Длина окружности равна произведению хорды

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Длина окружности равна произведению хордыОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Длина окружности равна произведению хордыСвойства хорд и дуг окружности
Длина окружности равна произведению хордыТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Длина окружности равна произведению хордыДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Длина окружности равна произведению хордыТеорема о бабочке

Длина окружности равна произведению хорды

Содержание
  1. Отрезки и прямые, связанные с окружностью
  2. Свойства хорд и дуг окружности
  3. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
  4. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
  5. Теорема о бабочке
  6. Длина окружности
  7. Как найти длину окружности через диаметр
  8. Как найти длину окружности через радиус
  9. Как вычислить длину окружности через площадь круга
  10. Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника
  11. Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата
  12. Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника
  13. Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника
  14. Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника
  15. Задачи для решения
  16. Окружность и круг
  17. теория по математике 📈 планиметрия
  18. Определения
  19. Свойство хорд
  20. Длина окружности
  21. Дуга, касательная, круг, сектор, сегмент
  22. Свойства касательной
  23. 📽️ Видео

Видео:Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьДлина окружности равна произведению хорды
КругДлина окружности равна произведению хорды
РадиусДлина окружности равна произведению хорды
ХордаДлина окружности равна произведению хорды
ДиаметрДлина окружности равна произведению хорды
КасательнаяДлина окружности равна произведению хорды
СекущаяДлина окружности равна произведению хорды
Окружность
Длина окружности равна произведению хорды

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругДлина окружности равна произведению хорды

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусДлина окружности равна произведению хорды

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаДлина окружности равна произведению хорды

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрДлина окружности равна произведению хорды

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяДлина окружности равна произведению хорды

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяДлина окружности равна произведению хорды

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеДлина окружности равна произведению хордыДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыДлина окружности равна произведению хордыЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныДлина окружности равна произведению хордыБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиДлина окружности равна произведению хордыУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыДлина окружности равна произведению хордыДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Длина окружности равна произведению хорды

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыДлина окружности равна произведению хорды

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыДлина окружности равна произведению хорды

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиДлина окружности равна произведению хорды

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныДлина окружности равна произведению хорды

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиДлина окружности равна произведению хорды

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыДлина окружности равна произведению хорды

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Длина окружности равна произведению хорды

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Длина окружности равна произведению хорды

Длина окружности равна произведению хорды

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыДлина окружности равна произведению хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиДлина окружности равна произведению хорды
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиДлина окружности равна произведению хорды
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаДлина окружности равна произведению хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Длина окружности равна произведению хорды

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Длина окружности равна произведению хорды

Длина окружности равна произведению хорды

Пересекающиеся хорды
Длина окружности равна произведению хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Длина окружности равна произведению хорды
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Длина окружности равна произведению хорды
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Длина окружности равна произведению хорды
Пересекающиеся хорды
Длина окружности равна произведению хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Длина окружности равна произведению хорды

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Длина окружности равна произведению хорды

Длина окружности равна произведению хорды

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Длина окружности равна произведению хорды

Длина окружности равна произведению хорды

Длина окружности равна произведению хорды

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Длина окружности равна произведению хорды

Длина окружности равна произведению хорды

Длина окружности равна произведению хорды

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Длина окружности равна произведению хорды

Длина окружности равна произведению хорды

Тогда справедливо равенство

Длина окружности равна произведению хорды

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Длина окружности равна произведению хорды

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Длина окружности равна произведению хорды

Длина окружности равна произведению хорды

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Длина окружности равна произведению хорды

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Длина окружности равна произведению хорды

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Длина окружности равна произведению хорды

Длина окружности равна произведению хорды

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Длина окружности равна произведению хорды

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Длина окружности равна произведению хорды

Длина окружности равна произведению хорды

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Длина окружности равна произведению хорды

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Длина окружности равна произведению хорды

Длина окружности равна произведению хорды

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Длина окружности равна произведению хорды

Длина окружности равна произведению хорды

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Длина окружности равна произведению хорды

Длина окружности равна произведению хорды

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Длина окружности равна произведению хорды

Длина окружности равна произведению хорды

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Длина окружности равна произведению хорды

Длина окружности равна произведению хорды

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Длина окружности равна произведению хорды

Длина окружности равна произведению хорды

Длина окружности равна произведению хорды

Длина окружности равна произведению хорды

Длина окружности равна произведению хорды

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Длина окружности равна произведению хорды

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Длина окружности

Длина окружности равна произведению хорды

О чем эта статья:

6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Если вы не знаете, как обозначается длина окружности, то знак окружности выглядит вот так — l

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Как найти длину окружности через диаметр

Хорда — это отрезок, который соединяет две точки окружности.

Диаметр — хорда, которая проходит через центр окружности. Формула длины окружности через диаметр:

π— число пи — математическая константа, примерно равная 3,14

d — диаметр окружности

Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

Как найти длину окружности через радиус

Радиус окружности — отрезок, который соединяет центр окружности с точкой на окружности. Формула длины окружности через радиус:

π — число пи, примерно равное 3,14

r — радиус окружности

Это две основные формулы для вычисления длины окружности. Ниже мы покажем еще несколько формул, которые вы сможете доказать самостоятельно, пользуясь основными формулами и свойствами геометрических фигур.

Видео:ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хордыСкачать

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хорды

Как вычислить длину окружности через площадь круга

Если вам известна площадь круга, вы также можете узнать длину окружности:

Длина окружности равна произведению хорды

π — число пи, примерно равное 3,14

S — площадь круга

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника

Как измерить окружность, если в нее вписан прямоугольник:

π — число пи, примерно равное 3,14

d — диагональ прямоугольника

Видео:Как найти длину хорды по радиусу и центральному углу. Геометрия 8-9 классСкачать

Как найти длину хорды по радиусу и центральному углу. Геометрия 8-9 класс

Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата

Давайте рассмотрим, как найти длину окружности, если она вписана в квадрат и нам известна сторона квадрата:

π — математическая константа, примерно равная 3,14

a — сторона квадрата

Видео:+Как найти длину окружностиСкачать

+Как найти длину окружности

Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника

Можно найти, чему равна длина окружности, если в нее вписан треугольник и известны все три его стороны, а также известна его площадь:

Длина окружности равна произведению хорды

π — математическая константа, она примерно равна 3,14

a — первая сторона треугольника

b — вторая сторона треугольника

c — третья сторона треугольника

S — площадь треугольника

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника

Можно определить, чему равна длина окружности, если круг вписан в треугольник, и известны следующие параметры: площадь треугольника и его полупериметр.

Периметр — это сумма всех сторон треугольника. Полупериметр равен половине этой суммы, то есть чтобы его найти, вам нужно рассчитать периметр и поделить его на два.

Длина окружности равна произведению хорды

π — математическая константа, примерно равная 3,14

S — площадь треугольника

p — полупериметр треугольника

Видео:Задача на нахождение длины хорды окружностиСкачать

Задача на нахождение длины хорды окружности

Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника

Разбираемся, как в этом случае измерить окружность. Для этого необходимо посчитать, сколько сторон у многоугольника, а также знать длину стороны многоугольника. Напомним, что у правильного многоугольника все стороны равны, как у квадрата.

Формула вычисления длины окружности:
Длина окружности равна произведению хорды

π — математическая константа, примерно равная 3,14

a — сторона многоугольника

N — количество сторон многоугольника

Видео:Длина окружности. 9 класс.Скачать

Длина окружности. 9 класс.

Задачи для решения

Давайте тренироваться! Двигаемся от простого к сложному:

Задача 1. Найти длину окружности, диаметр которой равен 5 см.

Решение. Итак, нам известен диаметр окружности, значит для вычисления длины заданной окружности берем формулу:

Подставляем туда известные переменные и получается, что длина окружности равна

Задача 2. Чему равна длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороною a = 4√3 дм

Решение. Радиус окружности равен Длина окружности равна произведению хордыПодставим туда наши переменные и получим Длина окружности равна произведению хорды

Теперь, когда нам известен радиус окружности и есть формула длины окружности через радиус l=2πr, мы можем подставить наши данные и получить решение задачи.

Обучение на курсах по математике поможет закрепить полученные знания на практике.

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Окружность и круг

теория по математике 📈 планиметрия

Определения

Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной данной точки (центра окружности). Другими словами – это замкнутая линия, длину которой можно измерить.

На рисунке центр окружности обозначен точкой О. Длина окружности равна произведению хордыОпределения

Радиус – расстояние от центра до любой точки окружности. На рисунке радиус обозначен АО. Все радиусы одной окружности равны. Радиус можно обозначать латинскими буквами R или r.

Диаметр – отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. На рисунке диаметр обозначен АВ. Все диаметры одной окружности равны. В одном диаметре содержится два радиуса. Диаметр обозначается буквой d.

Хорда – отрезок, соединяющий две любые точки окружности. На рисунке это отрезок CD.

Длина окружности равна произведению хорды

Свойство хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Так, на рисунке показаны две пересекающиеся хорды, одна состоит из отрезков a и b, вторая из отрезков d и с, следовательно, ab=dс.

Длина окружности равна произведению хорды

Длина окружности

Длину окружности можно вычислить по формуле:

C=2πR, где π=3,14.

Дуга – часть окружности, которая соединяет две точки. На рисунке мы видим несколько дуг, например, дуги CD (малая и большая). Дуга АВ – называется полуокружностью, так как стягивает концы диаметра. Обозначается дуга значком ∪АВ.

Длина окружности равна произведению хорды

Видео:Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.Скачать

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.

Дуга, касательная, круг, сектор, сегмент

Из точки, не лежащей на окружности можно провести касательную – прямую, которая имеет с окружностью только одну общую точку (рисунок 4).

Длина окружности равна произведению хорды

Свойства касательной

Длина окружности равна произведению хорды

На рисунке видно, что АХ=ВХ, угол АХО равен углу ВХО.

Длина окружности равна произведению хорды

Угол АВС (образован касательной АВ и хордой ВС) равен половине дуги m.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью. Другими словами, круг – это всё, что находится внутри окружности.

Площадь круга вычисляется по формуле:

S=πR 2 , где π=3,14.

Сектор и его площадь

Сектор – область круга, ограниченная двумя радиусами. На рисунке сектор выделен сиреневым цветом, он ограничен радиусами ОА и ОВ.

Длина окружности равна произведению хорды

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:

S= π R 2 360 . . × α , где α – угол между радиусами.

Сегмент – это область круга, ограниченная хордой и дугой. На рисунке сегмент выделен сиреневым цветом. Также можно сказать, что это часть круга, отсекаемая от него хордой. На рисунке видно, как хорда АВ отсекает сегмент.

📽️ Видео

Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр, хорда, дуга, сектор и длина окружности, площадь круга.Скачать

Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр, хорда, дуга, сектор и длина окружности, площадь круга.

Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)Скачать

Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)

КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс
Поделиться или сохранить к себе: