Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником чтобы он был параллелограммом

Рассмотрим, например, теорему «если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны». Построим предложение, обратное данному: «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником». Это ложное высказывание, в чем легко убедиться (в равнобедренной трапеции диагонали равны, но трапеция не является прямоугольником).

Рассмотрим теорему «в равнобедренном треугольнике углы при основании равны». Обратное ей предложение таково: «если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник – равнобедренный». Это истинное предложение и потому является теоремой. Ее называют теоремой, обратной данной.

Для любой теоремы вида АВ (если А, то В) можно сформулировать предложение (если не А, то не В), которое называют противоположным данному. Но это предложение также не всегда является теоремой. Например, предложение, противоположное теореме «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником» будет ложным: «если четырехугольник не является прямоугольником, то в нем диагонали не равны».

В том случае, если предложение, противоположное данному, будет истинно, его называют теоремой, противоположной данной.

Для всякой теоремы вида АВ (если А, то В) можно сформулировать предложение (если не В, то не А), которое называют обратным противоположному. Например, для теоремы «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником» предложение, обратное противоположному, будет таким: «если в четырехугольнике диагонали не равны, то он не является прямоугольником». Это, как известно, предложение истинное, и, следовательно, является теоремой, обратно противоположной данной.

Вообще, для какой бы теоремы мы ни формулировали предложение, обратное противоположному, оно всегда будет теоремой, потому что имеется следующая равносильность: ( АВ) ().

Эту равносильность называют законом контрапозиции.

Теоремы АВ и ВА – взаимообратные, а АВ и – взаимопротивоположные.

1. В следующих теоремах выделим условие и заключение: а) «Для того чтобы разность двух чисел делилась на 2, достаточно, чтобы на 2 делилось уменьшаемое и вычитаемое»;

б) «Для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, чтобы хоты бы один из его углов был прямым».

Решение: а) Слово достаточно относится к предложению «уменьшаемое и вычитаемое делится на 2», следовательно, это предложение и является условием теоремы. Тогда заключение теоремы – «разность двух чисел делится на 2».

б) В данной теореме есть слово «необходимо», которое относится к предложению «чтобы четырехугольник был квадратом». Значит, это и будет условием данной теоремы. А ее заключением в таком случае будет предложение «один из углов четырехугольника прямой».

2. Сформулируем следующие теоремы в виде «если …, то …»:
а) «Перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых также перпендикуляр к другой»; б) «Всякий параллелограмм имеет центр симметрии».

Решение: а) Выделим условие и заключение теоремы: «Перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых» – условие, «перпендикуляр к другой» – заключение. Тогда теорема примет вид: «Если есть перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых, то он является также перпендикуляром к другой прямой».

б) Условие теоремы – «всякий параллелограмм», заключение – «имеет центр симметрии». Нашу теорему тогда можно переформулировать следующим образом: «Если фигура параллелограмм, то она имеет центр симметрии».

3. Дана теорема: «Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то четырехугольник параллелограмм». Сформулируем предложения, являющиеся обратным, противоположным и обратно противоположным.

Решение: Выделим условие и заключение данной теоремы. Условие: «в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны». Заключение: «четырехугольник – параллелограмм».

Поменяв местами условие и заключение, получим теорему, обратную данной: «Если четырехугольник – параллелограмм, то две противоположные стороны равны и параллельны», так как данное предложение истинно.

Заменяя условие и заключение исходной теоремы их отрицаниями, получим теорему, противоположную данной: «Если в четырехугольнике две противоположные стороны не равны или не параллельны, то четырехугольник – не параллелограмм». Это предложение также истинно.

Меняя местами отрицание условия и отрицание заключения, получим истинное предложение, которое является обратно противоположной теоремой: «Если четырехугольник – не параллелограмм, то две противоположные стороны не равны или не параллельны».

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Презентация по математике «НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ В МАТЕМАТИКЕ»

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

УРОК ПО ТЕМЕ: «НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ В МАТЕМАТИКЕ» Класс: 9, 10, 11. Учитель: Абузов Юрий Иванович. Стаж: 42 года. Категория: высшая. Школа: МБОУ СОШ п. Селекция, Кстовского района, Нижегородской области. Дата: январь 2015 года.

Некоторые комментарии. В программе по математике средней школы, где математики в 10-11 классах 4 часа в неделю, а в 5-9 классах 5 часов в неделю нет темы «Необходимые и достаточные условия». Тем не менее, в задачах и теоремах встречаются слова «необходимо и достаточно», «тогда и только тогда», «в том и только в том случае». Определенные трудности испытывают и выпускники школ, когда на лекциях по математике в вузах слышат слова «необходимо и достаточно». Данная тема довольно сложная, вся трудность заключается в ее логическом смысле. Неплохо, если учитель в своей речи уже с пятого класса использует эти слова, не объясняя ученикам их логического смысла. В связи с этим полезно провести уроки на эту тему (на элективе, факультативе, кружке). Включить учащихся в деятельность по открытию необходимых и достаточных условий учитель может только ведя их за собой, показывая образец рассуждений.

Конспект урока. Тема урока. Необходимые и достаточные условия в математике. Тип урока. Урок изучения нового учебного материала. Цель урока. Учащиеся должны знать Необходимые и Достаточные условия и применять их при доказательстве теорем и решении задач.

Структура урока. Актуализация знаний. Введение Необходимых и Достаточных условий. Узнавание Необходимых и Достаточных условий в примерах. Решение задач на Необходимые и Достаточные условия. Подведение итогов. Выдача домашнего задания и его комментирование.

Актуализация. Каждая теорема содержит условие и заключение. Правда, эти части теоремы не всегда бывают отчетливо выделены. Например: диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Очень важно уметь выделять условия и заключения, т.е. представить теорему в виде: Если А (условие), то В (заключение). В нашем примере: Если четырехугольник ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны. Выделите в следующих теоремах условие и заключение: Вертикальные углы равны В прямоугольнике диагонали равны Синусы равных углов равны Косинусы смежных углов отличаются только знаком Разность двух чисел, умноженная на их сумму, равна разности квадратов этих чисел Сумма смежных углов равна 180 градусов Параллелограмм имеет центр симметрии Повторить признаки и свойства параллелограмма.

Определение: В истинной теореме её заключение называют необходимым условием её условия. Сформулируем эту теорему, применяя слово «необходимо»: центральная симметрия необходима для параллелограмма наличие центра симметрии – необходимое условие параллелограмма. Далее идут упражнения на отыскание Необходимых Условий. Можно их приготовить на плакате, кодопленках, компьютере.

Найдите Необходимые Условия параллелограмма АВСД: Методика выполнения такая: составь теорему установи, истинна она или нет если истинна, то соответствующее заключение есть Необходимые Условия параллелограмма. Если теорема ложная, то заключение не является Необходимым Условием. М – центр симметрии СД = АВ ВД = АС ∠ А= ∠ В ∠ А= ∠ С Δ АВС= Δ АДС ∠ А= ∠ Д ∠ А+ ∠ Д=180° МА = МС, МВ = МД

Рассмотрим «Достаточные условия».

Формулировка Определение: В верной теореме её условие называется Достаточным Условием её заключения. Сформулируем эту теорему, используя слово «достаточно»: вертикальность углов достаточна для их равенства чтобы углы были равны, достаточно их вертикальности.

Свойства и признаки параллелограмма. Если четырёхугольник – параллелограмм, то Четырёхугольник – параллелограмм, если противоположные стороны попарно равны противоположные углы попарно равны диагонали точкой пересечения делятся пополам две противоположные стороны равны и параллельны

Теорема о диагоналях параллелограмма. Сформулируем теорему о диагоналях параллелограмма. Для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делились пополам. Часто вместо слов «необходимо и достаточно» употребляют другие, например, «тогда и только тогда», «в том и только в том случае».

8. Непрерывность есть … условие дифференцируемости. Ответ: Н 9. Дифференцируемость функции — … условие непрерывности. Ответ: Д 10. Для делимости суммы «а + в» на 3, … чтобы каждое слагаемое делилось на 3. Ответ: Д 11. Чтобы треугольник был прямоугольным, … чтобы квадрат большей стороны был бы равен сумме квадратов двух других его сторон. Ответ: Н и Д 12. Третий признак равенства треугольников есть … условие равенства треугольников. Ответ: Н и Д 13. Равенство производной в точке нулю или её не существование в точке есть … условие экстремума функции. Ответ: Н 14. Центр симметрии есть … условие параллелограмма. Ответ: Н и Д

Упражнения на доказательство

Подведение итогов урока. Выдача домашнего задания и его комментирование.

Рассмотрим решение некоторых заданий.

Заполнить пропуски словами: «необходимо, но недостаточно», «достаточно, но не необходимо», «необходимо и достаточно», «не необходимо и недостаточно». 1. Для того, чтобы треугольник был равнобедренным, … , чтобы одна из его высот была медианой Ответ: Н и Д 2. Чтобы четырехугольник был параллелограммом, … , чтобы какие-нибудь два угла его составляли в сумме 180 градусов Ответ: Н, но не Д 3. Чтобы четырехугольник был параллелограммом, … , чтобы он имел три прямых угла Ответ: Д, но не Н 4. Чтобы данная точка являлась центром вписанной в треугольник окружности, … , чтобы она лежала на одной из биссектрис углов треугольника Ответ: не Н и не Д 5. Для того, чтобы два ненулевых вектора были перпендикулярны, … , чтобы их скалярное произведение было равно нулю Ответ: Н и Д 6. Чтобы один из углов треугольника был равен 30 градусов, … , чтобы длина одной из сторон была равна половине другой стороны Ответ: не Н и не Д 7. Чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, … , чтобы он был равнобедренной трапецией Ответ: Д, но не Н Алгоритм выполнения упражнений: Составь теорему Составь теорему, обратную данной Проверь их на истинность Выбери нужные слова Сформулируй ответ

Видео:№951. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдите егоСкачать

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ для выполнения какого-либо верного утвержде ния (предложения, суждения) — всякое условие, из которого следует это утвер ждение. Например, для делимости целого многозначного числа на 4 достаточным условием является окончание этого числа по крайней мере двумя нулями. Но это условие — равенство двух последних цифр целого числа нулю — не является необходимым условием для делимости целого числа на 4. Однако можно указать такое условие делимости цедрго многозначного числа на 4, которое будет и необходимым и достаточным; это условие состоит в том, что двузначное число, на которое оканчивается многозначное число, должно делиться на 4. Действительно, если двузначное число, на которое оканчивается многозначное число, делится на 4, то и все многозначное число делится на 4, и обратно — верно, если многозначное число делится на 4, то и двузначное число, на которое оно оканчивается, делится на 4.
Достаточное условие является одним из важнейших понятий математики и часто встречается в формулировках теорем наряду с необходимым условием. Достаточное условие называется также достаточным признаком для выполнения какого-либо верного утверждения. Для выполнения какого-либо утверждения можно указать не один, а несколько достаточных условий. Например, для того чтобы выпуклый четырехугольник был параллелограммом, достаточно одного из условий: 1) чтобы любые две его противоположные стороны были равны и параллельны друг другу; 2) чтобы в точке пересечения его диагонали делились пополам; 3) чтобы этот четырехугольник имел центр симметрии. См. также Необходимое условие, Критерий, Теорема.

📽️ Видео

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№6 - Прямоугольник. Ромб. Квадрат.)Скачать

Прямоугольник. 8 класс.Скачать

Параллелограмм. Свойства. Прямоугольник, ромб, квадрат. ЗАДАЧИСкачать

Параллелограмм. 8 класс.Скачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.Скачать

А.5.3 Четырехугольники (+ Д/З)Скачать

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,Скачать

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

ЕГЭ 2017 Четырехугольник и окружность (Планиметрия) Задание 16Скачать

Четырехугольники. Вебинар | МатематикаСкачать

Площадь параллелограммаСкачать

№428. В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов.Скачать