Как вписать эллипс в четырехугольник

Среди центральных кривых второго порядка особое место занимает эллипс, близкий к окружности, обладающий похожими свойствами, но всё же уникальный и неповторимый.

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Определение и элементы эллипса

Множество точек координатной плоскости, для каждой из которых выполняется условие: сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, называется эллипсом.

По форме график эллипса представляет замкнутую овальную кривую:

Наиболее простым случаем является расположение линии так, чтобы каждая точка имела симметричную пару относительно начала координат, а координатные оси являлись осями симметрии.

Отрезки осей симметрии, соединяющие две точки эллипса, называются осями. Различаются по размерам (большая и малая), а их половинки, соответственно, считаются полуосями.

Точки эллипса, являющиеся концами осей, называются вершинами.

Расстояния от точки на линии до фокусов получили название фокальных радиусов.

Расстояние между фокусами есть фокальное расстояние.

Отношение фокального расстояния к большей оси называется эксцентриситетом. Это особая характеристика, показывающая вытянутость или сплющенность фигуры.

Видео:Свойство и признак вписанного четырехугольникаСкачать

Основные свойства эллипса

имеются две оси и один центр симметрии;

при равенстве полуосей линия превращается в окружность;

все точки фигуры лежат внутри прямоугольника со сторонами, равными большой и малой осям эллипса, проходящими через вершины параллельно осям.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Уравнение эллипса

Пусть линия расположена так, чтобы центр симметрии совпадал с началом координат, а оси – с осями координат.

Для составления уравнения достаточно воспользоваться определением, введя обозначение:

а – большая полуось (в наиболее простом виде её располагают вдоль оси Оx) (большая ось, соответственно, равна 2a);

c – половина фокального расстояния;

M(x;y) – произвольная точка линии.

В этом случае фокусы находятся в точках F1(-c;0); F2(c;0)

После ввода ещё одного обозначения

получается наиболее простой вид уравнения:

a 2 b 2 — a 2 y 2 — x 2 b 2 = 0,

a 2 b 2 = a 2 y 2 + x 2 b 2 ,

Параметр b численно равен полуоси, расположенной вдоль Oy (a > b).

В случае (b b) формула эксцентриситета (ε) принимает вид:

Чем меньше эксцентриситет, тем более сжатым будет эллипс.

Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Площадь эллипса

Площадь фигуры (овала), ограниченной эллипсом, можно вычислить по формуле:

a – большая полуось, b – малая.

Видео:11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

Площадь сегмента эллипса

Часть эллипса, отсекаемая прямой, называется его сегментом.

, где

(xo;y0) – крайняя точка сегмента.

Видео:Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружностьСкачать

Длина дуги эллипса

Длина дуги находится с помощью определённого интеграла по соответствующей формуле при введении параметра:

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Радиус круга, вписанного в эллипс

В отличие от многоугольников, круг, вписанный в эллипс, касается его только в двух точках. Поэтому наименьшее расстояние между точками эллипса (содержащее центр) совпадает с диаметром круга:

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Радиус круга, описанного вокруг эллипса

Окружность, описанная около эллипса, касается его также только в двух точках. Поэтому наибольшее расстояние между точками эллипса совпадает с диаметром круга:

Онлайн калькулятор позволяет по известным параметрам вычислить остальные, найти площадь эллипса или его части, длину дуги всей фигуры или заключённой между двумя заданными точками.

Видео:Как поделить окружность на 3 равные части. Очень просто. Уроки черчения.Скачать

Как построить эллипс

Построение линии удобно выполнять в декартовых координатах в каноническом виде.

Строится прямоугольник. Для этого проводятся прямые:

Сглаживая углы, проводится линия по сторонам прямоугольника.

Полученная фигура есть эллипс. По координатам отмечается каждый фокус.

При вращении вокруг любой из осей координат образуется поверхность, которая называется эллипсоид.

Видео:Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

7 способов перспективного рисования

При более крупных масштабах рисунка нужно отойти дальше. Контролируя рисунок, глаза нужно прищурить, как и при способе уточнения. Бумага должна лежать перпендикулярно по отношению к направлению взгляда.

Предлагаем Вам рассмотреть 7 способов перспективного рисования. Рисование перспективы кувшина.

Знакомство с семью главными способами, с помощью которых мы наблюдаем, опознаем, наносим, изображаем и проверяем предметы, не является самоцелью, а служит лишь подготовкой к их использованию при решении конкретных задач.

Рисовальщики смогут без затруднений решать какие-угодные перспективные задачи, если правильное применена этих семи способов станет для них навыком. Без правильного усвоения и отработки их нельзя добиться удовлетворительных результатов.

Примеры использования рисовальщиками приемов и навыков, приводимых ниже, не исчерпывают возможных вариантов. Предложенный метод рисования не является единственным.

Какие из описанных способов и навыков и в каком объеме педагог использует при работе с детьми, зависит от возраста учащихся, от степени их развития, от умения учителя использовать материал, от целей обучения, от намеченной степени точности и т. д. Если рисунок должен быть точным, значит и действие должно быть точным.

Учитель сам решает, какие способы и в какой последовательности следует применять соответственно подготовленности учеников. Положительным оказалось использование всех приведенных способов с учащимися в возрасте от 12 лет и больше. Некоторые способы усваивали даже одиннадцатилетние ученики.

Допустимо, чтобы и самоучки рисовали с натуры, используя семь способов при перспективном изображении вертикальных прямых, делениях, но они должны уметь изображать фасадные плоскости, знать пропорциональность размеров поверхности.

В школьной практике оправдал себя такой метод, когда обучение перспективному рисованию начинают с изображения цилиндрических тел и лишь после этого переходят к многогранным.

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

Способы изображения небольших круглых тел

Это упражнение удобно проводить на индивидуальных моделях, которые учащиеся изготовили в кружках под руководством учителя. Из карболитовой дощечки вырезывается круг и шлифуется так, чтобы он мог свободно вращаться вокруг горизонтальной оси (таковой могут быть воткнутые в дощечку булавки).

Дощечку можно вставить в деревянную подставку так, чтобы вращательная ось была вертикальной. Удобный размер стороны квадрата – 250 мм, радиус вырезанного круга–105 мм 7.

1-е упражнения по рисованию

Необходимо нарисовать подвижной круг в разных положениях.

Кстати, как рисовать круг в перспективе, мы уже рассматривали в отдельной статье ранее. Поставить модель с квадратом фасадно. Внутренний круг повернуть перед учащимися с основного положения фасадно до горизонтали. Ученики видят его как окружность, сужающуюся в эллипс.

Размер СD они могут сравнить с АВ либо наглядно, либо сопоставлением размеров СD и АВ (рис. 1). Размер СD можно получить на рисунке, если поворачивать любую окружность с диаметром АВ. Затем следует проверить или измерить отношение СD к АВ на модели.

После того, как измерением установлено, что СD равно половине АВ, на рисунке АВ делят пополам и получают величину изображения СD. При школьном рисовании нет необходимости уделять внимание теории перспективного сокращения между DS и СS. Мы сравниваем весь радиус СD. Рисунок 1 — Подвижный круг в разных плоскостях.

Если повернуть квадрат нефасадно, возникнут дальнейшие варианты, но их следует объяснять более подготовленным ученикам. Квадратная доска будет в положении вертикально-фасадном, внутренний же круг будет либо в положении вертикальном, горизонтальном, нефасадном, либо в фасадном.

Эти задачи также не следует считать самоцелью.

Их нужно рассматривать как упражнения для выработки системы навыков самостоятельной работы. Как образуется и изменяется размер оси эллипса в соответствии с движением цилиндрического тела вертикально к плоскости наблюдения, выше над ней или ниже – все эти явления нужно наблюдать с учащимися индивидуально и коллективно, прежде чем установить размеры измерением.

Рисование эллипса

Рисование эллипса следует начинать, после того, как для учащихся этот процесс становится вполне ясным. Впоследствии ученики лучше поймут, как изображать перспективно круг в разных положениях, будет ли он на горизонтали, близко к ней, или удален от нее.

Когда определено, что меньший отрезок оси эллипса можно нанести на основной размер оси более одного раза или несколько раз, в то время, как нередко малая ось эллипса увеличивается так, что она откладывается на большей оси меньшее количество раз, ученики не должны измерять эти величины, а определять их соотношение размеров делением или умножением – 1:4, 1 : 1 и т. д.

Подобным же образом следует продемонстрировать учащимся движение круга по горизонтальной плоскости в направлении от глаза вдаль и проанализировать эти явления. Рисунок 2 — Рисование эллипса.

Прежде чем рисовать цилиндрические тела в нефасадном положении, необходимо показать и нарисовать вертикальный квадрат с вписанной в него окружностью в нефасадном положении.

Ось эллипса на рисунке не совпадает с осью вращения, а будет наклоняться к острым углам перспективного квадрата. Правильно нарисовать эллипс – задача нелегкая. В геометрическом черчении для более легкого построения эллипса иногда применяют такие методы:

1. 1. Построить эллипс с помощью бумажной полоски. На полоску бумаги наносятся отрезки, равные половине оси (рис. 3 слева вверху) так, что МS = а (главная полуось эллипса), РМ = b (вспомогательная полуось эллипса). Если точка S проходит через вспомогательную ось, а одновременно точка Р через главную ось, точка М образует окружность эллипса.
   2. Если нужно вписать эллипс в заданный четырехугольник (рис. 3 справа вверху) так, что прямые AВ, СD являются его осями, можно применять такие способы:
      • рисование эллипса с помощью нитки. Расстоянием АS = СF1 = СF2 = а (длина главной полуоси большого радиуса) определяем фокусы эллипса F1, F2. В них находятся концы нити длиной 2а. Натягивая нить грифелем карандаша, одновременно постепенно вписываем полуэллипс в половине квадрата АВ, С и вторую половину эллипса в квадрате АВ, D.
      • метод вписанных окружностей в вершинах главной и вспомогательной осей.

Перпендикуляр на диагональ АС четырехугольника АSСА’ опустим в центр вписанной окружности О, точку О’. Короткие дуги окружности дополняем в нужный нам эллипс (рис. 3 — снизу). Рисунок 3 — Эллипс от руки.

Точность нарисованного от руки эллипса проверяется обычно при помощи полоски бумаги или начертанием эллипса с помощью дуг в конечных точках главной и вспомогательной осей. Основанием для этого второго метода является описанный выше метод вписанных окружностей. Эллипсы в рисовании не вычерчиваются, а рисуются.

Видео:Как начертить овал. Эллипс вписанный в ромбСкачать

Рисование цилиндра в плоскости

1-й способ. В контурном рисовании для учащихся школ I ступени мы изображали цилиндр в виде четырехугольника, при этом верхнюю и нижнюю его круглые площади изображали как горизонтальные прямые. Соотношение размеров четырехугольника учащиеся чаще всего устанавливали на глаз.

При перспективном рисовании цилиндра на II ступени обучения учащиеся опять могут исходить из профильного изображения цилиндра четырехугольником, основание которого они рисуют по своему представлению. На верхней основе, верхнем эллипсе, малая ось его сопоставляется с большой.

Если эллипс в пять раз меньше изображения ширины верхней основы, учащиеся разделят его на своем рисунке на пять частей. Одну пятую они нарисуют как отображение высоты верхнего эллипса. На нижней основе цилиндра, которую рисуют на бумаге, подложенной под цилиндр, сопоставляют малую ось с большой, если перед этим цилиндр сдвинули с бумаги, на которой нет отображения нижней площади цилиндра.

Этот эллипс будет казаться выше (рис. 4). Рисунок 4 — Рисование цилиндра карандашом.

При сопоставлении окажется, что высота вмещается в ширине меньшее количество раз. По этому сопоставлению следует разделить отображение ширины на рисунке и нарисовать эллипс.

2-й способ. Устанавливается вспомогательный четырехугольник, в который врисовывается весь цилиндр с обоими основаниями. Эта вторая возможность легче воспринимается в тех классах, где учащиеся позже будут рисовать вращающееся тело в профиль и этот рисунок будет заканчиваться боковым силуэтом.

Выполнение. Под основание цилиндра подкладывается бумага так, чтобы передний ее конец был горизонтально-фасадным. На ней заштриховывается дно цилиндра. Учащиеся устанавливают и указывают высшую точку У, низшую X, боковую левую А, боковую правую В (рис. 4).

В низшей точке X проводят на подложенной бумаге вспомогательную фасадную горизонтальную прямую АХВ. На ней отмечаются и обозначаются проекции крайних точек ширины цилиндра, при этом один глаз закрыт, другой – прищурен. Находящийся в согнутой руке в вертикальном положении карандаш двигаем таким образом, чтобы он совпадал с прямой поверхностью цилиндра А.

Вертикально поставленный карандаш продвигается по горизонтальной плоскости до положения ОАа. Горизонтальная прямая основания цилиндра, проходящая в нижней проекции точки цилиндра, уже обозначена на подложенной бумаге в точке А.

Если нужно показать проекцию поверхности цилиндра b на прямую, которая проектируется на низшую точку X, тогда на горизонтально-фасадную прямую b прежде всего нужно смотреть так, чтобы удерживаемый вертикально карандаш совпадал с прямой поверхностью и ее проекцией А.

Затем, не поворачивая головы, нужно приложить карандаш, удерживаемый в согнутой руке, на прямую поверхность b, подобно тому, как это делалось раньше на поверхность а. После этого и получаем проекцию В. Ее мы затушевываем на бумаге и проверяем правильность изображения обратным действием.

Анализ упражнения. Учащиеся ведут наблюдение с одной точки. Карандаш держат в согнутой руке (если его держать в вытянутой руке, невозможно охватить столь значительную плоскость). Перед каждым учеником модель цилиндра.

Действием № 1 он устанавливает высшую точку Y и низшую X. Расстояние между ними является высотой вспомогательного четырехугольника. Сторона вспомогательного четырехугольника устанавливается так: вертикально стоящий фасадный карандаш с прямой поверхностью а и глазом О образовали воображаемую плоскость, направленную от глаза к прямой а. Карандаш, глаз и прямая поверхность а пересекут горизонтальную плоскость в линии пересечения ОА.

Если приложить карандаш к центру цилиндра, получим плоскость ОХY, при дальнейшем движении карандаша так, чтобы он совпадал с прямой поверхностью b, образуется воображаемая плоскость ОВb. Линия пересечения этой плоскости с плоскостью горизонтальной является прямой ОВb. Отрезок АВ является проекцией ширины цилиндра и основой вспомогательного четырехугольника.

В этом отрезке представляется вспомогательная фасадная плоскость, в которой находится вспомогательный четырехугольник для данного цилиндра. В этом случае сторона вспомогательного четырехугольника является горизонтальной фасадной прямой на подложенной бумаге, которая проходит через проекцию низшей точки тела. Ее крайние точки образуют проекции левой и правой крайней прямой поверхности тела.

Таково положение и с высотой. Высотой вспомогательного четырехугольника является расстояние перпендикуляров, опущенных с точки, которая кажется нам высшей, к ее проекции на вспомогательной горизонтальной фасадной прямой, которая проходит через проекцию низшей точки тела. Размеры вспомогательного четырехугольника учащиеся определяют путем сравнения меньшей его стороны с большей.

Если окажется, что в длинной стороне четырехугольника высота его укладывается 1,5 раза, то его можно нарисовать так: отложить удобную произвольную ширину четырехугольника и считать ее основанием, а взяв высоту его в 1,5 раза меньшую, строить вспомогательный четырехугольник.

Можно поступить и иначе: любую, удобную в данном случае высоту разделить бумажной полоской так, чтобы на большей части можно было отложить высоту 1,5 раза. Это и будет искомой шириной вспомогательного четырехугольника. Если при измерении мы уложились в высоте дважды, нужно затем на рисунке разделить взятую высоту также на две части, одна из частей и будет искомой шириной.

На подложенной под модель бумаге прямая, идущая к глазу, – это направление вертикального карандаша. Она на рисунке является вертикальной стороной или высотой вспомогательного четырехугольника. На рисунке обе вертикальные стороны вспомогательного четырехугольника проверяются вертикально поставленным карандашом.

На III ступени обучения учащимся нужно это правило подчеркнуть. Когда правильно построен вспомогательный четырехугольник, ученики проводят вертикальную ось тела. Затем определяют и изображают его основания. На вертикальной оси цилиндра сопоставлением устанавливается соотношение осей верхнего, видимого эллипса.

Если установят, что меньшая ось откладывается на большей 6 раз, под рисунком замечают: 1 : 6 (это учащиеся обычно забывают). Потом ширину проекции цилиндра делят на 6 частей (примерно на глаз, а проверяют бумажкой) и одну шестую часть наносят от высшей горизонтальной прямой на вертикальную ось вспомогательного четырехугольника.

В изображенный четырехугольник вписывают эллипс. Если нужно определить нижний эллипс, измеряют его величину так, как он зарисован на подложенной бумаге. Модель на это время отодвигают. Зарисовка основания модели необходима при рисовании групп предметов, особенно многоугольных.

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Упражнение: определить и изобразить проекцию самой низкой точки тела.

Чтобы определить, куда спроектируется точка из пространства на подложенную под модель бумагу, можно пользоваться способами, показанными на рис. 5.

На нем показаны проекции точек, кажущихся наблюдателю самыми низкими. Рисунок 5 — Проекции точек при перспективном рисовании.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Рисование перспективы кувшина

Определяем и рисуем:

1. четырехугольник для всего предмета (без ушка) и ось его;
2. эллипсы (прежде всего их ближайшие точки F, G);
3. контурные линии и ушко.

• На подложенной под моделью бумаге зарисуем дно кувшина. Через низшую точку на подложенной бумаге проведем вспомогательную фасадную прямую, на ней нанесем проекции крайних точек. Измеряем наибольшую ширину кувшина до ЕF на модели (полтора раза). Если изберем удобный для нас размер ширины, то есть прямой ВС, нанесем это расстояние от Е вверх полтора раза, обозначим точку 1 и начертим вспомогательный четырехугольник, в котором проведем 1Е. Этим будет выполнен пункт а) анализа.
• Измеряем на модели, сколько раз откладывается а–b в Е1 или в АD. Здесь будет наиболее удобно соизмерить а – b с АD. На рисунке разделим пополам АD; а – b равно половине АD. Действием № 2 или измерением устанавливаем, что дно кувшина имеет такую же ширину, как и горло. Изобразим ширину дна, определяем положение точек G, F, а потом точки I. Когда определим, что GF равно одной трети 1Е, разделим на своем рисунке отрезок 1Е, который у нас уже изображен, на соответствующее количество частей. Одно деление будет искомым изображением 1F. Отображение точки G найдем соизмерением на модели 1G с а–b. Потом разделим ширину эллипса на такое же количество частей. Одна целая часть будет искомой вы-сотой эллипса. Нарисуем видимый самый верхний эллипс. Затем отодвинем кувшин и сопоставим с шириной нижнего эллипса (на модели). Одна часть ширины будет искомой высотой нижнего эллипса. Поскольку средний эллипс мы не можем измерить, определим его высоту на глаз. Высоту снова изображаем с помощью осей. Определяем и наносим их ближайшие точки, рисуем на большой оси эллипса дуги в точках касания и соединяем их с дугами, проходящими через концы малой оси (рис. 6).
• Контурную линию изображаем так, чтобы целый эллипс, проходящий через точку F, находился в шаровидной части кувшина. Если мы хотим нарисовать кувшин без соблюдения пропорций и измерений, то должны начинать с наибольших частей, то есть с шаровидной части, к которой уже дорисовываем горлышко и ушко (рис. 6).

Рисунок 6 — Рисование кувшина карандашом.

Модель всегда можно сопоставить с тем, что изображено на рисунке. Вернее всего было бы сопоставлять их всегда с одним и тем же основным размером.

Однако иногда необходимо сопоставлять с тем размером на модели, который удобнее всего для этого, то есть при делении которого у нас получаются половины, третьи и даже шестые, а при умножении целые части.

Видео:Построение равностронего треугольника.Скачать

Рисование перспективы бокала

Точно так же, как и с кувшином.

Одинаковое выполнение задания. Измерением на модели создаем четырехугольник: АD равна половине ЕJ. Ширина верхнего отверстия и глубина бокала одинаковы, АD = = JF. Точка F лежит посредине JЕ. IG равна одной трети 1Е. При сопоставлении эллипсов устанавливаем, что IJ равна одной шестой АD; КЕ равна одной трети ВС (рис. 7). Рисунок 7 — Рисование бокала карандашом.

• На рисунке мы избрали произвольное изображение удобной высоты JЕ. Точка F делит высоту пополам. AD ПО длине равняется JF. Нарисуем вспомогательный четырехугольник и его ось.
• Измерением мы разделили JF пополам, определили и показали точки F, I, К и G. Нарисовали четырехугольник и для эллипсов, в них – оси, а в точках касания нужные нам дуги и потом эллипсы верхнего отверстия и основания подставки.
• Контур чаши точно определяет ширину эллипса. Малая ось этого эллипса равна одной пятой большой оси, что определяем на глаз.

Следует обратить внимание на то, что рисунок ножки проходит к изображению основания через большую ось нижнего эллипса. Рисунок 8 — Рисование части бокала.

Если размеры бокала другие, следует рисовать по результатам, полученным измерением чаши с помощью вспомогательного четырехугольника. При измерении через низшую точку бокала на подложенной бумаге проводится горизонтальная фасадная прямая, на ней проектируется крайняя левая и крайняя правая точки.

Этим самым на подложенной бумаге устанавливается искомая ширина модели или ширина вспомогательного четырехугольника АВ. На модели АВ сравнивается с ЕF. Этим действием определяем высоту вспомогательного четырехугольника, а потом делением находим ширину изображаемого предмета. Измеряется изображаемое расстояние в промежуточных высотах в точках G, Н, J. Сопоставлением с высотой определяется ширина верхнего отверстия JK и ножки АВ. Высота на рисунке делится на такое количество частей, где одна целая часть будет искомым размером. FН сопоставляется с JК. На рисунке JК делится на такое же количество частей, один отрезок проводится вниз от F. Рисуется эллипс верхнего отверстия. JЕ сопоставляется с АВ.

На рисунке АВ делится на такое количество частей, чтобы одна часть являлась отображением искомого размера IЕ. Рисуется нижний определенный эллипс LМ измерением ЕF или сопоставлением с АВ. На рисунке из точки G проводится кривая к J и к K.

Рисуется часть окружности возле точки I, а затем ножка. Дорисовываются детали (толщина стекла, ножки, междукружия, промежуточные отверстия).

Задание: нарисовать цилиндр в горизонтальном нефасадном положении.

Действием № 4 наносим направление прямых поверхности р’ и р». Расстояние между ними разделим пополам и определим ось о. Большие оси эллипсов а, b являются перпендикулярами оси о. (У вертикально стоящих цилиндров эти оси тоже перпендикулярны.)

Отношение малой вспомогательной оси к основной большой оси переднего видимого эллипса лежащего цилиндра определяем измерением. Точно так же определяем отношение большой оси переднего эллипса к длине цилиндра.

Если большая ось эллипса меньше, сопоставляем а с АZ. Затем на рисунке наносим отрезок а на ось о в таком отношении, какое мы получили при соизмерении. Рисунок 8 — Соотношение размеров.

Соотношение размеров на ближайшем основании поддается измерению, соотношение же размеров отдаленного основания определяется на глаз или измеряется по оси тела. Если вертикальная ось проходит ближе к эллипсу а, чем к b, для нее действительны те же аналогичные перспективные правила, что и для окружности, находящейся близко к горизонтали в горизонтальном положении (рис. 8).

У основания, близкого к вертикали, большую и малую оси можно определить соотношением в несколько раз, поскольку вспомогательная ось эллипса кажется меньшей (рис. 9). У основания, отдаленного от вертикали, размеры малой оси эллипса можно отложить меньшее количество раз. Рисунок 9 — Вспомогательная ось эллипса.

Это положение представляется учащимся очень трудным, особенно при значительном уменьшении величины АZ. Это в основном бывает в том положении цилиндра, когда ближайшее основание мы видим почти фасадно.

Ученикам уже известно, что при повороте окружности в нефасадное положение один размер сокращается, но обычно не известно, какая ось сокращается. Более короткой всегда кажется та ось эллипса, направление которой совпадает с осью тела. Сначала мы определяем и рисуем оси тела, потом перпендикуляры к ним, то есть оси эллипса.

Видео:Построение 8 угольника циркулемСкачать

Рисуем шар и полусферу

Изображаем шар в виде окружности. Плоскостной разрез, проходящий через центр шара, не является горизонтальным. Направление большой оси эллипса определяем визуальным способом, известными нам действиями № 3 и 4 и наносим на рисунок изображение шара.

Малая ось эллипса является перпендикуляром к большой. Расстояние между конечными точками малого эллипса сопоставляем с большой осью, а потом в таком же соотношении делим большую ось на рисунке и изображаем длину малой оси эллипса.

Видео:Геометрия - Построение правильного треугольникаСкачать

Изображаем кольцо на цилиндрическом сосуде

Чтобы изобразить кольцо, мы должны нарисовать на низком цилиндре два эллипса: верхний и нижний.

Они как бы соединены круглым кольцом, охватывающим расстояние от самой верхней точки рисунка до самой низшей (рис. 10 — слева). Рисунок 10 — Кольцо на цилиндре

Видео:Овал по заданным осям . Геометрические построения.Скачать

Рисование усеченного конуса

Нижнее основание усеченного конуса рисуем на подложенной бумаге, на которой потом определяем размеры его. Когда создан эллипс основания, ставим модель на прежнее место, наносим боковые направления, измерением устанавливаем соотношение размеров нижнего и верхнего оснований.

Низшую точку верхнего эллипса R мы определили уже раньше измерением на модели. Убеждаемся в том, что боковые прямые поверхности являются касательными эллипса и что они не выходят ни из точки А, ни из точки В, а из точек С и D (рис. 10 справа).

Видео:Построение пятиугольника циркулемСкачать

Рисование конуса, лежащего в нефасадном положении

Следует поступать, как и в задании № 6 при рисовании цилиндра в нефасадном положении. Наносим направления а, b, YХВ. Проведем СD – перпендикуляр к YВ. Сравним YВ с СD сопоставляем также АВ с CD (АВ будет короче, потому что она лежит на оси тела, которая нам кажется укорачивающейся).

Сравним измерением YА с АВ и YА с YВ. Рисуем эллипс и проверяем.

Видео:КАК РИСОВАТЬ ЭЛЛИПСЫ. Простой и быстрый способ рисования ЭЛЛИПСОВСкачать

Рисуем усеченный конус, лежащий на выпуклости в нефасадном положении

Начало работы в этом задании сходно с предыдущим: наносим направления боковых линий к оси. Затем опускаем перпендикуляры к оси тела, определяем и рисуем видимый эллипс. (О соотношении осей невидимого эллипса см. анализ задания № 6.)

Крайнюю точку видимого эллипса Y отыскиваем сравнением АВ с ХY. Сравниваем на глаз и соизмеряем. Ось тела опять является осью симметрии угла вершины.

Рисуем предметы быта

Рисование геометрических тел является подготовкой к изображению предметов быта, формы которых обычно являются комбинациями форм различных геометрических тел. Можно рисовать малые предметы, кухонную посуду, стекло, предметы быта в различных положениях, части машин и т. д.

Последовательность работы. Формы геометрических тел мы изображаем известным способом. Таким же способом рисуем наибольшую часть заданного предмета, потом дорисовываем детали. Идем от целого к частям. Основу предмета делим на части.

При рисовании кухонной посуды обращаем внимание на то, чтобы ушко предмета было расположено симметрично по отношению к середине эллипса (рис. 11). Следует заметить, что верхняя плоскость ушка своей осью направлена к центру вспомогательного эллипса.

Отмечаем и проводим прямую, которая определяет размеры всего предмета вместе с ушком. Рисунок 11 — Рисование бытовых предметов карандашом.

В этой работе особенно необходимы вспомогательные направления для лежащих предметов.

На рис. 11 изображены два такие положения. Верхние края кружки имеют кольцевидную форму. При изображении деталей машин нужно показать перспективу междукружия верхнего и нижнего оснований.

На рис. 11 изображена часть зубчатого колеса. Когда все эллипсы точно нарисованы, определяем положение вершины зубцов на глаз и измерением. От их вершин к центру эллипса проводим соединительные прямые. Это и будут оси зубцов. Их ширину точно определяем на обоих эллипсах междукружия. Когда мы изобразили высоты зубцов, рисуем форму зубцов на отдаленном основании, проведя от ближайших точек зубцов перспективные прямые к отдаленным точкам.

Если нам нужно изобразить поверхность шарообразных тел, проводим через центр шара, как при рисовании чаши, вспомогательные оси. Если плоскости этих окружностей будут перпендикулярны друг к другу, необходимо, чтобы и оси эллипсов были также перпендикулярными.

На рис. 12 фрукты тоже имеют приблизительно шарообразную форму. Действием № 1 определяем, насколько выше кажется нам груша, чем яблоко. Следует предостеречь учащихся от возможной ошибки – неверной схематизации форм. Рисунок 12 — Рисуем фрукты карандашом.

Точно так же на рисунке 13 видно, как действием № 1 удобно уточнять свое наблюдение и начинать перспективное изображение форм, которые находятся ближе всего к глазу передней фасадной части предмета.

Как и при рисовании геометрических тел, так и при изображении различных предметов не следует завершать окончательных линий, пока не нарисуем весь предмет упрощенно, хотя бы начерно или основную его форму.

И при рисовании повернутых или наклоненных голов удобно и целесообразно начинать с расположения в плоскости общего рисунка шарообразных предметов. Рисунок 13.

На последнем видим, что иногда для сохранения размещения предмета на рисунке следует использовать вспомогательные эллипсы или многоугольники, с помощью которых можно лучше определить общий вид и размеры изображаемых предметов.

Можем использовать и так называемую «блокировку», если она не понимается формалистически.

Love Soft

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Навигация

Загрузки всякие

Связь

Содержание

Четырехугольник

Мнемоника

для запоминания условий, для того чтобы можно было вписать или описать окружность в четырехугольнике, у меня в опорном конспекте (и отложилось, фактически само по себе, в голове): две картинки: дорожный знак «кирпич», на котором написано 180. И вторая картинка, это инопланетянин в квадратном шлеме с плюсами вместо ушей. Ну и чем более абсурдный образ, тем лучше. Я никогда не перепутаю эти условия потому что, например, знак «кирпич» — окружность снаружи, а надпись 180 – означает суму противоположных углов.

Окружность вписанная в четырехугольник

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

Наоборот: если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов четырехугольника.

Почему нельзя вписать окружность?

в отличие от треугольника, далеко не во всякий четырехугольник можно поместить окружность так, чтобы она касалась всех его сторон.

Треугольник всегда является описанным – потому что во всякий треугольник можно вписать окружность. Чем же четырехугольник-то хуже? И вот оказывается, что чем-то, да хуже.

Представь себе, например, длинный прямоугольник. Как вот в него, спрашивается, можно вписать окружность? Конечно, никак. И это лишь один из примеров четырехугольника, в которой НЕЛЬЗЯ вписать окружность.

Задача

Окружность, описанная около четырехугольника

Если около выпуклого четырехугольника описана окружность, то сумма его противоположных углов равна ∠ϕ+∠γ=180∘.

И наоборот: Если сумма двух противоположных углов выпуклого четырехугольника равна ∠ϕ+∠γ=180∘, то около него можно описать окружность.

Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Около выпуклого четырехугольника описана окружность ⇔ ∠α=∠β.

Площадь вписанного четырехугольника вычисляется по формуле

где a, b, c, d – его стороны, p — полупериметр

Задача 1

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Задача 2

Стороны AB, BC, CD, AD четырехугольника ABCD стягивают дуги описанной окружности, градусные меры которых равны соответственно 95 ∘ ,49 ∘ ,71 ∘ ,145 ∘ . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Угол B четырехугольника равен вписанному углу ABC. Этот угол опирается на дугу ADC, равную 145 ∘ +71 ∘ =216 ∘ . Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то ∠B=∠ABC=108 ∘ .

Задача 3

Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB,BC,CD,DA, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Так как дуги AB,BC,CD,DA относятся как 4:2:3:6, то можно принять дугу AB за 4x, дугу BC за 2x, дугу CD за 3x и дугу DA за 6x. Так как все эти дуги в совокупности дают целую окружность, градусная мера которой равна 360∘, то 4x+2x+3x+6x=360∘, откуда x=24∘. Угол A равен вписанному углу BAD, опирающемуся на дугу BCD, равную 2x+3x=5x=120∘. Так как вписанный угол равен половине этой дуги, то ∠A=60∘.

Центр тяжести

Центр тяжести системы материальных точек — обозначим через $m_k$ — массы точек, $x_k, y_k, z_k$ — координаты точек.

К каждой из точек приложен вектор величины $m_k$, все векторы параллельны и направлены в одну сторону.

Центр этих векторов есть точка с координатами $$M_x = sum m_k x_k, M_y = sum m_k y_k, M_z = sum m_k z_k$$

Если все точки имеют одинаковую массу, то $M = sum m_k$ — масса всей системы, тогда

$$M_x = M sum x_k, M_y = M sum y_k, M_z = M sum z_k$$

В математике и физике барицентр или геометрический центр области — это среднее арифметическое положений всех точек фигуры.

Неформально — это точка равновесия фигуры, вырезанной из картона в предположении, что картон имеет постоянную плотность и гравитационное поле постоянно по величине и направлению.

Центр масс (и центр тяжести в постоянном гравитационном поле) является средним арифметическим всех точек с учётом локальной плотности или удельного веса. Если физический объект имеет постоянную плотность, то его центр масс совпадает с барицентром фигуры той же формы.

Геометрический барицентр выпуклого объекта всегда лежит внутри объекта. Невыпуклый объект может иметь барицентр, лежащий вне фигуры. Барицентр кольца или миски, например, лежат вне фигуры.

Барицентр объекта лежит на пересечении всех его гиперплоскостей симметрии. Барицентры многих фигур (правильный многоугольник, правильный многогранник, цилиндр, прямоугольник, ромб, окружность, сфера, эллипс, эллипсоид, суперэллипс, суперэллипсоид, и т.д.) можно найти исходя исключительно из этого принципа.

В частности, барицентром параллелограмма является пересечение диагоналей. Вообще говоря, это неверно для других четырёхугольников.

Распределительное свойство центров тяжести

Если разделить систему материальных точек S на дне части S’ и S«, то ее центр тяжести есть в то же время центр тяжести двух масс М’ и М» систем S’ и S«, помещенных соответственно в центрах тяжести этих двух систем.

Центр тяжести четырехугольника

Центр тяжести площади четырехугольника определяется пересечением двух прямых, которые мы получаем, используя распределительное свойство центров тяжести.

Сначала делим четырехугольник диагональю на два треугольника. Центр тяжести четырехугольника лежит на прямой, соединяющей центры тяжести этих треугольников. Это первая искомая прямая.

Вторая искомая прямая получается аналогичным образом — разбивая четырехугольник на треугольники второй диагональю.

Центроид (барицентр или центр масс) произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника и отрезка, соединяющего середины диагоналей, и делит все три отрезка пополам.

Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершины.

Метод отвеса

Барицентр однородной плоской фигуры, такой как на рисунке ниже, можно найти экспериментально с использованием отвеса и булавки. Пластина удерживается булавкой, вставленной ближе к периметру так, чтобы пластина могла свободно вращаться. Отмечаем на пластине прямую, которую образует отвес, прикреплённый к булавке. Проделываем то же самое с другим положением булавки. Пересечение двух прямых даст барицентр.

Метод балансировки

Барицентр выпуклой двумерной фигуры можно найти путём балансировки на меньшей фигуре, например на вершине узкого цилиндра. Барицентр будет находиться где-то внутри области контакта этих фигур. В принципе, последовательным уменьшением диаметра цилиндра можно получить местоположение барицентра с любой точностью. На практике потоки воздуха делают это невозможным, однако используя наложение областей балансировки и усреднение, можно получить нужную точность.

С помощью геометрического разложения

Барицентр плоской фигуры можно вычислить, разделив её на конечное число более простых фигур.

Рассмотрим пример. Фигуру на рисунке легко разделить на квадрат и треугольник с положительным знаком площади и круглое отверстие с отрицательным знаком площади.

Квадрат — пересечение диагоналей $(5, 5)$. Площадь 100.

Прямоугольный треугольник — отложить по трети катета от вершины прямого угла $(10+10/3,10/3) = (13.33; 3.33)$. Площадь 50.

Окружность — центр $(2.5; 12.5)$. Площадь $6.25pi = 19.63$

Та же формула применима для любого трёхмерного объекта, только вместо площадей берут объёмы частей тела.

Центр тяжести объекта в форме буквы L

Делим на два прямоугольника, находим центры каждого из них как пересечение диагоналей, соединяем. Барицентр фигуры должен лежать на этом отрезке AB.

Делим фигуру на два прямоугольника другим способом. Находим барицентры этих двух прямоугольников. Проводим отрезок, соединяющий центры. Барицентр фигуры должен лежать на этом отрезке CD.

Барицентр должен лежать как на отрезке AB, так и на отрезке CD, очевидно, что он является точкой пересечения этих двух отрезков — точкой O. Точка O не обязана лежать внутри фигуры.

Барицентр

это цетр масс двух и более тел, которые вращаются друг около друга.

Чем массивнее одно из двух тел, тем ближе к нему барицентр. Для системы Луна-Земля барицентр расположен примерно на расстоянии 4 671 км от центра Земли, радиус планеты 6 378 км.

Барицентрическая система отсчета

International Celestial Reference System (ICRS, Международная небесная система координат или Международная система астрономических координат) — с 1998 года стандартная небесная система координат.

Началом отсчёта является барицентр Солнечной системы. Координаты в этой системе максимально приближены к экваториальным эпохи J2000.0 (расхождение составляет доли секунды дуги)

Оси системы зафиксированы в пространстве относительно квазаров, которые считаются наиболее удалёнными объектами наблюдаемой Вселенной. Их предполагаемое собственное движение настолько мало, что им можно пренебречь. Внедрение системы обусловлено необходимостью повышения точности астрономических измерений до 0,05″.

Полученная система координат независима от вращения Земли.

Барицентрические координаты

Пусть дан треугольник ABC. Тогда любую точку P в плоскости треугольника можно представить как центр некоторых масс α, β, γ, помещенных в его вершины A, B, C.

Тройка чисел (α, β, γ) называется барицентрическими координатами точки P относительно треугольника.

Барицентрические координаты точки определены с точностью до ненулевого множителя: все тройки (kα, kβ, kγ) при любом k ≠ 0 задают одну и ту же точку P. Любые три числа с ненулевой суммой являются барицентрическими координатами некоторой точки. Иногда барицентрическими координатами называют ту из пропорциональных троек, у которой сумма чисел равна единице. Соответствие между такими тройками и точками плоскости взаимно-однозначно.

Если точка P лежит внутри треугольника ABC, то ее барицентрические координаты пропорциональны площадям треугольников PAB, PBC и PCA. Для точек вне треугольника это тоже верно, только нужно брать ориентированные площади.

Случай двух тел

Два тела взаимодействуют только друг с другом. Тела вращаются поэллиптической орбите пример двойные звезды.