Вычислить работу силы вектора

как найти работу силы вектора F(1,-2,3)на пути из точки А (0,0,1) в точку В (-1,-1,-1)

Работа силы по перемещению на пути из точки А в точку B определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения. Вектор перемещения равен АВ = (-1-0; -1-0 -1-1) = (-1; -1: -2). Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2), вычисляется по формуле (x1x2 + y1y2 + z1z2). Подставляя сюда координаты векторов силы и перемещеня, получаем ответ A = -5. Обратите внимание на знак минус перед числом.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Вычислить работу силы вектора

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Мощность и работа силы в теоретической механике

Содержание:

Работа силы м мощность силы:

«Работа — это изменение формы движения, рассматриваемое с его количественной стороны» (Энгельс)

Видео:Работа силы на пути от точки до точки составляетСкачать

Работа силы на пути от точки до точки составляет

Понятие работы

Энергия может переходить из одного вида в другие. Например, потенциальная энергия воды, поднятой плотиной на гидроэлектростанции, переходит в кинетическую энергию вращающихся турбин, которая в свою очередь превращается в электрическую энергию, по проводам передается на большие расстояния, чтобы опять перейти в кинетическую энергию станков, в тепловую энергию электропечей, в световую, в звуковую и в прочие виды энергии. При всех этих явлениях исчезает (или возникает) такое же количество каждого вида энергии, сколько возникает (или исчезает) энергии всех прочих видов. Это изменение энергии, изменение формы движения, рассматриваемое с количественной стороны, Энгельс называет работой.

Из множества различных видов движения в теоретической механике интересуются только механическим движением. Переход механического движения в немеханическое или же, наоборот, немеханического в механическое происходит на протяжении некоторого пути и зависит от действующих сил. Поэтому понятие работы в механике связано с понятиями перемещения и силы.

Работу постоянной силы при прямолинейном движении выражают произведением модуля силы на величину перемещения материальной частицы и на косинус угла между направлением силы и перемещением А = Fs cos α

Работа постоянной силы при прямолинейном движении

Знакомство с понятием работы силы в механике начнем с частного случая — работы постоянной силы при прямолинейном движении точки ее приложения.

Пусть к некоторой материальной частице приложена сила F, постоянная по величине и по направлению. Пусть точка приложения силы переместилась на прямолинейный отрезок s . В таком случае произведение

выражает работу постоянной силы F при прямолинейном движении и характеризует механическое воздействие на материальную частицу со стороны других материальных объектов на данном пути.

Работа является скалярной величиной, она не имеет направления и вполне характеризуется величиной и знаком. В формуле (218) модуль силы F и длина пути s всегда положительны. Знак « + » или «—» определяются знаком косинуса угла α между направлением силы и перемещения или, так как при прямолинейном движении точки перемещение совпадает с направлением скорости υ, косинусом угла между направлением силы и скорости. Работа положительна, если угол (Fυ) острый, и отрицательна, если он тупой. Если направление F совпадает с направлением перемещения, то угол (Вычислить работу силы вектора

Если же сила направлена противоположно перемещению, то (Вычислить работу силы вектора) = 180 o , cos(Вычислить работу силы вектора) = — 1 и

Сила, перпендикулярная к перемещению, работы не совершает, так как cos 90° = 0.

Определим размерность работы. В физической системе единиц

Вычислить работу силы вектора

Единицей работы в СИ является джоуль 2 — работа силы в 1 ньютон, действующей по направлению перемещения на пути в 1 метр (1 дж= 1 н ∙ 3t = l кг ∙ м 2 ∙ ceκ -2 ).

Размерность работы в технической системе единиц

Вычислить работу силы вектора

Если сила выражена в кГ, а длина — в м, то единицей работы является 1 килограммометр.

Размерности работы и кинетической энергии одинаковы.

Элементарной работой силы называют работу силы на столь малом перемещении точки ее приложения, при котором изменением силы можно пренебречь:
Вычислить работу силы вектора

Элементарная работа силы

В общем случае, если сила переменна или движение точки приложения силы криволинейное, определять работу силы по (218) нельзя. Но, разбив мысленно весь путь на такие маленькие участки, которые можно считать прямолинейными и на которых можно пренебречь изменением величины и направления силы, мы определим на каждом из этих участков работу, называемую элементарной работой силы:

Вычислить работу силы вектора(219)

В этом равенстве ds выражает длину элементарного перемещения и является величиной всегда положительной.

Зная работу силы (219) на отдельных элементах пути, можно определить работу на конечном участке. Докажем некоторые теоремы о работе силы.

Элементарная работа равнодействующей равна сумме элементарных работ составляющих:
Вычислить работу силы вектора

Теорема об элементарной работе равнодействующей. Пусть к точке О приложен пучок сил F1, F2. Fn. Обозначим равнодействующую этого пучка F. Спроецируем все силы пучка и равнодействующую на направление скорости точки О и приравняем проекцию равнодействующей сумме проекций составляющих:
Вычислить работу силы вектора

Умножив теперь каждый член этого равенства на длину ds элементарного перемещения точки приложения сил, найдем, что элементарная работа равнодействующей равна сумме элементарных работ составляющих:

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора(220)

Под суммой следует понимать, конечно, алгебраическую сумму, потому что работа не имеет направления, но имеет знак.

Элементарная работа силы связана с проекциями силы на оси координат соотношением: dA = Xdx+ Ydy + Zdz

Выражение элементарной работы через проекции силы на оси координат

Разложим силу F на составляющие по осям координат и определим элементарную работу силы по сумме работ ее составляющих. Пусть составляющие силы направлены в положительном направлении осей координат. Тогда углы между составляющими силы и скоростью являются углами между скоростью и положительными направлениями осей координат, а их косинусы определяются формулами (62) направляющих косинусов скорости. В таком случае имеем

Вычислить работу силы вектора

или, подставляя значения направляющих косинусов,
Вычислить работу силы вектора

сокращая на ds, получаем окончательно

Вычислить работу силы вектора(221)

Формула (221) имеет очень большое значение в динамике. При. выводе этой формулы мы считали X, Y и Z направленными положительно по осям координат. Если какие-либо из составляющих силы направлены в противоположные стороны, то иным станет знак соответствующего косинуса. Поэтому в (221) X, Y и Z являются не модулями составляющих, а проекциями силы на оси координат, т.е. определяются не только величиной, но и знаком. Кроме того, в отличие от (219), где всегда ds>0, в (221) величины dx, dy и dz являются дифференциалами координат точки приложения силы и могут быть как положительными, так и отрицательными.

Заметим, что в общем случае дифференциальный трехчлен X dx + Y dy + Z dz не является полным дифференциалом и обозначение элементарной работы dA не следует понимать как полный дифференциал от А.

Работу силы на данном пути выражают пределом суммы всех элементарных работ силы на элементарных перемещениях, из абсолютных величин которых составляется данный путь:
Вычислить работу силы вектора

Работа силы на данном пути. Возьмем какие-либо два положения M1 и M2 точки на ее криволинейной траектории. Работа А силы F на конечном перемещении M1M2 выразится суммой элементарных работ силы F на всех элементарных перемещениях, на которые разбит конечный участок пути M1M2.

Эта сумма состоит из бесчисленного множества бесконечно малых слагаемых. Такую сумму называют криволинейным интегралом, взятым по дуге M1M2, и обозначают так:

Вычислить работу силы вектора(222)

или, если воспользоваться выражением элементарной работы через проекции силы на оси координат,

Вычислить работу силы вектора(222′)

Если на точку действуют несколько сил, то, очевидно, работа равнодействующей на конечном участке пути равна сумме работ составляющих на том же участке пути.

Так как сила, вообще говоря, зависит от координат точки ее приложения, от проекций скоростей точки и от времени:

Вычислить работу силы вектора

то мы можем вычислить интеграл (222′) только в случае, если известно движение точки. Подставив тогда вместо Вычислить работу силы вектораих выражения в зависимости от времени, мы сможем представить работу силы в виде интеграла

Вычислить работу силы вектора

где t1 и t2 — мгновения, соответствующие положению точки в M1 и M2.

Работа графически выражается площадью, ограниченной кривой, изображающей зависимость проекции силы на скорость от пути, осью абсцисс и крайними ординатами

Графическое определение работы

Ввиду сложности математического вычисления работы па практике часто пользуются для этой цели графическим методом. Будем откладывать по оси абсцисс длину пути, пройденного точкой, а по оси ординат — соответствующую проекцию силы на направление скорости, учитывая и знак проекции. Получим некоторую кривую, изображающую зависимость между проекцией силы на направление скорости и путем точки. Площадь, ограниченная этой кривой, осью абсцисс и двумя крайними ординатами, изображает работу силы на данном пути. Если кривая или часть ее расположена по отрицательную сторону, вниз от оси абсцисс, то соответствующая площадь изображает отрицательную работу.

Для построения графика зависимости силы от пути имеются различные приборы. В частности, специальный прибор — индикатор— служит для записи давления в цилиндре в зависимости отхода поршня. Работу, вычисленную при помощи индикаторной диаграммы, т.е. диаграммы, начерченной этим прибором, называют индикаторной работой.

Работа силы тяжести не зависит от вида траектории центра тяжести тела и равна произведению веса тела на изменение высоты центра тяжести тела: AG=Gh

Работа силы тяжести

Складывая веса всех частиц тела, заменим их одной силой G, равной весу тела и приложенной в центре тяжести С. Пусть при движении тела центр тяжести тела переместился из C1(x1, yl, z1) в C2 (x2, y2, Z2) (рис. 210). Определим проекции веса на оси координат, считая, что Oz направлена вертикально вверх:

и, подставив их в (222′), получим под знаком интеграла полный дифференциал, а потому

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора
Рис. 210

Следовательно, работа силы тяжести не зависит от вида траектории точек тела и равна произведению веса тела на разность начальной и конечной высот центра тяжести. Если тело опускается, то сила тяжести тела совершает положительную работу, а если поднимается, то отрицательную. Так, например, если человек поднял гирю весом 10 кГ на высоту одного метра (безразлично—по вертикали или по иной траектории), то работа силы тяжести равна —10 кГ м, а работа человека на преодоление силы тяжести равна +10 кГ м.

Элементарная работа силы, приложенной к телу, закрепленному на неподвижной оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения на бесконечно малый угол поворота: dА = Mdφ

Работа силы, приложенной к вращающемуся телу

Пусть тело вращается (или может вращаться) вокруг неподвижной оси и к какой-либо точке К этого тела приложена сила F. Примем ось вращения тела за ось Oz прямоугольной системы координат. Элементарная работа силы выразится равенством

Вычислить работу силы вектора(221)

Припомним формулы Эйлера, связывающие проекции вращательной скорости точки К (х, у, z) с угловой скоростью и координатами этой точки:

Вычислить работу силы вектора(89)

Умножая эти равенства на dt, найдем приращения координат точки приложения силы:

Вычислить работу силы вектора

Подставим эти выражения dx, dy и dz в формулу (221)

Вычислить работу силы вектора

Разность, стоящая в скобках, выражает момент данной силы относительно оси вращения Oz:

Вычислить работу силы вектора(23)

а следовательно, элементарная работа силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению момента силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота:

Вычислить работу силы вектора(224)

Если на тело действует несколько сил, то, составив такие равенства для определения работы каждой из них и просуммировав, найдем, что элементарная работа всех сил равна произведению главного момента сил относительно оси вращения на dφ.

Чтобы определить работу силы, действующей на тело при его повороте от φ1 до φ2, надо проинтегрировать уравнение (224) в этих пределах, выразив момент силы в функции угла поворота:

Вычислить работу силы вектора(225)

В частном случае постоянного момента силы

работа равна произведению момента силы на угол поворота тела.

Задача №1

Однородный массив ABED, размеры которого указаны на чертеже (рис. 211, а), весит 4 Т. Определить работу, которую необходимо произвести, чтобы опрокинуть его вращением вокруг ребра D.

Вычислить работу силы вектора
Рис. 211

Решение. 1-й способ. Рассматриваем опрокидывание массива. Какие силы действуют на массив? Их две: вес массива G=4 Т, приложенный в его центре тяжести С, и реакция фундамента. Во время опрокидывания реакция приложена в ребре D, вокруг которого происходит опрокидывание (рис. 211,6), как известно из статики). Но во время опрокидывания ребро D неподвижно, поэтому работа реакции равна нулю. Работу веса (силы тяжести) определим по (223). Для опрокидывания массива достаточно повернуть его до положения неустойчивого равновесия, изображенного на рис. 211, в, при котором центр тяжести находится в вертикальной плоскости, проходящей через ребро D; далее массив опрокинется сам. Имеем
Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора
Такова работа силы тяжести при опрокидывании массива. Чтобы опрокинуть массив, надо произвести работу, такую же по величине и обратную по знаку.

2-й способ. Несколько сложнее получится решение задачи, если мы воспользуемся формулой (225) о работе сил, приложенных к вращающемуся телу.

На поворачиваемый вокруг ребра D массив действуют вес и реакция в ребре D. Момент реакции относительно оси вращения равен нулю, следовательно, равна нулю и работа реакции. Момент веса — величина переменная — равен произведению силы 4 T на плечо CD cos φ, где φ (см. рис. 211, б) —угол, составляемый CD с горизонтальной плоскостью:

Определим пределы интегрирования. При начале работы массив стоял вертикально, высота центра тяжести была 4 м и

Вычислить работу силы вектора

Угол считаем отрицательным, так как отсчет производим по ходу часов:

В конечном положении (см. рис. 211, в)

Вычислить работу силы вектора

Подставляя в (225), получаем

Вычислить работу силы вектора

Мы определили работу восстанавливающего момента, вызванного силой тяжести и стремящегося восстановить устойчивое равновесие массива. Работа на опрокидывание массива вращением вокруг ребра D равна ей по величине и противоположна по знаку.

Задача №2

Определить работу на преодоление силы земного притяжения при запуске на высоту 30 000 м ракеты массой m = 2000 кг, считая силу притяжения изменяющейся по закону всемирного тяготения. Радиус земного шара принять R = 6 370 000 м.

Решение. На ракету действует сила, направленная к центру Земли и равная

Вычислить работу силы вектора

где k — постоянный коэффициент пропорциональности, M — масса Земли, Вычислить работу силы вектора— масса ракеты и x = h + R — расстояние ракеты от центра Земли.

Обозначая kM через μ, имеем

Вычислить работу силы вектора

При x=R ракета находится на поверхности Земли и F = mg,

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора

Зная μ и k, можно определить массу Земли, потому что k = μ : M.

Работу переменной силы F на перемещение ракеты с поверхности Земли на высоту h= 30 000 м определим по (222):

Вычислить работу силы вектора

Отрицательный знак показывает, что при подъеме ракеты сила тяготения ракеты к Земле направлена против движения. Чтобы преодолеть эту силу на заданном расстоянии, надо совершить работу, такую же по величине, но положительную по знаку.

Ответ. A = + 5 621 262 369 дж.

Задача №3

Доказать, что сумма работ внутренних сил абсолютно твердого тела при всяком перемещении тела равна нулю.

Решение. Рассмотрим две точки А и В твердого тела (рис. 212). Силы взаимодействия этих точек всегда равны между собой и направлены по прямой AB в противоположные стороны.

Проекции скоростей точек А и В на прямую AB всегда равны между собой:

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора
Рис. 212

Поэтому при любом перемещении работы сил взаимодействия точек A и В равны по величине, но обратны по знаку, и сумма работ равна нулю

Вычислить работу силы вектораВычислить работу силы вектора

Доказательство проведено для двух точек абсолютно твердого тела, за которые мы можем принять любые точки тела, а потому оно относится ко всем точкам твердого тела. В случае упругого тела или изменяемой системы точек сумма работ внутренних сил не равна нулю. Так, например, при падении камня на Землю силы взаимодействия между камнем и Землей (внутренние силы системы Земля —камень) равны и противоположны, но сумма работ этих сил не равна нулю.

Ответ. Сумма работ всех внутренних сил в абсолютно твердом теле при всяком перемещении тела равна нулю.

Работа упругой силы равна половине произведения коэффициента жесткости на квадрат деформации:
Вычислить работу силы вектора

Работа упругой силы. Определим работу упругой силы F пружины при растяжении ее на λ см, если для растяжения этой пружины на 1 см необходима сила с кГ (рис. 213). Сначала определим работу, которую необходимо совершить для растяжения этой пружины на λ см.

Вычислить работу силы вектора
Рис. 213

Согласно одному из основных законов теории упругости и сопротивления материалов, называемому законом Гука, растяжение нагруженного тела прямо пропорционально нагрузке:

де F — нагрузка, х—растяжение и с — коэффициент жесткости.

Подставляя это значение F в (221) и интегрируя в пределах от О до λ, найдем работу, необходимую для искомой деформации пружины:

Вычислить работу силы вектора(227)

Если к пружине приложить силу, например растягивать пружину рукой, то со стороны пружины возникнет реакция, называемая упругой реакцией, или упругой силой, пружины. По принципу равенства действия и противодействия упругая сила равна и противоположна растягивающей силе F, а поэтому работа упругой силы определяется найденным значением. Знак работы упругой силы отрицателен, если сила упругости направлена против деформации, т. е. если деформация увеличивается, и положителен, если деформация уменьшается.

Задача №4

Применить графический метод для вывода формулы (227).

Решение. Будем откладывать (рис. 214) по оси абсцисс растяжение пружины, а по оси ординат—силу F, потребную для этого растяжения, затем построим по точкам кривую зависимости между силой и перемещением точки приложения силы. В нашем случае это кривая первого порядка, т. е. прямая линия.

Вычислить работу силы вектора
Рис. 214

Первую точку поставим в начале координат, так как при отсутствии растягивающей силы растяжение пружины равно нулю. Чтобы растянуть пружину на 1 см, нужна сила с кГ, поэтому вторая точка кривой имеет координаты х=1, у =с Если сила с кГ будет продолжать действовать на пружину, то пружина будет оставаться растянутой на один сантиметр, но чтобы растянуть пружину еще на один сантиметр, надо увеличить силу еще на с кГ. Следовательно, координаты третьей точки x=2, y=2c и т. д. Для растяжения пружины на λ си нужна сила в cλ кГ. Точка x = λ, y = cλ лежит на прямой, соединяющей все нанесенные точки. Проведя ординату крайней точки, получим треугольник с основанием λ и высотой cλ.

Ответ. Работа выражается площадью этого треугольника, т. е.
Вычислить работу силы вектора
Заметим, что работа упругой силы выражается полученным равенством не только в рассмотренном нами частном случае. Эта формула относится в равной мере ко всем случаям упругой деформации, в которых упругая реакция подчиняется закону Гука F = сх, где х—перемещение точки приложения реакции, отсчитанное от положения этой точки при недеформированном состоянии тела, ас — постоянный коэффициент. Сюда относятся растяжение и сжатие прямолинейного бруса, изгиб балки и т. п.

Величину, характеризующую быстроту приращения работы Силы и выражающуюся отношением элементарной работы к дифференциалу времени, называют мощностью силы:
Вычислить работу силы вектора

Видео:Работа векторного поляСкачать

Работа векторного поля

Мощность силы

Одну и ту же работу можно произвести за различное время. Величину, характеризующую быстроту приращения работы, называют мощностью силы и обозначают буквой N. Разделив работу, произведенную силой, на время, в течение которого эта работа произведена, получим значение средней мощности силы:
Вычислить работу силы вектора

B этом смысле говорят, хотя и несколько нечетко, что средняя мощность — это работа за единицу времени. При таком определении получается, что мощность является работой, или элементарной работой, чего не может быть, так как мощность имеет свою размерность. В физической системе единиц

Вычислить работу силы вектора

Единицей мощности в СИ является мощность силы, производящей работу в один джоуль за одну секунду. Эту единицу называют ватт1 и обозначают вт. На практике часто употребляют единицу мощности киловатт (квт):

1 κвт= 1000вт =l02 кГ •м/сек.

В технической системе единиц

Вычислить работу силы вектора

В технической системе в качестве единицы мощности силы обычно применяют кГм/сек. Употребляют также другую единицу мощности, называемую лошадиной силой:

1 л. с. = 75 кГ • м/сек = 736 вт.

Чем меньше промежуток времени, за который определена средняя мощность силы, тем ближе она соответствует мощности в данное мгновение, которую мы определим в пределе, если будем уменьшать промежуток времени, сохраняя начало этого промежутка:

Вычислить работу силы вектора(228)

Таким образом, мощность силы выражают отношением элементарной работы к дифференциалу времени.
При некоторых частных выражениях работы мощность можно определить по другим формулам. Так, например, если сила направлена по скорости, то dA=Fds, и, подставляя в (228), найдем

т. е. мощность можно выразить произведением силы на скорость. При езде на автомобиле по ровной хорошей дороге, где нужно получить большую скорость, но не надо преодолевать большие сопротивления, включают высшие передачи, а при подъеме или на плохой дороге, где нужно развить при полной мощности возможно большую силу тяги, хотя бы и за счет потери скорости, включают низшие передачи.

Если сила выражена в килограммах, скорость —в км/ч, а мощность надо выразить в л. с., то формула (229) принимает следующий вид:

Вычислить работу силы вектора

При вращательном движении тела подставим вместо dA его выражение (224):

Вычислить работу силы вектора(230)

т. е. мощность выражается произведением вращающего момента и угловой скорости.

Задача №5

Тягач, развивая мощность 80 л. с., тянет по горизонтальной ледяной дороге со скоростью 15 км/ч сани с грузом 36 т. Определить коэффициент трения саней о дорогу.

Решение. За основные единицы примем: L — в км, F —в кГ, T — в ч.

На сани действуют следующие силы: 1) вес 36 000 кГ, направленный вертикально вниз, 2) реакция дороги, направленная вертикально вверх; 3) сила тяги тягача, направленная горизонтально вперед по ходу саней, и 4) сила трения полозьев о дорогу, направленная горизонтально назад.

Работа вертикальных сил при горизонтальном движении саней равна нулю, и эти силы нас не интересуют.

Сани движутся равномерно, откуда следует, что горизонтальные силы уравновешивают друг друга. Следовательно, сила тяги F уравновешена силой трения, равной, как известно, произведению коэффициента трения на нормальное давление (36 000 кГ). Подставляя эти данные, найдем

Вычислить работу силы вектора,

Вычислить работу силы вектора

Решим теперь эту же задачу в СИ, т. е. примем L в м, M—в кг, T — в сек. Мощность силы, развиваемую тягачом, выразим в ваттах:

N = 80∙736 = 58 880 вт,

скорость —в метрах в секунду:
Вычислить работу силы вектора

силу трения выразим в ньютонах:
Вычислить работу силы вектора

и, пользуясь формулой (229), получим ответ.

Ответ. Вычислить работу силы вектора

Задача №6

Определение мощности машины можно произвести следующим образом. На вал машины надевают чугунный шкив, который центрируют и закрепляют наглухо зинтами (рис. 215). На шкив надевают две связанные болтами деревянные подушки, одна из которых имеет плечо l с чашкой для грузов Q. Противовес P подбирают так, чтобы свободно надетый на шкив нажим находился в равновесии без гирь Q в горизонтальном положении, т. е. так, чтобы плечо проходило между двумя неподвижными балками А и В. Испытание начинают с того, что затягивают болты подушек до тех пор, пока машина не даст наперед заданное число оборотов n. Коромысло прижимается при этом к неподвижной балке А. Затем начинают накладывать на чашку гири до тех пор, пока плечо не отстанет от А и не займет горизонтальное положение между А и В.

Вычислить работу силы вектора
Рис. 215

Определить мощность, если вес гирь известен и равен Q, длина плеча равна l а число оборотов в минуту n. Подобрать длину плеча так, чтобы мощность выражалась формулой N = Qn вт.

Решение. Центр тяжести подушек с противовесом P по условию задачи лежит на одной вертикали с осью шкива На шкив действуют вращающий момент и момент сил трения, сумма которых равна нулю, так как шкив вращается равномерно.

Чтобы определить момент сил трения, рассмотрим равновесие подушки и составим сумму моментов действующих на нее сил относительно оси вала:

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора

Пусть вес выражен в кГ, а длина —в м, тогда для выражения мощности в вт надо эту величину разделить на 0,102 или умножить на 9,81:

Вычислить работу силы вектора

Если l = 0,98 м, то N = Qn вт.

Ответ. N = 1,026 Qln вт. Если l = 0,98 м, то N = Qn вт.

Задача №7

Посредством ремня (рис. 216) передается мощность 20 л. с. Радиус ременного шкива 50 см, число оборотов в минуту 150.

Предполагая, что натяжение T1 ведущей ветви вдвое больше натяжения T2 ведомой ветви, определить натяжение T1 и T2.
Вычислить работу силы вектора

Решение. Условие задачи дано в технической системе единиц, будем решать в СИ и выражать L — в .и, F — в н, Т —в сек.

Момент натяжения ремня, взятый относительно оси вращения шкива

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора

Мощность 20 л. с. выразим в ваттах.

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора

Натяжение ведущей ветви в два раза больше.

Ответ. T1 = 3750 н; T2= 1875 н. В задачнике И. В. Мещерского ответ дан в кГ, умножая число ньютонов на 0,102, выразим натяжение ремней в килограммах: T2 = 382 κΓ, T1= 191 кГ.

Теоремы об изменении кинетической энергии точки и системы

Изменение кинетической энергии материальной точки равно работе, приложенной к точке силы:
T-T0=A

Вычислить работу силы вектора(127)

Умножим первое из этих уравнений наВычислить работу силы вектора, второе—на Вычислить работу силы вектораи третье—на Вычислить работу силы вектора. Сокращая dt в знаменателях правых и левых частей, получим:

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора

Сложим все три уравнения и заменим в левой части сумму дифференциалов дифференциалом суммы:

Вычислить работу силы вектора

В числителе левой части имеем квадрат полной скорости (64), а правая часть выражает элементарную работу силы (221). Следовательно,

Вычислить работу силы вектора(231)

т. е. дифференциал кинетической энергии равен элементарной работе. Интегрируя равенство (231), получим

Вычислить работу силы вектора

Постоянную интеграции определим из начальных данных. В начальное мгновение скорость точки υ = υ0, а работа равнялась нулю. Подставляя эти данные, получим

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора(232)

Равенство (232) словами можно прочитать так: изменение кинетической энергии материальной точки при перемещении этой точки на каком-либо участке пути равно работе силы, приложенной к точке, на том же участке пути. Уравнение (232) называют уравнением кинетической энергии.

Если на материальную точку действует несколько сил, то А означает работу равнодействующей приложенных к точке сил.

Уравнение (232) можно записать более коротко:

Задача №8

Самолет делает посадку с выключенным мотором на болотистую местность. Какую максимальную горизонтальную скорость v может иметь самолет, не рискуя капотировать (опрокинуться), если расстояние ОС центра тяжести от оси шасси равно с и угол наклона прямой СО с вертикалью в мгновение посадки равняется а (рис. 217).

Вычислить работу силы вектора
Рис. 217

Решение. Опрокидывание самолета происходит от того, что при соприкосновении с Землей скорость шасси уменьшается, а корпус продолжает двигаться с постоянной скоростью. Для капота достаточно (и необходимо), чтобы центр тяжести, поднявшись, оказался на вертикали, проходящей через ось шасси.
Так как работа силы тяжести не зависит от траектории центра тяжести, а зависит лишь от его вертикального перемещения, то работа силы тяжести при опрокидывании (рис. 218)

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора
Рис. 218

Вертикальная скорость самолета теряется при ударе о Землю, но горизонтальная сохраняется. Если при спуске самолета шасси остановится, то оставшаяся кинетическая энергия Вычислить работу силы векторауйдет на опрокидывание самолета:

Вычислить работу силы вектора

Решая это уравнение, находим ответ.

Ответ. Вычислить работу силы вектора

Задача №9

Пренебрегая сопротивлением атмосферы, определить, с какой наименьшей скоростью надо бросить материальную точку вертикально вверх, чтобы она не вернулась на Землю.

Решение. Сила, действующая на брошенную с Земли точку, пропорциональна массе точки и обратно пропорциональна квадрату расстояния точки от центра Земли:

Вычислить работу силы вектора

Коэффициент пропорциональности был определен при решении задачи № 155:

Вычислить работу силы вектора

Материальная точка, получив начальную скорость υ0, будет удаляться от Земли, при этом под действием силы F скорость ее будет уменьшаться, уменьшаться будет и сила F. Материальная точка не вернется на Землю, если в мгновение, когда скорость ее станет равной нулю, перестанет действовать и сила. Сила притяжения обратится в нуль при r = ∞.

Работу силы А при изменении r от R до ∞ выразим интегралом

Вычислить работу силы вектора

Знак минус перед интегралом взят потому, что сила направлена в сторону, противоположную движению. Подставляем в (232):

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора

Подставляя числовые данные, получим ответ.
Ответ. Вычислить работу силы вектора(2-я космическая скорость).

Задача №10

В автоматическом оружии отдача используется для выбрасывания пустой гильзы и вкладывания нового патрона. Это осуществляется посредством специального кожуха, сдерживаемого пружиной, который «принимает на себя» отдачу, отскакивает назад и под действием пружины возвращается обратно, производя упомянутые операции. Какова должна быть скорость пули, достаточная для того, чтобы работал автоматический пистолет, если вес пули 8 Г, вес кожуха 250 Г, расстояние, на которое отскакивает кожух, 3 см и сила, необходимая для сжатия пружины на 1 см, равна 4 кГ?

Решение. Путь кожуха 3 см. На этом пути начальная скорость кожуха υ0 уменьшается, достигая нуля. Механическое движение кожуха переходит в упругую энергию пружины. Следовательно, применима теорема об изменении кинетической энергии, пользуясь которой, определим начальную скорость кожуха, так как конечная скорость равна нулю:

Вычислить работу силы вектора

Упругая сила пружины изменяется по закону Гука F = cx; подставляя вместо F и х их заданные значения, находим

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора

Подставляя в (221) и интегрируя в пределах от 0 до 3, находим

Вычислить работу силы вектора

Работа отрицательна, так как упругая сила пружины направлена против ее деформации и выражена в кГ . см. Выразив в тех же единицах кинетическую энергию кожуха, найдем его начальную скорость:

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора

Итак, после выстрела кожух начал двигаться со скоростью 3,76 м/сек и, пройдя 3 см, остановился, затратив свое механическое движение на сжатие пружины.

После выстрела механическое движение получил не только кожух, но и пуля. Мы не будем больше рассматривать переход механического движения в упругую энергию пружины, а рассмотрим лишь механическое движение кожуха и пули.

Рассмотрим систему, состоящую из пистолета (с кожухом) и пули. Построим оси координат, проведя Ox вдоль дула пистолета. Проекция внешних сил на ось Ox равна нулю. Сила взрыва— внутренняя сила системы и, следовательно, центр масс системы не смещается по оси Ох, и сумма проекций количеств движения после выстрела, как и до выстрела, равна нулю:

Вычислить работу силы вектора

откуда скорость пули

Вычислить работу силы вектора

Знак минус показывает, что скорость пули направлена в сторону, противоположную скорости кожуха. Если скорость пули будет меньше, будет меньше и количество движения пули, а потому уменьшится и количество движения кожуха. Если же уменьшится количество движения кожуха, то уменьшится и его кинетическая энергия и ее будет недостаточно для совершения работы — сжатия пружины на 3 см, т. е. при меньшей начальной скорости пули пистолет не будет автоматически перезаряжаться. При большей скорости пули избыток кинетической энергии кожуха будет передаваться ударом на руку.

Ответ. υ=120 м/сек.

Изменение кинетической энергии материальной системы равно сумме работ внешних и внутренних сил системы: T-T0 = А

Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы

Пусть механическая система состоит из п материальных точек. Разбив на две категории все силы, действующие на точки системы, напишем дифференциальные уравнения в форме (130):

Вычислить работу силы вектора

где k = 1, 2, 3, . n.

Рассмотрим отдельно какую-либо из точек системы и напишем для нее уравнение кинетической энергии. На эту точку действуют как внешние, так и внутренние силы, и в правой части уравнения кинетической энергии мы напишем сумму работ внешних и внутренних сил:

Вычислить работу силы вектора

Составим такие же уравнения для всех точек и возьмем сумму:

Вычислить работу силы вектора(233)

Припомним, что внутренние силы системы не вошли в уравнения проекций количеств движения системы (169) и в уравнения моментов системы (192). Однако они имеются в уравнении (233) кинетической энергии системы. Происходит это потому, что сумма проекций на любую ось и сумма моментов всех внутренних сил относительно любой оси всегда равны нулю, так как внутренние силы системы попарно равны и действуют по одной прямой в противоположные стороны. Но сумма работ внутренних сил системы в общем случае не равна нулю, как это было показано в задаче № 156.

Пусть, например, две точки системы отталкивают друг друга внутренними равными и противоположно направленными силами и под действием этих сил расстояние между точками увеличивается. Перемещения обеих точек направлены по силам, работы обеих сил положительны, и сумма работ этих сил не равна нулю. Внутренние силы системы можно рассматривать как силы взаимодействия точек, взятых по две. Поэтому сказанное о двух точках распространяется на все точки системы.

Силы взаимодействия между каждыми двумя частицами направлены в противоположные стороны по прямой, соединяющей эти частицы. Если расстояние между частицами не изменяется, то относительное перемещение этих частиц может быть только в направлении, перпендикулярном к этой прямой. Но силы, перпендикулярные к перемещениям, работы не совершают, а потому работа внутренних сил неизменяемой системы (абсолютно твердого тела) равна нулю.

Если система состоит из нескольких твердых тел, то работа внутренних сил каждого твердого тела равна нулю, но работы внутренних сил, действующих между каждыми двумя твердыми телами, принадлежащими к этой системе, в общем случае не равны нулю.

Задача №11

Цилиндрический вал диаметром 10 см и весом 0,5 T, на который насажено маховое колесо диаметром 2 м и весом 3 Т, вращается в данное мгновение с угловой скоростью 60 об/мин, а затем он предоставлен самому себе. Сколько оборотов еще сделает вал до остановки, если коэффициент трения в подшипниках равен 0,05? При решении задачи массу маховика считать равномерно распределенной по его ободу.

Решение. Примем следующие единицы измерения: L-в см, F — в Т, T — в сек.
Требуется определить количество оборотов вала до остановки. Механическое движение (вращение) вала с маховиком исчезает, переходит в другие виды движения. Для решения задачи применим теорему об изменении кинетической энергии (233′).

На вал с насаженным на него маховым колесом действуют силы: 1) вес всей системы, состоящий из веса махового колеса и веса вала, G = 3,5; 2) реакции в опорах; 3) сила трения в подшипниках, равная произведению веса на коэффициент трения; Fτp≈ 0,05-3,5.

Точка приложения первой из этих сил неподвижна, а потому работа первой из этих сил равна нулю.

Реакции перпендикулярны перемещениям, а потому работа реакции равна нулю.

Работу сил трения определим по (226) как работу силы, приложенной к вращающемуся телу. Момент силы трения относительно оси вращения равен произведению силы трения на плечо (на радиус вала):

Вычислить работу силы вектора

Работа отрицательна, так как сила направлена против скорости, т. е. если вращение вала происходит против хода часовой стрелки (φ > 0), то Mтp 0, а потому А / )

Если бы существовали абсолютно упругие тела (k = 1), то их соударение происходило бы без потери кинетической энергии, т. е. без нагревания, без звука и пр.

Задача №15

Определить потерю кинетической энергии при прямом центральном ударе двух тел, а также их скорости после удара, если ml = m2 = 2 кг, υ1 =4 м/сек, υ2 =0, k = 0,5.

Решение. Если бы удар был неупругим, то скорость тел после удара была бы по (176):

Вычислить работу силы вектора

Учитывая коэффициент восстановления, скорости каждого из тел определим по (178):

Вычислить работу силы вектора

Потерю кинетической энергии определим по (236′):

Вычислить работу силы вектора

Напомним, что механическое движение имеет две меры: 1) количество движения, т. е. меру, характеризующую способность механического движения передаваться от одних материальных тел к другим в виде механического же движения, и 2) кинетическую энергию, характеризующую способность механического движения переходить в другие немеханические виды движения.

Поэтому кинетическая энергия системы теряется при ударе, переходит в теплоту, звук и пр. и Вычислить работу силы вектора. В данном примере кинетическая энергия системы до удара была Вычислить работу силы вектора, а после удара стала

Вычислить работу силы вектора

Потерянная системой двух тел кинетическая энергия 6 кгм 2 /сек 2 перешла в другие немеханические виды движения.

Количество же движения системы лишь передалось от одного тела другому, но сохранилось в системе. В самом деле, K0 = 2∙4 = 8 κг∙м∕ceκ; K = 2∙1 + 2∙3 = 8 κг∙м∕ceκ, т. е. K-K0 = 0.

Ответ. T — T0 = 6 дж; Вычислить работу силы вектора=l м/сек; Вычислить работу силы вектора= 3м/сек.

Видео:найти работу силыСкачать

найти работу силы

Коэффициент полезного действия

В этой главе рассмотрены задачи на определение работы, совершаемой постоянной силой, и развиваемой мощности при поступательном и вращательном движении тел.

Работа и мощность при поступательном движении

Работа постоянной силы Р на прямолинейном участке пути s, пройденном точкой приложения силы, определяется по формуле

Вычислить работу силы вектораВычислить работу силы вектора

где a — угол между направлением действия силы и направлением перемещения.

Вычислить работу силы вектора

т. e. работа силы, действующей перпендикулярно к направлению перемещения, равна нулю.

Если направление действия силы совпадает с направлением перемещения, то а = 0, поэтому cosa = cos O = 1 и формула (1) упрощается;

Вычислить работу силы вектора

На точку или на тело обычно действует не одна сила, а несколько, поэтому при решении задач целесообразно использовать теорему о работе равнодействующей системы сил (Е. М. Н и к ит и и, § 89):

Вычислить работу силы вектора

т. е. работа равнодействующей какой-либо системы сил на некотором пути равна алгебраической сумме работ всех сил этой системы на том же пути.

В частном случае, когда система сил уравновешена (тело движется равномерно и прямолинейно), равнодействующая системы сил равна нулю и, следовательно, Вычислить работу силы вектораПоэтому при равномерном и прямолинейном движении точки или тела уравнение (2) принимает вид

Вычислить работу силы вектора

т. е. алгебраическая сумма работ уравновешенной системы сил на некотором пути равна нулю.

При этом силы, работа которых положительна, называются движущими, а силы, работа которых отрицательна, называются силами сопротивления. Например, при движении тела вниз—сила тяжести — движущая сила и ее работа положительны, а при движении тела вверх его сила тяжести является силой сопротивления и работа силы тяжести при этом отрицательна (§93, Е. М. Н и к и т и н).

При решении задач в случаях, когда неизвестна сила Р, работу которой нужно определить, можно рекомендовать два приема (метода).

1. При помощи сил, заданных в условии задачи, определить силу Р, а затем по формуле (1) или (1) вычислить ее работу.

2. Не определяя непосредственно силы Р, определить Вычислить работу силы вектора— работу требуемой силы при помощи формул (2) и (2′), выражающих теорему о работе равнодействующей.

Мощность, развиваемая при работе постоянной силы, определяется по формуле

Вычислить работу силы вектора

Если при определении работы силы Р скорость движения точки Вычислить работу силы вектораостается постоянной, то

Вычислить работу силы вектора

Если же скорость движения точки изменяется, Вычислить работу силы вектораВычислить работу силы векторасредняя скорость и тогда формула (2′) выпажает среднюю мощность

Вычислить работу силы вектора

Коэффициент полезного действия (к. п. д.) при совершении работы можно определить как отношение работ
Вычислить работу силы вектора
где Вычислить работу силы вектора— полезная работа; А — вся произведенная работа, или как отношение соответствующих мощностей:
Вычислить работу силы вектора
Единицей работы в СИ служит 1 джоуль (дж) =Вычислить работу силы вектораа в системе МКГСС —Вычислить работу силы вектора

Так как единицей длины в обеих системах служит 1 м, а 1 кГ=9,81 н (или 1 н = 0,102 кГ), то

Вычислить работу силы вектора

Единицей мощности в СИ служит 1 ваттВычислить работу силы вектора

а в системе МКГСС— Вычислить работу силы вектора

При использовании системы МКГСС мощность обычно измеряют в лошадиных силах (л. с.), причем

Вычислить работу силы вектора

При использовании СИ мощность измеряют в киловаттах (квт): 1 квт — 1,36 л. с.

Для перехода от одних единиц к другим следует пользоваться формулами

Вычислить работу силы вектора

Задача №16

Какую работу производит человек, передвигая по горизонтальному полу на расстояние 4 м горизонтально направленным усилием ящик массой 50 кГ? Коэффициент трения f = 0,4.

Решение 1—методом определения движущей силы Р.

1. На ящик, поставленный на горизонтальный пол, действуют две силы: G и реакция пола N (рис. 252). Двигая ящик, че-
ловек прикладывает к нему силу Р, и тогда возникает сила трения F.

Вычислить работу силы вектора

При равномерном передвижении ящика четыре силы образуют уравновешенную систему и поэтому, спроектировав их на горизонтальную и вертикальную оси, найдем, что

Вычислить работу силы вектора
3. Работа, которую производит человек в данном случае, как видно, состоит в преодолении силы трения (P=F). Но так как

Вычислить работу силы векторато
Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора
4. Если решить задачу в системе МКГСС, то

Вычислить работу силы вектора
Легко убедиться, что оба ответа выражают одну и ту же работу:

Вычислить работу силы вектора
Решение 2 —с применением теоремы о работе равнодействующей.

1. Как показано в первом решении, на ящик при его перемещении действуют четыре силы: сила тяжести G, реакция пола Вычислить работу силы векторадвижущая сила Вычислить работу силы вектораи сила трения F. Ящик движется равномерно и прямолинейно, поэтому эти четыре силы образуют уравновешенную систему. Следовательно, применив формулу (2′). получим уравнение

Вычислить работу силы вектора

2. В этом уравнении работа силы тяжести Аа=0, так как сила G действует перпендикулярно к направлению перемещения; по этой же причине работа реакции N Вычислить работу силы вектора

Таким образом, искомая работа при перемещении ящика

Вычислить работу силы вектора

3. Работу силы трения Вычислить работу силы векторанайдем по формуле (1), учитывая, что в этом случае а=180°:

Вычислить работу силы вектора

Подставим значение Вычислить работу силы векторав уравнение (а):

Вычислить работу силы вектора

Так как F — Nf и N — G, то

AP=Fs — Nfs = Gfs=mgfs

Вычислить работу силы вектора

Задача №17

На тело М массой т—40 кг, могущее перемещаться вдоль вертикального направляющего бруска, действует некоторая сила Р, постоянно направленная под углом а =18° к вертикали. Под действием этой силы тело поднимается равномерно на высоту h = 4 м (рис. 253, а); коэффициент трения при скольжении тела вдоль направляющего бруса f=0,2. Определить произведенную работу и коэффициент полезного действия. Решение 1.

1. При равномерном перемещении вдоль бруска вверх на тело М действуют четыре силы: сила тяжести G, сила трения F, нормальная реакция N, равная давлению тела на брусок, и движущая сила Р (рис. 253. б).

2. Сила Р производит работу
Вычислить работу силы вектора
Но чтобы определить ее, нужно сначала найти силу Р.

Вычислить работу силы вектора

3. Расположив оси координат, как показано на рис. 253, б, выведем уравнения равновесия:

Вычислить работу силы вектора

а также уравнение, выражающее основной закон трения:

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора

поэтому уравнение (3) примет вид

Вычислить работу силы вектора

Подставим полученное значение силы трения в уравнение (2): Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора
4. Подставим в последнее выражение числовое значение силы тяжести G в единицах СИ (G=mg):Вычислить работу силы вектора

Тогда работа, произведенная силой,

Вычислить работу силы вектора

5. Если подставить в уравнение (4) силу тяжести G, выраженную в технических единицах (G = 40 кГ), тоВычислить работу силы вектора

Работа этой силы в единицах МКГСС получит такое значение:Вычислить работу силы вектора

6. Определим коэффициент полезного действия:

Вычислить работу силы вектора

Вся произведенная работа А = 1680 дж, а полезная работа состоит в том, что тело весом G — mg поднято на высоту h, т. е.

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора
Умножив найденное значение Вычислить работу силы вектора= 0,934 на 100, выразим к. п. д. в процентах:

Вычислить работу силы вектора
Примечание. Можно не определять отдельно числовое значение силы Р виде выражение работы для
(см. п. 4 и 5), а получить предварительно в общем данного случая:

Вычислить работу силы вектора
и после деления числителя и знаменателя на cos а:
Вычислить работу силы вектора
Но иногда в технических расчетах числовые значения девствующих сил необходимы для решения каких-либо других вопросов.

Если воспользоваться приведенным выше выражением работы, то выражение к. п. д. для данной задачи получит такой вид:
Вычислить работу силы вектора
Таким образом, коэффициент полезного действия при передвижении тела М по вертикальному направляющему бруску зависит от коэффициента трения f и угла а, определяющего направление действия силы относительно вертикального бруска.

Если заменить Вычислить работу силы вектора

1. В первом решении выяснено, что на тело М действует система четырех сил: G, F, N, Р (см. рис. 253, б).

2. Так как тело движется по бруску равномерно, система этих сил уравновешена и, следовательно, алгебраическая сумма их работ равна нулю:
Вычислить работу силы вектора
3. Тело М движется вертикально вверх и поднимается на высоту h, поэтому работа силы N, направленной перпендикулярно к направлению перемещения:
Вычислить работу силы вектора
работа силы тяжести G, направленной вертикально вниз,

Вычислить работу силы вектора

работа силы трения F, также направленной вниз, Вычислить работу силы вектора

Известно, что F=Nf. Спроектировав на ось х (см. рис. 253,6) силы, приложенные к телу М, найдем, чтоВычислить работу силы вектораПоэтомуВычислить работу силы вектораи выражение работы силы трения примет вид
Вычислить работу силы вектора
4. Подставим выражения работ Вычислить работу силы векторав уравнение (а)Вычислить работу силы вектора
5. Вычислим работу в единицах СИ. Тогда Вычислить работу силы вектора
поэтому
Вычислить работу силы вектора
Таким образом, вся работа, произведенная при подъеме тела М на высоту Вычислить работу силы векторасоставляет 1670 дж. К. н. д. при выполнении этой работы определяем так же, как и в первом решении.

Задача №18

Какой мощности электродвигатель необходимо поставить на лебедку, чтобы она могла поднимать клеть со строительными материалами общей массой m=1200 кг на высоту 20 м за 30 сек. Коэффициент полезного действия лебедки Вычислить работу силы вектора

Решение (в единицах СИ).

1. Полезная мощность, развиваемая лебедкой при подъеме,
Вычислить работу силы вектора
2. Мощность двигателя N найдем из выражения Вычислить работу силы вектораВычислить работу силы вектора
Вычислить работу силы вектора

3 Таким образом, мощность двигателя, необходимая для лебедки,

Вычислить работу силы вектора

Двигатель должен иметь мощность не менее 10,9 квот.

Рекомендуется решить самостоятельно эту задачу в единицах МКГСС и найти мощность двигателя, выраженную в л. с.

Задача №19

Какую работу необходимо произвести, чтобы равномерно передвинуть в горизонтальном направлении на расстояние ь клинчатый ползун 1 вдоль направляющих 2? Вес ползуна G, угол заострения ползуна и направляющих а (рис. 254, а), коэффициент трения между ползуном и направляющими f.

Вычислить работу силы вектора

1. На клинчатый ползун, когда он находится в горизонтально расположенных направляющих, действуют три силы: вес ползуна Вычислить работу силы вектораи две реакции направляющих Вычислить работу силы вектора(рис. 254, в), действующих на ползун перпендикулярно к боковым плоскостям (щекам) ползуна.

Для приведения ползуна в движение к нему нужно приложить параллельно направляющим силу Вычислить работу силы вектораи тогда возникнут еще две силы — силы трения, действующие вдоль обеих боковых плоскостей ползуна (см. рис. 254, б — здесь вектор Вычислить работу силы вектораизображает направленную вертикально вверх геометрическую сумму нормальных реакций Вычислить работу силы вектора

Таким образом, на ползун при его движении действуют всего шесть сил: Вычислить работу силы вектора

В данном случае нормальные реакции Вычислить работу силы вектораравны между собой, следовательно, равны и силы трения Вычислить работу силы векторапоэтомуВычислить работу силы вектора

2. Работа при перемещении ползуна на расстояние s

Вычислить работу силы вектора

но предварительно найдем числовое значение движущей силы Р.

3. Спроектировав приложенные к ползуну силы на ось х

(см. рис. 254, б), получим

Вычислить работу силы вектора

Нормальную реакцию N найдем из уравнения проекций на ось у (см. рис. 254, в):

Вычислить работу силы вектора

Подставляем найденное значение N в Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора
4. Следовательно, работа при передвижении клинчатого ползуна на расстояние s

Вычислить работу силы вектора
Например, при Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора

Примечание. Входящая в формулу (б) величина Вычислить работу силы вектораназывается коэффициентом трения клинчатого ползуна. При уменьшении угла а (при большем

заострении ползуна и направляющих) коэффициент трения клинчатого ползуна резко увеличивается.

Решение задачи вторым способом с применением теоремы о работе равнодействующей силы рекомендуется выполнить самостоятельно.

Вычислить работу силы вектора

Задача №20

Тело М весом G = 50 кГ равномерно перемещается вверх по наклонной плоскости, длина которой Вычислить работу силы векторам и угол подъема а = 20; (рис. 255, а). Определить работу, производимую силой, направленной параллельно наклонной плоскости, и коэффициент полезного действия наклонной плоскости. Коэффициент трения f=0,2. Решение 1.

1. При движении тела М (примем его за материальную точку) вверх по наклонной плоскости на него действуют четыре силы: вес Вычислить работу силы векторанормальная реакция наклонной плоскости Вычислить работу силы векторадвижущая сила Вычислить работу силы вектораи сила трения Вычислить работу силы вектора(рис. 255, б).

2. Работа силы Р при перемещении тела по длине наклонной плоскости

Вычислить работу силы вектора

3. Найдем необходимую для перемещения тела М силу Р. Расположив оси координат, как показано на рис. 255, 6, составим два уравнения равновесия:
Вычислить работу силы вектора
Дополним эти уравнения третьим уравнением, выражающим основной закон трения:

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора
Вместо силы трения F подставим ее значение из уравнения (3): Вычислить работу силы вектора

а вместо нормальной реакции N подставим ее значение из уравнения (2):

Вычислить работу силы вектора
4. Следовательно, работа силы P

Вычислить работу силы вектора

После подстановки в это уравнение числовых значений Вычислить работу силы вектора

5. Находим к. п. д. наклонной плоскости:
Вычислить работу силы вектора
Полезная работа состоит в подъеме тела весом G на высоту Вычислить работу силы векторапоэтому
Вычислить работу силы вектора
Решение 2.

1. Можно считать, что на тело М действуют не четыре, а три силы: G—вес тела, движущая сила Вычислить работу силы вектораи полная реакция поверхности реальной связи R, равная геометрической сумме силВычислить работу силы вектора(рис. 255, в).

Реакция реальной связи R, как известно (§ 15-3), при движении отклоняется от нормали к поверхности связи на величину угла трения Вычислить работу силы векторапричем Вычислить работу силы вектора— коэффициент трения.

2. Так как на тело М действуют только три силы и они образуют уравновешенную систему (тело М, принятое за материальную точку, движется равномерно и прямолинейно), силовой треугольник АВС, построенный из этих сил, является замкнутым.

3. По рис. 255, в можно определить, что в силовом треугольнике AВС угол Вычислить работу силы вектораСледовательно,Вычислить работу силы вектора

4. Применим к АВС теорему синусов’

Вычислить работу силы вектора

5. Работа силы Р

Вычислить работу силы вектора

Из равенства Вычислить работу силы вектора(см. п. 1) находим, чтоПодставим теперь в выражение работы числовые значения и определим, что

Вычислить работу силы вектора

6. Находим к. п. д. наклонной плоскости:

Вычислить работу силы вектора

Развернем знаменатель получившейся дроби:

Вычислить работу силы вектора

Числитель и знаменатель разделим на произведение Вычислить работу силы вектораи получим окончательный вид формулы к. п. д. наклонной плоскости при действии силы Р, параллельной этой плоскости

Вычислить работу силы вектора

Подставив сюда значение углаВычислить работу силы вектораи учтя, что Вычислить работу силы вектораполучим

Вычислить работу силы вектора

Примечания: I. Как видно, результаты обоих решений совпадают, хотя получившиеся формулы для силы Р внешне отличаются друг от друга.

Формулу для Р из первого решения легко преобразовать и привести к результату второго решения:

Вычислить работу силы вектора

2. Выражение (I), полученное во втором решении, показывает, что к. п. д. наклонной плоскости зависит лишь от коэффициента тренияВычислить работу силы векторат. е. от материала и состояния трущихся поверхностей тела М и угла подъема наклонной плоскости.

1. Известно, что при действии на точку нескольких сил алгебраическая сумма работ всех сил на некотором пути равна работе равнодействующих этих сил.

2. В данном случае на тело М, которое примем за материальную точку, действуют четыре силы: вес Вычислить работу силы векторанормальная реакция наклонной плоскости Вычислить работу силы векторасила трения Вычислить работу силы вектораи движущая сила Р (см. рис 255, б).

3. Точка М движется равномерно и прямолинейно. Равнодействующая сил, действующих на точку, равна нулю, и, следовательно, алгебраическая сумма работ, производимых силами Вычислить работу силы векторана длине Вычислить работу силы векторанаклонной плоскости, также равна нулю:

Вычислить работу силы вектора

4. Находим отсюда работу силы Р:

Вычислить работу силы вектора

где работа силы Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора

работа силы Вычислить работу силы векторанаправленной перпендикулярно к направлению движения точки, равна нулю:

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора

так как сила трения

Вычислить работу силы вектора
Подставим в выражение (а) полученные значения работ:

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора

5. К п. д. наклонной плоскости найдем так же, как в п 5 первого решения.

Вычислить работу силы вектора

Задача №21

Тело М весом G = 50 кГ равномерно перемещается вверх по наклонной плоскостиВычислить работу силы векторамне углом подъема

а=20 . Определить работу, произведенную силой, направленной параллельно основанию наклонной плоскости (рис. 256, а), также коэффициент полезного действия наклонной плоскости. Коэффициент трения f = 0,4.

Первое и третье решения задачи, аналогичные соответствующим решениям задачи 225-44, рекомендуется выполнить самостоятельно.

1. Приняв тело М за материальную точку, изобразим на рис. 256, б (слева) три действующие на нее силы: вес G, движущую силу Р и полную реакцию R наклонной плоскости, которая отклонена на угол Вычислить работу силы вектора(угол трения) от нормали к поверхности наклонной плоскости.

2. При равномерном движении тела по наклонной плоскости эти три силы образуют уравновешенную систему, и поэтому треугольник АВС, построенный из этих сил, является замкнутым (см. рис. 256, б — справа).

3. Силовой треугольник АВС получается в данном случае прямоугольным, так как вектор G перпендикулярен к вектору Р; угол Вычислить работу силы векторапоэтому числовое значение движущей силы

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора

* Работа силы P в результате вычислений получается отрицательной, так как плоскость несамотормозящаяся (угол подъема Вычислить работу силы вектораа угол трения Вычислить работу силы вектораследовательно, Вычислить работу силы векторасм. задачу 95-15) и поэтому сила Р направлена вверх, т. е. в сторону, противоположную движению. Без силы Р тело M скользит вниз равноускоренно.

5. Подставим сюда числовые значения:Вычислить работу силы вектораВычислить работу силы вектораНайдем

Вычислить работу силы вектора

Как видно, по сравнению с задачей 225-44 работа получается несколько больше (на 24 кГм), потому что сила Р, действующая параллельно основанию наклонной плоскости, прижимает тело к наклонной плоскости, при этом увеличивается нормальное давление тела N, а вместе с ним и сила трения.

G. Определим коэффициент полезного действия. На основании изложенного, к. п. д. в данном случае уменьшится:

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора

окончательно получаем формулу к. п. д. горизонтальном действии силы Р:

Вычислить работу силы вектора

Подставим сюда значения углов:
Вычислить работу силы вектора
По сравнению с к. п. д., полученным в задаче 225-44, к. п. д. наклонной плоскости в этой задаче уменьшается.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Задача №22

Определить работу, которую необходимо произвести, чтобы перекатить каток массой 50 кГ на расстояние 4 м по горизонтальной негладкой поверхности. Считать, что сила, двигающая каток, приложена к оси катка и горизонтальна (рис. 258, а).

Диаметр катка 20 см; коэффициент трения Вычислить работу силы вектора= 0,5 см.

Вычислить работу силы вектора

1. Как известно из кинематики, движение катящегося катка называется плоскопараллельным и составляется из двух движений — поступательного и вращательного.

Ось катка передвигается поступательно, поэтому работу силы Р, приложенной к оси, можно определить по формуле

Вычислить работу силы вектора

но предварительно нужно найти числовое значение силы Р.

2. На каток в неподвижном состоянии действуют две силы: вес катка G и реакция N горизонтальной поверхности, приложенная к катку в точке К (геометрическая точка касания катка с поверхностью). При качении на Каток действуют уже четыре силы (рис. 258, б): G — вес катка, Р -движущая сила и две составляющие N и F полной реакции поверхности, место приложения которой перемещается из точки К в точку А — вперед по ходу катка.

3. Если спроектировать все силы на вертикальную и горизонтальную оси, то N — G и Р = Р, т. е. на катящийся каток действуют две пары сил: катящая пара (Р; F) с плечом ОКВычислить работу силы вектораВычислить работу силы вектораи пара сопротивления (G; N) с плечом КА =

Вычислить работу силы вектораПри равномерном перекатывании катка моменты этих пар численно равны между собой, т. е.

Вычислить работу силы вектора
Отсюда находим силу Р, выразив силу тяжести в кГ (G — = 50 кГ)

Вычислить работу силы вектора
4. Таким образом, работа, произведенная при перемещении катка,

Вычислить работу силы вектора
Рекомендуется сопоставить этот результат с результатом, полученным в задаче 221-44. Следующую задачу решить самостоятельно.

Работа и мощность при вращательном движении

При вращательном движении тела движущим фактором является пара сил. Рассмотрим диск 1, могущий свободно вращаться вокруг оси 2 (рис. 259). Если к точке А на ободе диска приложить силу Р (направим ее вдоль касательной к боковой поверхности диска; направленная таким образом сила называется окружным усилием), то диск станет вращаться. Вращение диска обусловлено появлением пары сил. Сила Р, действуя на диск, прижимает его в точке О к оси (сила Вычислить работу силы векторана рис. 259, приложенная к оси 2) и возникает реакция оси (сила Вычислить работу силы векторана рис. 259), приложенная так же, как и сила Р, к диску. Так как все эти силы численно равны между собой и_ линии их действия параллельны, то силы Р и Вычислить работу силы вектораобразуют пару сил, которая и приводит диск во вращение.

Как известно, вращающее действие пары сил измеряется ее моментом, но момент пары сил равен произведению модуля любой из сил на плечо пары, поэтому вращающий момент

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора

Единицей момента пары сил, а также момента силы относительно точки или относительно оси является Вычислить работу силы вектора(ньютон-метр) в СИ и 1 кГм (килограмм-сила-метр) в системе МКГСС. Но при этом не следует смешивать эти единицы с единицами работы имеющими ту же размерность.

Работу при вращательном движении производят пары сил. Величина работы пары сил измеряется произведением момента пары (вращающего момента) на угол поворота, выраженный в радианах:

Вычислить работу силы вектора
Таким образом, чтобы получить единицу работы, например, Вычислить работу силы векторанеобходимо единицу моментаВычислить работу силы вектораумножить на 1 рад. Но так как радиан — безразмерная величинаВычислить работу силы вектора

Мощность при вращательном движении

Вычислить работу силы вектораВычислить работу силы вектора
Если тело вращается с постоянной угловой скоростью, то, заменив в формуле (2) Вычислить работу силы вектораполучим

Вычислить работу силы вектора
Мощность того или иного двигателя величина постоянная, поэтому

Вычислить работу силы вектора
т. е. вращающий момент двигателя обратно пропорционален угловой скорости его вала.

Это означает, что использование мощности двигателя при различных угловых скоростях позволяет изменять создаваемый им вращающий момент. Используя мощность двигателя при малой угловой скорости, можно получить большой вращающий момент.

Так как угловая скорость вращающейся части двигателя (ротора электродвигателя, коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания и т. п.) при его работе практически нс изменяется, то между двигателем и рабочей машиной устанавливается какой-либо механизм (редуктор, коробка скоростей и т. н.), могущий передавать мощность двигателя при различных угловых скоростях.

Поэтому формула (3), выражающая зависимость вращающего момента от передаваемой мощности и угловой скорости (Е. М. Н и-китнн, § 93), имеет очень важное значение.

Используя при решении задач эту зависимость, необходимо иметь в виду следующее. Формула (3) принимается для решения задач, если мощность N задана в ваттах, а угловая скорость—Вычислить работу силы векторав рад/сек [размерность (1/сек)], тогда вращающий момент Вычислить работу силы вектораполучится в н м.

Соответственно, если мощность N подставлена в кет (киловаттах), то вращающий момент получится в к-нм (килоньютон-метрах).

Если передаваемая мощность выражена в л. с. (1 л. с. =

= 75Вычислить работу силы вектораугловая скорость — в об;мин Вычислить работу силы вектора

а вращающий момент нужно получить в кГм, то необходимо воспользоваться формулой

Вычислить работу силы вектора

Если передаваемая мощность выражена в кет, угловая скорость — в об/мин, а вращающий момент нужно получить в кГ м, то необходимо воспользоваться формулой

Вычислить работу силы вектора

Задача №23

Для определения мощности электродвигателя через его шкив перекинута тормозная лента (рис. 260, а). Один конец ленты удерживается динамометром, а к другому концу прикрепленадвухкилограммовая гиря.

После запуска двигателя при установившейся угловой скорости n = 1850 об/мин динамометр показывает усилие 5 кГ. Определить мощность двигателя.

Вычислить работу силы вектора

Решение 1—в единицах СИ.

1. Рассмотрим, какие силы действуют на шкив при установившемся равномерном вращении.

Шкив приводится во вращательное движение вращающим моментом Вычислить работу силы векторасоздаваемым двигателем. Кроме того, на шкив действуют сила натяжения правой ветви ленты, создаваемая динамометром Вычислить работу силы вектораи сила Вычислить работу силы векторанатяжения левой ветви ленты, создаваемая двухкилограммовой гирей Вычислить работу силы вектора(рис. 260,6).

2. Определим вращающий момент двигателя.

Так как шкив вращается равномерно, то алгебраическая сумма моментов всех сил относительно оси вращения шкива равна нулю:

Вычислить работу силы вектора

3. Переведя угловую скорость n =1850 об/мин в рид/сек:

Вычислить работу силы вектора

из формулы (3) можно найти мощность двигателя!

Вычислить работу силы вектора

Таким образом, мощность двигателя составляет 685 вт. Решение 2 —при помощи формулы (4).

1. На шкив действуют Вычислить работу силы вектора— искомый вращающий момент двигателя и две силы натяжения ветвей тормозной ленты: Вычислить работу силы вектораи Вычислить работу силы вектора

2. Определяем вращающий момент двигателя:

Вычислить работу силы вектора
3. Теперь из формулы (4) определяем мощность двигателя:
Вычислить работу силы вектора
Переведя получившуюся мощность из л. с. в вт, легко убедиться, что она такая же, как и в первом решении (0,930 л. сВычислить работу силы вектора

Задачу можно решить еще при помощи формулы (5). Рекомендуется это решение выполнить самостоятельно.

Задача №24

Токарный станок приводится в движение электродвигателем, мощность которого N = 2,21 кет. Считая, что к резцу станка подводится лишь 0,8 мощности двигателя, определить вертикальную составляющую усилия резания, если диаметр обрабатываемой детали d = 200 мм, а шпиндель вращается со скоростью n=92 об/мин.

Решение — при помощи формулы (5).

1. Шпиндель станка с закрепленной в нем деталью вращается под действием вращающего момента, который уравновешивается моментом искомого вертикального усилия резания Р, т. е.

Вычислить работу силы вектора
где d—200 лш = 0,2 м — диаметр обрабатываемой детали. Следовательно,

Вычислить работу силы вектора
2. Мощность, подведенная к резцу, составляет 0,8 от всей мощности двигателя. Таким образом, к. п. д. передачи Вычислить работу силы вектораи подведенная к резцу мощность

Вычислить работу силы вектора
3. Подставим найденные значения Вычислить работу силы вектораи данное в условии задачи значение n в формулу (5):

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора

Вычислить работу силы вектора

Решение задачи в единицах СИ рекомендуется выполнить самостоятельно.

Вычислить работу силы вектора
Рекомендую подробно изучить предмет:
  • Теоретическая механика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Потенциальная энергия
  • Обобщенные координаты системы
  • Сложение двух сил
  • Разложение силы на две составляющие
  • Основные законы динамики
  • Колебания материальной точки
  • Количество движения
  • Момент количества движения

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📺 Видео

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Урок 116. Работа силы тяжести. Потенциальная энергия тела, поднятого над ЗемлейСкачать

Урок 116. Работа силы тяжести. Потенциальная энергия тела, поднятого над Землей

Физика - работаСкачать

Физика - работа

Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.Скачать

Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.

Построение проекции вектора на осьСкачать

Построение проекции вектора на ось

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

Момент силы. Определение, размерность и знаки. Плечо силыСкачать

Момент силы. Определение, размерность и знаки. Плечо силы

Урок 71 (осн). Механическая работа. Единицы работыСкачать

Урок 71 (осн). Механическая работа.  Единицы работы

Техническая механика/ Определение равнодействующей. Плоская система сходящихся сил.Скачать

Техническая механика/ Определение равнодействующей. Плоская система сходящихся сил.

Физика | Ликбез по векторамСкачать

Физика | Ликбез по векторам

Урок 39 (осн). Сила трения. Коэффициент тренияСкачать

Урок 39 (осн). Сила трения. Коэффициент трения

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого родаСкачать

Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого рода

Урок 115. Работа переменной силы. Решение задачСкачать

Урок 115. Работа переменной силы. Решение задач
Поделиться или сохранить к себе: