Вектор в плоскости оху

Система координат в пространстве — определение с примерами решения

Содержание:

Содержание
  1. Система координат в пространстве
  2. Декартова система координат в пространстве
  3. Расстояние между двумя точками
  4. Уравнение сферы и шара
  5. Координаты середины отрезка
  6. Векторы в пространстве и действия над ними
  7. Векторы в пространстве
  8. Действия над векторами в пространстве
  9. Свойства суммы векторов
  10. Правило треугольника сложения векторов
  11. Правило параллелограмма сложения векторов
  12. Правило многоугольника сложения векторов
  13. Коллинеарные и компланарные векторы
  14. Скалярное произведение векторов
  15. Свойства скалярного произведения векторов
  16. Преобразование и подобие в пространстве
  17. Геометрические преобразования в пространстве
  18. Движение и параллельный перенос
  19. Центральная симметрия в пространстве
  20. Симметрия относительно плоскости
  21. Поворот и симметрия относительно оси
  22. Симметрия в природе и технике
  23. Подобие пространственных фигур
  24. Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости
  25. Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации
  26. Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости
  27. Общее уравнение плоскости
  28. Неполные уравнения плоскости
  29. 🎥 Видео

Видео:Как построить точки в системе координат OXYZСкачать

Как построить точки в системе координат OXYZ

Система координат в пространстве

Декартова система координат в пространстве

Вы познакомились с декартовой системой координат на плоскости в предыдущих классах. Систему координат в пространстве введём аналогично тому, как это было сделано на плоскости. Рассмотрим три взаимно перпендикулярных оси Ох, Оу и Оz, пересекающихся в точке О, являющейся началом координат. Через каждую пару этих прямых проведём плоскости Оху, 0xz и Оуz (рис. 1). Таким образом вводится система координат в пространстве, при этом

точку О — называют началом координат, прямые Ох, Оу и Оzосями координат, Охось абсцисс, Оуось ординат и Оzось аппликат, плоскости Оху, Оуz и Охzкоординатными плоскостями.

Вектор в плоскости оху

Координатные плоскости делят пространство на 8 октант (получетвертей) (рис. 1).

Пусть в пространстве задана произвольная точка А. Через эту точку проведём плоскости, перпендикулярные плоскостям Охz, Оуz и Охz (рис. 2). Одна из этих плоскостей пересечёт ось Ох в точке Ах.

Координату Ах на оси Ох называют координатой х или абсциссой точки А.

Аналогично определяют у — координату (ординату) и z- координату (аппликату) точки А.

Координаты точки А записывают в виде А (х; у; z) или короче (х; у; z). Точки, изображённые на рисунке 3, имеют следующие координаты: А (0; 5; 0), B (4; 0; 0), М (0; 5; 4), К (2; 3; 4), Р (-2; 3; -4). Вектор в плоскости оху

Пример:

Пусть в пространстве в декартовой системе координат

задана точка А (2; 3; 4). Где она расположена?

Решение:

От начала координат в положительном направлении осей Ох и Оу отложим отрезки ОАх = 2 и ОАу = 3 (рис. 4).

Через точку Ах проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Оу. А через точку Аy проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Ох. Точку пересечения этих прямых обозначим A1 . Через точку A1 проведём прямую, перпендикулярную плоскости Оху и на ней в положительном направлении Oz отложим отрезок АА1 = 4. Тогда точка А (2; 3; 4) и будет искомой точкой. Вектор в плоскости оху

Пользуясь системой координат, созданной для современных программируемых станков и автоматизированных роботов, составляются программы, на основе которых обрабатываются металлы (рис. 5).

Вектор в плоскости оху

Расстояние между двумя точками

1.Сначала рассмотрим случай, когда прямая АВ не параллельна оси Оz (рис. 6). Через точки А и В проведём прямые, параллельные оси Оz. И пусть они пересекают плоскость Оху в точках Аz и Вz .

Координаты х и у этих точек соответственно равны координатам х и у точек А, В, а координаты z равны 0.

Теперь через точку В проведём плоскость а, параллельную плоскости Оху. Она пересечёт прямую ААz в некоторой точке С.

По теореме Пифагора: АВ 2 = АС 2 + СВ 2 .

Однако Вектор в плоскости оху

Поэтому Вектор в плоскости оху

2.Пусть отрезок АВ параллелен оси Оz, тогда Вектор в плоскости охуи, так как

Следовательно, расстояние между двумя точками А и В:

Вектор в плоскости оху(1)

Примечание. Формула (1) выражает длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны Вектор в плоскости оху

Уравнение сферы и шара

Известно, что множество всех точек М (х; у; z), расположенных на расстоянии R от данной точки А (а; Ь; с) образуют сферу (рис. 7). Тогда по формуле (1) координаты всех точек, расположенных на сфере радиуса R с центром в точке А (а; b; с), удовлетворяют равенству Вектор в плоскости оху

Отсюда, ясно, что неравенство для точек шара радиуса R с центром в

точке А (а; b; с) имеет вид: Вектор в плоскости оху

Вектор в плоскости оху

Пример:

Найдите периметр треугольника ABC с вершинами в

Решение:

Р=АВ+АС+ВС периметр треугольника ABC. Воспользовавшись формулой Вектор в плоскости охурасстояния между двумя точками, найдём длины сторон треугольника:

Вектор в плоскости оху

Следовательно, треугольник ABC равносторонний и его периметр Вектор в плоскости оху.

Ответ: Вектор в плоскости оху

Координаты середины отрезка

Пусть А (x1; y1;z1) и В (х2; у2; z2) — произвольные точки, точка С (х; у; z) середина отрезка AB (рис. 8). Вектор в плоскости оху

Через точки А, В и С проведём прямые, параллельные оси пересекающие плоскость Оху в точках Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости оху. Тогда по теореме Фалеса точка Сz — середина отрезка АzВz.

Отсюда по формулам нахождения координат середины отрезка на плоскости Вектор в плоскости оху

Чтобы найти координату z, нужно вместо плоскости Оху рассмотреть плоскость 0xz или Оуz.

Тогда и для z получим формулу, подобную вышеприведённой.

Вектор в плоскости оху

Аналогично, используя координаты концов A и B отрезка AB, по формулам Вектор в плоскости оху

находят координаты точки Р(х1;у]; г,), делящей отрезок АВ в отношении X САР: РВ = X).

Доказательство: Для решения задачи используем признак параллелограмма: Четырёхугольник, точка пересечения диагоналей которого делит их пополам, является параллелограммом.

Координаты середины отрезка МК:

Вектор в плоскости оху

Координаты середины отрезка NL:

Вектор в плоскости оху

Координаты середин отрезков МК и NL равны. Это говорит о том, что отрезки пeрeсeкаются и в точке пeрeсeчeния делятся пополам. Следовательно, четырёхугольник MNLK — параллелограмм.Вектор в плоскости оху

В переписке с известным целителем и математиком Абу Али ибн Сино Абу Райхон Беруни задаёт следующий вопрос: «Почему Аристотель и другие (философы) называют шесть сторон?»

Рассматривая шестисторонний куб, Беруни говорит о фигурах «с другим количеством сторон» и добавляет, что «шарообразные фигуры не имеют сторон.» А Ибн Сино отвечает, что «во всех случаях нужно считать, что сторон шесть, так как у каждой фигуры, независимо от её формы, есть три измерения — длина, глубина и ширина».

Здесь Ибн Сино имеет ввиду три координаты, именуемые условно «шесть сторон».

В произведении «Канон Масъуда» Беруни приводит точное математическое определение шести сторон: «Сторон шесть, так как они ограничивают движение фигур по своим измерениям. Измерений три: длина, ширина и глубина. А их в два раза больше самих измерений.»

В предыдущих книгах автор определяет положение небесных тел с помощью двух координат относительно небесной сферы — эклиптического уравнения. Либо через те же координаты, но относительно небесного экватора или горизонта. Однако при определении взаимного расположения звёзд и небесных светил придётся учитывать и случаи затмений. Вот в таких случаях появляется необходимость в третьей сферической координате. Эта необходимость привела Беруни к отказу от теории небесных координат.

Векторы в пространстве и действия над ними

Векторы в пространстве

Понятие вектора в пространстве вводят также как на плоскости.

Вектором в пространстве называют направленный отрезок. Основные понятия, относящиеся к векторам в пространстве, аналогичны этим понятиям на плоскости: длина (модуль), направление вектора, равенство векторов.

Вектор в плоскости оху

Координатами вектора с началом в точке А (х1; у1; z1) и концом в точке В (х1; у1; z1) называют числа Вектор в плоскости оху, (рис. 17).

Приведем без доказательства свойства векторов, аналогичных свойствам на плоскости.

Также как на плоскости, соответствующие координаты равных векторов равны и, обратно, векторы с равными координатами равны.

Hа основании этого вектор можно обозначить как Вектор в плоскости охуили Вектор в плоскости охуили кратко Вектор в плоскости оху(рис. 18).

Вектор можно записать и без координат Вектор в плоскости оху(или Вектор в плоскости оху). В этой записи

на первом месте начало вектора, а на втором — конец.

Вектор с координатами, равными нулю, называют нулевым вектором и обозначают Вектор в плоскости охуили Вектор в плоскости оху, направление этого вектора не определено.

Если начало вектора расположено в начале координат О, а числа а1,

координатами вектора Вектор в плоскости оху: Вектор в плоскости оху(а1; а2; а3).

Однако вектор в пространстве Вектор в плоскости охус началом в точке К(с1; с2; с3) и концом в точке Вектор в плоскости охубудет иметь те же координаты: Вектор в плоскости оху.

Отсюда следует, что вектор можно приложить к любой точке пространства. В геометрии мы рассматриваем такие свободные векторы. Но в физике, обычно вектор связан с некоторой точкой. Например, воздействие силы приложенная к пружине F на рисунке 19 зависит от точки её приложения.

Длинной вектора называют длину направленного отрезка

изображающего его (рис. 17). Длину вектора Вектор в плоскости охузаписывают

такВектор в плоскости оху. Длина вектора Вектор в плоскости оху, заданного координатами,

вычисляется по формуле Вектор в плоскости оху.

Пример:

Даны точки А (2; 7;-3),В (1; 0; 3), С (-3;-4; 5) и D (-2; 3; -1). Какие из векторов Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости охуравны между собой?

Решение:

У равных векторов равны соответствующие координаты. Поэтому найдём координаты векторов:

Вектор в плоскости оху

Следовательно, Вектор в плоскости оху.

Докажите самостоятельно, что Вектор в плоскости оху

Действия над векторами в пространстве

Действия над векторами. Сложение векторов, умножение на число и их скалярное произведение определяется также как на плоскости.

Суммой векторов Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости оху(b1; b2; b3); называют вектор Вектор в плоскости оху(рис. 20).

Вектор в плоскости оху

Пусть кран на рисунке 20.b движется вдоль вектора Вектор в плоскости оху, а груз относительно крана вдоль вектора Вектор в плоскости оху. В результате груз движется вдоль вектора Вектор в плоскости оху. Поэтому из рисунка 20.с, на котором изображён сюжeт басни русского писателя И.А.Крылова, ясно, что герои басни не смогут сдвинуть телегу с места.

Свойства суммы векторов

Для любых векторов Вектор в плоскости оху, Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости охуимеют место следующие свойства:

a) Вектор в плоскости оху— переместительный закон сложения векторов;

b) Вектор в плоскости оху— распределительный закон сложения.

Правило треугольника сложения векторов

Для любых точек А, В и С (рис. 21): Вектор в плоскости оху

Правило параллелограмма сложения векторов

Если АВСD — параллелограмм (рис. 22), то Вектор в плоскости оху

Правило многоугольника сложения векторов

Если точки А, В, С, D и Е — вершины многоугольника (рис. 23), тоВектор в плоскости оху

Вектор в плоскости оху

Правило параллелепипеда сложения трёх векторов, не лежащих в одной плоскости. Если АВСDА1В1С1D1 параллелепипед (рис. 24), то

Вектор в плоскости оху.

Вектор Вектор в плоскости охуВектор в плоскости оху​​​​​​= (Вектор в плоскости охуa1; Вектор в плоскости охуa2; Вектор в плоскости охуa3) — называют умножением вектора

Вектор в плоскости оху(a1; a2; a3) на число Вектор в плоскости оху(рис. 25). Свойства операции умножения вектора на число.

Для любых векторов Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости охуи чисел Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости оху

а)Вектор в плоскости оху;

b)Вектор в плоскости оху;

c) Вектор в плоскости охуи направление вектора Вектор в плоскости охуВектор в плоскости оху

совпадает с направлением вектора Вектор в плоскости оху, если Вектор в плоскости оху,

противоположно направлению вектора Вектор в плоскости оху, если Вектор в плоскости оху. Вектор в плоскости оху

Коллинеарные и компланарные векторы

Пусть заданы ненулевые векторы Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости оху. Если векторы

Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости охусонаправлены или противоположно направлены,

то их называют коллинеарными векторами (рис. 26).

Свойство 1. Если для векторов Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости охуимеет место равенство Вектор в плоскости оху, то они коллинеарны и наоборот.

Если Вектор в плоскости оху, то векторы Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости охусонаправлены Вектор в плоскости оху, еслиВектор в плоскости оху, то

противоположно направлены Вектор в плоскости оху.

Свойство 2. Если векторы Вектор в плоскости оху(a1; a2; a3) и Вектор в плоскости оху(b1; b2; b3) коллинеарны,

то их соответствующие координаты пропорциональны:

Вектор в плоскости охуи наоборот.

Пример:

Найдите вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом в точке В, лежащей в плоскости Оху, коллинеарный вектору Вектор в плоскости оху( 1; 2; 3).

Решение:

Пусть точка В имеет координаты В (х; у; z). Так как точка В лежит в плоскости Оху, то z=0. Тогда Вектор в плоскости оху(х — 1 ;у — 1; — 1).

По условию задачи векторы Вектор в плоскости оху(х — 1 ;у — 1; — 1) и Вектор в плоскости оху(1, 2, 3) коллинеарны. Следовательно, их координаты пропорциональны.

Тогда получаем следующие пропорции Вектор в плоскости оху.

Откуда находим Вектор в плоскости оху, Вектор в плоскости оху.

Итак,Вектор в плоскости оху

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называют компланарными векторами (рис. 27). Вектор в плоскости оху

Векторы Вектор в плоскости оху(1; 0; 0), Вектор в плоскости оху(0; 1; 0) и Вектор в плоскости оху(0; 0; 1) называют ортами (рис. 28).

Любой вектор Вектор в плоскости охуможно единственным образом разложить по ортам, то есть представить в виде Вектор в плоскости оху(рис. 29).

Вектор в плоскости оху

Точно также, если заданы три нeкомпланарных вектора Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости оху, то любой вектор Вектор в плоскости охуможно единственным образом представить в виде:

Вектор в плоскости оху.

Здесь Вектор в плоскости охунекоторые действительные числа. Тогда говорят, что вектор разложен по заданным векторам.

Скалярное произведение векторов

Углом между ненулевыми векторами Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости охуназывают угол между направленными отрезками векторов Вектор в плоскости оху= Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости оху=Вектор в плоскости оху, исходящих из точки О (рис. 30).

Угол между векторами Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости охуобозначают так Вектор в плоскости оху.

Вектор в плоскости оху

Скалярным произведением векторов Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости охуназывают произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Скалярное произведение обозначают Вектор в плоскости охуили Вектор в плоскости оху. По определению Вектор в плоскости оху(1)

Из определения следует, что если скалярное произведение векторов Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости охуравно нулю, то эти векторы перпендикулярны и наоборот.

В физике работа A, выполненная при движении тела на расстоянии Вектор в плоскости оху, под воздействием силы Вектор в плоскости оху(рис. 31), равна скалярному произведению силы Вектор в плоскости охуна расстояниеВектор в плоскости оху: Вектор в плоскости оху

Свойство. Если Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости оху(b1; b2; b3), то (Вектор в плоскости охуВектор в плоскости оху) = Вектор в плоскости оху

Доказательство. Приложим векторы Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости охук началу

координат О (рис.32). Тогда Вектор в плоскости оху= Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости оху= (b1; b2; b3).

Если векторы неколлинеарны, то получаем треугольник АВО , для которого справедлива теорема косинусов.

Вектор в плоскости оху

Тогда Вектор в плоскости оху.

Однако, Вектор в плоскости оху,Вектор в плоскости оху

и Вектор в плоскости оху.

Следовательно,Вектор в плоскости оху

Вектор в плоскости оху

Вектор в плоскости оху.

Самостоятельно докажите, что и в случае, когда данные векторы коллинеарны Вектор в плоскости оху, также выполняется

это равенство. Вектор в плоскости оху

Свойства скалярного произведения векторов

1. Вектор в плоскости оху— переместительное свойство.

2. Вектор в плоскости оху— распределительное свойство.

3. Вектор в плоскости оху— сочетательное свойство.

4.Если векторы а и b являются сонаправленными коллинеарными

векторами, то Вектор в плоскости оху, так как соs 0° = 1.

5.Если же векторы противоположно направлены, то Вектор в плоскости оху, так как cos l80° = -1.

6. Вектор в плоскости оху.

7. Если вектор Вектор в плоскости охуперпендикулярен вектору Вектор в плоскости оху, то Вектор в плоскости оху. Следствия: а) Длина вектора Вектор в плоскости оху; (1) b) косинус угла между векторами

Вектор в плоскости оху: Вектор в плоскости оху; (2)

с) условие перпендикулярности векторов Вектор в плоскости охуи

Вектор в плоскости оху.

Вектор в плоскости оху(3)

Пример:

Вектор в плоскости оху— заданные точки. Найдите косинус угла между векторами Вектор в плоскости оху.

Решение:

Найдём длины векторов Вектор в плоскости оху:

Вектор в плоскости оху,

Вектор в плоскости оху.

Вектор в плоскости оху,

Вектор в плоскости оху.

Вектор в плоскости оху

Пример:

Найдите угол между векторами Вектор в плоскости оху.

Решение:

Вектор в плоскости охуИтак, Вектор в плоскости оху

Пример:

Найдите Вектор в плоскости оху, если Вектор в плоскости оху, Вектор в плоскости охуи угол между векторамиВектор в плоскости охуи Вектор в плоскости охуравен Вектор в плоскости оху.

Решение:

Вектор в плоскости оху

Вектор в плоскости оху

Пример:

Найдите координаты и длины векторов 1)Вектор в плоскости оху; 2)Вектор в плоскости оху, если Вектор в плоскости оху.

Решение:

Подставим в выражения искомых векторов разложения векторов Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости охупо координатам:

1)Вектор в плоскости оху

Вектор в плоскости оху. Следовательно,Вектор в плоскости оху.

ТогдаВектор в плоскости оху.

2)Вектор в плоскости оху

Вектор в плоскости охуВектор в плоскости оху.

Следовательно, Вектор в плоскости оху.

Тогда Вектор в плоскости оху

Пример:

Найдите произведениеВектор в плоскости оху, если угол между векторами Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости охуравен 30° и Вектор в плоскости оху, Вектор в плоскости оху.

Решение:

Сначала найдём поизведение векторов Вектор в плоскости охуи Вектор в плоскости оху:

Вектор в плоскости оху.

Затем перемножим заданные выражения как многочлены

и, пользуясь распределительным свойством умножения

вектора на число, получим:

Вектор в плоскости оху

Вектор в плоскости оху.

Учитывая, что Вектор в плоскости оху,

Вектор в плоскости охунайдём искомое произведение

Вектор в плоскости оху

Преобразование и подобие в пространстве

Геометрические преобразования в пространстве

Если каждую точку заданной в пространстве фигуры F изменить одним и тем же способом, то получим фигуру F1. Если при этом преобразовании различные точки первой фигуры переходят в различные точки второй, то говорят о преобразовании геометрической фигуры.

Если рассматривать все пространства как геометрическую фигуру, то также можно говорить о преобразовании геометрической фигуры.

Понятие геометрического преобразование в пространстве вводят также как на плоскости. Следовательно, свойства некоторых рассматриваeмых ниже видов преобразований и их доказательства также подобны соответствующим им на плоскости. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

Движение и параллельный перенос

Преобразование фигур, при котором сохраняются расстояния между точками, называют движением. Можно привести следующие свойства движения. При движении прямая переходит в прямую, луч — в луч, отрезок — в равный ему отрезок, угол — в равный ему угол, треугольник — в равный ему треугольник, плоскость — в плоскость, тетраэдр — в равный ему тетраэдр.

В пространстве фигуры, которые можно перевести одну в другую при некотором движении называют равными фигурами.

Простейшим примером движения является параллельный перенос.

Вектор в плоскости оху

Пусть в пространстве даны вектор Вектор в плоскости охуи произвольная точка Х

(рис. 44). Говорят, что точка Х перешла в точку X1 параллельным

переносом на вектор Вектор в плоскости оху, если выполняется условие Вектор в плоскости оху. Если каждую точку фигуры F сдвинуть на вектор Вектор в плоскости охупри помощи параллельного переноса (рис. 45), то получим фигуру F1. Тогда говорят, что фигура F получена параллельным переносом фигуры F1 . При параллельном переносе каждая точка фигуры F сдвигается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Каждая точка подъёмного крана, изображённого на рисунке 46, параллельно перенесена на 40 м относительно начального положения.

Ясно, что параллельный перенос является движением. Поэтому прямая переходит в прямую, луч — в луч, плоскость — в плоскость,

Пусть точка Вектор в плоскости охуфигуры F перешла в точку Вектор в плоскости оху

фигуры F1 при помощи параллельного переноса

на вектор Вектор в плоскости оху.

Тогда по определению получим:

Вектор в плоскости охуили

Вектор в плоскости оху.

Эти равенства называют формулами параллельного переноса.

Пример:

В какую точку перейдёт точка Р (-2; 4; 6) при параллельном переносе на вектор Вектор в плоскости оху= (3; 2; 5)?

Решение:

По вышеприведённым формулам параллельного переноса: Вектор в плоскости оху.

Ответ: Вектор в плоскости оху.

Центральная симметрия в пространстве

Если в пространстве Вектор в плоскости оху, то есть точка О — середина отрезка АА1 то точки А и А1 называют симметричными относительно точки О.

Если в пространстве каждая точка фигуры F переходит в точку, симметричную относительно точки О (рис. 47), то такое преобразование называют симметрией относительно точки О. На рисунках 48, 49 изображёны фигуры симметричные относительно точки О. Симметрия относительно точки является движением.

Если при симметрии относительно точки О фигура F переходит в себя, то её называют центрально симметричной фигурой.

Вектор в плоскости оху

Например, диагонали параллелепипеда (рис. 50) относительно их точки пересечения О являются центрально симметричными фигурами.

Вектор в плоскости оху

Пример:

В какую точку перейдет точка A = (1; 2; 3) при симметрии относительно точки О (2; 4; 6)?

Решение:

Пусть А1 = (х; у; z) — искомая точка. По определению точка

О — середина отрезка АА1. Следовательно,

Вектор в плоскости оху

Из этих уравнений получаем:

Вектор в плоскости оху.

Ответ: Вектор в плоскости оху

Симметрия относительно плоскости

Точки А и А1 называют симметричными относительно плоскости а,

если плоскость перпендикулярна отрезку и делит его пополам (рис. 51). Фигуры F1, и F2 на рисунке 52 симметричны относительно

плоскости а. Очевидно, что наш силуэт и его отражение симметричны относительно плоскости зеркала (рис. 53).

Симметрия относительно плоскости а является движением. Вектор в плоскости оху

Поэтому при симметрии относительно плоскости а отрезок переходит в равный ему отрезок, прямая — в прямую, плоскость — в плоскость.

Если при симмeтрии относительно плоскости фигура F переходит в себя, то её называют фигурой симметричной относительно плоскости.

Например, изображённый на рисунке 54 куб, есть фигура, симметричная относительно плоскости а, проходящей через его диагонали АА1 и СС1.

Поворот и симметрия относительно оси

Вектор в плоскости оху

Вектор в плоскости оху

Пусть в пространстве заданы точки А и А1 и прямая l. Если перпендикуляры АК и А1К, опущенные на прямую l, равны и образуют угол Вектор в плоскости оху, то говорят, что точка А перешла в точку А1 в результате поворота на угол Вектор в плоскости охуотносительно прямой l (рис. 55).

Если каждую точку фигуры F повернуть на угол Вектор в плоскости охуотносительно прямой l, то получим новую фигуру F1 . Тогда говорят, что фигура F перешла в фигуру F1 с помощью поворота на угол Вектор в плоскости охуотносительно прямой l. На рисунке 56 мы видим фигуры, полученные таким поворотом. Например, повернув куб, изображённый на рисунке 57, на 180° относительно прямой l, получим новый куб.

Поворот относительно прямой также является движением.

Поворот на 180° относительно прямой l называют симметрией относительно прямой l.

Центр, ось и плоскость симметрии называют элементами симметрии. Точки, симметричные точке А (х; у; z) относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат, будут иметь следующие координаты:

Вектор в плоскости оху

Симметрия в природе и технике

Вектор в плоскости оху

В природе на каждом шагу можно встретить симметрию.

Например, множество живых существ, в частности тела человека и животных, листья растений и цветы устроены симметрично (рис. 58). Также в неживой природе есть элементы, например, снежинки, кристаллы соли. Молекулярное строение веществ тоже состоит из симметричных фигур. Это, конечно, неспроста, поскольку симметричные фигуры не только красивы, но и самые устойчивые.

Раз так, то можно считать, что красота и совершенство природы построены на основе симметрии. Взяв за основу природную красоту и совершенство, строители, инженеры и архитекторы создают строения и механизмы, здания и сооружения, технику и транспортные средства симметричными. В этой работе им очень помогает наука геометрия.

Подобие пространственных фигур

Пусть Вектор в плоскости охуи преобразование переводят фигуру F1, в фигуру F2. Если

при этом преобразовании для произвольных точек X1 и Х2 фигуры F1 и соответствующих им точек Y1 и Y2 фигуры Вектор в плоскости оху, то это преобразование называют преобразованием подобия (рис. 59).

Вектор в плоскости оху

Как видим, понятие преобразования подобия в пространстве вводится также как на плоскости. Следовательно, рассматриваемые ниже виды подобия, их свойства и доказательства этих свойств подобны соответствующим на плоскости. Поэтому, мы не будем останавливаться на их доказательствах и рекомендуем провести их самостоятельно. Преобразование подобия в пространстве отображает прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок и угол в угол. Точно также это преобразование плоскость отображает в плоскость.

Если в пространстве одна из фигур перешла в другую с помощью преобразования подобия, то эти фигуры называют подобными.

Пусть в пространстве задана фигура F, точка О и число к Вектор в плоскости оху. Преобразование, переводящее произвольную точку X фигуры F в точку Х1 удовлетворяющую условию Вектор в плоскости оху, называют гомотетией относительно центра О с коэффициентом Вектор в плоскости оху(рис. 61). Точку О называют центром гомотетии, а число Вектор в плоскости охукоэффициентом гомотетии. Если в результате такого преобразования каждой точки фигуры F получена фигура F1 то говорят, что фигура F гомотетична фигуре F1.

Вы видите, что определение гомотетии в пространстве аналогично соответствующему определению на плоскости. Следовательно, все свойства и их доказательства аналогичны. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

Вектор в плоскости оху

Гомотетия относительно точки О с коэффициентом Вектор в плоскости охуявляется преобразованием подобия. Гомотетия с отличным от нуля коэффициентом Вектор в плоскости охупри Вектор в плоскости оху= 1 отображает фигуру F в себя, а при Вектор в плоскости оху=-1 в фигуру F1 симметричную фигуре F относительно точки О. В остальных случаях гомотетии не сохраняет расстояния между точками, т. е. не является движением. В результате гомотетии расстояние между точками увеличивается в одно и тоже число Вектор в плоскости охураз, т. е. меняются измерения фигуры, но сохраняется её форма. При гомотетии а) прямая отображается в параллельную ей прямую (рис. 62.а); b) плоскость — в параллельную ей плоскость (рис. 62.b), если они не проходят через центр гомотетии.

Если же прямая или плоскость проходят через центр гомотетии, то они отображаются в себя.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Иррациональные числа
  • Действительные числа
  • Решение уравнений высших степеней
  • Системы неравенств
  • Уравнения и неравенства
  • Уравнения и неравенства содержащие знак модуля
  • Уравнение
  • Метод математической индукции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости

Существует ряд заданий, которым для решения необходимо нормальный вектор на плоскости, чем саму плоскость. Поэтому в этой статье получим ответ на вопрос определения нормального вектора с примерами и наглядными рисунками. Определим векторы трехмерного пространства и плоскости по уравнениям.

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации

Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости и векторы.

Нормальным вектором плоскости считается любой ненулевой вектор, который лежит на перпендикулярной к данной плоскости прямой.

Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Вектор в плоскости оху

Нормальные векторы располагаются на параллельных прямых, поэтому они все коллинеарны. То есть, при нормальном векторе n → , расположенном в плоскости γ , вектор t · n → , имея ненулевое значение параметра t , также нормальный вектор плоскости γ . Любой вектор может быть рассмотрен как направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна этой плоскости.

Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.

Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.

Задана прямоугольная система координат О х у z в трехмерном пространстве. Координатные векторы i → , j → , k → считаются нормальными векторами плоскостей O y z , O x z и O x y . Это суждение верно, так как i → , j → , k → ненулевые и расположены на координатных прямых O x , O y и O z . Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям O y z , O x z и O x y .

Видео:Геометрия. 9 класс. Векторы на плоскости /27.10.2020/Скачать

Геометрия. 9 класс. Векторы на плоскости /27.10.2020/

Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости

Статья предназначена для того, чтобы научить находить координаты нормального вектора плоскости при известном уравнении плоскости прямоугольной системы координат О х у z . Для определения нормального вектора n → = ( A , B , C ) в плоскости необходимо наличие общего уравнения плоскости, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 . То есть достаточно иметь уравнение плоскости, тогда появится возможность для нахождения координат нормального вектора.

Найти координаты нормального вектора, принадлежащего плоскости 2 x — 3 y + 7 z — 11 = 0 .

По условию имеем уравнение плоскости. Необходимо обратить внимание на коэффициенты, так как они и являются координатами нормального вектора заданной плоскости. Отсюда получаем, что n → = ( 2 , — 3 , 7 ) — это нормальный вектор плоскости. Все векторы плоскости задаются при помощи формулы t · n → = 2 · t , — 3 · t , 7 · t , t является любым действительным числом не равным нулю.

Ответ: n → = ( 2 , — 3 , 7 ) .

Определить координаты направляющих векторов заданной плоскости x + 2 z — 7 = 0 .

По условию имеем, что дано неполное уравнение плоскости. Чтобы увидеть координаты, необходимо преобразовать уравнение x + 2 z — 7 = 0 к виду 1 · x + 0 · y + 2 z — 7 = 0 . Отсюда получим, что координаты нормального вектора данной плоскости равны ( 1 , 0 , 2 ) . Тогда множество векторов будет иметь такую форму записи ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .

Ответ: ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .

При помощи уравнения плоскости в отрезках, имеющего вид x a + y b + z c = 1 , и общего уравнения плоскости возможна запись нормального вектора этой плоскости, где координаты равны 1 a , 1 b , 1 c .

Знания о нормальном векторе позволяют с легкостью решать задачи. Часто встречающимися задачами являются задания с доказательствами параллельности или перпендикулярности плоскостей. Заметно упрощается решение задач на составление уравнений заданной плоскости. Если имеется вопрос о нахождении угла между плоскостями или между прямой и плоскостью, то формулы нормального вектора и нахождения его координат помогут в этом.

Видео:Направляющий и нормальный вектор прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Направляющий и нормальный вектор прямой на плоскости | Векторная алгебра

Общее уравнение плоскости

В данной статье мы рассмотрим общее уравнение плоскости в пространстве. Определим понятия полного и неполного уравнения плоскости. Для построения общего уравнения плоскости пользуйтесь калькулятором уравнение плоскости онлайн.

Пусть задана произвольная декартова прямоугольная система координат Oxyz. Общим уравнением плоскости называется линейное уравнение вида:

Ax+By+Cz+D=0,(1)

где A, B, C, D − некоторые постоянные, причем хотя бы один из элементов A , B и C отлично от нуля.

Мы покажем, что линейное уравнение (1) в пространстве определяет плоскость и любой плоскость в пространстве можно представить линейным уравнением (1). Докажем следующую теорему.

Теорема 1. В произвольной декартовой прямоугольной системе координат в пространстве каждая плоскость α может быть задана линейным уравнением (1). Обратно, каждое линейное уравнение (1) в произвольной декартовой прямоугольной системе координат в пространстве определяет плоскость.

Доказательство. Достаточно доказать, что плоскость α определяется линейным уравнением при какой нибудь одной декартовой прямоугольной системе координат, поскольку тогда она будет определяться линейным уравнением и при любом выборе декартовой прямоугольной системы координат.

Пусть в пространстве задана плоскость α. Выберем оси Ox и Oy так, чтобы они располагались на плоскости α, а ось Oz направим перпендикулярно к этой плоскости. Тогда линейное уравнение z=0 будет уравнением плоскости, т.к. координаты любой точки, принадлежащей этой плоскости удовлетворяют уравнению z=0, а координаты любой точки, не лежащей на этой плоскости − нет. Первая часть теоремы доказана.

Пусть фиксирована произвольная декартова прямоугольная система координат Oxyz. Рассмотрим линейное уравнение (1), где хотя бы один из элементов A , B и C отлично от нуля. Тогда уравнение (1) имеет хотя бы одно решение x0, y0, z0. Действительно. Пусть из коэффициентов A≠0. Возьмем произвольные числа y0, z0. Тогда

Вектор в плоскости оху.

Таким образом, существует точка M0(x0, y0, z0), координаты которой удовлетворяют уравнению (1):

Ax0+By0+Cz0+D=0.(2)

Вычитая из уравнения (1) тождество (2), получим

A(xx0)+B(yy0)+С(zz0)=0,(3)

которая эквивалентна уравнению (1).

Вектор в плоскости оху

Покажем, что (3) определяет некоторую плоскость, проходящую через точку M0(x0, y0, z0) и перпендикулярную вектору n=<A,B,C> (n≠0, так как хотя бы один из чисел A,B,C отлично от нуля).

Если точка M0(x0, y0, z0) принадлежит плоскости α, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3), т.к. векторы n=<A,B,C> и Вектор в плоскости охуперпендикулярны (Рис.1) и их скалярное произведение равно нулю:

Вектор в плоскости охуВектор в плоскости оху.

Если же точка M(x, y, z) не лежит на плоскости α, то векторы n=<A,B,C> и Вектор в плоскости охуне ортогональны. Тогда их скалярное произведение не равно нулю, т.е. координаты точки M(x, y, z) не удовлетворяют условию (3). Теорема доказана.

Одновременно с доказательством теоремы 1 мы получили следующее утверждение.

Утверждение 1. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (A,B,C) перпендикулярен плоскости Ax+By+Cz+D=0.

Вектор n=(A,B,C) называется нормальным вектором плоскости , определяемой линейным уравнением (1).

Утверждение 2. Если два общих уравнения плоскости

A1x+B1y+C1z+D=0(4)
A2x+B2y+C2z+D=0(5)

определяют одну и ту же плоскость, то найдется такое число λ, что выпонены равенства

A2=A1λ, B2=B1λ, C2=C1λ, D2=D1λ.(6)
A1x0+B1y0+C1z0+D=0(7)
A2x0+B2y0+C2z0+D=0(8)

Умножая уравнение (7) на λ и вычитая из него уравнение (8) получим:

(A1λA2)x0+(B1λB2)y0+(C1λC2)z0+(D1λD2)=0.

Так как выполнены первые три равенства из выражений (6), то D1λD2=0. Т.е. D2=D1λ. Утверждение доказано.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№17 - Вектор в пространстве.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№17 - Вектор в пространстве.)

Неполные уравнения плоскости

Определение 1. Общее уравнение плоскости (1) называется полным , если все коэффициенты A, B, C, D отличны от нуля. Если же хотя бы один из коэффициентов A, B, C, D равен нулю, то общее уравнение плоскости называется неполным .

Рассмотрим все возможные варианты неполных уравнений плоскости:

При D=0, имеем уравнение плоскости Ax+By+Cz=0, проходящей через начало координат (Рис.2). Действительно, точка O(0,0,0) удовлетворяет этой системы линейных уравнений.

При A=0, имеем уравнение плоскости By+Cz+D=0, которая параллельна оси Ox (Рис.3). В этом случае нормальный вектор плоскости n=<0,B,C> лежит на координатной плоскости Oyz.

Вектор в плоскости охуВектор в плоскости оху

При B=0, имеем уравнение плоскости Ax+Cz+D=0, которая параллельна оси Oy (Рис.4).

При C=0, имеем уравнение плоскости Ax+By+D=0, которая параллельна оси Oz (Рис.5).

Вектор в плоскости охуВектор в плоскости оху

При A=0,B=0 имеем уравнение плоскости Cz+D=0, которая параллельна координатной плоскости Oxy (Рис.6).

При B=0,C=0 имеем уравнение плоскости Ax+D=0, которая параллельна координатной плоскости Oyz (Рис.7).

Вектор в плоскости охуВектор в плоскости оху

При A=0,C=0 имеем уравнение плоскости By+D=0, которая параллельна координатной плоскости Oxz (Рис.8).

При A=0,B=0,D=0 имеем уравнение плоскости Cz=0, которая совпадает с координатной плоскостью Oxy (Рис.9).

Вектор в плоскости охуВектор в плоскости оху

При B=0,C=0,D=0 имеем уравнение плоскости Ax=0, которая совпадает с координатной плоскостью Oyz (Рис.10).

При A=0,C=0,D=0 имеем уравнение плоскости By=0, которая совпадает с координатной плоскостью Oxz (Рис.11).

Вектор в плоскости охуВектор в плоскости оху

Рассмотрим примеры построения общего уравнения плоскости.

Пример 1. Построить общее уравнение плоскости, проходящей через точку M(4,−1,2) параллельной координатной плоскости Oxy.

Решение. Общее уравнение плоскости, проходящей через некоторую точку M(x0,y0,z0) имеет вид (3). Подставляя координаты точки M в (3), получим:

A(x−4)+B(y−(−1))+C(z−2)=0(9)

Так как плоскость параллельна координатной плоскости Oxy, то направляющий вектор имеет следующий вид n=<A,B,C>=, т.е. A=0, B=0, C=1.

Подставляя коэффициенты A,B,C в (9), получим:

0(x−4)+0(y−(−1))+1(z−2)=0(9)

Пример 2. Построить общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат и имеющий нормальный вектор n==.

Решение. Начало координат имеет коэффициенты (0,0,0). Общее уравнение плоскости, проходящей через некоторую точку M(x0,y0,z0) имеет вид (3). Подставляя коэффициенты начальной точки в (3), получим:

A(x−0)+B(y−0)+C(z−0)=0(10)

Так как плоскость имеет нормальный вектор n=<A,B,C>=, т.е. A=2, B=3, C=1, подставляя коэффициенты A,B,C в (10), получим:

2(x−0)+3(y−0)+1(z−0)=0(9)

Онлайн калькулятор для построения общего уравнения плоскости находится здесь. Там же вы найдете примеры построения общего уравнения плоскости, если известны три точки этой плоскости или если известна одна точка и нормальный вектор этой плоскости.

🎥 Видео

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.

Векторы на плоскостиСкачать

Векторы на плоскости

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

№917. Начертите прямоугольную систему координат Оху и координатные векторы i и j. ПостройтеСкачать

№917. Начертите прямоугольную систему координат Оху и координатные векторы i и j. Постройте

построение точки в плоскости OXYСкачать

построение точки в плоскости OXY

Прямоугольная система координат в пространстве. 11 класс.Скачать

Прямоугольная система координат в пространстве. 11 класс.

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространстве

Как выразить вектор через данные векторы параллелограмма. Векторы на плоскости. Геометрия 8-9 классСкачать

Как выразить вектор через данные векторы параллелограмма. Векторы на плоскости. Геометрия 8-9 класс

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Геометрия. 9 класс. Векторы на плоскости /11.05.2021/Скачать

Геометрия. 9 класс. Векторы на плоскости /11.05.2021/

Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: