Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Геометрия. 7 класс
Конспект урока

Окружность. Задачи на построение

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Геометрическое место точек, примеры ГМТ.
  • Изображение на рисунке окружности и ее элементов.
  • Решение задач на построение.
  • Выполнение построений прямого угла, отрезка, угла равного данному, биссектрисы угла, перпендикулярных прямых, середины отрезка с помощью циркуля и линейки.

Радиус окружности – отрезок соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности.

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М.А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М.А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее мы узнали некоторые геометрические фигуры, например, угол, отрезок, треугольник, научились их строить и измерять. Сегодня мы введём определение ещё одной фигуры – окружности, рассмотрим её элементы и выполним построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки.

Для начала дадим определение геометрической фигуры, называемой окружностью.

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Но можно использовать и другое определение окружности.

Окружность ‑ это геометрическое место точек, удалённых на одно и то же расстояние от точки, называемой центром окружности. Это расстояние называют радиусом окружности. В нашем случае точки О.

При этом стоит пояснить, что геометрическое место точек – это фигура речи, употребляемая в математике для определения геометрической фигуры, как множества всех точек, обладающих некоторым свойством.

Вспомним элементы окружности.

Радиус окружности – отрезок соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

По определению окружности все её радиусы имеют одну и ту же длину. OM = OA

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

O – середина диаметра.

Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

AMB, ALB – дуги окружности.

Построим окружность радиусом 3 см. Для этого поставим точку О. Возьмём циркуль и выставим с помощью линейки расстояние между ножками циркуля, равное 3 см. Поставим иголочку циркуля в точку О и построим окружность, вращая ножку циркуля с грифелем вокруг этой точки. Грифель описывает замкнутую кривую линию, которую называют окружностью.

Часть плоскости, которая лежит внутри окружности, вместе с самой окружностью, называют кругом, т. е. окружность ‑ граница круга.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Итак, мы можем с помощью циркуля строить окружность, но с его помощью можно построить и угол равный данному. Для построения воспользуемся ещё и линейкой.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Построить: EOМ = A.

1. Окр. (A; r), r – произвольный радиус.

2. Окр. (A; r) ∩ AB = B.

3. Окр. (A; r) ∩ AС = С.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

4. Окр. (O; r) ∩ OM = D.

5. Окр. (D; BС) ∩ Окр. (O; r) = E

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

6. OЕ, ЕОD = BAC (из равенства ∆ОЕD и ∆ABC). EOM – искомый.

Теперь выполним построение биссектрисы угла.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Построить: AE – биссектриса CAB.

  1. Окр. (A; r), r – произвольный радиус.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

  1. Окр. (A; r) ∩ AB = B.
  2. Окр. (A; r) ∩ AC = C.
  3. Окр. (C; CB) ∩ Окр. (B; CB) = E.
  4. AE – искомая биссектриса BAC, т. к. ABE =CBE (из равенства ∆ACE и ∆ABE).

Рассмотрим ещё одно построение с помощью циркуля и линейки. Построим середину отрезка АВ.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Для этого построим две окружности с центрами на концах отрезка , т. е. в точках А и В. Окружности пересекутся в точках Р и Q. Проведём прямую через точки Р и Q. Прямая РQ пересечёт прямую АВ в точке О, которая и будет являться искомой серединой отрезка АВ. Докажем это. Для этого рассмотрим ∆APQ и ∆BPQ. Они равны по трём сторонам, следовательно, ∠1 = ∠2, поэтому РО– биссектриса равнобедренного ∆АВР, а соответственно РО ещё и медиана. Следовательно, точка О – середина отрезка АВ.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1. АВ и СК – диаметры окружности, с центром в точке О. По какому признаку равенства треугольников равны треугольники АОС и ОКВ?

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Так как О – центр окружности, то точка О делит диаметры пополам, следовательно отрезки АО, ОВ, ОС, ОК равны. ∠СОА = ∠КОВ (как вертикальные). Поэтому треугольники АОС и ОКВ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: 1 признак равенства треугольников.

№ 2. На рисунке O – центр окружности, АВ – диаметр окружности. Отрезки АD и ВС, перпендикулярны к отрезку АВ. АВ = 8 см, ОС = 5 см, СВ = 3 см. Чему равен периметр ∆AOD?

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Периметр треугольника AOD равен сумме сторон АО, AD, DO. Найдём эти стороны.

По условию O – центр окружности, то она делит диаметр пополам, следовательно отрезок АО равен отрезку ОВ, т. е. АО = АВ:2 = 8 см :2 = 4 см.

По условию отрезки АD и ВС, перпендикулярны к отрезку АВ, следовательно ∠СВО = ∠ОАD = 90°, ∠АОD = ∠СОВ (как вертикальные). Поэтому ∆АОD = ∆СОВ (по 2 признаку равенства треугольников). Следовательно, AD = СВ = 3 см, DO = ОС = 5 см.

Р∆AOD = АО + AD + DO = 4 см + 3 см + 5 см = 12 см.

Видео:7 класс, 23 урок, Примеры задач на построениеСкачать

7 класс, 23 урок, Примеры задач на построение

§ 4. Задачи на построение

Окружность

Предложение, в котором разъясняется смысл того или иного выражения или названия, называется определением. Мы уже встречались с определениями, например с определением угла, смежных углов, равнобедренного треугольника и т. д. Дадим определение ещё одной геометрической фигуры — окружности.

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности (рис. 77). Из определения окружности следует, что все радиусы имеют одну и ту же длину.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется её диаметром.

На рисунке 78 отрезки АВ и EF — хорды окружности, отрезок CD — диаметр окружности. Очевидно, диаметр окружности в два раза больше её радиуса. Центр окружности является серединой любого диаметра.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. На рисунке 79 ALB и АМВ — дуги, ограниченные точками А и В.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Для изображения окружности на чертеже пользуются циркулем (рис. 80).

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Чтобы провести окружность на местности, можно воспользоваться верёвкой (рис. 81).

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом (рис. 82).

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Построения циркулем и линейкой

Мы уже имели дело с геометрическими построениями: проводили прямые, откладывали отрезки, равные данным, чертили углы, треугольники и другие фигуры. При этом мы пользовались масштабной линейкой, циркулем, транспортиром, чертёжным угольником.

Оказывается, что многие построения можно выполнить с помощью только циркуля и линейки без масштабных делений. Поэтому в геометрии специально выделяют те задачи на построение, которые решаются с помощью только этих двух инструментов.

Что можно делать с их помощью? Ясно, что линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки. С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. Выполняя эти несложные операции, мы сможем решить много интересных задач на построение:

построить угол, равный данному;
через данную точку провести прямую, перпендикулярную к данной прямой;
разделить данный отрезок пополам и другие задачи.

Начнём с простой задачи.

На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.

Изобразим фигуры, данные в условии задачи: луч ОС и отрезок АВ (рис. 83, а). Затем циркулем построим окружность радиуса АВ с центром О (рис. 83, б). Эта окружность пересечёт луч ОС в некоторой точке D. Отрезок OD — искомый.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Примеры задач на построение

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)

Построение угла, равного данному

Отложить от данного луча угол, равный данному.

Данный угол с вершиной А и луч ОМ изображены на рисунке 84. Требуется построить угол, равный углу А, так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом ОМ.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С (рис. 85, а). Затем проведём окружность того же радиуса с центром в начете данного луча ОМ. Она пересекает луч в точке D (рис. 85, б). После этого построим окружность с центром D, радиус которой равен ВС. Окружности с центрами О и D пересекаются в двух точках. Одну из этих точек обозначим буквой Е. Докажем, что угол МОЕ — искомый.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Рассмотрим треугольники АВС и ODE. Отрезки АВ и АС являются радиусами окружности с центром А, а отрезки OD и ОЕ — радиусами окружности с центром О (см. рис. 85, б). Так как по построению эти окружности имеют равные радиусы, то AB = OD, АС = ОЕ. Также по построению ВС = DE.

Следовательно, ΔАВС = ΔODE по трём сторонам. Поэтому ∠DOE = ∠BAC, т. е. построенный угол МОЕ равен данному углу А.

То же построение можно выполнить и на местности, если вместо циркуля воспользоваться верёвкой.

Видео:Геометрия 7 Примеры задач на построениеСкачать

Геометрия 7 Примеры задач на построение

Построение биссектрисы угла

Построить биссектрису данного угла.

Данный угол ВАС изображён на рисунке 86. Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А. Она пересечёт стороны угла в точках В и С.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Затем проведём две окружности одинакового радиуса ВС с центрами в точках В и С (на рисунке изображены лишь части этих окружностей). Они пересекутся в двух точках, из которых хотя бы одна лежит внутри угла. Обозначим её буквой Е. Докажем, что луч АЕ является биссектрисой данного угла ВАС.

Рассмотрим треугольники АСЕ и АВЕ. Они равны по трём сторонам. В самом деле, АЕ — общая сторона; АС и АВ равны как радиусы одной и той же окружности; СЕ = BE по построению.

Из равенства треугольников АСЕ и АВЕ следует, что ∠CAE = ∠BAE, т. е. луч АЕ — биссектриса данного угла ВАС.

Можно ли с помощью циркуля и линейки разделить данный угол на два равных угла? Ясно, что можно, — для этого нужно провести биссектрису этого угла.

Данный угол можно разделить также на четыре равных угла. Для этого нужно разделить его пополам, а затем каждую половину разделить ещё раз пополам.

А можно ли с помощью циркуля и линейки разделить данный угол на три равных угла? Эта задача, получившая название задачи о трисекции угла, в течение многих веков привлекала внимание математиков. Лишь в XIX веке было доказано, что для произвольного угла такое построение невозможно.

Построение перпендикулярных прямых

Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

Данная прямая а и данная точка М, принадлежащая этой прямой, изображены на рисунке 87.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в двух точках: Р и Q.

Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР (см. рис. 87), и докажем, что эта прямая — искомая, т. е. что она перпендикулярна к данной прямой а.

В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ является также высотой, то PM ⊥ а.

Построение середины отрезка

Построить середину данного отрезка.

Пусть АВ — данный отрезок. Построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. Проведём прямую PQ. Точка О пересечения этой прямой с отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ.

В самом деле, треугольники APQ и BPQ равны по трём сторонам, поэтому ∠1 =∠2 (рис. 89).

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Следовательно, отрезок РО — биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. е. точка О — середина отрезка АВ.

Задачи

143. Какие из отрезков, изображённых на рисунке 90, являются: а) хордами окружности; б) диаметрами окружности; в) радиусами окружности?

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) ∠BAD = ∠BCD.

145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности. Найдите ∠POM.

146. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, если известно, что СВ = 13 см, АВ = 16 см.

147. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ — прямой. Отрезок ВС — диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны.

148. На прямой даны две точки А и В. На продолжении луча В А отложите отрезок ВС так, чтобы ВС = 2АВ.

149. Даны прямая а, точка В, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на прямой а так, чтобы BM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?

150. Даны окружность, точка А, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на окружности так, чтобы AM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?

151. Даны острый угол ВАС и луч XY. Постройте угол YXZ так, чтобы ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Дан тупой угол АОВ. Постройте луч ОХ так, чтобы углы ХОА и ХОВ были равными тупыми углами.

153. Даны прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а.

Построим окружность с центром в данной точке М, пересекающую данную прямую а в двух точках, которые обозначим буквами А и В (рис. 91). Затем построим две окружности с центрами А и В, проходящие через точку М. Эти окружности пересекаются в точке М и ещё в одной точке, которую обозначим буквой N. Проведём прямую MN и докажем, что эта прямая — искомая, т. е. она перпендикулярна к прямой а.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

В самом деле, треугольники AMN и BMN равны по трём сторонам, поэтому ∠1 = ∠2. Отсюда следует, что отрезок МС (С — точка пересечения прямых а и MN) является биссектрисой равнобедренного треугольника АМВ, а значит, и высотой. Таким образом, MN ⊥ АВ, т. е. MN ⊥ а.

154. Дан треугольник АВС. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника. 155. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 45°; б) 22°30′.

Ответы к задачам

152. Указание. Сначала построить биссектрису угла АОВ.

Видео:Задачи на построение с помощью циркуля и линейки - 7 класс геометрияСкачать

Задачи на построение с помощью циркуля и линейки - 7 класс геометрия

Задачи на построение.Окружность.
презентация к уроку по геометрии (7 класс) по теме

Наглядно показаны основные понятия по теме «Окружность»

Видео:Примеры задач на построение | Геометрия 7-9 класс #24 | ИнфоурокСкачать

Примеры задач на построение | Геометрия 7-9 класс #24 | Инфоурок

Скачать:

ВложениеРазмер
Окружность.7класс719 КБ

Предварительный просмотр:

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Подписи к слайдам:

21 ОКРУЖНОСТЬ Геометрия 7 класс Урок по теме: «Задачи на построение. Окружность»

Проверка: 1. I признак 4. I признак 5. II признак 7. III признак 10. II признак 11. I признак 2. II признак 3. I признак 6. II признак 8. II признак 9. II признак 12. II признак Оценка: нет ошибки – «5» 1 ошибка – «4» 2 ошибки – «3»

Способы построения окружности 21 ОКРУЖНОСТЬ

§ 4 Задачи на построение 21 Окружность Опред. Сп.постр.

21 ОКРУЖНОСТЬ Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

21 ОКРУЖНОСТЬ 21 ОКРУЖНОСТЬ (O,r) или (O,R) Любой отрезок, соединяющий какую-нибудь точку окружности с ее центром, называется радиусом окружности Отрезок соединяющий две точки окружности, называется ее хордой Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром

Хорды окружности: Диаметры окружности: Радиусы окружности: 21 ОКРУЖНОСТЬ С 1 N D 1 M O C D A B T S P

Хорды окружности: Диаметры окружности: Радиусы окружности: 21 ОКРУЖНОСТЬ N M C D A B AB, CD, MN

Хорды окружности: Диаметры окружности: Радиусы окружности: 21 ОКРУЖНОСТЬ A B AB, CD, MN O AB

Хорды окружности: Диаметры окружности: Радиусы окружности: 21 ОКРУЖНОСТЬ O A B AB, CD, MN AB OA, OB, OP P

§ 4 Задачи на построение 21 Окружность Домашнее задание: П.21(определения); № 145 № 146

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Сборник задач по прикладной математике (задачи физического содержания) 5 класс

Предлагаемый «Сборник задач по прикладной математике. (Физика)» содержит задачи и примеры по темам, которые предусмотрены в школьном курсе математики, применим как для учителя, так и для ученика.

Задачи-оценки и задачи на моделирование ситуации

Здесь представлено решение нескольких задач на моделирование и задач-оценок повышенного уровня сложности, которые рассматриваются, как правило, в конце изучаемого раздела.

Организация процесса учения учащихся при решении задач. Логико-психологические этапы решения задач

Этот материал будет интересен молодым специалистам.

7класс Геометрия Задачи на построение. Окружность

7класс Геометрия Задачи на построение. Окружность.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Проектная работа Методика подготовки учащихся к решению задач по темам «Задачи на движение» и «Задачи на смеси и сплавы», включенных в ЕГЭ по математике.

Доминирующей идеей федерального компонента государственного образовательного стандарта по математике является интенсивное развитие логического мышления, пространственного воображения, алг.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

«Составление физических задач. Основные требования к составлению задач. Общие требования при решении физических задач»

Решение задач по физике – необходимый элемент учебной работы. Задачи дают материал для упражнений, требующих применения физических закономерностей к явлениям, протекающим в тех или иных конкретн.

Примеры задач на построение окружности 7 класс геометрия

Предлагаю вашему вниманию образцы карточек к зачету по геометрии в 8 классе, а также набор задач к зачету. Учитель может по своему усмотрению либо добавить в карточки задачи, либо заменить уже имеющиеся задачи на другие.

ЗачётГлавная задача зачётов – развитие самостоятельной деятельности учащихся в усвоении ими курса математики. Другими задачами зачёта являются:формирование умений учиться;выявление пробелов в зн.

🌟 Видео

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ. §22 геометрия 7 классСкачать

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ. §22 геометрия 7 класс

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Построение угла, равного данному. 7 класс.Скачать

Построение угла, равного данному. 7 класс.

Окружность и задачи на построениеСкачать

Окружность и задачи на построение

23. Примеры задач на построениеСкачать

23. Примеры задач на построение

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | Математика

Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать

Построение биссектрисы угла. 7 класс.

ОКРУЖНОСТЬ задачи на построение 7 класс АтанасянСкачать

ОКРУЖНОСТЬ задачи на построение 7 класс Атанасян

Геометрия 7. Урок 10 - Построение циркулем и линейкойСкачать

Геометрия 7. Урок 10 - Построение циркулем и линейкой

7 класс - Геометрия - Задачи на построение. Окружность. Деление отрезка пополам.Скачать

7 класс -  Геометрия - Задачи на построение. Окружность. Деление отрезка пополам.

7 класс, 21 урок, ОкружностьСкачать

7 класс, 21 урок, Окружность

Построение угла равного данномуСкачать

Построение угла равного данному

№ 144 - Геометрия 7-9 класс АтанасянСкачать

№ 144 - Геометрия 7-9 класс Атанасян
Поделиться или сохранить к себе: