Определение: Окружность — это линия второго порядка, которая представляет собой геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной заданной точки, называемой центром.
Если центр находится в начале координат, то окружность задается каноническим уравнением второй степени вида: х2+у2=R2 , где R — радиус окружности; х,у — текущие координаты точек, лежащих на окружности.
Для вывода данного уравнения возьмем на окружности произвольную точку М(х;у). Отрезок ОМ=R является гипотенузой в прямоугольном треугольнике ОМР, а катеты определяются координатами х и у точки М. Уравнение окружности получается по теореме Пифагора: х2+у2=R2, которое называется каноническим уравнением окружности с несмещенным центром.
Если центр окружности находится в точке С(х0;у0), то уравнение окружности со смещенным центром будет иметь
Построение окружности выполняется с помощью циркуля.
Видео:№968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).Скачать
эллипс
Определение: Эллипс — это линия второго порядка, которая представляет собой геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная большой оси эллипса.
Эллипс с несмещенным центром задается каноническим уравнением второй степени вида:
где а и в — полуоси, х,у — текущие координаты точек, лежащих на эллипсе. Центр симметрии находится в начале координат. Осями симметрии служат координатные оси.
При рассмотрении эллипса возможны два случая:
1. Если ав, то а называется большая полуось, лежащая на координатной оси Ох, а в — малая полуось, лежащая на координатной оси Оу;
2. Если ав, то а называется малая полуось, лежащая на координатной оси Ох, а в-большая полуось, лежащая на координатной оси Оу.
Фокусы F1 и F2 всегда лежат на большой оси эллипса, причем симметрично относительно центра симметрии на расстоянии:
где величина «с» определяет фокусное расстояние.
Для характеристики формы эллипса вводится эксцентриситет.
Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине его большой полуоси:
=, если ав и =, если ва.
Значение эксцентриситета меняется в пределах 0??1. При этом форма эллипса изменяется от окружности (е=0, при а=в=R) и, вытягиваясь, вырождается в прямую (е=1, при а>>в).
Уравнение эллипса выводится из его основного свойства, представленного в определении. Возьмём на эллипсе произвольную точку М(х;у). Расстояния r1 и r2 от фокусов F1 и F2 до точки М(х;у) называются фокальными радиусами.
В соответствии с определением сумма фокальных радиусов есть величина постоянная, равная большой оси эллипса: r1 + r2 = 2а (при ав) — основное свойство эллипса. Для вывода уравнения эллипса необходимо выразить фокальные радиусы r1 и r2 через координаты точки М(х;у) и фокусов F1(с;0) и F2(-с;0)и подставить в это равенство.
Если центр симметрии смещен и находится в точке С(х0;у0), то уравнение эллипса со смещенным центром имеет вид:
Построение эллипса рассмотрим ниже на примерах.
Пример. Определить вид, параметры и построить линию, заданную уравнением:
Решение: 1. Это эллипс с несмещенным центром вида:
2. Найдем параметры: — большая полуось на оси Ох;
— малая полуось на оси Оу;
Фокусы F1(4.6;0) и F2(-4.6;0) лежат на большой оси, совпадающей с осью Ох, симметрично, на расстоянии с=4.6 относительно начала координат.
3. Построение эллипса (см. рисунок выше) выполним по этапам:
1) строим систему координат Оху;
2) на координатных осях симметрично относительно начала координат откладываем большую и малую полуоси (а=5, в=2) и показываем вершины эллипса А1,А2,В1,В2;
3) через вершины эллипса параллельно координатным осям строим осевой прямоугольник;
4) вписываем эллипс в осевой прямоугольник;
5) на большой оси, совпадающей с осью Ох, симметрично относительно начала координат показываем фокусы F1(4.6;0) и F2(-4.6;0).
Уравнение окружности. Уравнение касательной к окружности.
Условие касания прямой и окружности.
Окружностью ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки О, называемой центром окружности, на расстояние R . Число R > 0 называется радиусом окружности.
Уравнение окружности радиуса R с центром в точке О ( х0 , у0 ) имеет вид:
Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности упрощается:
Пусть Р ( х1 , у1 ) – точка окружности ( рис.1 ), тогда уравнение касательной к окружности в данной точке имеет вид:
Отрезок B1B2= 2b называется (при а >b) малой осью эллипса; – малая полуось эллипса.
3. ; ; и существует, если или , (от А1 до А2).
; и существует, если (от В1 до В2).
4. Степень вытянутости эллипса определяет параметр – эксцентриситет:
или , .
Если a=b, то имеем окружность с центром в т.О(0;0) и радиуса а. В этом случае .
Если , то имеем отрезок А1А2 и . Эллипс (при ) получен равномерным сжатием окружности сверху – снизу.
Аналогично можно рассмотреть случай, когда фокусы F1F2 расположены на оси ОУ ().
Пример: построение эллипса по каноническому уравнению и отыскание его параметров...
б) Смещенный эллипс
– уравнение смещенного эллипса. Центр расположен в т. С(α;β).
При построении смещенного эллипса применяется преобразование системы координат – параллельный перенос.
ХОУ – старая система координат;
т.О(0;0) – начало координат;
Х’СУ’ – новая система координат; т.С(α,β) – ее начало координат.
, , масштабная единица одна и та же.
Возьмем на плоскости произвольно т.М. В системе ХОУ ее координаты х,у; в системе Х’СУ’ – х’,у’ , причем ; . Отсюда
Сделаем в уравнении смещенного эллипса замену переменной по формулам , получим каноническое уравнение эллипса .
Строим эллипс по его каноническому уравнению в системе Х’СУ’.
Пример: построение эллипса, заданного в смещенном виде: .
3.3 Гипербола – ГМТ плоскости, модуль разности расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости – фокусов F1,F2 – постоянен и равен числу 2а.
а) Каноническое уравнение
АлтГТУ 419
АлтГУ 113
АмПГУ 296
АГТУ 266
БИТТУ 794
БГТУ «Военмех» 1191
БГМУ 172
БГТУ 602
БГУ 153
БГУИР 391
БелГУТ 4908
БГЭУ 962
БНТУ 1070
БТЭУ ПК 689
БрГУ 179
ВНТУ 119
ВГУЭС 426
ВлГУ 645
ВМедА 611
ВолгГТУ 235
ВНУ им. Даля 166
ВЗФЭИ 245
ВятГСХА 101
ВятГГУ 139
ВятГУ 559
ГГДСК 171
ГомГМК 501
ГГМУ 1967
ГГТУ им. Сухого 4467
ГГУ им. Скорины 1590
ГМА им. Макарова 300
ДГПУ 159
ДальГАУ 279
ДВГГУ 134
ДВГМУ 409
ДВГТУ 936
ДВГУПС 305
ДВФУ 949
ДонГТУ 497
ДИТМ МНТУ 109
ИвГМА 488
ИГХТУ 130
ИжГТУ 143
КемГППК 171
КемГУ 507
КГМТУ 269
КировАТ 147
КГКСЭП 407
КГТА им. Дегтярева 174
КнАГТУ 2909
КрасГАУ 370
КрасГМУ 630
КГПУ им. Астафьева 133
КГТУ (СФУ) 567
КГТЭИ (СФУ) 112
КПК №2 177
КубГТУ 139
КубГУ 107
КузГПА 182
КузГТУ 789
МГТУ им. Носова 367
МГЭУ им. Сахарова 232
МГЭК 249
МГПУ 165
МАИ 144
МАДИ 151
МГИУ 1179
МГОУ 121
МГСУ 330
МГУ 273
МГУКИ 101
МГУПИ 225
МГУПС (МИИТ) 636
МГУТУ 122
МТУСИ 179
ХАИ 656
ТПУ 454
НИУ МЭИ 641
НМСУ «Горный» 1701
ХПИ 1534
НТУУ «КПИ» 212
НУК им. Макарова 542
НВ 777
НГАВТ 362
НГАУ 411
НГАСУ 817
НГМУ 665
НГПУ 214
НГТУ 4610
НГУ 1992
НГУЭУ 499
НИИ 201
ОмГТУ 301
ОмГУПС 230
СПбПК №4 115
ПГУПС 2489
ПГПУ им. Короленко 296
ПНТУ им. Кондратюка 119
РАНХиГС 186
РОАТ МИИТ 608
РТА 243
РГГМУ 118
РГПУ им. Герцена 124
РГППУ 142
РГСУ 162
«МАТИ» — РГТУ 121
РГУНиГ 260
РЭУ им. Плеханова 122
РГАТУ им. Соловьёва 219
РязГМУ 125
РГРТУ 666
СамГТУ 130
СПбГАСУ 318
ИНЖЭКОН 328
СПбГИПСР 136
СПбГЛТУ им. Кирова 227
СПбГМТУ 143
СПбГПМУ 147
СПбГПУ 1598
СПбГТИ (ТУ) 292
СПбГТУРП 235
СПбГУ 582
ГУАП 524
СПбГУНиПТ 291
СПбГУПТД 438
СПбГУСЭ 226
СПбГУТ 193
СПГУТД 151
СПбГУЭФ 145
СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 380
ПИМаш 247
НИУ ИТМО 531
СГТУ им. Гагарина 114
СахГУ 278
СЗТУ 484
СибАГС 249
СибГАУ 462
СибГИУ 1655
СибГТУ 946
СГУПС 1513
СибГУТИ 2083
СибУПК 377
СФУ 2423
СНАУ 567
СумГУ 768
ТРТУ 149
ТОГУ 551
ТГЭУ 325
ТГУ (Томск) 276
ТГПУ 181
ТулГУ 553
УкрГАЖТ 234
УлГТУ 536
УИПКПРО 123
УрГПУ 195
УГТУ-УПИ 758
УГНТУ 570
УГТУ 134
ХГАЭП 138
ХГАФК 110
ХНАГХ 407
ХНУВД 512
ХНУ им. Каразина 305
ХНУРЭ 324
ХНЭУ 495
ЦПУ 157
ЧитГУ 220
ЮУрГУ 306
Полный список ВУЗов
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Кривые второго порядка. Алгебраической кривой второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид:
Аx 2 + 2Вxy + Сy 2 + 2Dx + 2Еy + F = 0,
где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю.
Если кривая Г невырожденная, то для неё найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой примет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):
Эллипс – геометрическое множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, большая, чем расстояние между фокусами 2c:
Эллипс, заданный каноническим уравнением: симметричен относительно осей координат. Параметры а и b называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно), точки , , , называются его вершинами. Если а>b, то фокусы находятся на оси ОХ на расстоянии от центра эллипса О.
называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его «сплюснутости» (при эллипс является окружностью, а при он вырождается в отрезок длиною ). Если а
Гипербола, заданная каноническим уравнением:
симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось ОХ в точках и – вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОY. Параметр а называется вещественной полуосью, b – мнимой полуосью. Число
называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые
называются асимптотами гиперболы.
Гипербола, заданная каноническим уравнением:
называется сопряжённой (имеет те же асимптоты). Её фокусы расположены на оси OY.
Она пересекает ось ОY в точках и – вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОX.В этом случае параметр b называется вещественной полуосью, a – мнимой полуосью. Эксцентриситет вычисляется по формуле:
Парабола – множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой: .
Парабола, заданная указанным каноническим уравнением, симметрична относительно оси ОХ.
задает параболу, симметричную относительно оси ОY. Парабола
имеет фокус и директрису
имеет фокус и директрису
Если р>0, то в обоих случаях ветви параболы обращены в положительную сторону соответствующей оси, а если р 2 + 2Вxy + Сy 2 + 2Dx + 2Еy + F = 0,
где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю.
Оно задаёт кривую второго порядка. Наша цель: поменять систему координат так, чтобы максимально упростить данное уравнение. Для этого сначала (если B0) повернём искодный базис (координатные оси Ox и Oy) на угол б против часовой стрелки таким образом, чтобы новые оси Ox’ и Oy’ стали параллельны осям кривой, при этом исчезнет слагаемое 2Вxy:
– матрица линейного преобразования: поворот на угол б против часовой стрелки.
Выберем угол б так, чтобы коэффициент при произведении x’y’ обратился в ноль, т.е. чтобы выполнялось равенство:
-2Acosбsinб + 2B(cos 2 б – sin 2 б) + 2Csinбcosб = 0
В новой системе координат Ox’y’ (после поворота на угол б), учитывая, что
уравнение будет иметь вид
А’x’ 2 + С’y’ 2 + 2D’x’ + 2Е’y’ + F’ = 0,
где коэффициенты А’ и С’ не равны одновременно нулю.
Следующий этап упрощения заключается в параллельном переносе осей Ox’ и Oy’ до совпадения их с осями кривой, при этом начало координат совпадёт с центром (или вершиной, в случае параболы) кривой. Техника преобразований на данном этапе заключается в выделении полного квадрата.
Таким образом, мы получим канонические уравнения кривых второго порядка. Всего возможны 9 качественно различных случаев (включая случаи вырождения и распадения):
4. (мнимый эллипс),
5. (пара мнимых параллельных прямых),
6. (пара параллельных прямых),
7. (пара совпавших прямых),
8. (точка (пара мнимых пересекающихся прямых)),
9. (пара пересекающихся прямых).
Кривые 2-го порядка со смещенными центрами (вершинами).
Если в общем уравнении кривой 2-го порядка
в частности, В = 0, то есть отсутствует член с произведением переменных, то это означает, что оси кривой параллельны координатным. Рассмотрим уравнение:
(A и C одновременно). Можно показать, что при этом:1) Если АС > 0 (коэффициенты при квадратах переменных одного знака), то уравнение определяет эллипс;
2) Если АС
Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Южно-Уральский государственный университет.
Кафедра «Товароведение и экспертиза потребительских товаров»
«Кривые второго порядка: эллипс, окружность, парабола, гипербола»
По дисциплине Высшая математика.
Пермина Александра Николаевна
студент группы 131
Кравченко Ольга Владимировна
Кривые второго порядка: эллипс, окружность, парабола, гипербола.
Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.
Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей – гипербола, а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.
Кривая второго порядка на плоскости в прямоугольной системе координат описывается уравнением:
Множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 есть заданная постоянная величина, называется эллипсом.
Каноническое уравнение эллипса.
Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):
Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. Число a называют большой полуосью эллипса, а число b – его малой полуосью.
Фокальное свойство. Если F1 и F2 — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой ( F1X) равен углу между этой касательной и прямой ( F2X) .
Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
Эволютой эллипса является астроида.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение
Эллипс также можно описать как
фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование
ортогональную проекцию окружность на плоскость.
Пересечение плоскости и кругового цилиндра.
Каноническое уравнение окружности.
Общее уравнение окружности записывается как:
Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат:
Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой касания.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
Длину окружности с радиусом R можно вычислить по формуле C = 2π R.
Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°.
Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности равен 90°.
Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.
где р (фокальный параметр) – расстояние от фокуса до директрисы
Парабола — кривая второго порядка.
Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе.
Пучок лучей параллельных оси, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. Для параболы с вершиной в начале координат (0; 0) и положительным направлением ветвей фокус находится в точке (0; 0,25).
Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
Парабола является антиподерой прямой.
Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.
· Прямая пересекает параболу не более чем в двух точках.
· Эксцентриситет параболы е=1.
Геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек есть величина постоянная, называют гиперболой.
· Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.
· Каждая гипербола имеет пару асимптот:
· Расстояние от начала координат до одного из фокусов гиперболы называют фокусным расстоянием гиперболы
· Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.Эксцентриситет гиперболы e> 1
· Расстояние от вершины гиперболы до асимптоты вдоль направления параллельного оси ординат называется малой или мнимой полуосью гиперболы
– малая полуось эллипса.
; 
; 
и существует, если 
или 
, 
(от А1 до А2).
; 
и существует, если 
(от В1 до В2).
или 
, 
.
.
, то имеем отрезок А1А2 и 
. Эллипс (при 
) получен равномерным сжатием окружности сверху – снизу.
).
.
– уравнение смещенного эллипса. Центр расположен в т. С(α;β).
ХОУ – старая система координат;
, 
, масштабная единица одна и та же.
; 
. Отсюда 
.
.
а) Каноническое уравнение
