Центр окружности вписанной в четырехугольник совпадает с точкой пересечения диагоналей

Центром окружности, вписанной в четырехугольник, является точка пересечения его диагоналей. Докажите, что этот четырехугольник — ромб.

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Ваш ответ

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,712
  • разное 16,823

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Центр окружности вписанной в четырехугольник совпадает с точкой пересечения диагоналей
    • Четырехугольник
      Центр окружности вписанной в четырехугольник совпадает с точкой пересечения диагоналей
    • Многоугольник
      Центр окружности вписанной в четырехугольник совпадает с точкой пересечения диагоналей

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:#29. Регион ВсОШ 2023, 9.5Скачать

    #29. Регион ВсОШ 2023, 9.5

    Вписанная в четырехугольник окружность

    Описанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются окружности. При этом окружность называется вписанной в четырехугольник.

    Какими свойствами обладает вписанная в четырехугольник окружность? Когда в четырехугольник можно вписать окружность? Где находится центр вписанной окружности?

    В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.

    Центр окружности вписанной в четырехугольник совпадает с точкой пересечения диагоналейВ четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если

    И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:

    то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

    Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

    Центр окружности вписанной в четырехугольник совпадает с точкой пересечения диагоналейO — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.

    AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD,

    то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д.

    3. Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины.

    Центр окружности вписанной в четырехугольник совпадает с точкой пересечения диагоналейAM=AN,

    Центр окружности вписанной в четырехугольник совпадает с точкой пересечения диагоналей

    Центр окружности вписанной в четырехугольник совпадает с точкой пересечения диагоналей

    Центр окружности вписанной в четырехугольник совпадает с точкой пересечения диагоналей

    Центр окружности вписанной в четырехугольник совпадает с точкой пересечения диагоналей

    Центр окружности вписанной в четырехугольник совпадает с точкой пересечения диагоналей

    5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой

    Центр окружности вписанной в четырехугольник совпадает с точкой пересечения диагоналей

    где p — полупериметр четырехугольника.

    Так как суммы противолежащих сторон описанного четырехугольника равны, полупериметр равен любой из пар сумм противолежащих сторон.

    Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и

    Центр окружности вписанной в четырехугольник совпадает с точкой пересечения диагоналей

    Центр окружности вписанной в четырехугольник совпадает с точкой пересечения диагоналей

    Соответственно, радиус вписанной в четырехугольник окружности равен

    💥 Видео

    Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

    Вписанные четырехугольники. 9 класс.

    #26. EGMO-2022, Problem 6Скачать

    #26. EGMO-2022, Problem 6

    Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

    Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

    Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

    Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

    3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

    3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

    Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 70Скачать

    Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 70

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

    Вписанный в окружность четырёхугольник.

    Тема 9. Вписанные и описанные четырехугольникиСкачать

    Тема 9. Вписанные и описанные четырехугольники

    Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)Скачать

    Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)

    Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

    Построить описанную окружность (Задача 1)

    Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

    Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

    Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия
    Поделиться или сохранить к себе: