Формула герона для четырехугольника с иррациональными сторонами (3 видео)

Формула герона для четырехугольника с иррациональными сторонами

Эта формула позволяет вычислить площадь S треугольника по его сторонам a, b и с:

где р — полупериметр треугольника, т.е. р = (а + b + c)/2. Формула названа в честь древнегреческого математика Герона Александрийского (около I в.). Герон рассматривал треугольники с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми числами. Такие треугольники называют героновыми. Например, это треугольники со сторонами 13, 14, 15 или 51, 52, 53.

Содержание

Вывод формулы Герона для площади треугольника
Формула Герона для площади четырехугольников
Возможно, Герон что-то утаил
Формула Герона для треугольника
Формула площади
Примеры задач
📽️ Видео

Вывод формулы Герона для площади треугольника

Одним из способов позволяющим вывести формулу Герона является использование свойств вписанной в треугольник окружности. Это свойство позволяет вычислить радиус вписанной в треугольник окружности через длины сторон треугольника и полупериметр треугольника.

Предположим у нас есть произвольный треугольник с вершинами А,В и С сторонами длины которых равны а, b и с.

Впишем в этот треугольник окружность.

Из центра этой окружности опустим перпендикуляры к каждой из сторон треугольника и обозначим длину каждого из перпендикуляров буквой r.

Теперь из каждой вершины треугольника проведем к центру окружности три отрезка.

В результате мы видим, что наш треугольник АВС состоит из трех малых треугольников: АОС, АОВ, ВОС

Следовательно, площадь треугольника АВС мы можем вычислить суммированием площадей малых треугольников, т.е.

Далее, площадь треугольника можно найти, также используя формулу S = а*h/2 (2), где а – длина основания треугольника; h – высота треугольника (в нашем случае она равно r).

Теперь запишем формулу (1) выразив площади малых треугольников через формулу (2), т.е.

Давайте упрости формулу (3) вынеся высоту треугольника r и знаменатель каждого из слагаемых за скобки. В итоге мы получим следующую формулу

Часть выражения справа, а именно (а + b + c)/2 есть не что иное, как периметр треугольника, деленный пополам или говоря просто полупериметр треугольника. Обозначим полупериметр треугольника малой буквой р.

В результате формулу (4) мы можем записать в виде

Как уже говорилось выше, радиус вписанной в треугольник окружности можно выразить через длины сторон треугольника и его полупериметр. Формула для радиуса вписанной в треугольник окружности будет выглядеть следующим образом:

Теперь давайте запишем формулу (5) выразив радиус через длины сторон треугольника и его полупериметр,

И после того как перед коренное значение мы заведем под корень, мы получим окончательную формулу

Как мы видим формула (8) есть не что иное, как хорошо известная с античных времен формула Герона.

Формула Герона для площади четырехугольников

Существуют аналоги формулы Герона для четырехугольников. В связи с тем что задача на построение четырехугольника по его сторонам а, b, с и d имеет не единственное решение, для вычисления в общем случае площади четырехугольника недостаточно только знания длин сторон. Приходится вводить дополнительные параметры или накладывать ограничения. Например, площадь вписанного четырехугольника находится по формуле:

Если же четырехугольник и вписанный, и описанный одновременно, его площадь находится по более простой формуле:

Видео:👉 ФОРМУЛА ГЕРОНА. Площадь треугольника #shortsСкачать

Возможно, Герон что-то утаил

38 –я открытая областная научная конференция учащихся.

Научная работа по теме:

Возможно, Герон что-то утаил.

Выполнил: Мухлаев Антон,

Руководитель: Лысенко Ольга

МОУ «Куломзинская средняя

Глава 1. Что можно узнать из формулы Герона. Теоретическая часть работы…………………………………………………………..стр.5

Вывод модифицированной формулы Герона……………………. стр.5

Формула Герона для различных видов треугольников…………….стр.6

Аналог формулы Герона в стереометрии…………………………. стр.8

Ещё раз модификации формулы Герона……………………………стр.9

Глава 2.Применение модифицированной формулы Герона при

решении задач. Практическая часть работы………………………стр.11

С некоторых пор в нашей жизни появилось такое новшество как – ЕГЭ, в связи с этим появилась необходимость использовать «время сберегающие технологии» решения задач, предлагаемых на ЕГЭ. Хотя справедливости ради следует заметить, что похожие задачи и раньше предлагались на вступительных экзаменах в ВУЗы. Время во все вносит свои коррективы. И вот однажды в своем кабинете математике я стал свидетелем картины, не уступающей картине, кисти известного художника Богданова-Бельского. Старшеклассники решали задачи из материалов ЕГЭ. Вот одна из таких задач: Задача 1. Вычислить площадь треугольника с вершинами О(0; 0), А(1; 3), В(3; 0). Решение: достроим треугольник ОАВ до объединения прямоугольника ОА2АА1 и трапеции А1АВВ1 с вершинами А2(0;3), А1(1;0), В(3;0), тогда S(OAB) = S(OA2AA1) + S(A1ABB1) – S(OA2A )-S(OBB1) = 1×3+12×(3-2)×(3+2)-12×3×1-12×3×2=3,5.

Такое решение оценивается как красивое, но большинство старшеклассников пытались решать задачу так: применяли обычную формулу Герона и получили громоздкий ответ: │ОА│= √1 + 32 = √10, │ОВ│= √22 + 32 = √13, │АВ│= √(3-1)2+(2-3)2= √5;

S=14√(√10+√13+√5)( √10+√13-√5)( √10+√5-√13)( √13+√5-√10), не догадываясь, что его можно существенно упростить. По идее решение было верное, но ответ. Он не входил ни в какие «рамки». Как же найти и правильное, и красивое решение, да и ответ, чтобы был хороший? Для меня эта ситуация казалась забавной, но только для меня. И я решил поискать выход, ведь скоро и я буду на их месте.

Уже 20 веков пользуется человечество математическим наследием Герона (Александрийского), в частности, формулой площади треугольника по трём сторонам:

S = √р(р-а)(р-b)(р-с), где р=1/2(а+b+с), но понятно, что она не удобна в этом случае. Возможно, существует другая запись этой формулы? А не утаил ли её Герон?

Поиск ответа на этот вопрос и стал целью моей работы.

Цель: получить такую модификацию формулы Герона, которая позволит без лишних затрат времени находить площадь треугольника, со сторонами, выраженными иррациональными числами.

Задачи: — изучить литературу по интересующему меня вопросу;

— попытаться получить, интересующую меня модифицированную формулу;

— решать задачи с использованием модифицированной формулы Герона.

— познакомить выпускников с полученной формулой;

Гипотеза: 1) выяснить существует ли другая формула, кроме известной формулы Герона, для решения задачи о нахождении площади треугольника, если известны все его стороны, причем длины сторон — иррациональные числа, т. е. необходимо убедиться в существовании модификации формулы Герона;

2) выяснить связана ли каким-либо образом модифицированная формула с такими формулами, как

Глава 1.Теоретическая часть работы.

Что можно узнать из формулы Герона.

Трудно переоценить значимость формулы Герона, позволяющей по данным трём сторонам подсчитать площадь треугольника. Однако на практике её стараются использовать только в самых крайних случаях, когда нет возможности вычислить площадь более быстрым способом. Кроме того, очевидно, что задачи на её применение встречаются в школьном курсе не так часто, как они того заслуживают. Причина проста: формула тяжеловесна, ведёт к оперированию с радикалами, которые традиционно не любимы учащимися. Эта формула достаточно громоздка, и её использование требует выполнения большого количества арифметических действий,(а значит и времени) что может быть очень нелегко, особенно если числа a, b, c иррациональны. Попробуем преобразовать формулу (1), сделав её более удобной для работы с иррациональными числами.

Получение модифицированной формулы Герона.

Итак, формула Герона, позволяющая определять площадь треугольника, зная длины трёх его сторон, записана в привычном для нас виде: : S = √p(p-a)(p-b)(p-c) , (1) где р =(a+b+c)2- полупериметр, а a, b, c — стороны треугольника.

Перепишем её, подставив, вместо р полусумму сторон треугольника и преобразуем полученное выражение, следующим образом: S =√(a+b+c)2× ((a+b+c)2-a)×((a+b+c)2-b)×((a+b+c)2-c)=14√((a+b)+c)×((a+b)-c)×(c-(a-

Итак, S=14√4a2b2-(c2-a2 — b2)2. (2)

Это и есть новая, точнее, модифицированная запись формулы Герона. Оказалось, это совсем не сложно. Аналогично можно вывести ещё две симметричные формулы, полученные путём перестановки чисел а, b, c. Однако могу предложить еще один вариант формулы Герона. Чтобы получить её сделаем следующее: подставим в (1) р=(а+b+с)/2: будем иметь

Проведем алгебраические преобразования в числителе и знаменателе подкоренного выражения, получим следующее

Теперь имеем: S=1/4√-(c4-2c2(a2+b2)+(a2-b2)2). (2»)

Это и есть ещё один вариант формулы Герон.

Мы получили формулу более удобную, чем формула (1), для вычисления площади треугольника, (точнее две формулы (2) и (2»)), если длины сторон выражены через радикалы, например √11, 3√7, √17. Кроме того, формула (2) наиболее подходящая для исследования.

Формула Герона для различных видов треугольников.

Рассмотрим различные виды треугольников, и выясним тем самым зависимость между длинами сторон.

Пусть треугольник прямоугольный с гипотенузой с и катетами а и b. Тогда справедлива теорема Пифагора c2=a2+b2, или c2-a2-b2=0. (3).

Подставляя полученное выражение в формулу (2), имеем: S=14√4a2b2-(c2-a2-b2) =14√4a2b2-0, или S=12a×b – хорошо известная формула для вычисления площади прямоугольного треугольника через длины его катетов.

Если треугольник равнобедренный с основанием a и боковой стороной b, то S=14√4a2b2-(b2-a2-b2)2=14 √4a2b2-a4, или S= a4 √4 b2- a2. (4)

Обычно эту формулу получают другим способом. Пусть в треугольнике АВС АВ=АС=b, ВС=a (рис. 1)

В С

Тогда S=12AD × BC. (5)

По теореме Пифагора AD= √AB2-BD2= √ b2-(a2)2 = 12 √4b2-a2. Подставляя полученное соотношение в равенство (5) и учитывая, что ВС=а, получаем искомую формулу (4).

Если треугольник равносторонний со стороной а, то как из равенства (2), так и из равенства (4) можно получить формулу S = а2 ×√34.

Вспомним и другую формулу, выражающую зависимость между сторонами и углами треугольника, а именно теорему косинусов: c2=a2+b2-2ab × cos φ, где φ- угол между сторонами a и b. Перепишем её в другом виде:

c2- a2- b2= -2ab ×cos φ.

Можно заметить, что левая часть полученного равенства, есть элемент формулы (2). Сделаем подстановку: S=14√4a2b2-(c2-a2-b2)2=14√4a2b2-(-2ab ×cos φ)2=14√4a2b2(1-cos2φ) = 14√4a2b2sin2φ=12ab ×│sin φ│. Углы треугольника могут лежать в промежутке от 0 до 2π, функция sin х на этой области определения положительна, поэтому │sin φ│= sin φ, и мы приходим к известной формуле S= 12 ab sin φ. (6).

Удивительно, но факт. Поражает та незримая связь, позволяющая одной формуле влиться в другую, уметь деформироваться. Это же просто замечательно!

В книге Перельмана ([3], с. 50) есть задача, озаглавленная «Уравнение думает за нас». Вот и формула Герона думает за нас, что не всегда можно сказать, например, о формуле (6). Знак корня позволяет накладывать ограничение на подкоренное выражение и тем самым сигнализировать вырожденных случаях. Речь идёт о случаях, когда стороны a, b, c не образуют треугольник. Учащийся может ошибиться в предварительных вычислениях, и формула (6) для вычисления площади « не отреагирует» — она выдаст ответ, правда неправильный. В формуле же Герона подкоренное выражение становится отрицательным, что, естественно, подвигнет нас на проверку предыдущих вычислений.

К примеру, если c › a + b (невыполненное неравенство треугольника), то p-c = (a+b+c)2-c = (a+b+c)2‹ 0 и всё подкоренное выражение отрицательно.

Если же a + b = c, то треугольник вырождается в отрезок. Принято считать, что площадь отрезка равна нулю. Продемонстрируем это, используя формулу (2):

S=14√4a2b2-((a+b)2-a2-b2)2=14√4a2b2-(2ab)2=0. По мере того как мы находим связь между различными формулами для вычисления площади треугольника, возникает естественный вопрос: а нельзя ли из формулы (1) или (2) получить самое простое выражение для нахождения площади : S=12ah, (7)

где а- основания, а h — высота? И здесь нас ждёт неожиданность. Дело в том, что как раз наоборот, формула Герона выводится с помощью формулы (7). Конечно, этого практически невидно, если рассматривать выражение вида (1), а вот формула (2) это наглядно показывает. поставим перед собой стандартную школьную задачу: нахождение высоты треугольника, если известны все стороны.

Пусть в треугольнике ABC BC = a, AC = b, AB = c, AD — высота, опущенная на сторону ВС. (Для случая, когда основание высоте лежит на продолжении стороны, рассуждения полностью аналогичны)

Обозначим CD = x, BD = a — x (рис. 2). А

В С

воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников ABD и ACD. Выразим из обоих равенств h2 и приравняем: c2-(a-x)2=b2-x2,

c2- a2+2ax-x2=b2-x2, c2-b2-a2=-2ax,

заметим, что так как угол С острый, то c2‹ b2 + a2 и x › 0, выражая теперь h из треугольника ACD, имеем: h=√b2-x2=√b2-(c2-a2-b2-2a)2=12a√4a2b2-(c2-a2-b2)2. Хочу заметить, что такую формулу, для нахождения высоты треугольника, я нигде раньше не встречал. Знай, я её раньше, возможно, некоторые задачи смог бы решить иначе, легче.

Подставляя полученное выражение для h в формулу (7), получаем формулу Герона, записанную в виде (2). Чтобы теперь получить привычную формулу (1), нужно проделать в обратном порядке все преобразования, осуществлённые нами при переходе от (1) к (2).

Аналог формулы Герона в стереометрии.

Оказывается, что существует аналог формулы Герона в стереометрии, он выглядит так:

V=16abc√1-cos2α-cos2β-cos2γ+2cosαcosβcosγ. Эту формулу можно использовать для нахождения объёма тетраэдра, причем, здесь а, b и с – длины ребер тетраэдра, а α, β, γ – плоские углы трехгранного угла.

Вернусь к задаче1, оказывается, что существует ещё один способ решения этой задачи через

Геронов определитель. Известна формула, выражающая площадь треугольника через координаты его вершин: A(x1; y1),B(x2;y2), C(x3; y3):

Так как длины сторон треугольника ВС= а, АС=b, AB=c связаны с координатами его вершин формулами: a2=(x2-x3)2 + (y2-y3)2,

то попробуем записать формулу Герона в виде определителя, элементами которого являются а, b, с и, может быть, число. После некоторых поисков подходящей комбинации напишем по кругу по часовой стрелке величины: a, b, c, 0 и составим из них определитель D

Структура его такова, первая строка начинается с а, и элементы идут по часовой стрелке; вторая строка начинается с b, и элементы идут против часовой стрелке; третья строка начинается с с, и элементы идут опять по часовой стрелке; четвёртая строка начинается с нуля, и элементы идут против часовой стрелки. Отметим также, что i-я строка определителя (i=1, 2, 3, 4) совпадает с его i столбцом. Легко получить, что D=a4+b4+c4-2a2b2-2a2c2-2b2c2.

Из формулы Герона S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

Площадь треугольника удобнее, конечно, вычислять по формуле Герона, записанной в традиционном виде. Найденная формула математически интересна самим фактом своего существования.

Ещё раз о модификации формулы Герона.

Формула Герона, записанная в виде корня квадратного из определителя нам уже знакома.

И хотя, при этом мы делали замечание, что площадь треугольника удобнее вычислять по обычной формуле Герона:

Однако встречаются задачи на вычисление площадей, при решение которых удобнее пользоваться необычной формулой Герона (2), а её модификацией которая получается из формулы (1) после раскрытия определителя либо из (2) после подстановки р=12(a+b+c): S=14√(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=14√[(b+c)2-a2] x[a2-(b-c)2]=14√2(a2b2+a2c2+b2c2)-a4-b4-c4. (3)

Прежде всего, с помощью формулы (3) можно вывести формулу, выражающую площадь треугольника через координаты его вершин A(x0; y0), B(x1; y1), C(x2; y2):

Для краткости положим x0=y0=0 (x=x-x0, y=y-y0). Подставим

│АВ│=с=√х21+у12, │АС│=b=√х22+у22, │ВС│= а =√(х2-х1)2+(у2-у1)2 в (3).

После простых, хотя и несколько громоздких преобразований получим:

Заметим, что формулу (4′) проще всего вывести как формулу площади треугольника, построенного на векторах ř1(х1; у1), ř2(х2; у2). Тогда S=12 │ ř1 │x │ ř2 │x sin α, где α – угол между векторами ř1, ř2. Учитывая, что скалярное произведением векторов ř1, ř2 равно

ř1 × ř2=│ř1│×│ř2│×cos α = х1 х2+ у1 у2, получим s=12│ ř1│×│ ř2│×sin α

=1/2│ ř1│×│ ř2│×√1 — cos2 α =12 √│ř1│2 ×│ ř2│2- (ř1× ř2)2=12 √( х12+ у12)( х22+ у22)-( х1х2+ + у1у2)2=12 √ х12у22-2х1у2х2у1+ х22у12=12 │ х1у2- х2у1 │, т. е. (4′).

Глава2. Практическая часть работы. Применение модифицированной формулы Герона при решении задач.

А теперь я cнова вернусь к задаче, о которой упоминалась в начале работы, и решу её, используя модифицированную формулу Герона: S = 1/4×√4а2b2 – (с2 – а2 – b2)2 и формулу

Или по модифицированной формуле : S = 1/4√ 4( √10)2( √13)2 – ( (√5)2 – ( √1√1= 1/4√520-324 = 1/4√196 = 3,5.

Или ещё одна, совсем «свежая» задача: В11 из нынешних КИМов, вариант 218: В прямоугольном параллелепипеде АВСДА1В1С1Д1 с основанием АВСД известны ребра АВ=2, ВС=3, ДД1=√28. Найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью АСД1. Решение задачи сводится к нахождению площади треугольника со сторонами, выраженными опять таки иррациональными числами: АС = √13, АД1=√37, Д1С=√32, т. е. складывается уже знакомая по предыдущей задаче, ситуация.

Она решается аналогично. Нетрудно догадаться, что сечение представляет собой треугольник (см. рис.1) и затем найти стороны этого треугольника. А дальше, если только знать модифицированную формулу Герона, решение будет тривиальным : АС = √4+9 = √13, АД1 = √ 9+28 = √37, Д1С = √ 4+28 = √32. Тогда S = 1/4√4 × 13 × 37-()2= =1/4√ = √1600 = 40.

Ещё задача из той же серии: в треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС=3√2, ВС=10,

Видео:Формула ГЕРОНАСкачать

Формула Герона для треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулу Герона, пользуясь которой можно найти площадь треугольника. Также разберем примеры решения задач для того, чтобы закрепить представленный материал.

Видео:8 класс, 18 урок, Формула ГеронаСкачать

Формула площади

Площадь треугольника ( S ) равняется квадратному корню из произведения его полупериметра ( p ) на разности полупериметра и каждой из его сторон ( a, b, c ).

Полупериметр ( p ) вычисляется таким образом:

Примечание: для использования формулы необходимо знать/найти длину всех сторон треугольника.

Формула получила такое название в честь греческого математика и механика Герона Александрийского, который изучал треугольники с целочисленными сторонами и площадью (героновские). К таким, например, относится прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5, который также называют египетским.