Как найти радиус окружности в призме

Призма, вписанная в сферу. Свойства призмы, вписанной в сферу

Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной призмы

Отношение объема правильной n — угольной призмы к объему шара, ограниченного описанной около этой призмы сферой

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Призма, вписанная в сферу. Свойства призмы, вписанной в сферу

Определение 1. Призмой, вписанной в сферу, называют такую призму, все вершины которой лежат на сфере (рис. 1).

Определение 2. Если призма вписана в сферу, то сферу называют описанной около призмы.

Теорема. Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. Призма является прямой призмой;
2. Около оснований призмы можно описать окружности.

Доказательство. Докажем сначала, что если n – угольная призма A₁A₂ . A_nA’₁A’₂ . A’_n вписана в сферу, то оба условия теоремы выполнены.

Для этого заметим, что плоскость каждого из оснований призмы пересекает сферу по окружности, на которой лежат вершины этого основания. Таким образом, многоугольники, являющиеся основаниями призмы, оказываются вписанными в окружности (рис. 1), то есть второе условие теоремы выполнено.

Каждая из боковых граней призмы также вписана в окружность (рис. 2).

Рассмотрим какое-нибудь боковое ребро призмы, например, A₂A’₂. Поскольку это ребро перпендикулярно к ребрам основания A₁A₂ и A₂A₃ , то в силу признака перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что боковое ребро A₂A’₂ перпендикулярно к плоскости основания призмы, то есть призма является прямой призмой.

Таким образом, мы доказали, что, если призма вписана в сферу, то оба условия теоремы выполнены.

Для этого обозначим символом O₁ центр окружности радиуса r , описанной около нижнего основания призмы, а символом O’₁ обозначим центр окружности, описанной около верхнего основания призмы (рис. 3).

Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы описанных около них окружностей будут равны.

Согласно утверждению 1 из раздела «Призмы, вписанные в цилиндры» отрезок O₁O’₁, соединяющий центры окружностей, описанных около нижнего и верхнего оснований призмы, параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы h. Значит, и отрезок O₁O’₁ перпендикулярен плоскости основания призмы и равен h.

Обозначим буквой O середину отрезка O₁O’₁ и докажем, что все вершины призмы будут находиться на одном и том же расстояниии от точки O (рис. 4).

(1)

от всех вершин призмы. Отсюда следует, что точка O является центром сферы радиуса R , описанной около призмы.

Следствие 1. Около любой прямой треугольной призмы можно вписать сферу.

Следствие 2. Около любого прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба ) можно описать сферу.

Следствие 3. Около любой правильной призмы можно описать сферу.

Для доказательства следствия 3 достаточно заметить, что правильная n – угольная призма – это прямая призма, основания которой являются правильными n – угольниками, а около любого правильного n – угольника можно описать окружность.

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной призмы

то из формулы (1) получаем выражение для радиуса описанной сферы

(2)

Ответ.

Следствие 6. Радиус сферы, описанной около около правильной шестиугольной призмы с высотой h и ребром основания a равен

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

Отношение объема правильной n — угольной призмы к объему шара, ограниченного описанной около призмы сферой

Задача 2. Около правильной n — угольной призмы с высотой h и ребром основания a описана сфера. Найти отношение объемов призмы и шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы.

Воспользовавшись формулой (2), выразим объем шара, ограниченного описанной около призмы сферой, через высоту и ребро основания призмы:

Ответ.

Следствие 7. Отношение объема правильной треугольной призмы с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Следствие 8. Отношение объема правильной четырехугольной призмы правильной четырехугольной призмы с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Следствие 9. Отношение объема правильной шестиугольной призмы с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Видео:КАК НАЙТИ РАДИУС КРУГА (ОКРУЖНОСТИ), ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

Как найти радиус окружности

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Видео:Найти центр и радиус окружностиСкачать

Основные понятия

Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости. Если говорить проще, то это замкнутая линия, как, например, обруч и кольцо.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.

Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. Общепринятое обозначение радиуса — латинская буква R.

Возможно тебе интересно узнать — как найти длину окружности?

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Формула радиуса окружности

Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Если известна площадь круга

R = √ S : π, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Видео:Как Найти Радиус Сегмента на Потолке. Радиус Окружности По Хорде И Высоте СегментаСкачать

Если известна длина

R = P : 2 * π, где P — длина (периметр круга).

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Если известен диаметр окружности

R = D : 2, где D — диаметр.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.

Видео:Геометрия Объем правильной треугольной призмы равен 25√3. Радиус окружности, описанной околоСкачать

Если известна диагональ вписанного прямоугольника

R = d : 2, где d — диагональ.

Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:

d = √ a 2 + b 2 , где a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Видео:Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

Если известна сторона описанного квадрата

R = a : 2, где a — сторона.

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.

Видео:Призма и цилиндр. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Если известны стороны и площадь вписанного треугольника

R = (a * b * c) : (4 * S), где a, b, с — стороны, S — площадь треугольника.

Видео:Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать

Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника

R = S : p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Если известна площадь сектора и его центральный угол

R = √ (360° * S) : (π * α), где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.

Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.

Видео:Найти радиус. Задача на вниманиеСкачать

Если известна сторона вписанного правильного многоугольника

R = a : (2 * sin (180 : N)), где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.

В правильном многоугольнике все стороны равны.

Видео:Радиус Хорда ДиаметрСкачать

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Радиус описанной сферы и ребро «A» треугольной призмы

Видео:РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?Скачать

Свойства

Зная радиус сферы, описанной вокруг правильной треугольной призмы с равносторонним треугольником в основании, можно найти сторону этого основания и затем посчитать высоту основания, радиусы вписанной и описанной окружностей около него, а также площадь. a=√(6/5) R_1 h=a/√2=√(3/5) R_1 r=a/(2√3)=2√(2/5) R_1 R=a/√3=√(2/5) R_1 S=(√3 a^2)/4=(3√3 〖R_1〗^2)/10

Боковое ребро треугольной призмы в совокупности с радиусом описанной сферы позволяет вычислить диагональ боковой стороны, периметр призмы и площадь боковой, а затем и полной поверхности призмы. d=√(a^2+b^2 )=√(6/5 〖R_1〗^2+b^2 ) P=3(2a+b)=3(2√(6/5) R_1+b) S_(б.п.)=3ab=3b√(6/5) R_1 S_(п.п.)=3b√(6/5) R_1+(3√3 〖R_1〗^2)/5

Чтобы найти объем треугольной призмы через радиус описанной сферы и боковое ребро, нужно подставить в формулу объема необходимое выражение вместо площади основания и умножить его на боковое ребро. V=S_(осн.) b=(3√3 〖R_1〗^2)/10 b

🌟 Видео

✓ Как найти второй радиус? | Ботай со мной #105 | Борис ТрушинСкачать

Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать