Как построить четырехугольник abcd по координатам

Построй четырехугольник ABCD по координатам его вершин: А (1; 0), В (0; 4), С (3; 6), D (6; 1). Проведи диагонали АС и BD и найди координаты их точки пересечения М.
Содержание
  1. Ваш ответ
  2. решение вопроса
  3. Похожие вопросы
  4. Как построить четырехугольник abcd по координатам
  5. Как написать хороший ответ?
  6. Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения
  7. Внутренние и внешние углы четырехугольника
  8. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника
  9. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника
  10. Параллелограмм
  11. Параллелограмм и его свойства
  12. Признаки параллелограмма
  13. Прямоугольник
  14. Признак прямоугольника
  15. Ромб и квадрат
  16. Свойства ромба
  17. Трапеция
  18. Средняя линия треугольника
  19. Средняя линия трапеции
  20. Координаты середины отрезка
  21. Теорема Пифагора
  22. Справочный материал по четырёхугольнику
  23. Пример №1
  24. Признаки параллелограмма
  25. Пример №2 (признак параллелограмма).
  26. Прямоугольник
  27. Пример №3 (признак прямоугольника).
  28. Ромб. Квадрат
  29. Пример №4 (признак ромба)
  30. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
  31. Пример №5
  32. Пример №6
  33. Трапеция
  34. Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).
  35. Центральные и вписанные углы
  36. Пример №8
  37. Вписанные и описанные четырёхугольники
  38. Пример №9
  39. Пример №10
  40. 🌟 Видео

Видео:Построение точек по координатамСкачать

Построение точек по координатам

Ваш ответ

Видео:Как построить точки в системе координат OXYZСкачать

Как построить точки в системе координат OXYZ

решение вопроса

Видео:Построить проекции линии и точек на ней по заданным координатам. Начертательная геометрияСкачать

Построить проекции линии и точек на ней по заданным координатам. Начертательная геометрия

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,667
  • разное 16,822

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:№933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).Скачать

№933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Вопрос по алгебре:

Постройте четырёхугольник ABCD, если заданы координаты его вершин : A(-3;-5); B(4;-4); C(5;6); D(-3;2).

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Так не так? A(-3;-5); B(4;-4); C(5;6); D(-3;2)

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

  • Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
  • Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
  • Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

  • Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
  • Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
  • Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
  • Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.

Видео:Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Видео:ЗАДАЧИ ПО ОСНОВАМ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ И ЭПЮРЫ ТОЧЕК. №1Скачать

ЗАДАЧИ ПО ОСНОВАМ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ И ЭПЮРЫ ТОЧЕК. №1

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Как построить четырехугольник abcd по координатамуглы Как построить четырехугольник abcd по координатамявляются внешними.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Как построить четырехугольник abcd по координатамГрадусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Как построить четырехугольник abcd по координатам

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Как построить четырехугольник abcd по координатамКак построить четырехугольник abcd по координатам

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Как построить четырехугольник abcd по координатамДоказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Как построить четырехугольник abcd по координатам

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как построить четырехугольник abcd по координатам

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Как построить четырехугольник abcd по координатам

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Как построить четырехугольник abcd по координатам

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Как построить четырехугольник abcd по координатамКак построить четырехугольник abcd по координатам

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Как построить четырехугольник abcd по координатам

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Как построить четырехугольник abcd по координатам

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Как построить четырехугольник abcd по координатам

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Как построить четырехугольник abcd по координатам

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Как построить четырехугольник abcd по координатамто параллелограмм Как построить четырехугольник abcd по координатамявляется ромбом.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Доказательство теоремы 1.

Дано: Как построить четырехугольник abcd по координатамромб.

Докажите, что Как построить четырехугольник abcd по координатам

Доказательство (словестное): По определению ромба Как построить четырехугольник abcd по координатамПри этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Как построить четырехугольник abcd по координатамравнобедренный. Медиана Как построить четырехугольник abcd по координатам(так как Как построить четырехугольник abcd по координатам), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Как построить четырехугольник abcd по координатамТак как Как построить четырехугольник abcd по координатамявляется прямым углом, то Как построить четырехугольник abcd по координатам. Аналогичным образом можно доказать, что Как построить четырехугольник abcd по координатам

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Как построить четырехугольник abcd по координатам

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Как построить четырехугольник abcd по координатам

Как построить четырехугольник abcd по координатам

План доказательства теоремы 2

Дано: Как построить четырехугольник abcd по координатамравнобедренная трапеция. Как построить четырехугольник abcd по координатам

Докажите: Как построить четырехугольник abcd по координатам

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Как построить четырехугольник abcd по координатамтогда Как построить четырехугольник abcd по координатамЗапишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Как построить четырехугольник abcd по координатампроведем параллельную прямую к прямой Как построить четырехугольник abcd по координатам

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Как построить четырехугольник abcd по координатамчерез точку Как построить четырехугольник abcd по координатам— середину стороны Как построить четырехугольник abcd по координатампроведите прямую параллельную Как построить четырехугольник abcd по координатамКакая фигура получилась? Является ли Как построить четырехугольник abcd по координатамтрапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Как построить четырехугольник abcd по координатамМожно ли утверждать, что Как построить четырехугольник abcd по координатам

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Как построить четырехугольник abcd по координатам

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Доказательство. Пусть дан треугольник Как построить четырехугольник abcd по координатами его средняя линия Как построить четырехугольник abcd по координатамПроведём через точку Как построить четырехугольник abcd по координатампрямую параллельную стороне Как построить четырехугольник abcd по координатамПо теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Как построить четырехугольник abcd по координатамт.е. совпадает со средней линией Как построить четырехугольник abcd по координатамТ.е. средняя линия Как построить четырехугольник abcd по координатампараллельна стороне Как построить четырехугольник abcd по координатамТеперь проведём среднюю линию Как построить четырехугольник abcd по координатамТ.к. Как построить четырехугольник abcd по координатамто четырёхугольник Как построить четырехугольник abcd по координатамявляется параллелограммом. По свойству параллелограмма Как построить четырехугольник abcd по координатамПо теореме Фалеса Как построить четырехугольник abcd по координатамТогда Как построить четырехугольник abcd по координатамТеорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Доказательство: Через точку Как построить четырехугольник abcd по координатами точку Как построить четырехугольник abcd по координатамсередину Как построить четырехугольник abcd по координатампроведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Как построить четырехугольник abcd по координатамчерез Как построить четырехугольник abcd по координатам

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Как построить четырехугольник abcd по координатамрадиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Как построить четырехугольник abcd по координатамЕсть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Как построить четырехугольник abcd по координатам

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Как построить четырехугольник abcd по координатами Как построить четырехугольник abcd по координатами точка Как построить четырехугольник abcd по координатамкоторая является серединой отрезка Как построить четырехугольник abcd по координатам

Как построить четырехугольник abcd по координатамто Как построить четырехугольник abcd по координатама отсюда следует, что Как построить четырехугольник abcd по координатам

Как построить четырехугольник abcd по координатам

2) По теореме Фалеса, если точка Как построить четырехугольник abcd по координатамявляется серединой отрезка Как построить четырехугольник abcd по координатамто на оси абсцисс точка Как построить четырехугольник abcd по координатамявляется соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Как построить четырехугольник abcd по координатами Как построить четырехугольник abcd по координатам

Как построить четырехугольник abcd по координатам

3) Координаты середины отрезка Как построить четырехугольник abcd по координатамс концами Как построить четырехугольник abcd по координатами Как построить четырехугольник abcd по координатамточки Как построить четырехугольник abcd по координатамнаходятся так:

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Как построить четырехугольник abcd по координатампараллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Как построить четырехугольник abcd по координатамкак показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Как построить четырехугольник abcd по координатамкак показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Как построить четырехугольник abcd по координатам

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Как построить четырехугольник abcd по координатам

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Как построить четырехугольник abcd по координатамто, Как построить четырехугольник abcd по координатам— прямоугольный.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Как построить четырехугольник abcd по координатамявляются Пифагоровыми тройками, то и числа Как построить четырехугольник abcd по координатамтакже являются Пифагоровыми тройками.

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Как построить четырехугольник abcd по координатам(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — Как построить четырехугольник abcd по координатамКак построить четырехугольник abcd по координатам

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Как построить четырехугольник abcd по координатам

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, Как построить четырехугольник abcd по координатам, стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Как построить четырехугольник abcd по координатам=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Как построить четырехугольник abcd по координатам+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Как построить четырехугольник abcd по координатам. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) Как построить четырехугольник abcd по координатам. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Решение:

Как построить четырехугольник abcd по координатам(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично Как построить четырехугольник abcd по координатам(АВ CD, ВС-секущая), Как построить четырехугольник abcd по координатам(ВС || AD, CD — секущая), Как построить четырехугольник abcd по координатам(АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Доказательство. Как построить четырехугольник abcd по координатампо стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Как построить четырехугольник abcd по координатамкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Как построить четырехугольник abcd по координатам

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Как построить четырехугольник abcd по координатампо трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Как построить четырехугольник abcd по координатам Как построить четырехугольник abcd по координатамУглы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. Как построить четырехугольник abcd по координатам

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Как построить четырехугольник abcd по координатампо двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Как построить четырехугольник abcd по координатамкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Как построить четырехугольник abcd по координатамНо углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Как построить четырехугольник abcd по координатампо двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Как построить четырехугольник abcd по координатамкак вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Как построить четырехугольник abcd по координатамНо углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Как построить четырехугольник abcd по координатам

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Как построить четырехугольник abcd по координатамМожно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Как построить четырехугольник abcd по координатам. Как построить четырехугольник abcd по координатампо трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Как построить четырехугольник abcd по координатам. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Как построить четырехугольник abcd по координатам. По свойству углов четырёхугольника, Как построить четырехугольник abcd по координатам

Следовательно, Как построить четырехугольник abcd по координатам: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: Как построить четырехугольник abcd по координатам

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Как построить четырехугольник abcd по координатам. Как построить четырехугольник abcd по координатам

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Как построить четырехугольник abcd по координатам(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Как построить четырехугольник abcd по координатампо двум сторонами и углу между ними.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Как построить четырехугольник abcd по координатампо условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на Как построить четырехугольник abcd по координатам

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Как построить четырехугольник abcd по координатами Как построить четырехугольник abcd по координатамПроведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Как построить четырехугольник abcd по координатампараллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Как построить четырехугольник abcd по координатамПри помощи циркуля сравните длины отрезков Как построить четырехугольник abcd по координатамСделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Как построить четырехугольник abcd по координатам

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Доказать: Как построить четырехугольник abcd по координатам

Доказательство. Проведём через точки Как построить четырехугольник abcd по координатампрямые Как построить четырехугольник abcd по координатампараллельные ВС. Как построить четырехугольник abcd по координатампо стороне и прилежащим к ней углам. У них Как построить четырехугольник abcd по координатампо условию, Как построить четырехугольник abcd по координатамкак соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Как построить четырехугольник abcd по координатами Как построить четырехугольник abcd по координатамкак противоположные стороны параллелограммов Как построить четырехугольник abcd по координатам

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Как построить четырехугольник abcd по координатамПроведём прямую Как построить четырехугольник abcd по координатам. Через точки Как построить четырехугольник abcd по координатампроведём прямые, параллельные прямой Как построить четырехугольник abcd по координатам. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия Как построить четырехугольник abcd по координатам, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Как построить четырехугольник abcd по координатам(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Доказать: Как построить четырехугольник abcd по координатам

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Как построить четырехугольник abcd по координатам. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Как построить четырехугольник abcd по координатам. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Как построить четырехугольник abcd по координатам

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Поэтому Как построить четырехугольник abcd по координатам. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Как построить четырехугольник abcd по координатам

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРКак построить четырехугольник abcd по координатам, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку Как построить четырехугольник abcd по координатам= 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: Как построить четырехугольник abcd по координатам

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Как построить четырехугольник abcd по координатамno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Как построить четырехугольник abcd по координатамкак вертикальные, Как построить четырехугольник abcd по координатамвнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Как построить четырехугольник abcd по координатамравнобедренный. Поэтому Как построить четырехугольник abcd по координатамсоответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Как построить четырехугольник abcd по координатамКак построить четырехугольник abcd по координатам

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Как построить четырехугольник abcd по координатам— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Как построить четырехугольник abcd по координатам

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Как построить четырехугольник abcd по координатам. По свойству внешнего угла треугольника, Как построить четырехугольник abcd по координатамКак построить четырехугольник abcd по координатам— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Как построить четырехугольник abcd по координатамизмеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Как построить четырехугольник abcd по координатам

Из доказанного в первом случае следует, что Как построить четырехугольник abcd по координатамизмеряется половиной дуги AD, a Как построить четырехугольник abcd по координатам— половиной дуги DC. Поэтому Как построить четырехугольник abcd по координатамизмеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Как построить четырехугольник abcd по координатам

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Как построить четырехугольник abcd по координатам

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Как построить четырехугольник abcd по координатамкак вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Как построить четырехугольник abcd по координатам, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Как построить четырехугольник abcd по координатам

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Как построить четырехугольник abcd по координатам(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Как построить четырехугольник abcd по координатам(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Как построить четырехугольник abcd по координатам

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Как построить четырехугольник abcd по координатам

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Доказать: Как построить четырехугольник abcd по координатам

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Как построить четырехугольник abcd по координатам

Тогда Как построить четырехугольник abcd по координатам

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Как построить четырехугольник abcd по координатам

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Как построить четырехугольник abcd по координатам

Докажем, что Как построить четырехугольник abcd по координатам. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Как построить четырехугольник abcd по координатам. По свойству равнобокой трапеции, Как построить четырехугольник abcd по координатам

Тогда Как построить четырехугольник abcd по координатами, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Как построить четырехугольник abcd по координатамцентры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Как построить четырехугольник abcd по координатамвписанного в окружность. Действительно,

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Следовательно, четырёхугольник Как построить четырехугольник abcd по координатам— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Как построить четырехугольник abcd по координатам

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🌟 Видео

Частное положение точек. Точки принадлежащие к плоскостям проекции.Скачать

Частное положение точек. Точки принадлежащие к плоскостям проекции.

№951. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдите егоСкачать

№951. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его

Построение недостающей проекции плоскости. Принадлежность прямой к плоскостиСкачать

Построение недостающей проекции плоскости. Принадлежность прямой к плоскости

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекции

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,Скачать

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,

№751. Определите вид четырехугольника ABCD, если:Скачать

№751. Определите вид четырехугольника ABCD, если:

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Определение натуральной величины треугольника АВС методом вращения вокруг горизонтали или фронталиСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом вращения вокруг горизонтали или фронтали

6 кл 7 кл Построить четырехугольник АВСД и определить точки пересечения с осями координатСкачать

6 кл 7 кл Построить четырехугольник АВСД и определить точки пересечения с осями координат

Построение на координатной плоскости четырёхугольника (шестой класс)Скачать

Построение на координатной плоскости четырёхугольника (шестой класс)

Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

#29. Регион ВсОШ 2023, 9.5Скачать

#29. Регион ВсОШ 2023, 9.5

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: