Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма углов четырехугольника
Содержание
  1. Свойства
  2. Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения
  3. Внутренние и внешние углы четырехугольника
  4. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника
  5. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника
  6. Параллелограмм
  7. Параллелограмм и его свойства
  8. Признаки параллелограмма
  9. Прямоугольник
  10. Признак прямоугольника
  11. Ромб и квадрат
  12. Свойства ромба
  13. Трапеция
  14. Средняя линия треугольника
  15. Средняя линия трапеции
  16. Координаты середины отрезка
  17. Теорема Пифагора
  18. Справочный материал по четырёхугольнику
  19. Пример №1
  20. Признаки параллелограмма
  21. Пример №2 (признак параллелограмма).
  22. Прямоугольник
  23. Пример №3 (признак прямоугольника).
  24. Ромб. Квадрат
  25. Пример №4 (признак ромба)
  26. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
  27. Пример №5
  28. Пример №6
  29. Трапеция
  30. Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).
  31. Центральные и вписанные углы
  32. Пример №8
  33. Вписанные и описанные четырёхугольники
  34. Пример №9
  35. Пример №10
  36. Чему равна сумма углов четырехугольника
  37. 🎥 Видео

Свойства

  1. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
    ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
    Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720
  2. Если четырехугольник правильный, то каждый угол по 90°
    и этот четырехугольник является квадратом.
    ∠A = ∠B = ∠C = ∠D, ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°,
    ABCD — квадрат.
    Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720
  3. Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°,
    если около четырехугольника описана окружность.
    ∠A + ∠С = ∠В + ∠D = 180°.
    Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Такие четырехугольники называют вписанными.

Это все виды четырехугольников,
которые изучаются в школьном
курсе по геометрии.

Видео:Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Видео:Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720углы Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720являются внешними.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Градусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Доказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720то параллелограмм Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720является ромбом.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Доказательство теоремы 1.

Дано: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720ромб.

Докажите, что Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Доказательство (словестное): По определению ромба Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720При этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720равнобедренный. Медиана Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720(так как Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Так как Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720является прямым углом, то Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720. Аналогичным образом можно доказать, что Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

План доказательства теоремы 2

Дано: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720равнобедренная трапеция. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Докажите: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720тогда Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Запишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720проведем параллельную прямую к прямой Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720через точку Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720— середину стороны Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720проведите прямую параллельную Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Какая фигура получилась? Является ли Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720трапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Можно ли утверждать, что Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Доказательство. Пусть дан треугольник Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720и его средняя линия Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Проведём через точку Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720прямую параллельную стороне Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720По теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720т.е. совпадает со средней линией Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Т.е. средняя линия Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720параллельна стороне Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Теперь проведём среднюю линию Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Т.к. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720то четырёхугольник Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720является параллелограммом. По свойству параллелограмма Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720По теореме Фалеса Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Тогда Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Теорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Доказательство: Через точку Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720и точку Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720середину Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720проведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720через Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720радиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Есть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720и Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720и точка Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720которая является серединой отрезка Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720то Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720а отсюда следует, что Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

2) По теореме Фалеса, если точка Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720является серединой отрезка Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720то на оси абсцисс точка Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720является соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720и Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

3) Координаты середины отрезка Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720с концами Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720и Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720точки Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720находятся так:

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720параллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720как показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720как показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720то, Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720— прямоугольный.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720являются Пифагоровыми тройками, то и числа Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720также являются Пифагоровыми тройками.

Видео:Чему равна сумма углов выпуклого многоугольникаСкачать

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720, стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Решение:

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720(АВ CD, ВС-секущая), Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720(ВС || AD, CD — секущая), Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720(АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Доказательство. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720по стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720по трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720 Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Углы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720по двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Но углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720по двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720как вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Но углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Можно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720по трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720. По свойству углов четырёхугольника, Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Следовательно, Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720по двум сторонами и углу между ними.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720по условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720и Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Проведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720параллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720При помощи циркуля сравните длины отрезков Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Сделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Доказать: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Доказательство. Проведём через точки Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720прямые Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720параллельные ВС. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720по стороне и прилежащим к ней углам. У них Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720по условию, Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720как соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720и Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720как противоположные стороны параллелограммов Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Проведём прямую Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720. Через точки Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720проведём прямые, параллельные прямой Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Доказать: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Поэтому Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРСумма углов выпуклого четырехугольника равна 720, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720= 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720no стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720как вертикальные, Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720равнобедренный. Поэтому Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720соответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720. По свойству внешнего угла треугольника, Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720измеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Из доказанного в первом случае следует, что Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720измеряется половиной дуги AD, a Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720— половиной дуги DC. Поэтому Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720измеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720как вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Доказать: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Тогда Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Докажем, что Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720. По свойству равнобокой трапеции, Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Тогда Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720и, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720центры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720вписанного в окружность. Действительно,

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Следовательно, четырёхугольник Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnlineСкачать

Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnline

Чему равна сумма углов четырехугольника

Чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника? Ответ на этот вопрос связан с теоремой о сумме углов треугольника.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360º.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Проведем в четырехугольнике ABCD диагональ AC.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 720

Она разбивает четырехугольник на два треугольника:

Сумма углов четырехугольника ABCD равна сумме углов этих треугольников:

🎥 Видео

№364. Найдите сумму углов выпуклого: а) пятиугольника; б) шестиугольника; в) десятиугольника.Скачать

№364. Найдите сумму углов выпуклого: а) пятиугольника; б) шестиугольника; в) десятиугольника.

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольник

Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?Скачать

Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?

Как узнать сумму углов любой выпуклой фигуры? Просто!Скачать

Как узнать сумму углов любой выпуклой фигуры? Просто!

Карточка "1.9 Углы многоугольника"Скачать

Карточка "1.9 Углы многоугольника"

Сумма углов многоугольникаСкачать

Сумма углов многоугольника

№370. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.Скачать

№370. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Вы знали, как легко вычислить сумму углов выпуклого шестиугольника?Скачать

Вы знали, как легко вычислить сумму углов выпуклого шестиугольника?

№1082. Чему равна сумма внешних углов правильного n-угольника, если при каждой вершинеСкачать

№1082. Чему равна сумма внешних углов правильного n-угольника, если при каждой вершине

Геометрия. 8 класс. Выпуклый многоугольник /10.09.2020/Скачать

Геометрия. 8 класс. Выпуклый многоугольник /10.09.2020/

🤠 Техас: выстрел АВРОРЫ! Шатун Штатов. Бортник: Три месяца Газы. Фронт горит! Броня ТЦК. Запрет УПЦСкачать

🤠 Техас: выстрел АВРОРЫ! Шатун Штатов. Бортник: Три месяца Газы. Фронт горит! Броня ТЦК. Запрет УПЦ

Чему равна сумма углов шестиугольника? #shortsСкачать

Чему равна сумма углов шестиугольника? #shorts

ОГЭ Задание 25 Сумма внешних углов выпуклого многоугольникаСкачать

ОГЭ Задание 25 Сумма внешних углов выпуклого многоугольника

Сумма внешних углов выпуклого многоугольникаСкачать

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника

№ 364 - Геометрия 7-9 класс АтанасянСкачать

№ 364 - Геометрия 7-9 класс Атанасян
Поделиться или сохранить к себе: