Взаимное расположение окружности и квадрата

Как найти количество точек пересечения окружности и квадрата?

Внизу приведена задача, с решением которой возникли трудности.
Как находить кол-во точек пересечения?
Варианты 3,4,7 вызвали трудности.

Даны координаты центра круга и его радиус, а также координаты центра
квадрата и его длина стороны.
Найти взаимное расположение фигур.
Набросок вариантов:
1) Окружность вписана в квадрат
2) Окружность описана вокруг квадрата
3) Окружность и квадрат касаются в одной точке (внешнее и внутреннее
касание)
4) Окружность и квадрат касаются в двух точках
5) Окружность лежит внутри квадрата
6) Квадрат лежит внутри окружности
7) Окружность и квадрат пересекаются в двух и более точках

Содержание
  1. Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности
  2. Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности.
  3. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью:
  4. Взаимное расположение окружности и прямой:
  5. Взаимное расположение окружности и точки:
  6. Взаимное расположение двух окружностей:
  7. Свойства углов, связанных с окружностью:
  8. Метрические соотношения в окружности (длины отрезков):
  9. Квадрат. Онлайн калькулятор
  10. Свойства квадрата
  11. Диагональ квадрата
  12. Окружность, вписанная в квадрат
  13. Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата
  14. Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности
  15. Окружность, описанная около квадрата
  16. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата
  17. Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности
  18. Периметр квадрата
  19. Признаки квадрата
  20. 🎬 Видео

Видео:8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружности

Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности

Видео:Взаимное расположение окружностей. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружностей. 7 класс.

Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности.

Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью:

Взаимное расположение окружности и квадратаЦентральный угол измеряется дугой, на которую он опирается. Если отнести длину этой дуги к радиусу окружности то получится радианная мера угла.

Взаимное расположение окружности и прямой:

Взаимное расположение окружности и квадрата

1. Окружность и прямая не имеют общих точек

Взаимное расположение окружности и квадрата

2. Окружность и прямая имеют 2 общие точки (l — секущая)

Взаимное расположение окружности и квадрата

3. Окружность и прямая имеют 1 общую точку (l — касательная)

Взаимное расположение окружности и точки:

Взаимное расположение окружности и квадрата

1. Точка лежит вне окружности (2 касательные через точку А)

Взаимное расположение окружности и квадрата

2. Точка лежит внутри окружности (нет касательных через точку А)

Взаимное расположение окружности и квадрата

3. Точка лежит на окружности (1 касательная через точку А)

Взаимное расположение двух окружностей:

Взаимное расположение окружности и квадрата

1. Одна окружность лежит внутри другой.

Взаимное расположение окружности и квадрата

2. Одна окружность касается другой изнутри.

Взаимное расположение окружности и квадрата

3. Окружности пересекаются.

Взаимное расположение окружности и квадратаВзаимное расположение окружности и квадрата

4. Одна окружность касается другой снаружи или одна окружность лежит вне другой.

Свойства углов, связанных с окружностью:

Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу:

Взаимное расположение окружности и квадрата

Взаимное расположение окружности и квадратаВсе вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны:Взаимное расположение окружности и квадратаВсе вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны:Взаимное расположение окружности и квадрата

Любые два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°=π

Взаимное расположение окружности и квадрата

Взаимное расположение окружности и квадратаВсе вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые:Взаимное расположение окружности и квадрата

Угол между пересекающимися хордами:

Взаимное расположение окружности и квадрата

Взаимное расположение окружности и квадрата

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности:

Взаимное расположение окружности и квадрата

Взаимное расположение окружности и квадратаУгол между касательной и секущей:Взаимное расположение окружности и квадратаВзаимное расположение окружности и квадрата

Угол между касательными:

Взаимное расположение окружности и квадрата

Взаимное расположение окружности и квадрата

Угол между касательной и хордой:

Взаимное расположение окружности и квадрата

Взаимное расположение окружности и квадрата

Метрические соотношения в окружности (длины отрезков):

Отрезки пересекающихся хорд связаны соотношением:

Взаимное расположение окружности и квадрата

Взаимное расположение окружности и квадрата

Отрезки касательных, проведенных из общей точки, равны:

Взаимное расположение окружности и квадрата

Взаимное расположение окружности и квадрата

Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей, проведенной из той же точки:

Взаимное расположение окружности и квадрата

Взаимное расположение окружности и квадрата

Произведения длин отрезков секущих, проведенных из общей точки, равны:

Взаимное расположение окружности и квадрата

Взаимное расположение окружности и квадратаВзаимное расположение окружности и квадрата

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Видео:Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Взаимное расположение окружности и квадрата

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Видео:9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностей

Свойства квадрата

  • Длины всех сторон квадрата равны.
  • Все углы квадрата прямые.
  • Диагонали квадрата равны.
  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
  • Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Взаимное расположение окружности и квадратаВзаимное расположение окружности и квадратаВзаимное расположение окружности и квадратаВзаимное расположение окружности и квадратаВзаимное расположение окружности и квадратаВзаимное расположение окружности и квадрата

Видео:Взаимное расположение окружностей. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружностей. Практическая часть. 7 класс.

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

Взаимное расположение окружности и квадрата

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Взаимное расположение окружности и квадрата
Взаимное расположение окружности и квадрата.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Взаимное расположение окружности и квадрата.(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Взаимное расположение окружности и квадрата

Ответ: Взаимное расположение окружности и квадрата

Видео:Урок по геометрии ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИСкачать

Урок по геометрии ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Взаимное расположение окружности и квадрата

Видео:Взаимное расположение прямой и окружности | Геометрия 7-9 класс #68 | ИнфоурокСкачать

Взаимное расположение прямой и окружности  | Геометрия 7-9 класс #68 | Инфоурок

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

Взаимное расположение окружности и квадрата(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Взаимное расположение окружности и квадрата

Ответ: Взаимное расположение окружности и квадрата

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№25 - Взаимное расположение прямой и окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№25 - Взаимное расположение прямой и окружности.)

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

Взаимное расположение окружности и квадрата(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Взаимное расположение окружности и квадрата

Ответ: Взаимное расположение окружности и квадрата

Видео:Урок 47. Взаимное расположение окружностей (8 класс)Скачать

Урок 47.  Взаимное расположение окружностей (8 класс)

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Взаимное расположение окружности и квадрата

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

Взаимное расположение окружности и квадрата
Взаимное расположение окружности и квадрата(5)

Из формулы (5) найдем R:

Взаимное расположение окружности и квадрата
Взаимное расположение окружности и квадрата(6)

или, умножая числитель и знаменатель на Взаимное расположение окружности и квадрата, получим:

Взаимное расположение окружности и квадрата.(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Взаимное расположение окружности и квадрата

Ответ: Взаимное расположение окружности и квадрата

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№10 - Взаимное расположение двух окружностей.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№10 - Взаимное расположение двух окружностей.)

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

Взаимное расположение окружности и квадрата
Взаимное расположение окружности и квадрата.(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Взаимное расположение окружности и квадратаНайти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя Взаимное расположение окружности и квадратав (8), получим:

Взаимное расположение окружности и квадрата

Ответ: Взаимное расположение окружности и квадрата

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

Взаимное расположение окружности и квадрата(9)

где Взаимное расположение окружности и квадрата− сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен Взаимное расположение окружности и квадрата. Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя Взаимное расположение окружности и квадратав (9), получим:

Взаимное расположение окружности и квадрата

Ответ: Взаимное расположение окружности и квадрата

Видео:Взаимное расположение двух окружностей. Урок 8. Геометрия 9 классСкачать

Взаимное расположение двух окружностей. Урок 8. Геометрия 9 класс

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом. Взаимное расположение окружности и квадрата

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Взаимное расположение окружности и квадрата

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Взаимное расположение окружности и квадрата(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Взаимное расположение окружности и квадратаВзаимное расположение окружности и квадрата(11)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Взаимное расположение окружности и квадрата(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Взаимное расположение окружности и квадратаВзаимное расположение окружности и квадрата(13)

Из (13) следует, что

Взаимное расположение окружности и квадрата(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).Взаимное расположение окружности и квадрата

🎬 Видео

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

ОГЭ Площадь квадрата, описанного около окружности #огэ #огэ2023 #алгебра #огэматематикаСкачать

ОГЭ Площадь квадрата, описанного около окружности #огэ #огэ2023 #алгебра #огэматематика

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Взаимное расположение окружностей. Точки пересечения окружностейСкачать

Взаимное расположение окружностей. Точки пересечения окружностей

70. Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

70. Взаимное расположение прямой и окружности

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Взаимное расположение двух окружностей.Использование уравнений окружности и прямой при решении задачСкачать

Взаимное расположение двух окружностей.Использование уравнений окружности и прямой при решении задач
Поделиться или сохранить к себе: