Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Какие из следующих утверждений верны?

1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.

2) Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.

3) Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.

4) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.» — неверно, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны, если их вершины лежат по одну сторону от хорды.

2) «Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.» — неверно, окружности имеют две общие точки.

3) «Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.» — верно, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая и окружность имеют две общие точки.

4) «Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.» — верно, вписанный угол измеряется половиной дуги,на которую он опирается.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Углы, связанные с окружностью

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружностиВписанные и центральные углы
Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружностиУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружностиДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголВо вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности
Вписанный уголВо вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголВо вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголВо вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружностиДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголВо вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружностиВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаВо вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Видео:Вписанный угол, опирающийся на диаметр. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугуСкачать

Вписанный угол, опирающийся на диаметр. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиВо вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружностиВо вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаВо вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружностиВо вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияВо вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружностиВо вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности
Угол, образованный касательной и секущейВо вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружностиВо вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности
Угол, образованный двумя касательными к окружностиВо вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружностиВо вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности
Формула: Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности
Формула: Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

В этом случае справедливы равенства

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

В этом случае справедливы равенства

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Центральные и вписанные углы

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

О чем эта статья:

Видео:Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности. Задание А2 из ЦТ 2020 #цт2020Скачать

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности. Задание А2 из ЦТ 2020 #цт2020

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:НОМЕР 1 ИЗ ЕГЭ-2024 // ПРОФИЛЬ // Математика // Свежая демкаСкачать

НОМЕР 1 ИЗ ЕГЭ-2024 // ПРОФИЛЬ // Математика // Свежая демка

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Во вписанном четырехугольнике углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

🎬 Видео

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольник

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности

№1 из ЕГЭ 2023 по математике. Лайфхаки для №16. Окружность, вписанные углы, хорды, касательныеСкачать

№1 из ЕГЭ 2023 по математике. Лайфхаки для №16. Окружность, вписанные углы, хорды, касательные

Шпаргпалка для ЕГЭ. Вписанные в окружность углы.Скачать

Шпаргпалка для ЕГЭ. Вписанные в окружность углы.

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Задание 26 Вписанный четырёхугольникСкачать

Задание 26 Вписанный четырёхугольник

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Задание 26 Вписанный четырёхугольникСкачать

Задание 26  Вписанный четырёхугольник

ГЕОМЕТРИЯ ОГЭ ЕГЭ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕСкачать

ГЕОМЕТРИЯ ОГЭ ЕГЭ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ
Поделиться или сохранить к себе: