Как доказать равенство отрезков в окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Как доказать равенство отрезков в окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Как доказать равенство отрезков в окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Как доказать равенство отрезков в окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Как доказать равенство отрезков в окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Как доказать равенство отрезков в окружностиТеорема о бабочке

Как доказать равенство отрезков в окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьКак доказать равенство отрезков в окружности
КругКак доказать равенство отрезков в окружности
РадиусКак доказать равенство отрезков в окружности
ХордаКак доказать равенство отрезков в окружности
ДиаметрКак доказать равенство отрезков в окружности
КасательнаяКак доказать равенство отрезков в окружности
СекущаяКак доказать равенство отрезков в окружности
Окружность
Как доказать равенство отрезков в окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругКак доказать равенство отрезков в окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусКак доказать равенство отрезков в окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаКак доказать равенство отрезков в окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрКак доказать равенство отрезков в окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяКак доказать равенство отрезков в окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяКак доказать равенство отрезков в окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеКак доказать равенство отрезков в окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыКак доказать равенство отрезков в окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныКак доказать равенство отрезков в окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиКак доказать равенство отрезков в окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыКак доказать равенство отрезков в окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Как доказать равенство отрезков в окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыКак доказать равенство отрезков в окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыКак доказать равенство отрезков в окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиКак доказать равенство отрезков в окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныКак доказать равенство отрезков в окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиКак доказать равенство отрезков в окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыКак доказать равенство отрезков в окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как доказать равенство отрезков в окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как доказать равенство отрезков в окружности

Как доказать равенство отрезков в окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыКак доказать равенство отрезков в окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиКак доказать равенство отрезков в окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиКак доказать равенство отрезков в окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаКак доказать равенство отрезков в окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как доказать равенство отрезков в окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как доказать равенство отрезков в окружности

Как доказать равенство отрезков в окружности

Пересекающиеся хорды
Как доказать равенство отрезков в окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Как доказать равенство отрезков в окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Как доказать равенство отрезков в окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Как доказать равенство отрезков в окружности
Пересекающиеся хорды
Как доказать равенство отрезков в окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как доказать равенство отрезков в окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Как доказать равенство отрезков в окружности

Как доказать равенство отрезков в окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Как доказать равенство отрезков в окружности

Как доказать равенство отрезков в окружности

Как доказать равенство отрезков в окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Как доказать равенство отрезков в окружности

Как доказать равенство отрезков в окружности

Как доказать равенство отрезков в окружности

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Как доказать равенство отрезков в окружности

Как доказать равенство отрезков в окружности

Тогда справедливо равенство

Как доказать равенство отрезков в окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Как доказать равенство отрезков в окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Как доказать равенство отрезков в окружности

Как доказать равенство отрезков в окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как доказать равенство отрезков в окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Как доказать равенство отрезков в окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Как доказать равенство отрезков в окружности

Как доказать равенство отрезков в окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как доказать равенство отрезков в окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Как доказать равенство отрезков в окружности

Как доказать равенство отрезков в окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Как доказать равенство отрезков в окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Докажите равенство отрезковСкачать

Докажите равенство отрезков

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Как доказать равенство отрезков в окружности

Как доказать равенство отрезков в окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Как доказать равенство отрезков в окружности

Как доказать равенство отрезков в окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Как доказать равенство отрезков в окружности

Как доказать равенство отрезков в окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Как доказать равенство отрезков в окружности

Как доказать равенство отрезков в окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Как доказать равенство отрезков в окружности

Как доказать равенство отрезков в окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Как доказать равенство отрезков в окружности

Как доказать равенство отрезков в окружности

Как доказать равенство отрезков в окружности

Как доказать равенство отрезков в окружности

Как доказать равенство отрезков в окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Как доказать равенство отрезков в окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Равенство окружностей

Видео:Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

Первый признак равенства окружностей

Формулировка первого признака равенства окружностей:

Если диаметр одной окружности равен диаметру другой окружности,
то такие окружности равны.

Доказательство первого признака равенства окружностей:

Как доказать равенство отрезков в окружности

  1. Рассмотрим окружность с диаметром BA и окружность с диаметром DC, в которых BA = DC. Докажем,
    что окружность с диаметром BA и окружность с диаметром DC равны.
  2. BA = DC, значит окружность с диаметром BA можно наложить на окружность с диаметром DC так, что они совместятся:
    окружность с диаметром BA совместится с окружностью с диаметром DC.
  3. Итак, окружность с диаметром BA и окружность с диаметром DC полностью совместятся, значит они равны — ч.т.д

Видео:Первый признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Первый признак равенства треугольников. 7 класс.

Второй признак равенства окружностей

Формулировка второго признака равенства окружностей:

Если радиус одной окружности соответственно равен радиусу другой окружности, то такие окружности равны.

Доказательство второго признака равенства окружностей:

Как доказать равенство отрезков в окружности

  1. Рассмотрим окружность с радиусом BO и окружность с радиусом DE, в которых BO = DE. Докажем,
    что окружность с радиусом BO и окружность с радиусом DE равны.
  2. BO = DE, значит окружность с радиусом BO можно наложить на окружность с радиусом DE так, что они совместятся:
    окружность с радиусом BO совместится с окружностью с радиусом DE.
  3. Итак, окружность с радиусом BO и окружность с радиусом DE полностью совместятся, значит они равны — ч.т.д.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Третий признак равенства окружностей

Формулировка третьего признака равенства окружностей:

Если луч делит угол между центрами двух окружностей на два равных угла, то такие окружности равны.

Доказательство третьего признака равенства окружностей:

Как доказать равенство отрезков в окружности

  1. Рассмотрим луч OD, окружность с центром в точке A и окружность с центром в точке В, отрезки OA и OB, в которых ∠AOD = ∠BOD. Докажем,что окружность с центром в точке A и окружность с центром в точке B равны.
  2. ∠AOD = ∠BOD, значит отрезки OA и OB можно наложить друг на другу так, что они совместятся:
    отрезок OA совместится с отрезком OB.
  3. Итак, окружность с центром в точке A и окружность с центром в точке B полностью совместятся, значит они равны — ч.т.д.

Равенство окружностей можно доказать с помощью трех признаков:

  1. По диаметру.
  2. По радиусу.
  3. По лучу и углу.

Видео:Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.Скачать

Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.

Отрезки касательных

Рассмотрим, какими свойствами обладают отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки.

(Свойство касательных, проведенных из одной точки)

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Как доказать равенство отрезков в окружности

AB=AC Как доказать равенство отрезков в окружности∠BAO=∠CAO

Как доказать равенство отрезков в окружности

Дано: окружность (O;R),

AB и AC — касательные к окружности (O;R),

B, C — точки касания.

Доказать: AB=AC, ∠BAO=∠CAO.

Как доказать равенство отрезков в окружности

Следовательно, треугольники ABO и ACO — прямоугольные. У них

1) катеты OB=OC (как радиусы)

2) гипотенуза OA — общая сторона.

Как доказать равенство отрезков в окружности

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

📽️ Видео

Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Задача на доказательства равенства угловСкачать

Задача на доказательства равенства углов

Докажите, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хордыСкачать

Докажите, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды

Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Шаталов за одну минуту доказывает теорему, на которую традиционно выделяется 45 минут урока!Скачать

Шаталов за одну минуту доказывает теорему, на которую традиционно выделяется 45 минут урока!

№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружностиСкачать

№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности

8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольников
Поделиться или сохранить к себе: