертите произвольный четырёхугольник ABCD, измерьте транспортиром его углы и сложите результаты измерений.
Содержание
  1. Ваш ответ
  2. решение вопроса
  3. Похожие вопросы
  4. Решение на Задание 1683 из ГДЗ по Математике за 5 класс: Виленкин Н.Я
  5. Условие
  6. Решение 1
  7. Решение 2
  8. Решение 3
  9. Популярные решебники
  10. Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения
  11. Внутренние и внешние углы четырехугольника
  12. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника
  13. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника
  14. Параллелограмм
  15. Параллелограмм и его свойства
  16. Признаки параллелограмма
  17. Прямоугольник
  18. Признак прямоугольника
  19. Ромб и квадрат
  20. Свойства ромба
  21. Трапеция
  22. Средняя линия треугольника
  23. Средняя линия трапеции
  24. Координаты середины отрезка
  25. Теорема Пифагора
  26. Справочный материал по четырёхугольнику
  27. Пример №1
  28. Признаки параллелограмма
  29. Пример №2 (признак параллелограмма).
  30. Прямоугольник
  31. Пример №3 (признак прямоугольника).
  32. Ромб. Квадрат
  33. Пример №4 (признак ромба)
  34. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
  35. Пример №5
  36. Пример №6
  37. Трапеция
  38. Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).
  39. Центральные и вписанные углы
  40. Пример №8
  41. Вписанные и описанные четырёхугольники
  42. Пример №9
  43. Пример №10
  44. 🔥 Видео

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Ваш ответ

Видео:Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

решение вопроса

Видео:2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABCСкачать

2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABC

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,652
  • разное 16,822

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Решение на Задание 1683 из ГДЗ по Математике за 5 класс: Виленкин Н.Я

Условие

Решение 1

Построить произвольный четырехугольник abcd

Решение 2

Построить произвольный четырехугольник abcd

Решение 3

Построить произвольный четырехугольник abcd

Поиск в решебнике

Видео:Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

Популярные решебники

Издатель: Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. 2013г.

Издатель: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. 2014г.

Издатель: С.М. Никольский, М.К, Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. 2015г.

Издатель: Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова. 2017г.

Издатель: И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. 2013г.

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Построить произвольный четырехугольник abcd

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Видео:Четырёхугольник ABCD вписан в окружность и при этом AB CD 1 2 BD AC 2 3 Найдите AD BCСкачать

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность и при этом AB CD 1 2 BD AC 2 3 Найдите AD BC

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Построить произвольный четырехугольник abcdуглы Построить произвольный четырехугольник abcdявляются внешними.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Построить произвольный четырехугольник abcdГрадусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Построить произвольный четырехугольник abcd

Построить произвольный четырехугольник abcd

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Построить произвольный четырехугольник abcdПостроить произвольный четырехугольник abcd

Построить произвольный четырехугольник abcd

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Построить произвольный четырехугольник abcdДоказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Построить произвольный четырехугольник abcd

Построить произвольный четырехугольник abcd

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Построить произвольный четырехугольник abcd

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Построить произвольный четырехугольник abcd

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Построить произвольный четырехугольник abcd

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Построить произвольный четырехугольник abcdПостроить произвольный четырехугольник abcd

Построить произвольный четырехугольник abcd

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Построить произвольный четырехугольник abcd

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Построить произвольный четырехугольник abcd

Построить произвольный четырехугольник abcd

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Построить произвольный четырехугольник abcd

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Построить произвольный четырехугольник abcd

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Построить произвольный четырехугольник abcdто параллелограмм Построить произвольный четырехугольник abcdявляется ромбом.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Доказательство теоремы 1.

Дано: Построить произвольный четырехугольник abcdромб.

Докажите, что Построить произвольный четырехугольник abcd

Доказательство (словестное): По определению ромба Построить произвольный четырехугольник abcdПри этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Построить произвольный четырехугольник abcdравнобедренный. Медиана Построить произвольный четырехугольник abcd(так как Построить произвольный четырехугольник abcd), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Построить произвольный четырехугольник abcdТак как Построить произвольный четырехугольник abcdявляется прямым углом, то Построить произвольный четырехугольник abcd. Аналогичным образом можно доказать, что Построить произвольный четырехугольник abcd

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Построить произвольный четырехугольник abcd

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Построить произвольный четырехугольник abcd

Построить произвольный четырехугольник abcd

План доказательства теоремы 2

Дано: Построить произвольный четырехугольник abcdравнобедренная трапеция. Построить произвольный четырехугольник abcd

Докажите: Построить произвольный четырехугольник abcd

Построить произвольный четырехугольник abcd

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Построить произвольный четырехугольник abcdтогда Построить произвольный четырехугольник abcdЗапишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Построить произвольный четырехугольник abcdпроведем параллельную прямую к прямой Построить произвольный четырехугольник abcd

Построить произвольный четырехугольник abcd

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Построить произвольный четырехугольник abcdчерез точку Построить произвольный четырехугольник abcd— середину стороны Построить произвольный четырехугольник abcdпроведите прямую параллельную Построить произвольный четырехугольник abcdКакая фигура получилась? Является ли Построить произвольный четырехугольник abcdтрапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Построить произвольный четырехугольник abcdМожно ли утверждать, что Построить произвольный четырехугольник abcd

Построить произвольный четырехугольник abcd

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Построить произвольный четырехугольник abcd

Построить произвольный четырехугольник abcd

Доказательство. Пусть дан треугольник Построить произвольный четырехугольник abcdи его средняя линия Построить произвольный четырехугольник abcdПроведём через точку Построить произвольный четырехугольник abcdпрямую параллельную стороне Построить произвольный четырехугольник abcdПо теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Построить произвольный четырехугольник abcdт.е. совпадает со средней линией Построить произвольный четырехугольник abcdТ.е. средняя линия Построить произвольный четырехугольник abcdпараллельна стороне Построить произвольный четырехугольник abcdТеперь проведём среднюю линию Построить произвольный четырехугольник abcdТ.к. Построить произвольный четырехугольник abcdто четырёхугольник Построить произвольный четырехугольник abcdявляется параллелограммом. По свойству параллелограмма Построить произвольный четырехугольник abcdПо теореме Фалеса Построить произвольный четырехугольник abcdТогда Построить произвольный четырехугольник abcdТеорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Доказательство: Через точку Построить произвольный четырехугольник abcdи точку Построить произвольный четырехугольник abcdсередину Построить произвольный четырехугольник abcdпроведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Построить произвольный четырехугольник abcdчерез Построить произвольный четырехугольник abcd

Построить произвольный четырехугольник abcd

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Построить произвольный четырехугольник abcdрадиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Построить произвольный четырехугольник abcdЕсть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Построить произвольный четырехугольник abcd

Построить произвольный четырехугольник abcd

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Построить произвольный четырехугольник abcdи Построить произвольный четырехугольник abcdи точка Построить произвольный четырехугольник abcdкоторая является серединой отрезка Построить произвольный четырехугольник abcd

Построить произвольный четырехугольник abcdто Построить произвольный четырехугольник abcdа отсюда следует, что Построить произвольный четырехугольник abcd

Построить произвольный четырехугольник abcd

2) По теореме Фалеса, если точка Построить произвольный четырехугольник abcdявляется серединой отрезка Построить произвольный четырехугольник abcdто на оси абсцисс точка Построить произвольный четырехугольник abcdявляется соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Построить произвольный четырехугольник abcdи Построить произвольный четырехугольник abcd

Построить произвольный четырехугольник abcd

3) Координаты середины отрезка Построить произвольный четырехугольник abcdс концами Построить произвольный четырехугольник abcdи Построить произвольный четырехугольник abcdточки Построить произвольный четырехугольник abcdнаходятся так:

Построить произвольный четырехугольник abcd

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Построить произвольный четырехугольник abcdпараллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Построить произвольный четырехугольник abcdкак показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Построить произвольный четырехугольник abcdкак показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Построить произвольный четырехугольник abcd

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Построить произвольный четырехугольник abcd

Построить произвольный четырехугольник abcd

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Построить произвольный четырехугольник abcd

Построить произвольный четырехугольник abcd

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Построить произвольный четырехугольник abcdто, Построить произвольный четырехугольник abcd— прямоугольный.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Построить произвольный четырехугольник abcdявляются Пифагоровыми тройками, то и числа Построить произвольный четырехугольник abcdтакже являются Пифагоровыми тройками.

Видео:№47. В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CDСкачать

№47. В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CD

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Построить произвольный четырехугольник abcd(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — Построить произвольный четырехугольник abcdПостроить произвольный четырехугольник abcd

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Построить произвольный четырехугольник abcd

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, Построить произвольный четырехугольник abcd, стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Построить произвольный четырехугольник abcd=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Построить произвольный четырехугольник abcd+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Построить произвольный четырехугольник abcd. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) Построить произвольный четырехугольник abcd. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Решение:

Построить произвольный четырехугольник abcd(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично Построить произвольный четырехугольник abcd(АВ CD, ВС-секущая), Построить произвольный четырехугольник abcd(ВС || AD, CD — секущая), Построить произвольный четырехугольник abcd(АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Доказательство. Построить произвольный четырехугольник abcdпо стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Построить произвольный четырехугольник abcdкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Построить произвольный четырехугольник abcd

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Построить произвольный четырехугольник abcdпо трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Построить произвольный четырехугольник abcd Построить произвольный четырехугольник abcdУглы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. Построить произвольный четырехугольник abcd

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Построить произвольный четырехугольник abcdпо двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Построить произвольный четырехугольник abcdкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Построить произвольный четырехугольник abcdНо углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Построить произвольный четырехугольник abcdпо двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Построить произвольный четырехугольник abcdкак вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Построить произвольный четырехугольник abcdНо углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Построить произвольный четырехугольник abcd

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Построить произвольный четырехугольник abcd

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Построить произвольный четырехугольник abcdМожно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Построить произвольный четырехугольник abcd. Построить произвольный четырехугольник abcdпо трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Построить произвольный четырехугольник abcd. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Построить произвольный четырехугольник abcd. По свойству углов четырёхугольника, Построить произвольный четырехугольник abcd

Следовательно, Построить произвольный четырехугольник abcd: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: Построить произвольный четырехугольник abcd

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Построить произвольный четырехугольник abcd. Построить произвольный четырехугольник abcd

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Построить произвольный четырехугольник abcd

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Построить произвольный четырехугольник abcd(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Построить произвольный четырехугольник abcdпо двум сторонами и углу между ними.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Построить произвольный четырехугольник abcdпо условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на Построить произвольный четырехугольник abcd

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Построить произвольный четырехугольник abcd

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Построить произвольный четырехугольник abcd

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Построить произвольный четырехугольник abcdи Построить произвольный четырехугольник abcdПроведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Построить произвольный четырехугольник abcdпараллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Построить произвольный четырехугольник abcdПри помощи циркуля сравните длины отрезков Построить произвольный четырехугольник abcdСделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Построить произвольный четырехугольник abcd

Построить произвольный четырехугольник abcd

Доказать: Построить произвольный четырехугольник abcd

Доказательство. Проведём через точки Построить произвольный четырехугольник abcdпрямые Построить произвольный четырехугольник abcdпараллельные ВС. Построить произвольный четырехугольник abcdпо стороне и прилежащим к ней углам. У них Построить произвольный четырехугольник abcdпо условию, Построить произвольный четырехугольник abcdкак соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Построить произвольный четырехугольник abcdи Построить произвольный четырехугольник abcdкак противоположные стороны параллелограммов Построить произвольный четырехугольник abcd

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Построить произвольный четырехугольник abcd

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Построить произвольный четырехугольник abcd

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Построить произвольный четырехугольник abcdПроведём прямую Построить произвольный четырехугольник abcd. Через точки Построить произвольный четырехугольник abcdпроведём прямые, параллельные прямой Построить произвольный четырехугольник abcd. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия Построить произвольный четырехугольник abcd, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Построить произвольный четырехугольник abcd(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Доказать: Построить произвольный четырехугольник abcd

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Построить произвольный четырехугольник abcd. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Построить произвольный четырехугольник abcd. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Построить произвольный четырехугольник abcd

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Поэтому Построить произвольный четырехугольник abcd. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Построить произвольный четырехугольник abcd

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРПостроить произвольный четырехугольник abcd, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку Построить произвольный четырехугольник abcd= 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: Построить произвольный четырехугольник abcd

Построить произвольный четырехугольник abcd

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Построить произвольный четырехугольник abcdno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Построить произвольный четырехугольник abcdкак вертикальные, Построить произвольный четырехугольник abcdвнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Построить произвольный четырехугольник abcdравнобедренный. Поэтому Построить произвольный четырехугольник abcdсоответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Построить произвольный четырехугольник abcd

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Построить произвольный четырехугольник abcd

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Построить произвольный четырехугольник abcdПостроить произвольный четырехугольник abcd

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Построить произвольный четырехугольник abcd— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Построить произвольный четырехугольник abcd

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Построить произвольный четырехугольник abcd. По свойству внешнего угла треугольника, Построить произвольный четырехугольник abcdПостроить произвольный четырехугольник abcd— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Построить произвольный четырехугольник abcdизмеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Построить произвольный четырехугольник abcd

Из доказанного в первом случае следует, что Построить произвольный четырехугольник abcdизмеряется половиной дуги AD, a Построить произвольный четырехугольник abcd— половиной дуги DC. Поэтому Построить произвольный четырехугольник abcdизмеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Построить произвольный четырехугольник abcd

Построить произвольный четырехугольник abcd

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Построить произвольный четырехугольник abcd

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Построить произвольный четырехугольник abcdкак вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Построить произвольный четырехугольник abcd, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Построить произвольный четырехугольник abcd

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Построить произвольный четырехугольник abcd(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Построить произвольный четырехугольник abcd(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Построить произвольный четырехугольник abcd

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Построить произвольный четырехугольник abcd

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Построить произвольный четырехугольник abcd

Доказать: Построить произвольный четырехугольник abcd

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Построить произвольный четырехугольник abcd

Тогда Построить произвольный четырехугольник abcd

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Построить произвольный четырехугольник abcd

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Построить произвольный четырехугольник abcd

Докажем, что Построить произвольный четырехугольник abcd. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Построить произвольный четырехугольник abcd. По свойству равнобокой трапеции, Построить произвольный четырехугольник abcd

Тогда Построить произвольный четырехугольник abcdи, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Построить произвольный четырехугольник abcdцентры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Построить произвольный четырехугольник abcdвписанного в окружность. Действительно,

Построить произвольный четырехугольник abcd

Следовательно, четырёхугольник Построить произвольный четырехугольник abcd— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Построить произвольный четырехугольник abcd

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Построить произвольный четырехугольник abcd

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔥 Видео

16) Четырехугольник АВСD описан около окружности, AD=7, DC=12, BC=13. Найдите AB. Математика огэ.Скачать

16) Четырехугольник АВСD описан около окружности, AD=7, DC=12, BC=13. Найдите AB. Математика огэ.

Измерение угла с помощью транспортираСкачать

Измерение угла с помощью транспортира

КАК ИЗМЕРИТЬ УГЛЫ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА ТРАНСПОРТИРОМ? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ УГЛЫ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА ТРАНСПОРТИРОМ?  Примеры | МАТЕМАТИКА 5 класс

Геометрия На рисунке четырехугольник ABCD – параллелограмм, угол BEC = углу DFA. Докажите, чтоСкачать

Геометрия На рисунке четырехугольник ABCD – параллелограмм, угол BEC = углу DFA. Докажите, что

#58. Олимпиадная задача о четырехугольникеСкачать

#58. Олимпиадная задача о четырехугольнике

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Вписанная и описанная окружность в четырехугольник.Скачать

Вписанная и описанная окружность  в четырехугольник.

№379. Из вершин В и D параллелограмма ABCD, у которого АВ ≠ ВС и угол А острый, проведеныСкачать

№379. Из вершин В и D параллелограмма ABCD, у которого АВ ≠ ВС и угол А острый, проведены

ВПР 6 класс. 12 задание. Фигура симметиичная данной относительно оси.Скачать

ВПР 6 класс. 12 задание. Фигура симметиичная данной относительно оси.

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольникСкачать

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольник

Геометрия. Окружность. Вписанный четырехугольник. Тренажёр ОГЭ.Скачать

Геометрия. Окружность. Вписанный четырехугольник. Тренажёр ОГЭ.
Поделиться или сохранить к себе: