Найдите образы базисных векторов

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто разложить вектор по базисным векторам.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденый материал.

Видео:Ядро и образ линейного оператораСкачать

Калькулятор для разложения вектора по базисным векторам

Выберите размерность пространства

Количество координат в векторе:

Введите значение базисных векторов:

Введите значение вектора, который необходимо разложить по базису:

Инструкция использования калькулятора для разложение вектора по базисным векторам

• Для того чтобы разложить вектор по базисным векторам онлайн:
• выберите необходимую вам размерность пространства (количество координат в векторе);
• введите значения базисных векторов;
• введите значения вектора который нужно разложить по базису;
• Нажмите кнопку «Разложить вектор по базису» и вы получите детальное решение задачи.

Ввод данных в калькулятор для разложение вектора по базисным векторам

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора разложение вектора по базисным векторам

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Теория. Разложение вектора по базису

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a₁ , . a_n , необходимо найти коэффициенты x ₁, . x_n , при которых линейная комбинация векторов a₁ , . a_n равна вектору b .

Коэффициенты x ₁, . x_n будут координатами вектора b в базисе a₁ , . a_n .

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Координаты вектора в базисе

Пример №1 . Даны векторы ε₁(2;1;3), ε₂(3;-2;1), ε₃(1;-3;-4), X(7;0;7). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.
Решение. Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить, образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.
Вычислим определитель матрицы:

∆ = 2*((-2)*(-4) — (-3)*1) — 3*(1*(-4) — (-3)*3) + 1*(1*1 — (-2)*3) = 14
Определитель матрицы равен ∆ =14
Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α₁α₂α₃, что имеет место равенство:
X = &#945₁ε₁ + &#945₂ε₂ + &#945₃ε₃
Запишем данное равенство в координатной форме:
(7;0;7) = α(2;1;3) + α(3;-2;1) + α(1;-3;-4)
Используя свойства векторов, получим следующее равенство:
(7;0;7) = (2α₁;1α₁;3α₁😉 + (3α₂;-2α₂;1α₂😉 + (1α₃;-3α₃;-4α₃😉
(7;0;7) = (2α₁ + 3α₂ + 1α₃;1α₁ -2α₂ -3α₃;3α₁ + 1α₂ -4α₃)
По свойству равенства векторов имеем:
2α₁ + 3α₂ + 1α₃ = 7
1α₁ -2α₂ -3α₃ = 0
3α₁ + 1α₂ -4α₃ = 7
Решаем полученную систему уравнений методом Гаусса или методом Крамера.
Ответ:

X = 2ε₁ + ε₂

В системе векторов a₁, a₂, a₃, a₄ найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.

Пример №2 . В системе векторов a₁, a₂, a₃, a₄ найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.
a₁=(1;5;3), a₂=(2;1;-1), a₃=(4;2;1), a₄=(17;13;4).

Видео:Координаты в новом базисеСкачать

Матрица линейного оператора примеры

Видео:Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

Построение матрицы по заданной формуле отображения.

Пусть отображение задано с помощью формулы:

то есть для координат произвольного исходного вектора определены координаты его образа. Тогда, рассматривая вместо произвольного вектора x вектор , найдём его образ, это будет вектор . Для этого в формуле, задающей образ вектора, полагаем , ,…, . Аналогично находим образы для ,…, . Из координат образа вектора составляем 1-й столбец матрицы линейного оператора, аналогично из координат последующих векторов – остальные столбцы. Рассмотрим на примере.

Пример 1. Пусть оператор задан с помощью формулы:

.

Прежде всего, докажем, что это отображение – действительно линейный оператор.

Отобразим сумму векторов:

Теперь каждую координату получившегося вектора можем преобразовать:

.

Аналогично для умножения на константу:

Для того чтобы найти матрицу этого линейного оператора, нужно, как было сказано выше, подставить значения x₁ = 1, x₂ = 0, а затем x₁ = 0, x₂ = 1. В этом примере образы базисных векторов – соответственно (3, 1) и (2, -1).

Поэтому матрица линейного оператора будет иметь вид:

.

Аналогичным способом решается задача и для 3 и большего количества переменных.

Пример 2. .

Построим матрицу оператора. Отображая вектор (1,0,0), получаем (1,4,-1), соответственно (0,1,0) переходит в (2,1,-2), а вектор (0,0,1) – в (-1,1,3).

Матрица линейного оператора:

.

2.2. Построение матрицы оператора в случае, когда известен исходный базис и система векторов, в которую он отображается.

Если задана система из n векторов, образующих базис, и какая-нибудь произвольная система n векторов (возможно, линейно-зависимая), то однозначно определён линейный оператор, отображающий каждый вектор первой системы в соответствующий вектор второй системы.

Матрицу этого оператора можно найти двумя способами: с помощью обратной матрицы и с помощью системы уравнений.

Пусть – матрица оператора в базисе . По условию, для всех индексов . Данные n равенств можно записать в виде одного матричного равенства: , при этом столбцы матрицы – это векторы , а столбцы матрицы – векторы . Тогда матрица может быть найдена в виде .

Пример. Найти матрицу линейного оператора, отображающего базис

в систему векторов .

Здесь , , , и получаем:

.

Проверка осуществляется умножением получившейся матрицы на каждый вектор: .

Аналогично решаются подобные задачи и для трёхмерного пространства. В приложении (§5) есть несколько вариантов таких задач.

2.3. Прочие способы нахождения матрицы оператора.

Существуют также примеры, где линейный оператор задаётся другими способами, отличными от рассмотренных в п. 2.1 и 2.2.

Пример. Линейными операторами являются как правое, так и левое векторное умножение на фиксированный вектор в трёхмерном пространстве, то есть отображения вида и . Построим матрицу одного из этих операторов, . Для этого найдём образы всех трёх базисных векторов линейного пространства.

.

Аналогично, ,

.

Координаты полученных векторов запишем в виде столбцов матрицы оператора.

Матрица оператора: .

Аналогично можно построить матрицу линейного оператора :

.

Пример. Линейный оператор дифференцирования в пространстве всех многочленов степени не более n. Это пространство размерности n + 1. Возьмём в качестве базиса элементы , , ,…, .

, , , аналогично получим ,…, .

Матрица этого линейного оператора:

Линейные операторы могут отображать не только пространства конечной размерности, но и бесконечномерные пространства. Так, оператор дифференцирования может рассматриваться также в пространстве всех непрерывных функций. (В этом пространстве нет конечного базиса). В этом случае, очевидно, оператор не может быть задан матрицей конечного порядка.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10219 – | 7588 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Видео:10.2 Матрица линейного оператораСкачать

Матрица линейного оператора

Определение 1. Если задан закон, который каждому вектору x?? ставит в соот ветствие вектор y . то говорят, что в линейном пространстве ? задан оператор A , при этом пишут:

Определение 2. Оператор A называется линейным, если для любых x 1 ?? и x 2 ?? и произвольного числа ? выполняются условия:

Рассмотрим теперь в евклидовом пространстве E n базис e 1 ,e 2 . e n и пусть в этом пространстве определён линейный оператор A : y = A x .

Разложим векторы x и y по базису e 1 ,e 2 . e n :

В силу линейности оператора A можно написать

Заметим, что каждый вектор , следовательно, его также можно разложить по базису e 1 ,e 2 . e n , т.е.

В силу единственности разложения по данному базису мы можем при равнять коэффициенты при базисных векторах в правых частях формул (1) и (2); тогда получим:

Получили, что линейному оператору A в данном базисе соответствует квадратная матрица

которая называется матрицей линейного оператора A , i -й столбец которой состоит из координат вектора Ae i (i = 1,2. n ) относительно данного базиса. Отметим, что матрица A оператора A зависит от выбора базиса e 1 ,e 2 . e n .

Итак, мы показали, что всякому линейному оператору A в евклидовом пространстве E n соответствует матрица A ; можно доказать и обратное утверждение: всякую квадратную матрицу A можно рассматривать как матрицу некоторого линейного оператора A в данном базисе e 1 ,e 2 . e n .

Представляют интерес невырожденные линейные операторы, т.е. такие операторы, матрицы которых имеют обратную A -1 , т.е. также являются невырожденными. В этом случае каждому вектору y (образу), определённому соотношением, отвечает единственный вектор x (прообраз) и при этом имеет место матричное равенство: X = A -1 ? Y .

Видео:Образуют ли данные векторы базисСкачать

Примеры линейных операторов

1. В пространстве 2-мерных векторов линейным оператором является правило

связывающее вектор-прообраз с вектором-образом

2. В пространстве бесконечно дифференцируемых функций линейным оператором является операция дифференцирования, ставящая в соответствие каждому элементу этого простран ства его производную функцию.

3. В пространстве многочленов P n (t) линейным оператором является операция умножения многочлена на независимую переменную t .

Пример: Известны образы базисных векторов E 3 под действием оператора A :

Найти матрицу этого оператора в исходном базисе.

Решение: По определению y = A x, значит в матричном виде можно записать, что A = X -1 Y . Для нашего примера получаем

Видео:Матрица линейного оператораСкачать

Действия над операторами

Сложение линейных операторов. Пусть x?E n , A и B – два линейных оператора в этом пространстве.

Определение 1. Суммой линейных операторов A и B в E n называется оператор C, определяемый равенством Cx = A x + Bx , где x – любой вектор из E n .

Сумма линейных операторов является линейным оператором, причём его матрица C = A + B, где A и B – матрицы линейных операторов A и B .

Умножение линейного оператора на число. Пусть x?E n , линейный оператор A определён в E n , ? – некоторое число.

Определение 2. Произведением линейного оператора A на число ? называется оператор ?A , определяемый равенством .

?A является линейным оператором, а матрица этого линейного оператора получается из матрицы A умножением её на число ? , т.е. она равна ? ? A.

Умножение линейных операторов. Пусть x? E n , y ? E n , z ? E n и кроме того в E n определены линейные операторы A и B таким образом, что y = Bx, z = A y .

Определение 3. Произведением A ? B линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый соотношением Cx = A (Bx) .

Таким образом, перемножение линейных операторов состоит в последовательном их применении по отношению к вектору x .

Рассмотрим матрицы – столбцы:

и обозначим через A, B и C – соответственно матрицы линейных операторов A, B и C. Тогда Z = A ? (B ? X) = (A ? B) ? X = C ? X , таким образом, C = A ? B, т.е. матрица произведения линей ных операторов также является линейным оператором.

a) (A ? B)(x + y) = A (B(x + y)) = A (Bx + By) = A (Bx) + A (By) = = (A ? B) ? x + (A ? B) ? y

б) (A ? B)(? x) = A (B(? x)) = A (?Bx) =?A (Bx) =? (A ? B)x

Свойства умножения линейных операторов вытекают из свойств умножения матриц.

Определение 4. Линейные операторы A и В называются равными, если . Равенство операторов обозначается как A = B .

Определение 5. Оператор E называется единичным (или тождественным) оператором, если каждому элементу x линейного пространства он ставит в соответствие тот же самый элемент, то есть

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

1. Понятие линейного оператора

Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида , сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S. Для этого отображения будем использовать обозначение y= A(x) или y= Ax.

Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x₁ и x₂ пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения

Если пространство S совпадает с пространством R, то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R.

Пусть заданы два векторных пространства n-мерный R и m-мерный S, и пусть в этих пространствах заданы базисы и соответственно. Пусть задано отображение

где A – m×n -матрица с коэффициентами из поля K. Тогда каждому элементу из R соответствует элемент y=Ax из S. Отображение (1) определяет оператор A. Покажем, что этот оператор обладает свойством линейности. Действительно, учитывая свойства умножения матриц, можно записать:

,	(2)
.

Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A, отображающего пространство R в S и произвольных базисов и в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K, что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x.

Пусть x − произвольный элемент в R. Тогда

(3)

является разложением x в по базису .

Применим оператор A к базисным векторам :

(4)

где a_ij − координаты полученного вектора в базисе .

Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем

Сделаем следующее обозначение:

(6)

Тогда равенство (5) примет следующий вид:

(7)

Из равенства (7) следует, что любой элемент из пространства R при отображении оператором A, в пространстве S и в базисе имеет координаты y_i, i=1,2. m. В свою очередь, из (6) следует, что этим координатам соответствуют линейные комбинации координатов элемента x_j, j=1,2. n с коэффициентами a_ij i=1,2. m; j=1,2. n.

Построим матрицу A с элементами a_ij:

(8)

Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:

Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах и .

Видео:Линейные комбинации, span и базисные вектора | Сущность Линейной Алгебры, глава 2Скачать

2. Сложение линейных операторов

Пусть A и B два линейных оператора действующих из R в S и пусть A и B – mxn − матрицы соответствующие этим операторам.

Определение 2. Суммой линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый равенством

где x∈R означает, что x принадлежит пространстве R.

Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B. Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.

Применим оператор C к базисному вектору e_j, тогда:

Следовательно оператору C отвечает матрица ,где i=1,2. m, j=1,2. n, т.е.

Видео:Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

3. Умножение линейных операторов

Пусть заданы три линейных пространства R, S и T. Пусть линейный оператор B отображает R в S, а линейный оператор A отображает S в T.

Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Произведение линейных операторов обозначается C=AB. Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.

Таким образом оператор C отображает пространство R в T. Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A, B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A, B, C

можно записать в виде матричных равенств

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Учитывая произвольность х, получим

Следовательно произведению операторов C=AB соответствует матричное произведение C=AB.

Видео:Решение "базисной системы векторов" (2)Скачать

4. Умножение линейного оператора на число

Пусть задан линейный оператор A отображающий R в S и некоторое число λ из поля K.

Определение 4. Произведением оператора A на число λ называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Таким образом оператор C отображает пространство R в S. Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства

можно записать в виде матричных равенств

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Учитывая произвольность х, получим

Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ.

Видео:Линейная комбинация векторовСкачать

5. Нулевой оператор

Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O. Действие нулевого оператора можно записать так:

Видео:Векторы #3: многомерные системы координат, базисные векторыСкачать

6. Противоположный оператор

Противоположным оператору A называется оператор −A удовлетворяющий равенству:

Видео:11.1 Образ и ядро линейного оператораСкачать

7. Ядро линейного оператора

Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R, для которых выполняется следующее равенство: Ax=0.

Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A.

Видео:Образ линейного оператора. ПримерСкачать

8. Образ линейного оператора

Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R, для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R.

Образ линейного оператора обозначается символом im A.

Видео:Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

9. Ранг линейного оператора

Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A, т.е.: rang A=dim(im A).

🔍 Видео

Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать

Ядро и образ линейного оператораСкачать

Матрица линейного оператора (01)Скачать