Отбор корней в тригонометрических уравненияхПрактика приемных экзаменов в вузы показывает, что при решении тригонометрических уравнений абитуриенты нередко затрудняются как в выборе способа решения уравнения, так и при отборе его корней.
Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений специфична. Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнения. Запись ответа тригонометрического уравнения часто связана с понятиями объединения и пересечения множеств. Обычно при решении таких уравнений получают серии корней, и в окончательном варианте ответ записывают в виде объединения этих серий. Но как быть, если эти серии пересекаются? Надо ли исключать повторяющиеся корни решения или этого можно не делать?
С понятием пересечения множеств связан и еще один важный вопрос: в ответе не должно быть значений переменной, при которых выражения в левой или правой частях уравнения не определены. Такие значения надо исключить. Для этого надо уметь находить пересечение различных серий.
В предлагаемой работе на конкретных примерах рассматриваются различные способы и приемы при выборе ответа. Надеемся, что данная работа поможет учителям старших классов и самим учащимся при подготовке к вступительным экзаменам в вузы.
1. Отбор чисел на тригонометрическом круге
Проблему отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений часто можно решить с помощью изображения чисел на тригонометрическом круге. В ряде случаев этот прием, на наш взгляд, более наглядный и убедительный.
Пример 1. cos x + cos 2x – cos 3x = 1.
2sin x sin 2x – 2sin 2 x = 0,
.
Из рис. 1 видно, что серия x3(*) включает в себя один из корней серии x1( · ).
Ответ: 
Пример 2. tg x + tg 2x – tg 3x = 0.
Серия x2(*) не удовлетворяет ОДЗ (рис. 2). Серия x1( o ) входит в серию x3( · ), поэтому ответ можно записать одной формулой: 
Пример 3. 
sin 2x (2cos 2x cos x + cos 7x) = 0,
sin 2x (cos 3x + cos x + cos 7x) = 0,
sin 2x (cos 3x + 2cos 4x cos 3x) = 0,
sin 2x cos 3x (1 + 2cos 4x) = 0,
Объединяя все три серии корней, ответ можно записать так:
Пример 4. sin 2 x + sin 2 2x = sin 2 3x.
– (cos 2x + cos 4x) + 1 + cos 6x = 0,
– 2cos 3x cos x + 2cos2 3x = 0,
cos 3x (cos 3x – cos x) = 0,
cos 3x sin 2x sin x = 0,
Серия корней x2 содержится в серии x1 и x3, в чем легко убедиться, изобразив их различными точками на круге, поэтому
ответ: 
Пример 5. sin x + sin 7x – cos 5x + cos (3x – 2 p ) = 0.
2sin 4x cos 3x + 2sin 4x sin x = 0,
sin 4x (cos 3x + sin x) = 0,
Серия x2 содержится в серии корней x1, а на круге (рис. 4) изобразим точками серии x1( · ) и x3(О), которые не совпадают.
Пример 6. ctg 2x + 2ctg x – tg 2x = sin 5x.
ОДЗ
Учитывая ОДЗ, получим 
Пример 7. 
Иногда случается, что часть серии входит в ответ, а часть нет.
Нанесем на тригонометрический круг (рис. 6) все числа серии 
и выбросим корни, удовлетворяющие условию 
Оставшиеся решения из серии x1 можно объединить в формулу 
2. Отбор корней в тригонометрическом уравнении алгебраическим способом
Изображение корней на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2 p .
Пример 8. sin 2 2x + sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 5x = 2.
cos 4x + cos 6x + cos 8x + cos 10x = 0,
2cos 5x cos x + 2cos 9x cos x = 0,
cos x cos 2x cos 7x = 0.
«Период» серий равен p. Рассмотрим те корни из серий x1, x2, x3, которые попадают в промежуток [0; p ]. Это будут:
Сразу видно, что серия x1 содержится в серии x3, а серии x2 и x3 не пересекаются. Значит, ответ можно записать в виде .
Способ алгебраический. Общим знаменателем в сериях x1 и x2 будет 4:
Если x1 = x2, то 2 + 4k = 1 + 2l, но слева – четное число, а справа – нечетное. Равенство невозможно, серии x1 и x2 не пересекаются. Аналогично получаем, что серии х3 и х2 тоже не пересекаются, а вот для серий x1 и x3 получаются формулы
Из равенства 7 + 14k = 1 + 2m получаем m = 7k + 3. Это означает, что для всякого k найдется целое m такое, что будет выполняться равенство 7 + 14k = 1 + 2m, т. е. всякий корень из серии x1 встретится и в серии x3, поэтому серия x1 содержится в серии x3, и в ответе писать ее не надо.
При решении некоторых тригонометрических уравнений их заменяют эквивалентной системой уравнений, а затем находят пересечение множеств решений. Эти пересечения часто найти легко. Но иногда для нахождения решений необходимо решать диафантово уравнение (ax + by = c).
Пример 9.
В данном случае сделать отбор решений на тригонометрическом круге неудобно, так как периоды серий разные. Найдем такие целые k, при которых x = p + 2 p k имеет посторонние корни, удовлетворяющие условию x № 3 p n, n О Z. Пусть p + 2 p k = 3 p n; 1 + 2k = 3n. Отсюда n = 2m + 1 Ю k = 3m + 1. Итак, посторонние корни в серии x = p + 2 p k будет при k = 3m + 1, m О Z.
Пример 10. cos 7x (sin 5x – 1) = 0.
Пересекаются ли эти серии? Из равенства
следует 5k = 14n + 1. Выразим ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине:
– целое число.
Ответ можно записать в виде
Пример 11.
Поскольку наибольшее значение функции y = cos t равно 1, уравнение равносильно системе
Решением уравнения является пересечение серий x1 и x2, т. е. нам надо решить уравнение
Из него получаем уравнение, имеющее решение k = 8t, n = 3t.
Пример 12.
Решением уравнения является пересечение серий x1 и x2;
где
Пример 13.
sin 2x sin 4x = 2sin x sin 3x cos x,
sin 2x sin 4x = sin 2x sin 3x,
sin 2x (sin 4x – sin 3x) = 0,
Остается проверить, лежат ли они в области x О R,
Серию x1 проверить легко: поскольку
а при n, кратных 8, n = 8l (l О Z), получается как раз x № 2 p l, вся серия x1 исключается. Сложнее обстоит дело с серией x2. Здесь надо выяснить, при каких целых k найдется такое n, что выполняется равенство
и исключить такие k. Последнее уравнение приводится к виду 8k + 4 = 7n, причем решать это уравнение надо в целых числах. Из него следует, что n = 4l, поскольку левая часть уравнения делится на 4. Подставляя n = 4l в уравнение, получаем 8k + 4 = 28l, откуда 2k + 1 = 7l. Далее, l должно быть нечетно, l = 2t + 1; поэтому 2k + 1 = 14t + 7, k = 7t + 3. Вот решение и получилось:
Ответ:
3. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с некоторыми условиями
Изложенные выше способы отбора корней в тригонометрических уравнениях не всегда применяются в чистом виде: выбор способа зависит от конкретных условий, но иногда эти способы комбинируются.
Пример 14. Найти корни уравнения sin 2x = cos x | cos x |,
удовлетворяющие условию x О [0; 2 p ].
Условию cos x і 0 удовлетворяют
из серии
из серии
Наконец,
Пример 15. Найти все решения уравнения
удовлетворяющие условию
так как
Пример 16. Найти все решения уравнения
принадлежащие отрезку
Отметим ОДЗ на тригонометрическом круге (рис. 9):
Отрезку
Решим уравнение и выберем корни, принадлежащие этому промежутку:
1 + sin 2x = 2cos 2 3x Ю sin 2x = cos 6x,
Из серии
Из серии
Пример 17.
Ответ:
Пример 18. Найти все корни уравнения
которые удовлетворяют условию
10sin 2 x = – cos 2x + 3 Ю 10sin 2 x = 2sin 2 x – 1 + 3,
Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи. Из серии
При
при
Аналогично выберем корни, удовлетворяющие условию задачи, из второй серии. Это будут
Пример 19.
sin x и cos x должны быть одинакового знака, а, учитывая первое неравенство, только при sin x > 0 и cos x > 0 система совместна. Значит, x оканчивается в первой четверти. Имеем
1 + 2sin x cos x = 4sin x cos x Ю sin 2x = 1,
Ответ:
Пример 20.
Ответ:
Пример 21.
а)
Но ctg x 0. Решений нет.
б)
Ответ:
Примеры для самостоятельного решения
7. Найти все решения уравнения, принадлежащие указанным промежуткам:
Л. Максименко,
Р. Зинченко,
г. АнгарскВидео:Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии: часть 1Скачать
Тригонометрические уравнения
Градусы и радианы
Знакомство с тригонометрической окружностью
Повороты на тригонометрической окружности
Как много боли связано со словом тригонометрия. Эта тема появляется в 9 классе и уже никуда не исчезает. Тяжело приходится тем, кто чего-то не понял сразу. Попробуем это исправить, чтобы осветить ваше лицо улыбкой при слове тригонометрия или хотя бы добиться «poker face».
Начнем с того, что как длину можно выразить в метрах или милях, так и угол можно выразить в радианах или градусах .
1 радиан = 180/π ≈ 57,3 градусов
Но проще запомнить целые числа: 3,14 радиан = 180 градусов. Это все одно и то же значение числа π.
Вспомним, что если нас просят развернуться, то нам нужно повернуться на 180 градусов, а теперь можно так же сказать: Повернись на π!
О графиках синуса, косинуса и тангеса поговорим в другой статье.
А сейчас начем с декартовой (прямоугольной) системы координат.
Раньше она помогала строить графики, а теперь поможет с синусом и косинусом.
На пересечении оси Х и оси Y построим единичную (радиус равен 1) окружность:
Тогда ось косинусов будет совпадать с х, ось синусов с y. Оси тангенсов и котангенсов также показаны на рисунке.
А теперь отметим основные значения градусов и радиан на окружности.
Давай договоримся с тобой, как взрослые люди: на окружности мы будем отмечать угол в радианах, то есть через Пи.
Достаточно запомнить, что π = 180° (тогда π/6 = 180/6 = 30°; π/3 = 180/3 = 60°; π/4 = 180/4 = 45°).
А теперь давай покрутимся на окружности! За начало отчета принято брать крайнюю правую точку окружности (где 0°):
От нее задаем дальнейший поворот. Вращаться можем как в положительную сторону (против часовой), так и в отрицательную сторону (по часовой стрелке).
Повернуться на 45° можно двумя спобами: через левое плечо на 45° в (+) сторону, либо через правое плечо на 315° в (-).
Главное — направление, куда мы будем смотреть, а не угол!
Нужно направить пунктир на 100 баллов, а сколько оборотов и в какую сторону вокруг себя мы сделаем — без разницы!
Получить 100 баллов можно поворотом на 135° или 360°+135°, или -225°, или -225°-360°.
А теперь у тебя есть два пути:
Выучить всю окружность (тригонометр). Неплохой вариант, если с памятью у тебя все отлично, и ничего не вылетит из головы в ответственный момент:
А можно запомнить несколько табличных углов и соответствующие им значения, а потом использовать их.
Находите равные углы (вертикальные, соответственные) на тригонометрической окружности. Попасть в любую точку можно с помощью суммы или разности двух табличных значений.
Сразу попробуем разобрать на примере:
1) Помним, что ось cos(x) — это горизонтальная ось. На ней отмечаем значение ½ и проводим перпендикулярную (фиолетовую) прямую до пересечений с окружностью.
2) Получили две точки пересечения с окружностью, значение этих углов и будет решением уравнения.
Дело за малым — найти эти углы.
Лучше обойтись «малой кровью» и выучить значение синуса и косинуса для углов от 30° до 60°.
Или запомнить такой прием:
Пронумеруй пальцы от 0 до 4 от мизинца до большого. Угол задается между мизинцем и любым другим пальцем (от 0 до 90).
Например, требуется найти sin(π/2) : π/2 — это большой палец, n = 4 подставляем в формулу для синуса: sin(π/2) = √4/2 = 1 => sin(π/2) = 1.
cos(π/4) — ? π/4 соответсвует среднему пальцу (n = 2) => cos(π/4) = √2/2.
При значении cos(x) = ½ из таблицы или с помощью мнемонического правила находим x = 60° (первая точка x = +π/3 из-за того, что поворот происходил против часовой стерелки (+), угол показан черной дугой).
Вторая же точка соответствует точно такому же углу, только поворот будет по часовой стрелке (−). x = −π/3 (угол показан нижней черной дугой).
И последнее, прежде чем тебе, наконец, откроются тайные знания тригонометрии:
Когда требуется попасть в «100 баллов», мы можем в них попасть с помощью поворота на . =-225°=135°=495°=.
То же самое и здесь! Разные углы могут отражать одно и то же направление.
Абсолютно точно можно сказать, что нужно повернуться на требуемый угол, а дальше можно поворачиваться на 360° = 2π (синим цветом) сколько угодно раз и в любом направлении.
Таким образом, попасть в первое направление 60° можно: . 60°-360°, 60°, 60°+360°.
И как записать остальные углы, не записывать же бесконечное количество точек? (Хотел бы я на это посмотреть☻)
Поэтому правильно записать ответ: x = 60 + 360n, где n — целое число (n∈Ζ) (поворачиваемся на 60 градусов, а после кружимся сколько угодно раз, главное, чтобы направление осталось тем же). Аналогично x = −60 + 360n.
Но мы же договорились, что на окружности все записывают через π, поэтому cos(x) = ½ при x = π/3 + 2πn, n∈Ζ и x = −π/3 + 2πk, k∈Ζ.
Ответ: x = π/3 + 2πn, x= − π/3 + 2πk, (n, k) ∈Ζ.
Пример №2. 2sinx = √2
Первое, что следует сделать, это перенести 2-ку вправо => sinx=√2/2
1) sin(x) совпадает с осью Y. На оси sin(x) отмечаем √2/2 и проводим ⊥ фиолетовую прямую до пересечений с окружностью.
2) Из таблицы sinx = √2/2 при х = π/4, а вторую точку будем искать с помощью поворота до π, а затем нужно вернуться обратно на π/4.
Поэтому вторая точка будет x = π − π/4 = 3π/4, в нее также можно попасть и с помощью красных стрелочек или как-то по-другому.
И еще не забудем добавить +2πn, n∈Ζ.
Ответ: 3π/4 + 2πn и π/4 + 2πk, k и n − любые целые числа.
Пример №3. tg(x + π/4) = √3
Вроде все верно, тангенс равняется числу, но смущает π/4 в тангенсе. Тогда сделаем замену: y = x + π/4.
tg(y) = √3 выглядит уже не так страшно. Вспомним, где ось тангенсов.
1) А теперь на оси тангенсов отметим значение √3, это выше чем 1.
2) Проведем фиолетовую прямую через значение √3 и начало координат. Опять на пересечении с окружностью получается 2 точки.
По мнемоническому правилу при тангенсе √3 первое значение — это π/3.
3) Чтобы попасть во вторую точку, можно к первой точке (π/3) прибавить π => y = π/3 + π = 4π/3.
4) Но мы нашли только y , вернемся к х. y = π/3 + 2πn и y = x + π/4, тогда x + π/4 = π/3 + 2πn => x = π/12 + 2πn, n∈Ζ.
Второй корень: y = 4π/3 + 2πk и y = x + π/4, тогда x + π/4 = 4π/3 + 2πk => x = 13π/12 + 2πk, k∈Ζ.
Теперь корни на окружности будут здесь:
Ответ: π/12 + 2πn и 13π/12 + 2πk, k и n — любые целые числа.
Конечно, эти два ответа можно объединить в один. От 0 поворот на π/12, а дальше каждый корень будет повторяться через каждый π (180°).
Ответ можно записать и так: π/12 + πn, n∈Ζ.
Пример №4: −10ctg(x) = 10
Перенесем (−10) в другую часть: ctg(x) = −1. Отметим значение -1 на оси котангенсов.
1) Проведем прямую через эту точку и начало координат.
2) Придется опять вспомнить, когда деление косинуса на синус даст еденицу (это получается при π/4). Но здесь −1, поэтому одна точка будет −π/4. А вторую найдем поворотом до π, а потом назад на π/4 (π − π/4).
Можно это сделать по-другому (красным цветом), но мой вам совет: всегда отсчитывайте от целых значений пи (π, 2π, 3π. ) так намного меньше шансов запутаться.
Не забываем добавить к каждой точке 2πk.
Ответ: 3π/4 + 2πn и −π/4 + 2πk, k и n — любые целые числа.
Алгоритм решения тригонометрических уравнений (на примере cos(x) = − √ 3/2) :
- Отмечаем значение (−√3/2) на оси тригонометрической функции (косинусов, это ось Х).
- Проводим перпендикулярную прямую оси (косинусов) до пересечений с окружностью.
- Точки пересечения с окружностью и будут являться корнями уравнения.
- Значение одной точки (без разницы, как в нее попадете) +2πk.
Азов достаточно, прежде чем идти дальше закрепите полученные знания.
Видео:Отбор корней по окружностиСкачать
Отбор корней в тригонометрическом уравнение
В этой статье и постараюсь объяснить 2 способа отбора корней в тригонометрическом уравнение: с помощью неравенств и с помощью тригонометрической окружности. Перейдем сразу к наглядному примеру и походу дела будем разбираться.
а) Решить уравнение sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-7Pi/2; -2Pi]Решим пункт а.
Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(Pi/2+x) = cos(x)
sqrt(2)cos^2x — cosx = 0
cosx(sqrt(2)cosx — 1) = 0
x1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z
sqrt(2)cosx — 1 = 0
x2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Zx2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ ZРешим пункт б.
1) Отбор корней с помощью неравенств
Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [-7Pi/2; -2Pi], находим целые значения для n.
-7Pi/2 меньше или равно Pi/2 + Pin меньше или равно -2Pi
Сразу делим все на Pi
-7/2 меньше или равно 1/2 + n меньше или равно -2
-7/2 — 1/2 меньше или равно n меньше или равно -2 — 1/2
-4 меньше или равно n меньше или равно -5/2
Целые n в этом промежутку это -4 и -3. Значит корни принадлежащие этому промежутку буду Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2
Аналогично делаем еще два неравенства
-7Pi/2 меньше или равно Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-15/8 меньше или равно n меньше или равно -9/8Целых n в этом промежутке нет
-7Pi/2 меньше или равно -Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-13/8 меньше или равно n меньше или равно -7/8Одно целое n в этом промежутку это -1. Значит отобранный корень на этом промежутку -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.
Значит ответ в пункте б: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4
2) Отбор корней с помощью тригонометрической окружности
Чтобы пользоваться этим способом надо понимать как работает эта окружность. Постараюсь простым языком объяснить как это понимаю я. Думаю в школах на уроках алгебры эта тема объяснялась много раз умными словами учителя, в учебниках сложные формулировки. Лично я понимаю это как окружность, которую можно обходить бесконечное число раз, объясняется это тем, что функции синус и косинус периодичны.
Обойдем раз против часовой стрелки
Обойдем 2 раза против часовой стрелки
Обойдем 1 раз по часовой стрелки (значения будут отрицательные)
Вернемся к нашем вопросу, нам надо отобрать корни на промежутке [-7Pi/2; -2Pi]
Чтобы попасть к числам -7Pi/2 и -2Pi надо обойти окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.
Рассмотри x = Pi/2 + Pin. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где-то в этом промежутке? Подставляем, допустим -2, получаем Pi/2 — 2Pi = -3Pi/2, очевидно это не входит в наш промежуток, значит берем меньше -3, Pi/2 — 3Pi = -5Pi/2, это подходит, попробуем еще -4, Pi/2 — 4Pi = -7Pi/2, также подходит.
Рассуждая аналогично для Pi/4 + 2Pin и -Pi/4 + 2Pin, находим еще один корень -9Pi/4.
Сравнение двух методов.
Первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для пониманию, но если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью и со вторым методом отбора, то отбор корней будет гораздо быстрее, можно сэкономить около 15 минут на экзамене.
📹 Видео
3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать
РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать
Задание №13. Как отбирать корни в тригонометрической окружности? 🤔Скачать
Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать
Отбор корней по окружностиСкачать
Как решить пункт б) в задании 13 профиля ЕГЭ. ТригонометрияСкачать
Учимся объединять корни тригонометрического уравнения. Задание 12 ЕГЭ профильСкачать
Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Как решать тригонометрические неравенства?Скачать
Выборка с помощью окружностиСкачать
Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать
Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать
Что есть ответ на тригонометрическое уравнение? Тригонометрические уравнения Часть 1 из 6.Скачать
КОГДА ПИСАТЬ +Пк, а когда +2Пк? (Задание 13 по Тригонометрии ЕГЭ 2024 по Математике Профиль)Скачать
10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать
Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать
Как отбирать корни с помощью числовой окружности? Тригонометрические уравнения Часть 6 из 6Скачать
Тригонометрия 8. Отбор корнейСкачать
– целое число.
.
,
– целое число;
,
,
то
.
принадлежит только один промежуток из ОДЗ, а именно 
.
при n = 2 имеем
при n = 5 имеем
.
.
.
.
Решение простейших тригонометрических уравнений
