Нельзя провести плоскость через две прямые если они параллельны пересекаются (5 видео)

Геометрия. 10 класс

Содержание

Параллельные прямые в пространстве. Параллельность прямой и плоскости.
«Календарь счастливой жизни: инструменты и механизм работы для достижения своих целей»
Параллельные плоскости
🎦 Видео

Параллельность плоскостей

Необходимо запомнить

Определение. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей.

Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.

Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.

Теорема 3. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

Теорема 4. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.

Теорема 5. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Параллельность плоскостей

Разберём и докажем теорему.

Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Пусть нам даны плоскость α и точка М, ей не принадлежащая.

Докажем, что существует плоскость β, которой принадлежит точка М, параллельная плоскости α.

В данной плоскости α проведём две произвольные пересекающиеся прямые a и b. Через точку M проведём прямые a₁ и b₁, параллельные соответственно a и b. Плоскость, проходящую через пересекающиеся прямые a₁ и b₁, обозначим β. На основании признака параллельности плоскостей плоскость β параллельна плоскости α.

Докажем методом от противного, что β – единственная плоскость, удовлетворяющая условию теоремы.

Допустим, что через точку M проходит другая плоскость, например β₁, параллельная α.

Так как β₁ пересекает плоскость β (они имеют общую точку M), то по теореме 4 плоскость β₁ пересекает и плоскость α (β ‖ α). Мы пришли к противоречию. Таким образом, предположение о том, что через точку M можно провести плоскость, отличную от плоскости β и параллельную плоскости α, неверно. Значит, плоскость β – единственна. Теорема доказана.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые в пространстве. Параллельность прямой и плоскости.

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Параллельность прямых и плоскостей.

§ 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости.

Параллельные прямые в пространстве.

Параллельность трёх прямых.

Параллельность прямой и плоскости.

Существует четыре варианта взаимного расположения прямых в трёхмерном пространстве: прямые могут пересекаться; могут быть параллельными; могут быть скрещивающимися и могут совпадать.

Определение. Две прямые в трёхмерном пространстве называются пересекающимися, если они лежат в одной плоскости и имеют общую точку.

Определение. Две прямые в трёхмерном пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Определение. Две прямые в трёхмерном пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

На рисунках показано, что прямые и лежат в разных плоскостях. Они не пересекаются и не параллельны, значит, через них нельзя провести плоскость. Эти прямые скрещивающиеся.

Для определённости, введём признак скрещивающихся прямых.

Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Дано: . Доказать: и – скрещивающиеся.

Доказательство. Предположим, что прямые и лежат в одной плоскости . Тогда прямая и точка лежат в плоскости . Значит, плоскости и совпадают. Поэтому и прямая лежит в плоскости , что противоречит условию (). Значит, предположение, что прямые и лежат в одной плоскости неверно, т.е. и лежат в разных плоскостях, значит, являются скрещивающимися, ч.т.д.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой, и, притом, только одну.

Дано: Прямые и – скрещивающиеся. Доказать: .

Доказательство.

Через точку , не лежащую на прямой , можно провести прямую, параллельную , и, притом, только одну. Это прямая .

Через две пересекающиеся прямые и можно провести единственную плоскость .

Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через , будет пересекаться с и , которая ей параллельна.

Углы между прямыми в пространстве.

1. Если прямые параллельны, то угол между ними .

2. Углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину меньшего из углов, образованных этими прямыми. Если все углы равны, то эти прямые перпендикулярны (образуют угол ).

3. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимися прямым.

Теорема 1. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и, притом, только одну.

1. По определению параллельных прямых, и лежат в одной плоскости, обозначим её .

2. Докажем, что такая плоскость единственная. На прямой выбираем точки и , а на прямой точку .

3. Так как через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну плоскость, то является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые и .

Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и, притом, только одну.

1. Через данную прямую и точку , которая не лежит на прямой, проводится плоскость .

2. Такая плоскость только одна (т.к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и, притом, только одну).

3. А в плоскости через точку можно провести только одну прямую , которая параллельна прямой .

Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Дано: . Доказать: .

1. Рассмотрим две параллельные прямые и и допустим, что прямая a пересекает плоскость в точке M (1. рис.).

2. Из 1-ой теоремы известно, что через параллельные прямые и можно провести только одну плоскость .

3. Так как точка M находится на прямой , то M также принадлежит плоскости (2. рис.). Если у плоскостей и есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая , которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома).

4 Прямые и находятся в плоскости .

5. Если в этой плоскости одна из параллельных прямых пересекает прямую , то вторая прямая тоже пересекает .

6. Точку пересечения прямых и обозначим через Так как точка находится на прямой , то находится в плоскости и является единственной общей точкой прямой и плоскости .

Значит, прямая пересекает плоскость в точке , ч.т.д.

Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

1. На прямой выберем точку .

2. Проведём плоскость через точку и прямую (теорема 2).

3.1. Если , то (т.к. ). Значит, и , т.к. . Это противоречит тому, что прямая лежит в плоскости . Значит, предположение, что неверно, т.е. .

3.2. Если , тогда предположим, что . Значит, через одну точку проведены две прямые, которые параллельны прямой . А это невозможно, т.к. такая прямая существует только одна. Значит, предположение, что неверно, т.е. , ч.т.д.

Пучком параллельных прямых называется всё множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой.

Существует три варианта взаимного расположения прямой и плоскости в трёхмерном пространстве:

1. прямая лежит в плоскости;

2. прямая и плоскость имеют только одну общую точку (пересекаются);

3. прямая и плоскость не имеют общих точек.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Теорема 5 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

1. Предположим, что , тогда .

3. По признаку скрещивающихся прямых, прямые и – скрещиваются. А это противоречит условию, что . Поэтому, наше предположение было неверным, и , ч.т.д.

Теорема 6. Если плоскость проходит через данную прямую , параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой , то .

Предположим, что , тогда . Значит, прямая и плоскость имеют общую точку , т.е. , что противоречит условию, что .

Мы пришли к противоречию с условием, значит, сделали неверное предположение. Поэтому, , ч.т.д.

Теорема 7. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.

Так как , то прямая не пересекает плоскость . Тогда, по теореме 3 о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая тоже не пересекает плоскость А это значит, что прямая либо параллельна плоскости , либо лежит в ней, ч.т.д.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Параллельные плоскости

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы дадим определение параллельных плоскостей и вспомним аксиому о пересечении двух плоскостей. Далее мы докажем теорему – признак параллельности плоскостей и, опираясь на нее, решим несколько задач на параллельность плоскостей.