Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом.
AC — биссектриса углов BAD и BCD.
1) ∠BAD=∠BCD (по свойству противолежащих углов параллелограмма).
2) Так как AC — биссектриса углов BAD и BCD (по условию), то
3) Так как в треугольнике ABC два угла равны (∠BAC=∠BCA), то треугольник ABC- равнобедренный с основанием AC (по признаку).
4) Аналогично, треугольник ADC — равнобедренный с основанием AC и AD=DC.
5) По свойству противолежащих сторон параллелограмма,
6) Таким образом, ABCD — параллелограмм (по условию) и
AB=CD=BC=AD (по доказанному).
Следовательно, ABCD — ромб (по определению).
Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать
Если у четырехугольника диагональ является биссектрисой то это ромб
Определение 1. Ромб − это параллелограмм, у которого все стороны равны.
На рисунке 1 изображен ромб ABCD.
Определение 2. Ромб − это четырехугольник, у которого все стороны равны.
Ромб разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью ромба, а другая внешней областью ромба.
Объединение ромба и ограниченной им части плоскости также называют ромбом.
Видео:Геометрия Признак ромба Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этотСкачать
Свойства ромба
Поскольку ромб является параллелограммом, то имеет следующие свойства:
- 1. У ромба противолежащие углы равны (( small angle A = angle C, ; angle B = angle D.) )
- 2. У ромба противолежащие стороны равны (( small AB = DC, ; BC=AD.) )
- 3. У ромба противолежащие стороны параллельны ( small( AB || DC, ; BC || AD).)
- 4. У ромба соседние углы дополняют друг друга до 180° ( small ( angle A +angle B=180°, ) ( small angle C + angle D=180°).)
- 5. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам ( small ( AO = OC, ) ( small BO=OD).)
Ромб имеет также и следующие свойства:
- 6. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (( small AC perp BD.) )
- 7. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (( small angle ABD = angle CBD, ) ( small angle ADB = angle CDB, ) ( small angle DAC = angle BAC, ) ( small angle BCA = angle DCA. ))
- 8. В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
- 9. Сумма квадратов диагоналей ромба равна квадрату стороны, умноженная на четыре ( small (AC^2+BD^2=4AB^2). )
Докажем свойства 6 и 7, сформулировав следующую теорему:
Теорема 1. Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.
Доказательство. По определению 1, ( small AD = DC ) (Рис.2). Следовательно треугольник ( small DAC ) равнобедренный. Тогда ( small angle DCO = angle DAO. ) Учитывая, что ( small AO = OC ) (свойство 5 ромба), получим, что треугольники ( small DOA ) и ( small DOC ) равны по двум сторонам и углу между ними (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Тогда равны углы DOC и DOA. Но эти углы смежные и их сумма равна 180°. Следовательно ( small angle DOC= angle DOA=90°. ) То есть диагонали AC и BD перпендикулярны.
Из равенства треугольников ( small DOA ) и ( small DOC ) также следует, что ( small angle CDO= angle ADO,) следовательно BD является биссектрисой угла ADС, то есть BD является биссектрисой ромба ABCD.
Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать
Признаки ромба
Признак 1. Если смежные стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм − ромб.
Доказательство. Пусть смежные стороны параллелограмма ABCD равны. То есть имеем: AB=BC (Рис.3). У параллелограмма противоположные стороны равны (Свойство 1 статьи Параллелограмм). Тогда DC=AB=BC=AD. То есть все стороны параллелограмма равны и по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.
Признак 2. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм − ромб.
Доказательство. Пусть диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны (Рис.3). Рассмотрим прямоугольные треугольники AOB и COB. Так как у параллелограмма диагонали точкой пересечения разделяются пополам (Свойство 2 статьи Параллелограмм), то AO=OC. Тогда прямоугольные треугольники AOB и COB равны по двум катетам (AO=OC, BO общий катет (см. статью Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства)). Следовательно AB=BC. Тогда по признаку 1 этот параллелограмм является ромбом.
Признак 3. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм − ромб.
Доказательство. Пусть диагональ AC параллелограмма ABCD является биссектрисой угла BAD (Рис.4). Тогда ( small angle 1= angle 2 .) У параллелограмма ABCD ( small AB || DC .) Тогда для параллельных прямых AB и DC и секущей AC справедливо равенство ( small angle 1= angle 4 .) (см теорему 1 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично, для параллельных прямых BC и AD и секущей AC справедливо равенство ( small angle 2= angle 3 .) Так как ( small angle 1= angle 2 ,) то ( small angle 1= angle 2=angle 3= angle 4 .) Из ( small angle 1= angle 3) следует, что треугольник ABC равнобедренный (Признак 2 статьи Равнобедренный треугольник). Тогда AB=BC. У параллелограмма противоположные стороны равны (Свойство 1 статьи Параллелограмм). Тогда AB=BC=CD=DA. То есть все стороны параллелограмма равны и по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.
Признак 4. Если стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник − ромб.
Доказательство. Пусть у четырехугольника все стороны равны. Тогда этот четырехугольник является параллелограммом (признак 2 статьи Параллелограмм). А по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.
Видео:Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать
Ромб. Свойства и признаки ромба
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Если у ромба – прямые углы, то он называется квадратом.
Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать
Свойства ромба
1. Поскольку ромб – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны для ромба.
Помимо этого:
2. Диагонали ромба перпендикулярны.
3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4.
Видео:Геометрия Доказательство Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его угловСкачать
Признаки ромба
Чтобы параллелограмм оказался ромбом, необходимо выполнение одного из следующих условий:
1. Все стороны параллелограмма равны между собой ().
2. Диагонали пересекаются под прямым углом ().
3. Диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов.
Видео:Геометрия Признак ромба Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм ромбСкачать
Площадь ромба
Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
💡 Видео
№408. Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимноСкачать
Ромб. 8 класс.Скачать
Ромб, признаки. 8 класс.Скачать
№568. Докажите, что четырехугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон:Скачать
Площадь ромба. Легче понять...Скачать
№494. Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона равна 10 см, а другая диагональ — 12 см.Скачать
8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать
Если диагонали параллелограмма равны, то это ромб. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Геометрия Доказать, что если в четырехугольнике диагонали лежат на биссектрисах его углов, то такойСкачать
Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами его угловСкачать
Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать
Геометрия 8 класс (Урок№6 - Прямоугольник. Ромб. Квадрат.)Скачать
РОМБ . §5 геометрия 8 классСкачать