Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Задачи по алгебре. Выпуск 2.

Задача 1. Найти 5А, если

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Задача 2. Найти А +В, если

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Задача 3. Найти АВ , если

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Задача 4. Найти транспонированную матрицу относительно матрицы

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Задача 5. Найти Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса , если

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Задача 6. Найти Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса , если

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Задача 7. Вычислить определитель

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Решение: Разложим определитель по первой строке:

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Задача 8. Найти обратную матрицу для матрицы

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Определитель нулю не равен, следовательно, обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения (знаки их учтем сразу), т. е.

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Мы сами можем проверить результат, Известно, что Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса . Так ли это?

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Получилась единичная матрица. Значит, обратная матрица найдена верно.

Задача 9. Решить систему матричным способом:

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Не является ли матрица А вырожденной? Найдем ее определитель: det А =1•[-1•4 – 1•2] – 1•[2•4 – 2•4] + 2•[2•1 – 4•(-1)] = -6 + 12 = 6

Определитель не равен нулю, то есть матрица не вырожденная. Значит, существует обратная матрица

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Можно убедиться проверкой в правильности решения: подставим вектор Х в первоначальное матричное уравнение.

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Действительно вектор Х удовлетворяет заданной системе.

Задача 10. Решить систему с помощью формул Крамера :

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Задача 11. Вычислить :

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Раскроем скобки и получим:

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Так как Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса , то получаем:

Задача 12. Вычислить, пользуясь формулой Муавра:

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Представим число z в тригонометрической форме.

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса , следовательно, а=1, b =1 и Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Применим формулу Муавра:

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса ,

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Задача 13. Выполнить деление с остатком f ( x )= x 3 — x 2 — x на x -1+2 i .

Решение: Составим таблицу, в которой над чертой расположены коэффициенты многочлена f ( x ), под чертой соответствующие коэффициенты частного и остаток, последовательно вычисляемые, а слева сбоку – значение c = 1-2 i в данном примере.

Таким образом: f ( x )= x 3 — x 2 — x =( x -1+2 i ) ( x 2 -2 ix -5-2 i )-9+8 i .

Ответ : f(x)=x 3 -x 2 -x=(x-1+2i) (x 2 -2ix-5-2i)-9+8i.

Задача 14. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов.

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса , Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса , Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса ; Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Задача 15. Проверить, что векторы х = (1, -2, 2, -3), у = (2, -3, 2, 4) ортогональны, и дополнить их до ортогональных базисов.

Решение: Найдем скалярное произведение данных векторов: ( х , у) = 2+6+4-12 = 0 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса х , у – ортогональны .

Найдем векторы, дополняющие данную систему векторов до ортогонального базиса.

Пусть z = (z1, z2, z 3, z 4) попарно ортогонален с данными векторами, т.е. ( x , z ) = 0 и ( y , z ) = 0. Получаем следующую систему:

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Эта система имеет множество решений, например,

Пусть теперь k = ( k 1, k 2, k 3, k 4) попарно ортогонален с векторами x , y , z . Получаем следующую систему:

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Эта система имеет множество решений, например,

Таким образом, можно добавить векторы

(2, 2, 1, 0), (-5, 2, 6, 1).

Задача 16. Найти векторы, дополняющие следующую систему векторов Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса и Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса до ортонормированного базиса.

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса , Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса , Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Пусть z = (z1, z2, z 3) попарно ортогонален с данными векторами, т.е. ( x , z ) = 0 и ( y , z ) = 0. Получаем следующую систему:

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Эта система имеет множество решений, например,

Нормируя этот вектор, получим вектор, дополняющий данную систему векторов до ортонормированного базиса:

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Задача 17. Доказать, что проектирование трехмерного пространства на координатную плоскость натянутую на вектора e 1, e 2 параллельно оси координат вектора e 3, является линейным преобразованием, и найти его матрицу в базисе e 1, e 2, e 3..

Решение: Пусть L — трёхмерное пространство, e 1, e 2, e 3 — базис L , преобразование Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса — проектирование L на координатную плоскость векторов e 1, e 2 параллельно оси координат вектора e 3.

Пусть х — произвольный вектор L , т.е. x Î L .

Пусть x =( x 1, x 2, x 3) — координаты вектора x в базисе e 1, e 2, e 3, т.е. x = x 1 e 1+ x 2 e 2+ x 3 e 3. Тогда при преобразовании j имеем:

Докажем, что для любых x Î L , y Î L и числа l

1) j ( x+y )= j (x)+ j (y),

2) j ( l x )= l j (x).

j ( l x ) = ( l x 1, l x 2, 0) = l ( x 1, x 2, 0) = l j ( x ) .

Следовательно, j — линейное преобразование.

Найдем матрицу преобразования j в базисе e 1, e 2, e 3. Известно, что координаты образа j ( x ) вектора x при линейном преобразовании выражаются через координаты вектора x в том же базисе при помощи матрицы преобразования A j следующим образом:

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Откуда следует, что

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Задача 18. Линейное преобразование φ в базисе е 1 , е2, е3, е4 имеет матрицу

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Выпишем матрицу перехода от базиса е 1234 к новому базису:

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Теперь найдем матрицу преобразования В j в новом базисе по формуле В j =Т -1 А j Т.

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Задача 19. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Решение: Собственные значения являются корнями характеристического уравнения преобразования j .

Составим характеристическую матрицу:

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Найдем определитель матрицы и вычислим корни характеристического уравнения:

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

= (2 — Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса )(3+ Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса )(2+ Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса )+3-2(3+ Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса )-5(2+ Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса ) =

= Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса +3-6-2 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса -10-5 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса =

= 12+4 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса -3 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса -7 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса -13 = Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса ,

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Получим собственные значения: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса или Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Для каждого собственного значения найдем собственный вектор.

По определению имеем: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Но, в тоже время, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Беря значением Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса = -1, получаем с.л.а .у . :

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Собственными векторами будут являться вектора, входящие в фундаментальную систему решений (ф.с.р.) этой с.л.а .у . Найдем ф.с.р. это с.л.а .у .

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Таким образом, собственным вектором, отвечающим собственному значению Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса = -1, является вектор Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Задача 20. Найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду, для следующей квадратичной формы: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Решение: Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполним сначала невырожденное линейное преобразование:

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса ,

после чего получим Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса , получим, что Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Найдем невырожденное линейное преобразование.

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса , Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса , Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Задача 21. Следующую квадратичную форму привести к каноническому виду с целыми коэффициентами посредством невырожденного линейного преобразования с рациональными коэффициентами и найти выражение новых неизвестных через старые.

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Решение: Приведем данную форму к каноническому виду:

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса = =2 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса = Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

= Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса ,

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

получим канонический вид квадратичной формы:

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса .

Видео:Ортогональное дополнение. ПримерСкачать

Ортогональное дополнение. Пример

Ортогональный и ортонормированный базисы евклидова пространства

Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.

Базис [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] евклидова пространства называется ортогональным , если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.

Базис [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] евклидова пространства называется ортонормированным , если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:

Теорема 8.5. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.

В самом деле, по теореме 8.2 любую систему линейно независимых векторов, в частности, ортогональную (ортонормированную), можно дополнить до базиса. Применяя к этому базису процесс ортогонализации, получаем ортогональный базис. Нормируя векторы этого базиса (см. пункт 4 замечаний 8.11), получаем ортонормированный базис.

Видео:Ортогональное дополнение (задача 1366)Скачать

Ортогональное дополнение (задача 1366)

Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей

Пусть [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] — базис евклидова пространства, в котором векторы [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] имеют координаты [math]x_1,x_2,ldots,x_n[/math] и [math]y_1,y_2,ldots,y_n[/math] соответственно, т.е.

Выразим скалярное произведение, используя следствие 3 из аксиом скалярного произведения:

Преобразуем это выражение, используя операции с матрицами:

y=begin y_1&cdots& y_n end^T[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] , a [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n)[/math] — квадратная симметрическая матрица, составленная из скалярных произведений

которая называется матрицей Грама системы векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] .

Видео:Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации (задача 1357)Скачать

Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации (задача 1357)

Преимущества ортонормированного базиса

Для ортонормированного базиса [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] формула (8.32) упрощается, так как из условия (8.31) следует, что матрица Грама [math]G(mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_n)[/math] ортонормированной системы [math]mathbf_1, mathbf_2,ldots, mathbf_n[/math] равна единичной матрице: [math]G(mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_n)=E[/math] .

1. В ортонормированном базисе [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n[/math] скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] находится по формуле: [math]langle mathbf,mathbfrangle= x_1y_1+x_2y_2+ldots+x_ny_n[/math] , где [math]x_1,ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf[/math] , а [math]y_1,ldots,y_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf[/math] .

2. В ортонормированном базисе [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n[/math] длина вектора [math]mathbf[/math] вычисляется по формуле [math]|mathbf|= sqrt[/math] , где [math]x_1,ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf[/math] .

3. Координаты [math]x_1,ldots,x_n[/math] вектора [math]mathbf[/math] относительно ортонормированного базиса [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] находятся при помощи скалярного произведения по формулам: [math]x_1=langle mathbf,mathbf_1rangle,ldots, x_n=langle mathbf,mathbf_nrangle[/math] .

В самом деле, умножая обе части равенства [math]mathbf= x_1 mathbf_1+ldots+x_n mathbf_n[/math] на [math]mathbf_1[/math] , получаем

Аналогично доказываются остальные формулы.

Видео:Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому

Пусть [math](mathbf)=(mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] и [math](mathbf)= (mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] — два базиса евклидова пространства [math]mathbb[/math] , a [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](mathbf)[/math] к базису [math](mathbf)colon, (mathbf)=(mathbf)S[/math] . Требуется найти связь матриц Грама систем векторов [math](mathbf)[/math] и [math](mathbf)[/math]

По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] в разных базисах:

где [math]mathoplimits_<(mathbf)>,, mathoplimits_<(mathbf)>[/math] и [math]mathoplimits_<(mathbf)>,, mathoplimits_<(mathbf)>[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи [math]mathoplimits_<(mathbf)>= S mathoplimits_<(mathbf)>,[/math] [math]mathoplimits_<(mathbf)>= S mathoplimits_<(mathbf)>[/math] , получаем тождество

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому :

Записав это равенство для ортонормированных базисов [math](mathbf)[/math] и [math](mathbf)[/math] , получаем [math]E=S^TES[/math] , так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: [math]G(mathbf_1,ldots,mathbf_n)= G(mathbf_1,ldots,mathbf_n)=E[/math] . Поэтому матрица [math]S[/math] перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: [math]S^=S^T[/math] .

Видео:ОртогональностьСкачать

Ортогональность

Свойства определителя Грама

Определитель матрицы (8.33) называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.

1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Действительно, если система [math]mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] линейно зависима, то существуют такие числа [math]x_1,x_2,ldots,x_k[/math] , не равные нулю одновременно, что

Умножая это равенство скалярно на [math]mathbf_1[/math] , затем на [math]mathbf_2[/math] и т.д. на [math]mathbf_k[/math] , получаем однородную систему уравнений [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k)x=o[/math] , которая имеет нетривиальное решение [math]x=beginx_1&cdots&x_k end^T[/math] . Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

Главный минор матрицы Грама системы [math]mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

2. Определитель Грама [math]det<G (mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k)>[/math] не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] . Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] получены векторы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] , то

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] последовательно строятся векторы

После первого шага определитель Грама не изменяется

Выполним с определителем [math]det G(mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k)[/math] следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число [math](-alpha_)[/math] , а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на [math](-alpha_)[/math] . Получим определитель

Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то

Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после [math]k[/math] шагов:

Вычислим правую часть этого равенства. Матрица [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k)[/math] Грама ортогональной системы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] векторов является диагональной, так как [math]langle mathbf_i,mathbf_jrangle=0[/math] при [math]ine j[/math] . Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

3. Определитель Грама любой системы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] векторов удовлетворяет двойному неравенству

Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] , для которых по свойству 2:

Оценим теперь скалярный квадрат [math]langle mathbf_j,mathbf_jrangle[/math] . Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем [math]mathbf_j= mathbf_j+ alpha_mathbf_1+ ldots+ alpha_mathbf_[/math] . Отсюда

Следовательно, по свойству 2 имеем

1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.

2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.

3. Определитель квадратной матрицы [math]A[/math] (n-го порядка) удовлетворяет неравенству Адамара :

Действительно, обозначив [math]a_1,a_2,ldots,a_n[/math] столбцы матрицы [math]A[/math] , элементы матрицы [math]A^TA[/math] можно представить как скалярные произведения (8.27): [math]langle a_i,a_jrangle= (a_i)^Ta_j[/math] . Тогда [math]A^TA=G(a_1,a_2,ldots,a_n)[/math] — матрица Грама системы [math]a_1,a_2,ldots,a_n[/math] векторов пространства [math]mathbb^n[/math] . По свойству 3, теореме 2.2 и свойству 1 определителя получаем доказываемое неравенство:

4. Если [math]A[/math] — невырожденная квадратная матрица, то любой главный минор матрицы [math]A^TA[/math] положителен. Это следует из пункта 2, учитывая представление произведения [math]A^TA=G(a_1,ldots,a_n)[/math] как матрицы Грама системы линейно независимых векторов [math]a_1,ldots,a_n[/math] — столбцов матрицы [math]A[/math] (см. пункт 3).

Видео:Образуют ли данные векторы базисСкачать

Образуют ли данные векторы базис

Изоморфизм евклидовых пространств

Два евклидовых пространства [math]mathbb[/math] и [math]mathbb'[/math] называются изоморфными [math](mathbbleftrightarrow mathbb’)[/math] , если они изоморфны как линейные пространства и скалярные произведения соответствующих векторов равны:

где [math](cdot,cdot)[/math] и [math](cdot,cdot)'[/math] — скалярные произведения в пространствах [math]mathbb[/math] и [math]mathbb'[/math] соответственно.

Напомним, что для изоморфизма конечномерных линейных пространств необходимо и достаточно, чтобы их размерности совпадали (см. теорему 8.3). Покажем, что это условие достаточно для изоморфизма евклидовых пространств (необходимость следует из определения). Как и при доказательстве теоремы 8.3, установим изоморфизм n-мерного евклидова пространства [math]mathbb[/math] с вещественным арифметическим пространством [math]mathbb^n[/math] со скалярным произведением (8.27). В самом деле, взяв в пространстве [math]mathbb[/math] какой-нибудь ортонормированный базис [math](mathbf)=(mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] , поставим в соответствие каждому вектору [math]mathbfin mathbb[/math] его координатный столбец [math]xin mathbb^n

(mathbfleftrightarrow x)[/math] . Это взаимно однозначное соответствие устанавливает изоморфизм линейных пространств: [math]mathbbleftrightarrow mathbb^n[/math] . В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] пространства [math]mathbb[/math] находится по формуле

(см. пункт 1 преимуществ ортонормированного базиса). Такое же выражение дает скалярное произведение (8.27) координатных столбцов [math]x[/math] и [math]y[/math] , т.е. скалярные произведения соответствующих элементов равны

Следовательно, евклидовы пространства [math]mathbb[/math] и [math]mathbb^n[/math] изоморфны.

Таким образом, изучение конечномерных евклидовых пространств может быть сведено к исследованию вещественного арифметического пространства [math]mathbb^n[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27).

Видео:2 42 Ортогональность векторовСкачать

2 42 Ортогональность векторов

Ортогональные системы векторов

Векторное пространство Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, в котором скалярное произведение векторов Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаи Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаопределяется формулой Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, является евклидовым.

Два вектора Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаи Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаназываются ортогональными, если Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

Система векторов Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаназывается ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисапри Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

Базис Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса-мерного евклидова пространства называется ортогональным, если Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисапри Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

Каждый вектор Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаединственным образом раскладывается по базису Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, где числа Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаназываемые координатами вектора Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисав ортогональном базисе Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, определяются по формулам: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса( Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса).

Ортогональной составляющей вектора Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаотносительно ортогональной системы векторов Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаназывается вектор Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, где Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса( Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса).

Процессом ортогонализации системы векторов Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаназывается построение ортогональной системы ненулевых векторов Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисапо формулам: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса,…, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, где Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса— ортогональные составляющие векторов Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаотносительно ортогональных систем векторов Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса( Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса). Если система векторов Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисалинейно зависима, то число векторов в ортогональной системе будет меньше Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

1.123 Выяснить будут ли ортогональными следующие системы векторов.

а) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса;

б) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса;

в) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса;

г) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

1.124 Проверить ортогональность систем векторов и дополнить их до ортогональных базисов.

а) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса;

б) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса;

в) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса;

г) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

1.125Найти координаты вектора Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисав ортогональном базисе: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

1.126 Найти координаты вектора Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисав ортогональном базисе: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

1.127 Найти ортогональную составляющую Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисавектора Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаотносительно ортогональной системы векторов Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

а) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса;

б) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса;

в) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса;

г) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

В задачах 1.128-1.133 применяя процесс ортогонализации построить ортогональную систему векторов.

1.128 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

1.129 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

1.130 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

1.131 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

1.132 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

1.133 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

Линейные операторы.

Операторомв Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса(преобразованием пространства Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса) называется закон, по которому каждому вектору Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаставится в соответствие единственный вектор Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, и пишут Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаОператор Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаназывается линейным, если для любых векторов Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаи действительных чисел Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисавыполнено условие: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

Если Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса— базис Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, томатрицей линейного оператора Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисав базисе Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаназывается квадратная матрица Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисапорядка Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, столбцами которой являются столбцы координат векторов Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса. Каноническим базисом Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаназывается базис Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, где Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса-единичные векторы. Между линейными операторами, действующими в Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаи квадратными матрицами порядка Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, существует взаимно однозначное соответствие, что позволяет оператор Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисапредставлять в матричном виде Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, где Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса— матрицы-столбцы координат векторов Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса— матрица оператора Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисав базисе Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

Для линейных операторов вводятся операции: 1) сложение операторов: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса; 2) умножение оператора на число: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса; 3) умножение операторов: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

Обратнымк оператору Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаназывается оператор Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисатакой, что Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, где Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаединичный(тождественный) оператор, реализующий отображение Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса. Обратный оператор Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисасуществует только для невырожденных операторов Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса(операторов, матрица которых является невырожденной). Все, рассмотренные выше, действия над линейными операторами выполняют, выполняя аналогичные действия над их матрицами.

Пусть число Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаи вектор Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, таковы, что выполняются равенства: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаили Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса. Тогда число Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаназывается собственным числом линейного оператора Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса(матрицы Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса), а вектор Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисасобственным вектором оператора (матрицы), соответствующим собственному числу Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса. Равенство Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаможет быть записано и в виде Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, где Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса— единичная матрица порядка Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса— матрица-столбец координат собственного вектора Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, соответствующего собственному числу Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса— нулевая матрица-столбец.

Характеристическим уравнением оператора Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса(матрицы Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса) называется уравнение: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

Множество собственных чисел оператора (матрицы) совпадает с множеством корней его характеристического уравнения: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, а множество собственных векторов, отвечающих собственному числу Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

Если квадратная матрица Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисапорядка Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаимеет собственные числа Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисакратности Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, где Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, то она приводима к диагональному виду Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисатогда и только тогда, когда выполнены условия: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса( Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса). Если нарушается хотя бы одно из условий, то матрица к диагональному виду неприводима.

Приведение матрицы Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисак диагональному виду Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаосуществляется преобразованием: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, где Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса— матрица, столбцами которой являются Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисалинейно независимых собственных векторов матрицы Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, отвечающих собственным числам Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса(каждому собственному числу Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисакратности Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаотвечает Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисалинейно независимых собственных векторов, образующих фундаментальную систему решений уравнения: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса). Матрица Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисапри этом будет иметь диагональный вид, причём на главной диагонали будут стоять собственные числа матрицы Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

В задачах 1.134-1.138 установить, какие из заданных отображений пространства арифметических векторов Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисав себя являются линейными операторами, и выписать их матрицы в каноническом базисе.

1.134 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

1.135 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

1.136 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

1.137 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

1.138 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

В задачах 1.139-1.143 в пространстве Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисазаданы линейные операторы Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаи Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса. Найти матрицу линейного оператора Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, где Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаи его явный вид в каноническом базисе Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

1.139 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса,

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

1.140 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса,

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

1.141 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса,

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

1.142 Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса,

1.143 .

В задачах 1.144-1.146 установить, какие из заданных в Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисалинейных операторов Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаявляются невырожденными, и найти явный вид обратных операторов Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

1.144 .

1.145 .

1.146 .

В задачах 1.147-1.156 найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов,заданных своими матрицами

Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса

1.147 . 1.148 .

1.149 . 1.150 .

1.151 . 1.152 .

1.153 . 1.154 .

1.155 . 1.156 .

В задачах 1.157-1.166 выяснить, какие из заданных матриц линейных операторов можно диагонализировать и найти:

а)диагональную форму матрицы; б) матрицу линейного преобразования, приводящего данную матрицу к диагональному виду.

1.157 . 1.158 .

1.159 . 1.160 .

1.161 . 1.162 .

1.163 . 1.164 .

1.165 . 1.166 .

Квадратичные формы.

Квадратичной формой Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса(кратко Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса) от Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса-переменных называется однородный многочлен второй степени: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, где Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса. Квадратичную форму всегда можно записать в матричном виде: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, где Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса— матрица квадратичной формы (являющаяся симметрической, так как выполняется условие Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса), Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса— матрица-столбец, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса— матрица-строка, составленные из переменных Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

Квадратичная форма называется невырожденной, если её матрица — невырожденная. Квадратичная форма называется канонической, если она имеет вид: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

Всякую квадратичную форму всегда можно привести к канонической, например, методами Лагранжа и ортогональных преобразований.

Метод Лагранжа состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Если в квадратичной форме все коэффициенты Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса( Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса), а коэффициент Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса( Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса), то, до выделения полных квадратов, в квадратичной форме следует перейти к новым переменным по формулам: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

Метод ортогональных преобразований состоит в приведении формы Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисак каноническому виду Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, где Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса— собственные числа матрицы квадратичной формы. Такое приведение осуществляется с помощью ортогонального преобразования Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, где Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса— ортогональная матрица, столбцами которой служат ортонормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы; Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса— матрицы-столбцы переменных квадратичной формы.

Квадратная матрица Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаназывается ортогональной, если её столбцы представляют ортонормированную систему векторов (длина каждого вектора равна единице, все попарные скалярные произведения векторов равны нулю). Квадратная матрица Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисабудет ортогональной, тогда и только тогда, когда: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

Квадратичные формы подразделяют на различные типы в зависимости от множества их значений. Квадратичная форма Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаназывается:

положительно (отрицательно) определённой, если для любого Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисавыполняется неравенство Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса( Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса); неотрицательно (неположительно) определённой, если для любого Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисавыполняется неравенство Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса( Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса), причём существует Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, для которого Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса; знакопеременной (или неопределённой), если существуют такие Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаи Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, что Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаи Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

Невырожденная квадратичная форма может быть либо положительно определённой, либо отрицательно определённой, либо знакопеременной. Тип невырожденной квадратичной формы можно определить, проверяя знаки главных миноров матрицы квадратичной формы.

Пусть Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, где Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса— матрица квадратичной формы. Главными минорами матрицы Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаназываются миноры порядка Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса( Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса), составленные из первых Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисастрок и первых Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисастолбцов матрицы: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса,…, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

Одним из критериев знакоопределённости невырожденной квадратичной формы является критерий Сильвестра:

— квадратичная форма Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаположительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы положительны, т.е. Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса;

— квадратичная форма Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисаотрицательно определена тогда и только тогда, когда для всех главных миноров её матрицы выполняются неравенства: Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса(все миноры нечётного порядка отрицательны, а чётного – положительны) ;

— квадратичная форма Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базисазнакопеременна тогда и только тогда, когда для главных миноров её матрицы выполняется хотя бы одно из условий: один из главных миноров равен нулю, один из главных миноров чётного порядка отрицателен, два главных минора нечётного порядка имеют разные знаки.

1.167 Записать матрицу следующих квадратичных форм:

а) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса;

б) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса;

в) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса;

г) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса.

В задачах 1.168-1.173 методом Лагранжа найти: а) канонический вид квадратичной формы; б) невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду.

1.168 .

1.169 .

1.170 .

1.171 .

1.172 .

1.173 .

В задачах 1.174-1.179 найти ортогональное преобразование, приводящее следующие квадратичные формы к каноническому виду, и записать полученный канонический вид.

1.174 .

1.175 .

1.176 .

1.177 .

1.178 .

1.179 .

В задачах 1.180-1.185 определить, используя критерий Сильвестра, какие квадратичные формы являются либо положительно, либо отрицательно определенными, а какие нет.

1.180 . 1.181 .

1.182 .

1.183 .

1.184 .

1.185 .

1.186Найти, используя критерий Сильвестра, все значения параметра Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, при которых квадратичная форма является положительно определенной:

а) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса;

б) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса;

в) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса;

Г) .

1.187Найти, используя критерий Сильвестра, все значения параметра Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса, при которых квадратичная форма является отрицательно определенной:

а) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса;

б) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса;

в) Ортогональную систему векторов дополнить до ортогонального базиса;

📸 Видео

§48 Ортонормированный базис евклидова пространстваСкачать

§48 Ортонормированный базис евклидова пространства

Ортогональное дополнение. ТемаСкачать

Ортогональное дополнение. Тема

Ортогональность. ТемаСкачать

Ортогональность. Тема

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Скалярное произведение. Ортогональный базис.Скачать

Скалярное произведение. Ортогональный базис.

Линейная оболочка. Базис и размерностьСкачать

Линейная оболочка. Базис и размерность

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

A.7.4 Ортогонализация набора векторов. Процесс Грама-Шмидта.Скачать

A.7.4 Ортогонализация набора векторов. Процесс Грама-Шмидта.

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. ПримерСкачать

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Пример

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Алгебра и геометрия 12. Ортогональные системы векторов в пространствах со скалярным произведениемСкачать

Алгебра и геометрия 12. Ортогональные системы векторов в пространствах со скалярным произведением

Базис линейного пространства (01)Скачать

Базис линейного пространства (01)
Поделиться или сохранить к себе: