Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Вычисление площади выпуклого многоугольника по координатам вершин на плоскости

Вычисление площади выпуклого многоугольника по координатам вершин. Выпуклый многоугольник строится по точкам с использованием алгоритма Джарвиса

Калькулятор ниже был написан для решения частной задачи расчета площади выпуклого четырехугольника по координатам его вершин. Он только обобщает эту задачу до задачи расчета площади любого выпуклого многоугольника вообще. Собственно, на сайте уже был подобный калькулятор Площадь многоугольника, но там требовалось вводить длины сторон и диагоналей, а это несколько труднее, чем вводить только координаты вершин.

Принцип работы остается таким же — многоугольник разбивается на непересекающиеся треугольники, подсчитывается площадь всех треугольников (это легко сделать зная длины всех трех сторон — Расчет площади треугольника по формуле Герона), затем площади суммируются. Основная проблема была в том, чтобы сделать его устойчивым к ситуации, когда точки вводят не по порядку. Предположим, сначала вводят первые четыре точки получая фигуру на рисунке ниже

При добавлении следующей точки, например, так, как на следующем рисунке

должен уже получиться многоугольник ADCBE, а не ABCDE, разбитый на треугольники ADC, ACB и ABE, соответственно.

Чтобы получить правильный многоугольник, фактически требуется получить оболочку введенных точек. Для этого калькулятор использует алгоритм Джарвиса (или алгоритм обхода Джарвиса, или алгоритм заворачивания подарка), который определяет последовательность элементов множества, образующих выпуклую оболочку для этого множества. Метод можно представить как обтягивание верёвкой множества вбитых в доску гвоздей.

Алгоритм работает за время , где n — общее число точек на плоскости, h — число точек в выпуклой оболочке. Для выпуклого многоугольник соответственно будет . Не самый оптимальный алгоритм, зато очень простой, и для этого калькулятора вполне производительный.

Как пользоваться калькулятором: начинаете вводить координаты точек выпуклого многоугольника. Начиная с трех точек алгоритм Джарвиса будет стоить обтягивающий контур, затем контур будет разбиваться треугольники и подсчитываться общая площадь. Для справки также будут выводиться площади всех треугольников.

Видео:ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольникаСкачать

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника

Нахождение площади выпуклого четырехугольника: формула и пример

Выпуклый четырехугольник – это геометрическая фигура, полученная путем соединения на плоскости четырех точек, которые не должны лежать на одной прямой. При этом образованные таким образом стороны не должны пересекаться.

Видео:ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналямиСкачать

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями

Формула вычисления площади

По диагоналям и углу между ними

Площадь (S) выпуклого четырехугольника равняется одной второй (половине) произведения его диагоналей и синуса угла между ними.

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

По четырем сторонам (формула Брахмагупты)

Чтобы воспользоваться формулой, необходимо знать длины всех сторон фигуры. Также вокруг четырехугольника должна быть возможность описать окружность.

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

p – полупериметр, вычисляется следующим образом:

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

По радиусу вписанной окружности и сторонам

Если в четырехугольник можно вписать окружность, вычислить его площадь можно, воспользовавшись формулой:

S = p ⋅ r

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

r – радиус окружности.

Видео:Найти периметр четырехугольника, вершины которого лежат на серединах сторон другого четырехугольникаСкачать

Найти периметр четырехугольника, вершины которого лежат на серединах сторон другого четырехугольника

Пример задачи

Найдите площадь выпуклого четырехугольника, если его диагонали равны 5 и 9 см, а угол между ними составляет 30°.

Решение:
Подставляем в формулу известные нам значения и получаем: S = 1/2 * 5 см * 9 см * sin 30° = 11,25 см 2 .

Видео:№933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).Скачать

№933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).

Формулы площади

Видео:Как выпуклый четырёхугольник разрезать по прямой, содержащей его вершину, на две равновеликие части?Скачать

Как выпуклый четырёхугольник разрезать по прямой, содержащей его вершину, на две равновеликие части?

Основные свойства и виды

К выпуклым четырехугольникам можно отнести практически все известные нам фигуры, состоящие из четырех углов и сторон. Можно выделить следующие:

Все эти фигуры объединяет не только то, что они четырехугольные, но и то, что они еще и выпуклые. Достаточно просто рассмотреть схему:

Видео:Геометрия Найдите площадь выпуклого четырехугольника диагонали которого равны 3√3 см и 4 см а уголСкачать

Геометрия Найдите площадь выпуклого четырехугольника диагонали которого равны 3√3 см и 4 см а угол

Что такое четырех угольник

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Площадь четырехугольника равна полупроизведению его диагоналей и угла между ними.

Четырехугольник – это многоугольник с четырьмя вершинами, три из которых не лежат на одной прямой.

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой, последовательно соединенная отрезками.

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Формулы площади квадрата

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

S =1d 2
2

где S – площадь квадрата,
a – длина стороны квадрата,
d – длина диагонали квадрата.

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Определения и соглашения

В приведённой ниже таблице будут указаны определения и договорённости, которые будут использоваться в дальнейшем во время наших рассуждений.

  1. Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершинЧетырёхугольник – это фигура из четырёх точек (вершин), из которых любые три не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон) последовательно их соединяющих.
  2. Диагональ — отрезок, соединяющий вершины многоугольника не лежащие на одной стороне (её обозначение – латинская буква d).
  3. Площадь фигуры — это численное значение территории, заключённой внутри многоугольника (её обозначение – латинская буква S).
  4. Синус угла — это число равное отношению противоположного катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. (её обозначение – запись sin).
  5. Косинус угла — это число равное отношению прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. В дальнейшем в статье для его обозначения будем использовать латинскую запись cos.
  6. Описанная окружность — это окружность, которой принадлежат все вершины многоугольника ( её радиуса обозается буквой R).
  7. Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. В дальнейшем в статье для обозначения её радиуса будем использовать латинскую букву r.
  8. Угол между сторонами a и b будем обозначать следующей записью (a,b).

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Видео:Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 11Скачать

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 11

Площадь четырехугольника, заданного координатами

Формула площади четырехугольника по координатам используется для расчета площади фигур, которые располагаются в системе координат. В этом случае для начала требуется расчет длин необходимых сторон. В зависимости от типа четырехугольника может меняться и сама формула. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника, используя квадрат, который лежит в системе координат XY .

Мы знаем, что все стороны фигуры равны, и формула площади квадрата находится по формуле:Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин
Найдем одну из сторон, к примеру, AB :Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин
Подставим значения в формулу:Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин
Знаем, что все стороны одинаковые. Подставляем значение в формулу расчета площади: Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Видео:Площадь четырёхугольника через диагоналиСкачать

Площадь четырёхугольника через диагонали

Формула вычисления площади

Площадь (S) выпуклого четырехугольника равняется одной второй (половине) произведения его диагоналей и синуса угла между ними:

S = 1/2 * d1 * d2 * sin α

Видео:№951. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдите егоСкачать

№951. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его

Нахождение площади четырёхугольника различными способами и методами

Узнаем как найти площадь четырёхугольника когда даны его диагонали и образуемый при их пересечении острый угол. Тогда площадь четырёхугольника будет вычисляться по формуле: S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2).

Рассмотрим пример. Пусть d1 = 15 сантиметров, d2 = 12 сантиметров, и угол между ними 30 градусов. Определим S. S = 1/2*15*12*sin30 = 1/2*15*12*1/2 = 45 сантиметров квадратных.

Теперь пусть даны стороны и противолежащие углы четырёхугольника.

Пусть a, b, c, d известные стороны многоугольника; p – его полупериметр. Корень квадратный выражения условимся обозначать как rad (от латинского radical). Формула площади четырёхугольника будет находиться по формуле: S = rad(( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) − a b c d ⋅ c o s^2( (a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2*(a + b + c + d).

На первый взгляд, формула кажется очень сложной и вычурной. Однако ничего сложного здесь нет, что мы и докажем, рассмотрев пример. Пусть данные нашего условия следующие: a = 18 миллиметров, b = 23 миллиметра, c = 22 миллиметра, d = 17 миллиметров. Противолежащие углы будут равны (a,b) = 0,5 градуса и (c,d) = 1,5 градуса. Для начала находим полупериметр: p = 1/2*(18 + 23 + 22 + 17) = 1/2*80 = 40 миллиметров.

Теперь найдём квадрат косинуса полусуммы противолежащих углов: c o s^2( (a,b) + (c,d))/2) = c o s^2(0,5 + 1,5)/2 = c o s1*c o s1 = (1/2)*(1/2) = 0,9996.

Подставим полученные данные в нашу формулу, получим: S = rad((40 – 18)*(40 – 23)*(40 – 22)*(40 – 17) – 18*23*22*17*0,97) = rad(22*17*18*23 – 18*23*22*17*1/4) = rad((22*17*18*23*(1 – 0,9996)) = rad(154836*0,0004) = rad62 = 7,875 миллиметра квадратного.

Разберёмся как находить площадь с помощью вписанной и описанной окружностей. При решении задач данной темы имеет смысл сопровождать свои действия вспомогательным рисунком, хотя это требование и не является обязательным.

Если есть вписанная окружность и нужно найти площадь четырёхугольника формула имеет вид:

Снова возьмём на рассмотрение пример: a = 16 метров, b = 30 метров, c = 28 метров, d = 14 метров, r = 6 метров. Подставим аши значения в формулу, получим:

S = ((16 +30 + 28 + 14)/2)*6 = 44*6 = 264 метров квадратных.

Теперь займёмся вариантом когда окружность описана вокруг четырёхугольника. Здесь мы сможем воспользоваться следующей формулой:

S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине длины периметра. Пускай в нашем случае стороны имеют следующие значения a = 26 дециметров, b = 35 дециметров, c = 39 дециметров, d = 30 дециметров.

Первым делом определим полупериметр, p = (26 + 35 + 39 + 30)/2 = 65 дециметров. Подставим найденное значение в нашу формулу. Получим:

S = rad((65 – 26)*(65 – 35)*(65 – 39)*(65 – 30)) = rad(39*30*26*35) = 1032 (округлённо) дециметров квадратных.

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Видео:8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольник

Особые виды четырехугольников

Четырехугольники могут обладать дополнительными свойствами, образуя особые виды геометрических фигур:

  • Параллелограмм
  • Ромб
  • Прямоугольник
  • Квадрат
  • Трапеция
  • Дельтоид
  • Контрпараллелограмм

Видео:Планиметрия. Площади выпуклых четырехугольников заданий 3,6 | PARTAСкачать

Планиметрия. Площади выпуклых четырехугольников заданий 3,6 | PARTA

Квадрат, прямоугольник и другие параллелограммы

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

  • Квадрат — это параллелограмм, у которого все стороны равны и пересекаются под прямым углом.
  • Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все стороны пересекаются под прямым углом.
  • Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

  • Площадь = длина х высота, или S = a х h.
  • Пример: если длина прямоугольника равна 10 см, а ширина равна 5 см, то площадь этого прямоугольника: S = 10 х 5 = 50 квадратных сантиметров.
  • Не забывайте, что площадь измеряется в квадратных единицах (квадратных метрах, квадратных сантиметрах и так далее).

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

  • Площадь = сторона х сторона, или S = a 2.
  • Пример: если сторона квадрата равна 4 см (a = 4), то площадь этого квадрата: S = a 2 = 4 х 4 = 16 квадратных сантиметров.

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

  • Площадь = (диагональ1 х диагональ2)/2, или S = (d1 × d2)/2
  • Пример: если диагонали ромба равны 6 см и 8 см, то площадь этого ромба: S = (6 х 8)/2 = 24 квадратных сантиметров.

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

  • Пример: если длина ромба равна 10 см, а его высота равна 3 см, то площадь такого ромба равна 10 х 3 = 30 квадратных сантиметров.

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

  • Площадь = сторона х высоту, или S = a × h
  • Площадь = (диагональ1 × диагональ2)/2, или S = (d1 × d2)/2
  • Пример: если сторона квадрата равна 4 см, то его площадь равна 4 х 4 = 16 квадратных сантиметров.
  • Пример: диагонали квадрата равны по 10 см. Вы можете найти площадь этого квадрата по формуле: (10 х 10)/2 = 100/2 = 50 квадратных сантиметров.

Видео:Найдите площадь четырёхугольникаСкачать

Найдите площадь четырёхугольника

Пример задачи

Найдите площадь выпуклого четырехугольника, если его диагонали равны 5 и 9 см, а угол между ними составляет 30°.

Решение:
Подставляем в формулу известные нам значения и получаем: S = 1/2 * 5 см * 9 см * sin 30° = 11,25 см 2 .

Видео:Найдите площадь четырёхугольникаСкачать

Найдите площадь четырёхугольника

Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются. Действительно, это явление можно наблюдать визуально, достаточно взглянуть на рисунок:

На рисунке слева изображен невыпуклый четырехугольник или четырехсторонник. Как угодно. Как видно, диагонали не пересекаются, по крайней мере, не все. Справа изображен выпуклый четырехугольник. Тут уже наблюдается свойство диагоналей пересекаться. Это же свойство можно считать признаком выпуклости четырехугольника.

Видео:Найдите площадь четырёхугольникаСкачать

Найдите площадь четырёхугольника

Свойства длин сторон четырехугольника

Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других его сторон.

Важно. Неравенство верно для любой комбинации сторон четырехугольника. Рисунок приведен исключительно для облегчения восприятия.

В любом четырёхугольнике сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны.

Важно. При решении задач в пределах школьной программы можно использовать строгое неравенство ( a, b, c, d формула полупериметра будет выглядеть так: Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин
Зная стороны, выводим формулу. Площадь четырехугольника представляет собой корень из произведения разности полупериметра с длиной каждой стороны:

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Видео:ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить (вар. 4)Скачать

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить (вар. 4)

Четырехугольник и окружность

Четырехугольник, описанный вокруг окружности (окружность, вписанная в четырехугольник).

Главное свойство описанного четырехугольника:

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

Четырехугольник, вписанный в окружность (окружность, описанная вокруг четырехугольника)

Главное свойство вписанного четырехугольника:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Видео:№370. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.Скачать

№370. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

где d1 и d2 – диагонали четырёхугольника , а φ – любой из четырёх углов между ними (рис. 1).

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин,

где r – радиус вписанной в ромб окружности , а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Доказательство . Поскольку каждая из диагоналей ромба является биссектрисой угла , а каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла, то точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех сторон ромба и является центром вписанной в ромб окружности . Отсюда следует, в частности, что высота ромба в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (рис.4). Поэтому

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам) , то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин
(рис.6).

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора , составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида , дельтоида , можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Найти площадь выпуклого четырехугольника заданного координатами своих вершин

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

📺 Видео

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)Скачать

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)

Диагонали четырехугольника равны 4 и 5.Скачать

Диагонали четырехугольника равны 4 и 5.
Поделиться или сохранить к себе: