Определение вектора
 |
| рис. 1 |
Обозначение вектора
Вектор началом которого есть точка А, а концом — точка В, обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a .
Длина вектора
Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.
Нулевой вектор
Нулевой вектор обычно обозначается как 0 .
Длина нулевого вектора равна нулю.
Коллинеарные вектора
 |
| рис. 2 |
Сонаправленные вектора
 |
| рис. 3 |
Противоположно направленные вектора
 |
| рис. 4 |
Компланарные вектора
 |
| рис. 5 |
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.
Равные вектора
 |
| рис. 6 |
То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:
a = b , если a ↑↑ b и | a | = | b |.
Единичный вектор
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Что такое вектор: определение, обозначение, виды
В данной публикации мы рассмотрим, что такое вектор, как он обозначается, а также какие виды бывают. Теоретическую информацию сопроводим рисунками для лучшего восприятия.
Определение вектора
Вектор – это направленный отрезок. Другими словами, это отрезок определенной длины, который направлен в конкретную сторону.
У вектора есть начало и конец. На рисунке ниже – это точки A и B, соответственно. Направление вектора показывается соответствующей стрелкой.
Обозначается вектор путем записи его точек (начало, потом – конец) с вертикальной черточкой сверху, т.е. в нашем случае – AB .
Альтернативный вариант обозначения – малеьнкая латинская буква, например, a .
Примечание: нахождение длины вектора (| AB | или | a |) мы подробно рассмотрели в отдельной публикации.
Виды векторов
1. Нулевой – начало и конец вектора совпадают. Обычно обозначается как 0 . Длина нулевого вектора равняется нулю.
2. Единичный – вектор, длина которого равна единице. Также называется ортом.
3. Коллинеарные – векторы лежат на одной и той же или на параллельных прямых.
4. Сонаправленные – коллинеарные векторы, направления которых совпадает. Например, на рисунке ниже a и b являются сонаправленными.
5. Противоположно направленные – коллинеарные векторы, направления которых противоположны.
6. Компланарные – векторы, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости.
Примечание: любые два вектора компланарны, так как всегда найдется плоскость, параллельная им обоим.
7. Равные – векторы, имеющие одинаковую длину и направление, а также лежащие на одной или параллельных прямых.
Примечание: для вектора AB в произвольной точке C пространства удастся построить только один единственный вектор (например, CD ) той же длины.
Вектор. Виды векторов.
Вектор — в самом элементарном случае это математический объект, который характеризуется
величиной и направлением.
В геометрии вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая
из его граничных точек является началом, а какая — концом.
У вектора есть длина и определенное направление. Графически вектора изображаются как
направленные отрезки прямой конкретной длины. Длина вектора – это и есть длина этого отрезка.
Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии по обоим сторонам: |AB|.
Как видно на рисунке, начало отрезка – это точка А, концом отрезка является
точка В, а непосредственно вектор обозначен через 
. У направления
вектора существенное значение, если переместить стрелку на другую
сторону отрезка, то получим вектор, но абсолютно другой. Понятие вектора
удобно сравнивать с движением физического тела: подумайте, ехать на
рыбалку и с рыбалки – разница огромная.
Понятия «больше» и «меньше» для векторов не имеет значения — так как направления их могут быть
разными. Сравнивают лишь длины векторов. Зато есть понятие равенства для векторов.
Виды векторов.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1.
Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором.
У такого вектора конец и начало совпадают.
Нулевой вектор обычно обозначается как 
. Длина нулевого вектора, или его модуль равен нулю.
Коллинеарные вектора – вектора, которые параллельны одной прямой
или которые лежат на одной прямой.
Сонаправленные вектора. Два коллинеарных вектора a и b называются
сонаправленными векторами только тогда, когда их направления
соответствуют друг другу: a↑↑b
Противоположно направленные вектора – два коллинеарных вектора
a и b называются противоположно направленными векторами, только
когда они направлены в разные стороны: a↑↓b.
Компланарные вектора – это те вектора, которые параллельны одной
плоскости или те, которые лежат на общей плоскости.
В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельную
двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются
Равные вектора. Вектора a и b будут равными, если они будут лежать на
одной либо параллельных прямых и их направления и длины одинаковые.
То есть, такой вектор можно перенести параллельно ему в каждое место
Таким образом, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые
и имеют одинаковые длины:
Для координатного представления векторов огромное значение
оказывает понятие проекции вектора на ось (направленную
прямую).
Проекция вектора — это длина отрезка, который образуется
проекциями точек начала и конца вектора на заданную прямую,
при этом проекции добавляется знак “+”, но когда направление
проекции соответственно направлению оси, иначе — знак “–”.
Проекция – это длина заданного вектора, умноженная на cos угла исходного вектора и оси; проекция
вектора на ось, которая перпендикулярна ему = 0.
Когда работают с векторами, зачастую вводят так называемую
декартову систему координат и уже в этой системе находят
координаты вектора по базисным векторам.
Разложение по базису геометрически можно показать проекцией
вектора на координатные оси. Когда известны координаты начала и
конца вектора, то координаты данного вектора получают вычитая
из координат конца вектора координат начала вектора.
За базис зачастую выбираются координатные орты, которые обозначаются как 
, соответственно
осям x, y, z. Исходя из этого, вектор 
можно записать в таком виде:
Каждое геометрическое свойство есть возможность записать в координатах, и далее исследование
из геометрического переходит в алгебраическое и на этом этапе в основном упрощается. Обратное,
кстати, неверно: не у любого соотношения в координатах есть геометрическое толкование, но только
те соотношения, которые выполняются в любой декартовой системе координат (инвариантные).