Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

В четырёхугольнике ABCD проведём диагональ BD, которая разбивает его на 2 треугольника .

Тогда сумма углов четырёхугольника ABCD равна сумме углов треугольников ΔABD и ΔBDC.
Так как сумма углов треугольника равна 180º , то сумма углов четырёхугольника равна 360º .

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Содержание
  1. Сумма углов четырехугольника
  2. Свойства
  3. Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения
  4. Внутренние и внешние углы четырехугольника
  5. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника
  6. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника
  7. Параллелограмм
  8. Параллелограмм и его свойства
  9. Признаки параллелограмма
  10. Прямоугольник
  11. Признак прямоугольника
  12. Ромб и квадрат
  13. Свойства ромба
  14. Трапеция
  15. Средняя линия треугольника
  16. Средняя линия трапеции
  17. Координаты середины отрезка
  18. Теорема Пифагора
  19. Справочный материал по четырёхугольнику
  20. Пример №1
  21. Признаки параллелограмма
  22. Пример №2 (признак параллелограмма).
  23. Прямоугольник
  24. Пример №3 (признак прямоугольника).
  25. Ромб. Квадрат
  26. Пример №4 (признак ромба)
  27. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
  28. Пример №5
  29. Пример №6
  30. Трапеция
  31. Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).
  32. Центральные и вписанные углы
  33. Пример №8
  34. Вписанные и описанные четырёхугольники
  35. Пример №9
  36. Пример №10
  37. 🌟 Видео
Докажите теорему о сумме углов равна 360°.
Доказательство.

В четырёхугольнике ABCD проведём диагональ BD, которая разбивает его на __________________________.

Тогда сумма углов четырёхугольника ABCD равна сумме __________________________________________
Так как сумма углов треугольника равна ___________, то сумма углов четырёхугольника равна ____________.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Сумма углов четырехугольника

Свойства

  1. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
    ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
    Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна
  2. Если четырехугольник правильный, то каждый угол по 90°
    и этот четырехугольник является квадратом.
    ∠A = ∠B = ∠C = ∠D, ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°,
    ABCD — квадрат.
    Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна
  3. Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°,
    если около четырехугольника описана окружность.
    ∠A + ∠С = ∠В + ∠D = 180°.
    Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Такие четырехугольники называют вписанными.

Это все виды четырехугольников,
которые изучаются в школьном
курсе по геометрии.

Видео:Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?Скачать

Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Видео:Чему равна сумма углов выпуклого многоугольникаСкачать

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнауглы Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаявляются внешними.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаГрадусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаДоказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаДоказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаДоказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнато параллелограмм Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаявляется ромбом.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы 1.

Дано: Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаромб.

Докажите, что Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство (словестное): По определению ромба Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаПри этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаравнобедренный. Медиана Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна(так как Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаТак как Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаявляется прямым углом, то Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна. Аналогичным образом можно доказать, что Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

План доказательства теоремы 2

Дано: Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаравнобедренная трапеция. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Докажите: Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнатогда Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаЗапишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнапроведем параллельную прямую к прямой Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равначерез точку Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна— середину стороны Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнапроведите прямую параллельную Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаКакая фигура получилась? Является ли Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнатрапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаМожно ли утверждать, что Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство. Пусть дан треугольник Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаи его средняя линия Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаПроведём через точку Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнапрямую параллельную стороне Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаПо теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнат.е. совпадает со средней линией Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаТ.е. средняя линия Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнапараллельна стороне Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаТеперь проведём среднюю линию Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаТ.к. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнато четырёхугольник Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаявляется параллелограммом. По свойству параллелограмма Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаПо теореме Фалеса Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаТогда Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаТеорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство: Через точку Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаи точку Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнасередину Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнапроведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равначерез Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнарадиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаЕсть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаи Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаи точка Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнакоторая является серединой отрезка Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнато Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаа отсюда следует, что Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

2) По теореме Фалеса, если точка Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаявляется серединой отрезка Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнато на оси абсцисс точка Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаявляется соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаи Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

3) Координаты середины отрезка Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнас концами Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаи Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаточки Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнанаходятся так:

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнапараллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнакак показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнакак показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнато, Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна— прямоугольный.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаявляются Пифагоровыми тройками, то и числа Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнатакже являются Пифагоровыми тройками.

Видео:Геометрия Докажите что сумма углов четырехугольника равна 360.Скачать

Геометрия Докажите что сумма углов четырехугольника равна 360.

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаДоказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна, стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Решение:

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна(АВ CD, ВС-секущая), Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна(ВС || AD, CD — секущая), Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна(АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнапо стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнакак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнапо трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаУглы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнапо двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнакак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаНо углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнапо двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнакак вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаНо углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаМожно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнапо трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна. По свойству углов четырёхугольника, Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Следовательно, Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнапо двум сторонами и углу между ними.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнапо условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаи Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаПроведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнапараллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаПри помощи циркуля сравните длины отрезков Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаСделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказать: Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство. Проведём через точки Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнапрямые Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнапараллельные ВС. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнапо стороне и прилежащим к ней углам. У них Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнапо условию, Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнакак соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаи Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнакак противоположные стороны параллелограммов Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаПроведём прямую Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна. Через точки Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнапроведём прямые, параллельные прямой Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказать: Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Поэтому Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРДоказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна= 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнакак вертикальные, Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнавнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаравнобедренный. Поэтому Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнасоответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаДоказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна. По свойству внешнего угла треугольника, Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаДоказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаизмеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Из доказанного в первом случае следует, что Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаизмеряется половиной дуги AD, a Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна— половиной дуги DC. Поэтому Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаизмеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнакак вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказать: Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Тогда Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Докажем, что Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна. По свойству равнобокой трапеции, Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Тогда Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнаи, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнацентры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равнавписанного в окружность. Действительно,

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Следовательно, четырёхугольник Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Доказательство теоремы сумма углов четырехугольника равна

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🌟 Видео

Сумма углов треугольника. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

Сумма углов треугольника. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника. Геометрия 7 класс.

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольникСкачать

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольник

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Сумма углов 180 градусовСкачать

Сумма углов 180 градусов

Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний УголСкачать

Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний Угол

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)

Сумма углов треугольникаСкачать

Сумма углов треугольника

Задание 24 Сумма углов четырехугольникаСкачать

Задание 24  Сумма углов четырехугольника

Сумма углов треугольника равна 180Скачать

Сумма углов треугольника равна 180

теорема о внешнем угле треугольника. Доказательство.Скачать

теорема о внешнем угле треугольника. Доказательство.

Доказательство теоремы о сумме углов n-угольникаСкачать

Доказательство теоремы о сумме углов n-угольника

Сумма углов треугольника. ДоказательствоСкачать

Сумма углов треугольника.  Доказательство

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

31. Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

31. Теорема о сумме углов треугольника

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА доказательство 7 класс геометрия АтанасянСкачать

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА доказательство 7 класс геометрия Атанасян
Поделиться или сохранить к себе: