рис. 1 |
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.
- Условия компланарности векторов
- Примеры задач на компланарность векторов
- Какие векторы называют компланарными
- Почему любые два вектора всегда компланарны
- Условие компланарности
- Как вычислить смешанное произведение
- Как применять смешанное произведение
- Смешанное произведение векторов в физике — работа вращающей силы
- Компланарные векторы
- Понятие компланарности векторов
- Теоремы, связанные с условием компланарности трех векторов
- Готовые работы на аналогичную тему
- Признак и критерий компланарности векторов
- Пример задачи
- 🎦 Видео
Видео:Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать
Условия компланарности векторов
Видео:Как проверить лежат ли 4 точки в одной плоскости Аналитическая геометрияСкачать
Примеры задач на компланарность векторов
Решение: найдем смешанное произведение векторов
a · [ b × с ] = | 1 | 2 | 3 | = |
1 | 1 | 1 | ||
1 | 2 | 1 |
= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 — 1·1·3 — 1·1·2 — 1·1·2 = 1 + 2 + 6 — 3 — 2 — 2 = 2
Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.
Решение: найдем смешанное произведение векторов
a · [ b × с ] = | 1 | 1 | 1 | = |
1 | 3 | 1 | ||
2 | 2 | 2 |
= 1·2·3 + 1·1·2 + 1·1·2 — 1·2·3 — 1·1·2 — 1·1·2 = 6 + 2 + 2 — 6 — 2 — 2 = 0
Ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.
Решение: найдем количество линейно независимых векторов, для этого запишем значения векторов в матрицу, и выполним над ней элементарные преобразования
1 | 1 | 1 | ||
1 | 2 | 0 | ||
0 | -1 | 1 | ||
3 | 3 | 3 |
из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3
к 3-тей строке добавим 2-рую
Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
Ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
Видео:Доказать, что точки лежат в одной плоскости - bezbotvyСкачать
Какие векторы называют компланарными
Компланарные векторы – это векторы, которые лежат в одной плоскости, или параллельны какой-либо плоскости.
Рассмотрим три вектора в трехмерном пространстве. Любые два из них будут компланарными всегда. Поэтому, компланарность проверяют минимум для трех векторов.
Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать
Почему любые два вектора всегда компланарны
Поясним факт, что любые два вектора будут компланарными.
Для начала вспомним, какие векторы называют равными. Равны векторы, у которых совпадают три характеристики: длина, направление, соответственные координаты.
При параллельном переносе вектор не поворачивается. Этот новый вектор ( vec<a_> ) будет иметь те же длину, направление и координаты, что и начальный вектор до сдвига. Другими словами, с помощью параллельного переноса можно получить вектор, равный данному вектору.
[ vec = vec<a_> ]
Если два вектора равны, то вместо одного из них мы сможем использовать второй, когда это будет удобным для нас.
Проделаем теперь те же операции с каким-либо другим вектором ( vec ). В результате получим вектор ( vec<b_> ), равный вектору ( vec ).
Любые два вектора можно параллельным переносом сдвинуть так, чтобы совместить их начальные, или конечные точки. Значит, через эти векторы можно провести пересекающиеся прямые. А такие прямые будут лежать в одной плоскости.
Таким образом, любые два вектора всегда компланарны.
Например, любые два орта Декартовой прямоугольной системы координат компланарны, а тройка ортов – некомпланарные векторы. Подробнее об ортах тут (откроется в новой вкладке).
Видео:№53. Три отрезка А1А2 В1В2 и С1С2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину.Скачать
Условие компланарности
Найдем смешанное произведение трех векторов.
Смешанное произведение обозначают так:
[ left( vec , vec , vec right) ]
Если такое произведение будет равно нулю, то три вектора компланарные.
Условие компланарности векторов:
[large boxed < left( vec, vec , vec right) = 0 >]
Как вычислить смешанное произведение
- Нужно любые два вектора перемножить векторным способом, в результате получим новый вектор.
- Этот новый вектор умножаем скалярным способом на оставшийся третий вектор.
Смешанное произведение можно обозначить еще одним способом:
Результат смешанного произведения – это число. Если число равно нулю, то векторы компланарны.
Видео:10 класс, 43 урок, Компланарные векторыСкачать
Как применять смешанное произведение
Если три вектора не компланарны, то на них, как на сторонах, можно построить параллелепипед, или пирамиду.
С помощью смешанного произведения можно рассчитывать объемы параллелепипедов или треугольных пирамид, построенных на трех некомпланарных векторах.
Примечание:
Определитель может быть равен отрицательному числу. А объем может быть либо нулевым, либо положительным. Поэтому, если при вычислении объема определитель будет равен отрицательному числу, знак минус не учитываем.
Рисунок 2 поясняет, как с помощью векторов на ребрах параллелепипеда можно рассчитать его объем
Рисунок 3 поясняет, как с помощью векторов на ребрах пирамиды можно рассчитать ее объем
Видео:ГЕОМЕТРИЯ 11 класс: Компланарные векторыСкачать
Смешанное произведение векторов в физике — работа вращающей силы
Пусть цилиндрическое тело вращается под действием силы. Ось вращения проходит через ось симметрии тела.
Работа вращающей силы – это смешанное произведение векторов ( vec ), (vec ) и (vec )
[ large boxed < dA = left( vecleft[ vec , vec right] right)cdot dt >]
Пояснения:
Линейная скорость – это векторное произведение радиуса окружности на угловую скорость:
Расстояние, ( vec) которое проходит точка при повороте на небольшой угол — – это произведение вектора линейной скорости на скалярную величину – время:
[ vec = v cdot dt ]
Небольшая работа dA – это скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения
[ dA = left( vec cdot vec right)]
Видео:№4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости, а) Могут ли какие-то три изСкачать
Компланарные векторы
Вы будете перенаправлены на Автор24
Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать
Понятие компланарности векторов
Для начала рассмотрим, какие вектора называются компланарными.
Два вектора, которые параллельны одной плоскости называются компланарными.
Рассмотри, компланарны ли векторы a, b и c на следующем примере. Пусть нам даны три вектора $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$. Тогда
Пары векторов $overrightarrow, и overrightarrow$, $overrightarrow$ и $overrightarrow$ и $overrightarrow$ и $overrightarrow$ компланарны между собой.
Если два из этих векторов, к примеру $overrightarrow, и overrightarrow$, коллинеарны, то векторы $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$ компланарны.
Если $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$ лежат в одной плоскости, то они компланарны.
Для дальнейшего рассмотрения напомним следующую теорему.
Произвольный вектор $overrightarrow
$ можно разложить по двум неколлинеарным векторам $overrightarrow, $ и $overrightarrow$ с единственными коэффициентами разложения, то есть
Видео:Правило параллелепипеда для векторовСкачать
Теоремы, связанные с условием компланарности трех векторов
Если один из трех данных векторов можно разложить по двум другим векторам, то есть
Доказательство.
Здесь возможны два случая.
Теорема доказана.
Готовые работы на аналогичную тему
Доказательство.
[overrightarrow=alpha overrightarrow+beta overrightarrow]
Причем это разложение единственно.
Которое также единственно.
Теорема доказана.
Видео:Компланарные векторы. Видеоурок 18. Геометрия 10 классСкачать
Признак и критерий компланарности векторов
Рисунок 1. Условие компланарности векторов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Видео:ГЕОМЕТРИЯ 11 класс: Разложение вектора по трем некомпланарным векторамСкачать
Пример задачи
Пусть нам дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Разложите вектор $overrightarrow$ по векторам $overrightarrow и overrightarrow$.
Рисунок 2. Разложение по векторам. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Решение.
Так как плоскости $(ABC)$ и $_1B_1C_1)$ параллельны, и векторы $overrightarrow$, $overrightarrow и overrightarrow$ параллельны, следовательно, по определению являются компланарными. Тогда, по теореме 1, вектор $overrightarrow$ можно разложить по векторам $overrightarrow и overrightarrow$ единственным образом.
Используя свойства сложения двух векторов, получим
Ответ: $overrightarrow+overrightarrow$.
Пусть нам дан параллелепипед. Найти тройки компланарных векторов, изображенных в параллелепипеде на рисунке ниже.
Рисунок 3. Параллелепипед. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Решение.
Так как векторы $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$ лежат в плоскости $(BOA)$ то эти векторы являются компланарными.
Так как векторы $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow<_1>$ лежат в плоскости $(BOC)$ то эти векторы являются компланарными.
Так как векторы $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$ лежат в плоскости $(COE)$ то эти векторы являются компланарными.
Доказать, что векторы с координатами $left(1, 13, 2right), left(3, -5, 2right)и (5,-1,4)$ компланарны.
Решение.
Применим признак компланарности трех векторов.
Рисунок 4. Нахождение определителя. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Следовательно, это векторы компланарны, ч. т. д.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 27 04 2021
🎦 Видео
Геометрия 10 класс (Урок№18 - Компланарные векторы. Векторный метод решения задач.)Скачать
Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать
Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
10 класс, 45 урок, Разложение вектора по трем некомпланарным векторамСкачать
Геометрия. 10 класс. Коллинеарность и компланарность векторов /13.04.2021/Скачать
Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать