Содержание:
- Система координат в пространстве
- Декартова система координат в пространстве
- Расстояние между двумя точками
- Уравнение сферы и шара
- Координаты середины отрезка
- Векторы в пространстве и действия над ними
- Векторы в пространстве
- Действия над векторами в пространстве
- Свойства суммы векторов
- Правило треугольника сложения векторов
- Правило параллелограмма сложения векторов
- Правило многоугольника сложения векторов
- Коллинеарные и компланарные векторы
- Скалярное произведение векторов
- Свойства скалярного произведения векторов
- Преобразование и подобие в пространстве
- Геометрические преобразования в пространстве
- Движение и параллельный перенос
- Центральная симметрия в пространстве
- Симметрия относительно плоскости
- Поворот и симметрия относительно оси
- Симметрия в природе и технике
- Подобие пространственных фигур
- Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости
- Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации
- Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости
- Общее уравнение плоскости
- Неполные уравнения плоскости
- 🎥 Видео
Видео:Как построить точки в системе координат OXYZСкачать
Система координат в пространстве
Декартова система координат в пространстве
Вы познакомились с декартовой системой координат на плоскости в предыдущих классах. Систему координат в пространстве введём аналогично тому, как это было сделано на плоскости. Рассмотрим три взаимно перпендикулярных оси Ох, Оу и Оz, пересекающихся в точке О, являющейся началом координат. Через каждую пару этих прямых проведём плоскости Оху, 0xz и Оуz (рис. 1). Таким образом вводится система координат в пространстве, при этом
точку О — называют началом координат, прямые Ох, Оу и Оz — осями координат, Ох — ось абсцисс, Оу — ось ординат и Оz — ось аппликат, плоскости Оху, Оуz и Охz — координатными плоскостями.
Координатные плоскости делят пространство на 8 октант (получетвертей) (рис. 1).
Пусть в пространстве задана произвольная точка А. Через эту точку проведём плоскости, перпендикулярные плоскостям Охz, Оуz и Охz (рис. 2). Одна из этих плоскостей пересечёт ось Ох в точке Ах.
Координату Ах на оси Ох называют координатой х или абсциссой точки А.
Аналогично определяют у — координату (ординату) и z- координату (аппликату) точки А.
Координаты точки А записывают в виде А (х; у; z) или короче (х; у; z). Точки, изображённые на рисунке 3, имеют следующие координаты: А (0; 5; 0), B (4; 0; 0), М (0; 5; 4), К (2; 3; 4), Р (-2; 3; -4).
Пример:
Пусть в пространстве в декартовой системе координат
задана точка А (2; 3; 4). Где она расположена?
Решение:
От начала координат в положительном направлении осей Ох и Оу отложим отрезки ОАх = 2 и ОАу = 3 (рис. 4).
Через точку Ах проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Оу. А через точку Аy проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Ох. Точку пересечения этих прямых обозначим A1 . Через точку A1 проведём прямую, перпендикулярную плоскости Оху и на ней в положительном направлении Oz отложим отрезок АА1 = 4. Тогда точка А (2; 3; 4) и будет искомой точкой.
Пользуясь системой координат, созданной для современных программируемых станков и автоматизированных роботов, составляются программы, на основе которых обрабатываются металлы (рис. 5).
Расстояние между двумя точками
1.Сначала рассмотрим случай, когда прямая АВ не параллельна оси Оz (рис. 6). Через точки А и В проведём прямые, параллельные оси Оz. И пусть они пересекают плоскость Оху в точках Аz и Вz .
Координаты х и у этих точек соответственно равны координатам х и у точек А, В, а координаты z равны 0.
Теперь через точку В проведём плоскость а, параллельную плоскости Оху. Она пересечёт прямую ААz в некоторой точке С.
По теореме Пифагора: АВ 2 = АС 2 + СВ 2 .
Однако
Поэтому
2.Пусть отрезок АВ параллелен оси Оz, тогда и, так как
Следовательно, расстояние между двумя точками А и В:
(1)
Примечание. Формула (1) выражает длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны
Уравнение сферы и шара
Известно, что множество всех точек М (х; у; z), расположенных на расстоянии R от данной точки А (а; Ь; с) образуют сферу (рис. 7). Тогда по формуле (1) координаты всех точек, расположенных на сфере радиуса R с центром в точке А (а; b; с), удовлетворяют равенству
Отсюда, ясно, что неравенство для точек шара радиуса R с центром в
точке А (а; b; с) имеет вид:
Пример:
Найдите периметр треугольника ABC с вершинами в
Решение:
Р=АВ+АС+ВС периметр треугольника ABC. Воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками, найдём длины сторон треугольника:
Следовательно, треугольник ABC равносторонний и его периметр .
Ответ:
Координаты середины отрезка
Пусть А (x1; y1;z1) и В (х2; у2; z2) — произвольные точки, точка С (х; у; z) середина отрезка AB (рис. 8).
Через точки А, В и С проведём прямые, параллельные оси пересекающие плоскость Оху в точках и . Тогда по теореме Фалеса точка Сz — середина отрезка АzВz.
Отсюда по формулам нахождения координат середины отрезка на плоскости
Чтобы найти координату z, нужно вместо плоскости Оху рассмотреть плоскость 0xz или Оуz.
Тогда и для z получим формулу, подобную вышеприведённой.
Аналогично, используя координаты концов A и B отрезка AB, по формулам
находят координаты точки Р(х1;у]; г,), делящей отрезок АВ в отношении X САР: РВ = X).
Доказательство: Для решения задачи используем признак параллелограмма: Четырёхугольник, точка пересечения диагоналей которого делит их пополам, является параллелограммом.
Координаты середины отрезка МК:
Координаты середины отрезка NL:
Координаты середин отрезков МК и NL равны. Это говорит о том, что отрезки пeрeсeкаются и в точке пeрeсeчeния делятся пополам. Следовательно, четырёхугольник MNLK — параллелограмм.
В переписке с известным целителем и математиком Абу Али ибн Сино Абу Райхон Беруни задаёт следующий вопрос: «Почему Аристотель и другие (философы) называют шесть сторон?»
Рассматривая шестисторонний куб, Беруни говорит о фигурах «с другим количеством сторон» и добавляет, что «шарообразные фигуры не имеют сторон.» А Ибн Сино отвечает, что «во всех случаях нужно считать, что сторон шесть, так как у каждой фигуры, независимо от её формы, есть три измерения — длина, глубина и ширина».
Здесь Ибн Сино имеет ввиду три координаты, именуемые условно «шесть сторон».
В произведении «Канон Масъуда» Беруни приводит точное математическое определение шести сторон: «Сторон шесть, так как они ограничивают движение фигур по своим измерениям. Измерений три: длина, ширина и глубина. А их в два раза больше самих измерений.»
В предыдущих книгах автор определяет положение небесных тел с помощью двух координат относительно небесной сферы — эклиптического уравнения. Либо через те же координаты, но относительно небесного экватора или горизонта. Однако при определении взаимного расположения звёзд и небесных светил придётся учитывать и случаи затмений. Вот в таких случаях появляется необходимость в третьей сферической координате. Эта необходимость привела Беруни к отказу от теории небесных координат.
Векторы в пространстве и действия над ними
Векторы в пространстве
Понятие вектора в пространстве вводят также как на плоскости.
Вектором в пространстве называют направленный отрезок. Основные понятия, относящиеся к векторам в пространстве, аналогичны этим понятиям на плоскости: длина (модуль), направление вектора, равенство векторов.
Координатами вектора с началом в точке А (х1; у1; z1) и концом в точке В (х1; у1; z1) называют числа , (рис. 17).
Приведем без доказательства свойства векторов, аналогичных свойствам на плоскости.
Также как на плоскости, соответствующие координаты равных векторов равны и, обратно, векторы с равными координатами равны.
Hа основании этого вектор можно обозначить как или или кратко (рис. 18).
Вектор можно записать и без координат (или ). В этой записи
на первом месте начало вектора, а на втором — конец.
Вектор с координатами, равными нулю, называют нулевым вектором и обозначают или , направление этого вектора не определено.
Если начало вектора расположено в начале координат О, а числа а1,
координатами вектора : (а1; а2; а3).
Однако вектор в пространстве с началом в точке К(с1; с2; с3) и концом в точке будет иметь те же координаты: .
Отсюда следует, что вектор можно приложить к любой точке пространства. В геометрии мы рассматриваем такие свободные векторы. Но в физике, обычно вектор связан с некоторой точкой. Например, воздействие силы приложенная к пружине F на рисунке 19 зависит от точки её приложения.
Длинной вектора называют длину направленного отрезка
изображающего его (рис. 17). Длину вектора записывают
так. Длина вектора , заданного координатами,
вычисляется по формуле .
Пример:
Даны точки А (2; 7;-3),В (1; 0; 3), С (-3;-4; 5) и D (-2; 3; -1). Какие из векторов и равны между собой?
Решение:
У равных векторов равны соответствующие координаты. Поэтому найдём координаты векторов:
Следовательно, .
Докажите самостоятельно, что
Действия над векторами в пространстве
Действия над векторами. Сложение векторов, умножение на число и их скалярное произведение определяется также как на плоскости.
Суммой векторов и (b1; b2; b3); называют вектор (рис. 20).
Пусть кран на рисунке 20.b движется вдоль вектора , а груз относительно крана вдоль вектора . В результате груз движется вдоль вектора . Поэтому из рисунка 20.с, на котором изображён сюжeт басни русского писателя И.А.Крылова, ясно, что герои басни не смогут сдвинуть телегу с места.
Свойства суммы векторов
Для любых векторов , и имеют место следующие свойства:
a) — переместительный закон сложения векторов;
b) — распределительный закон сложения.
Правило треугольника сложения векторов
Для любых точек А, В и С (рис. 21):
Правило параллелограмма сложения векторов
Если АВСD — параллелограмм (рис. 22), то
Правило многоугольника сложения векторов
Если точки А, В, С, D и Е — вершины многоугольника (рис. 23), то
Правило параллелепипеда сложения трёх векторов, не лежащих в одной плоскости. Если АВСDА1В1С1D1 параллелепипед (рис. 24), то
.
Вектор = (a1; a2; a3) — называют умножением вектора
(a1; a2; a3) на число (рис. 25). Свойства операции умножения вектора на число.
Для любых векторов и и чисел и
а);
b);
c) и направление вектора
совпадает с направлением вектора , если ,
противоположно направлению вектора , если .
Коллинеарные и компланарные векторы
Пусть заданы ненулевые векторы и . Если векторы
и сонаправлены или противоположно направлены,
то их называют коллинеарными векторами (рис. 26).
Свойство 1. Если для векторов и имеет место равенство , то они коллинеарны и наоборот.
Если , то векторы и сонаправлены , если, то
противоположно направлены .
Свойство 2. Если векторы (a1; a2; a3) и (b1; b2; b3) коллинеарны,
то их соответствующие координаты пропорциональны:
и наоборот.
Пример:
Найдите вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом в точке В, лежащей в плоскости Оху, коллинеарный вектору ( 1; 2; 3).
Решение:
Пусть точка В имеет координаты В (х; у; z). Так как точка В лежит в плоскости Оху, то z=0. Тогда (х — 1 ;у — 1; — 1).
По условию задачи векторы (х — 1 ;у — 1; — 1) и (1, 2, 3) коллинеарны. Следовательно, их координаты пропорциональны.
Тогда получаем следующие пропорции .
Откуда находим , .
Итак,
Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называют компланарными векторами (рис. 27).
Векторы (1; 0; 0), (0; 1; 0) и (0; 0; 1) называют ортами (рис. 28).
Любой вектор можно единственным образом разложить по ортам, то есть представить в виде (рис. 29).
Точно также, если заданы три нeкомпланарных вектора и , то любой вектор можно единственным образом представить в виде:
.
Здесь некоторые действительные числа. Тогда говорят, что вектор разложен по заданным векторам.
Скалярное произведение векторов
Углом между ненулевыми векторами и называют угол между направленными отрезками векторов = и =, исходящих из точки О (рис. 30).
Угол между векторами и обозначают так .
Скалярным произведением векторов и называют произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.
Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение этих векторов равно нулю.
Скалярное произведение обозначают или . По определению (1)
Из определения следует, что если скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны и наоборот.
В физике работа A, выполненная при движении тела на расстоянии , под воздействием силы (рис. 31), равна скалярному произведению силы на расстояние:
Свойство. Если и (b1; b2; b3), то () =
Доказательство. Приложим векторы и к началу
координат О (рис.32). Тогда = и = (b1; b2; b3).
Если векторы неколлинеарны, то получаем треугольник АВО , для которого справедлива теорема косинусов.
Тогда .
Однако, ,
и .
Следовательно,
.
Самостоятельно докажите, что и в случае, когда данные векторы коллинеарны , также выполняется
это равенство.
Свойства скалярного произведения векторов
1. — переместительное свойство.
2. — распределительное свойство.
3. — сочетательное свойство.
4.Если векторы а и b являются сонаправленными коллинеарными
векторами, то , так как соs 0° = 1.
5.Если же векторы противоположно направлены, то , так как cos l80° = -1.
6. .
7. Если вектор перпендикулярен вектору , то . Следствия: а) Длина вектора ; (1) b) косинус угла между векторами
: ; (2)
с) условие перпендикулярности векторов и
.
(3)
Пример:
— заданные точки. Найдите косинус угла между векторами .
Решение:
Найдём длины векторов :
,
.
,
.
Пример:
Найдите угол между векторами .
Решение:
Итак,
Пример:
Найдите , если , и угол между векторамии равен .
Решение:
Пример:
Найдите координаты и длины векторов 1); 2), если .
Решение:
Подставим в выражения искомых векторов разложения векторов и по координатам:
1)
. Следовательно,.
Тогда.
2)
.
Следовательно, .
Тогда
Пример:
Найдите произведение, если угол между векторами и равен 30° и , .
Решение:
Сначала найдём поизведение векторов и :
.
Затем перемножим заданные выражения как многочлены
и, пользуясь распределительным свойством умножения
вектора на число, получим:
.
Учитывая, что ,
найдём искомое произведение
Преобразование и подобие в пространстве
Геометрические преобразования в пространстве
Если каждую точку заданной в пространстве фигуры F изменить одним и тем же способом, то получим фигуру F1. Если при этом преобразовании различные точки первой фигуры переходят в различные точки второй, то говорят о преобразовании геометрической фигуры.
Если рассматривать все пространства как геометрическую фигуру, то также можно говорить о преобразовании геометрической фигуры.
Понятие геометрического преобразование в пространстве вводят также как на плоскости. Следовательно, свойства некоторых рассматриваeмых ниже видов преобразований и их доказательства также подобны соответствующим им на плоскости. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.
Движение и параллельный перенос
Преобразование фигур, при котором сохраняются расстояния между точками, называют движением. Можно привести следующие свойства движения. При движении прямая переходит в прямую, луч — в луч, отрезок — в равный ему отрезок, угол — в равный ему угол, треугольник — в равный ему треугольник, плоскость — в плоскость, тетраэдр — в равный ему тетраэдр.
В пространстве фигуры, которые можно перевести одну в другую при некотором движении называют равными фигурами.
Простейшим примером движения является параллельный перенос.
Пусть в пространстве даны вектор и произвольная точка Х
(рис. 44). Говорят, что точка Х перешла в точку X1 параллельным
переносом на вектор , если выполняется условие . Если каждую точку фигуры F сдвинуть на вектор при помощи параллельного переноса (рис. 45), то получим фигуру F1. Тогда говорят, что фигура F получена параллельным переносом фигуры F1 . При параллельном переносе каждая точка фигуры F сдвигается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
Каждая точка подъёмного крана, изображённого на рисунке 46, параллельно перенесена на 40 м относительно начального положения.
Ясно, что параллельный перенос является движением. Поэтому прямая переходит в прямую, луч — в луч, плоскость — в плоскость,
Пусть точка фигуры F перешла в точку
фигуры F1 при помощи параллельного переноса
на вектор .
Тогда по определению получим:
или
.
Эти равенства называют формулами параллельного переноса.
Пример:
В какую точку перейдёт точка Р (-2; 4; 6) при параллельном переносе на вектор = (3; 2; 5)?
Решение:
По вышеприведённым формулам параллельного переноса: .
Ответ: .
Центральная симметрия в пространстве
Если в пространстве , то есть точка О — середина отрезка АА1 то точки А и А1 называют симметричными относительно точки О.
Если в пространстве каждая точка фигуры F переходит в точку, симметричную относительно точки О (рис. 47), то такое преобразование называют симметрией относительно точки О. На рисунках 48, 49 изображёны фигуры симметричные относительно точки О. Симметрия относительно точки является движением.
Если при симметрии относительно точки О фигура F переходит в себя, то её называют центрально симметричной фигурой.
Например, диагонали параллелепипеда (рис. 50) относительно их точки пересечения О являются центрально симметричными фигурами.
Пример:
В какую точку перейдет точка A = (1; 2; 3) при симметрии относительно точки О (2; 4; 6)?
Решение:
Пусть А1 = (х; у; z) — искомая точка. По определению точка
О — середина отрезка АА1. Следовательно,
Из этих уравнений получаем:
.
Ответ:
Симметрия относительно плоскости
Точки А и А1 называют симметричными относительно плоскости а,
если плоскость перпендикулярна отрезку и делит его пополам (рис. 51). Фигуры F1, и F2 на рисунке 52 симметричны относительно
плоскости а. Очевидно, что наш силуэт и его отражение симметричны относительно плоскости зеркала (рис. 53).
Симметрия относительно плоскости а является движением.
Поэтому при симметрии относительно плоскости а отрезок переходит в равный ему отрезок, прямая — в прямую, плоскость — в плоскость.
Если при симмeтрии относительно плоскости фигура F переходит в себя, то её называют фигурой симметричной относительно плоскости.
Например, изображённый на рисунке 54 куб, есть фигура, симметричная относительно плоскости а, проходящей через его диагонали АА1 и СС1.
Поворот и симметрия относительно оси
Пусть в пространстве заданы точки А и А1 и прямая l. Если перпендикуляры АК и А1К, опущенные на прямую l, равны и образуют угол , то говорят, что точка А перешла в точку А1 в результате поворота на угол относительно прямой l (рис. 55).
Если каждую точку фигуры F повернуть на угол относительно прямой l, то получим новую фигуру F1 . Тогда говорят, что фигура F перешла в фигуру F1 с помощью поворота на угол относительно прямой l. На рисунке 56 мы видим фигуры, полученные таким поворотом. Например, повернув куб, изображённый на рисунке 57, на 180° относительно прямой l, получим новый куб.
Поворот относительно прямой также является движением.
Поворот на 180° относительно прямой l называют симметрией относительно прямой l.
Центр, ось и плоскость симметрии называют элементами симметрии. Точки, симметричные точке А (х; у; z) относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат, будут иметь следующие координаты:
Симметрия в природе и технике
В природе на каждом шагу можно встретить симметрию.
Например, множество живых существ, в частности тела человека и животных, листья растений и цветы устроены симметрично (рис. 58). Также в неживой природе есть элементы, например, снежинки, кристаллы соли. Молекулярное строение веществ тоже состоит из симметричных фигур. Это, конечно, неспроста, поскольку симметричные фигуры не только красивы, но и самые устойчивые.
Раз так, то можно считать, что красота и совершенство природы построены на основе симметрии. Взяв за основу природную красоту и совершенство, строители, инженеры и архитекторы создают строения и механизмы, здания и сооружения, технику и транспортные средства симметричными. В этой работе им очень помогает наука геометрия.
Подобие пространственных фигур
Пусть и преобразование переводят фигуру F1, в фигуру F2. Если
при этом преобразовании для произвольных точек X1 и Х2 фигуры F1 и соответствующих им точек Y1 и Y2 фигуры , то это преобразование называют преобразованием подобия (рис. 59).
Как видим, понятие преобразования подобия в пространстве вводится также как на плоскости. Следовательно, рассматриваемые ниже виды подобия, их свойства и доказательства этих свойств подобны соответствующим на плоскости. Поэтому, мы не будем останавливаться на их доказательствах и рекомендуем провести их самостоятельно. Преобразование подобия в пространстве отображает прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок и угол в угол. Точно также это преобразование плоскость отображает в плоскость.
Если в пространстве одна из фигур перешла в другую с помощью преобразования подобия, то эти фигуры называют подобными.
Пусть в пространстве задана фигура F, точка О и число к . Преобразование, переводящее произвольную точку X фигуры F в точку Х1 удовлетворяющую условию , называют гомотетией относительно центра О с коэффициентом (рис. 61). Точку О называют центром гомотетии, а число коэффициентом гомотетии. Если в результате такого преобразования каждой точки фигуры F получена фигура F1 то говорят, что фигура F гомотетична фигуре F1.
Вы видите, что определение гомотетии в пространстве аналогично соответствующему определению на плоскости. Следовательно, все свойства и их доказательства аналогичны. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.
Гомотетия относительно точки О с коэффициентом является преобразованием подобия. Гомотетия с отличным от нуля коэффициентом при = 1 отображает фигуру F в себя, а при =-1 в фигуру F1 симметричную фигуре F относительно точки О. В остальных случаях гомотетии не сохраняет расстояния между точками, т. е. не является движением. В результате гомотетии расстояние между точками увеличивается в одно и тоже число раз, т. е. меняются измерения фигуры, но сохраняется её форма. При гомотетии а) прямая отображается в параллельную ей прямую (рис. 62.а); b) плоскость — в параллельную ей плоскость (рис. 62.b), если они не проходят через центр гомотетии.
Если же прямая или плоскость проходят через центр гомотетии, то они отображаются в себя.
Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Иррациональные числа
- Действительные числа
- Решение уравнений высших степеней
- Системы неравенств
- Уравнения и неравенства
- Уравнения и неравенства содержащие знак модуля
- Уравнение
- Метод математической индукции
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать
Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости
Существует ряд заданий, которым для решения необходимо нормальный вектор на плоскости, чем саму плоскость. Поэтому в этой статье получим ответ на вопрос определения нормального вектора с примерами и наглядными рисунками. Определим векторы трехмерного пространства и плоскости по уравнениям.
Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать
Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации
Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости и векторы.
Нормальным вектором плоскости считается любой ненулевой вектор, который лежит на перпендикулярной к данной плоскости прямой.
Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Нормальные векторы располагаются на параллельных прямых, поэтому они все коллинеарны. То есть, при нормальном векторе n → , расположенном в плоскости γ , вектор t · n → , имея ненулевое значение параметра t , также нормальный вектор плоскости γ . Любой вектор может быть рассмотрен как направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна этой плоскости.
Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.
Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.
Задана прямоугольная система координат О х у z в трехмерном пространстве. Координатные векторы i → , j → , k → считаются нормальными векторами плоскостей O y z , O x z и O x y . Это суждение верно, так как i → , j → , k → ненулевые и расположены на координатных прямых O x , O y и O z . Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям O y z , O x z и O x y .
Видео:Геометрия. 9 класс. Векторы на плоскости /27.10.2020/Скачать
Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости
Статья предназначена для того, чтобы научить находить координаты нормального вектора плоскости при известном уравнении плоскости прямоугольной системы координат О х у z . Для определения нормального вектора n → = ( A , B , C ) в плоскости необходимо наличие общего уравнения плоскости, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 . То есть достаточно иметь уравнение плоскости, тогда появится возможность для нахождения координат нормального вектора.
Найти координаты нормального вектора, принадлежащего плоскости 2 x — 3 y + 7 z — 11 = 0 .
По условию имеем уравнение плоскости. Необходимо обратить внимание на коэффициенты, так как они и являются координатами нормального вектора заданной плоскости. Отсюда получаем, что n → = ( 2 , — 3 , 7 ) — это нормальный вектор плоскости. Все векторы плоскости задаются при помощи формулы t · n → = 2 · t , — 3 · t , 7 · t , t является любым действительным числом не равным нулю.
Ответ: n → = ( 2 , — 3 , 7 ) .
Определить координаты направляющих векторов заданной плоскости x + 2 z — 7 = 0 .
По условию имеем, что дано неполное уравнение плоскости. Чтобы увидеть координаты, необходимо преобразовать уравнение x + 2 z — 7 = 0 к виду 1 · x + 0 · y + 2 z — 7 = 0 . Отсюда получим, что координаты нормального вектора данной плоскости равны ( 1 , 0 , 2 ) . Тогда множество векторов будет иметь такую форму записи ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .
Ответ: ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .
При помощи уравнения плоскости в отрезках, имеющего вид x a + y b + z c = 1 , и общего уравнения плоскости возможна запись нормального вектора этой плоскости, где координаты равны 1 a , 1 b , 1 c .
Знания о нормальном векторе позволяют с легкостью решать задачи. Часто встречающимися задачами являются задания с доказательствами параллельности или перпендикулярности плоскостей. Заметно упрощается решение задач на составление уравнений заданной плоскости. Если имеется вопрос о нахождении угла между плоскостями или между прямой и плоскостью, то формулы нормального вектора и нахождения его координат помогут в этом.
Видео:Направляющий и нормальный вектор прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать
Общее уравнение плоскости
В данной статье мы рассмотрим общее уравнение плоскости в пространстве. Определим понятия полного и неполного уравнения плоскости. Для построения общего уравнения плоскости пользуйтесь калькулятором уравнение плоскости онлайн.
Пусть задана произвольная декартова прямоугольная система координат Oxyz. Общим уравнением плоскости называется линейное уравнение вида:
Ax+By+Cz+D=0, | (1) |
где A, B, C, D − некоторые постоянные, причем хотя бы один из элементов A , B и C отлично от нуля.
Мы покажем, что линейное уравнение (1) в пространстве определяет плоскость и любой плоскость в пространстве можно представить линейным уравнением (1). Докажем следующую теорему.
Теорема 1. В произвольной декартовой прямоугольной системе координат в пространстве каждая плоскость α может быть задана линейным уравнением (1). Обратно, каждое линейное уравнение (1) в произвольной декартовой прямоугольной системе координат в пространстве определяет плоскость.
Доказательство. Достаточно доказать, что плоскость α определяется линейным уравнением при какой нибудь одной декартовой прямоугольной системе координат, поскольку тогда она будет определяться линейным уравнением и при любом выборе декартовой прямоугольной системы координат.
Пусть в пространстве задана плоскость α. Выберем оси Ox и Oy так, чтобы они располагались на плоскости α, а ось Oz направим перпендикулярно к этой плоскости. Тогда линейное уравнение z=0 будет уравнением плоскости, т.к. координаты любой точки, принадлежащей этой плоскости удовлетворяют уравнению z=0, а координаты любой точки, не лежащей на этой плоскости − нет. Первая часть теоремы доказана.
Пусть фиксирована произвольная декартова прямоугольная система координат Oxyz. Рассмотрим линейное уравнение (1), где хотя бы один из элементов A , B и C отлично от нуля. Тогда уравнение (1) имеет хотя бы одно решение x0, y0, z0. Действительно. Пусть из коэффициентов A≠0. Возьмем произвольные числа y0, z0. Тогда
. |
Таким образом, существует точка M0(x0, y0, z0), координаты которой удовлетворяют уравнению (1):
Ax0+By0+Cz0+D=0. | (2) |
Вычитая из уравнения (1) тождество (2), получим
A(x−x0)+B(y−y0)+С(z−z0)=0, | (3) |
которая эквивалентна уравнению (1).
Покажем, что (3) определяет некоторую плоскость, проходящую через точку M0(x0, y0, z0) и перпендикулярную вектору n=<A,B,C> (n≠0, так как хотя бы один из чисел A,B,C отлично от нуля).
Если точка M0(x0, y0, z0) принадлежит плоскости α, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3), т.к. векторы n=<A,B,C> и перпендикулярны (Рис.1) и их скалярное произведение равно нулю:
. |
Если же точка M(x, y, z) не лежит на плоскости α, то векторы n=<A,B,C> и не ортогональны. Тогда их скалярное произведение не равно нулю, т.е. координаты точки M(x, y, z) не удовлетворяют условию (3). Теорема доказана.
Одновременно с доказательством теоремы 1 мы получили следующее утверждение.
Утверждение 1. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (A,B,C) перпендикулярен плоскости Ax+By+Cz+D=0.
Вектор n=(A,B,C) называется нормальным вектором плоскости , определяемой линейным уравнением (1).
Утверждение 2. Если два общих уравнения плоскости
A1x+B1y+C1z+D=0 | (4) |
A2x+B2y+C2z+D=0 | (5) |
определяют одну и ту же плоскость, то найдется такое число λ, что выпонены равенства
A2=A1λ, B2=B1λ, C2=C1λ, D2=D1λ. | (6) |
A1x0+B1y0+C1z0+D=0 | (7) |
A2x0+B2y0+C2z0+D=0 | (8) |
Умножая уравнение (7) на λ и вычитая из него уравнение (8) получим:
(A1λ−A2)x0+(B1λ−B2)y0+(C1λ−C2)z0+(D1λ−D2)=0. |
Так как выполнены первые три равенства из выражений (6), то D1λ−D2=0. Т.е. D2=D1λ. Утверждение доказано.
Видео:Геометрия 10 класс (Урок№17 - Вектор в пространстве.)Скачать
Неполные уравнения плоскости
Определение 1. Общее уравнение плоскости (1) называется полным , если все коэффициенты A, B, C, D отличны от нуля. Если же хотя бы один из коэффициентов A, B, C, D равен нулю, то общее уравнение плоскости называется неполным .
Рассмотрим все возможные варианты неполных уравнений плоскости:
При D=0, имеем уравнение плоскости Ax+By+Cz=0, проходящей через начало координат (Рис.2). Действительно, точка O(0,0,0) удовлетворяет этой системы линейных уравнений.
При A=0, имеем уравнение плоскости By+Cz+D=0, которая параллельна оси Ox (Рис.3). В этом случае нормальный вектор плоскости n=<0,B,C> лежит на координатной плоскости Oyz.
При B=0, имеем уравнение плоскости Ax+Cz+D=0, которая параллельна оси Oy (Рис.4).
При C=0, имеем уравнение плоскости Ax+By+D=0, которая параллельна оси Oz (Рис.5).
При A=0,B=0 имеем уравнение плоскости Cz+D=0, которая параллельна координатной плоскости Oxy (Рис.6).
При B=0,C=0 имеем уравнение плоскости Ax+D=0, которая параллельна координатной плоскости Oyz (Рис.7).
При A=0,C=0 имеем уравнение плоскости By+D=0, которая параллельна координатной плоскости Oxz (Рис.8).
При A=0,B=0,D=0 имеем уравнение плоскости Cz=0, которая совпадает с координатной плоскостью Oxy (Рис.9).
При B=0,C=0,D=0 имеем уравнение плоскости Ax=0, которая совпадает с координатной плоскостью Oyz (Рис.10).
При A=0,C=0,D=0 имеем уравнение плоскости By=0, которая совпадает с координатной плоскостью Oxz (Рис.11).
Рассмотрим примеры построения общего уравнения плоскости.
Пример 1. Построить общее уравнение плоскости, проходящей через точку M(4,−1,2) параллельной координатной плоскости Oxy.
Решение. Общее уравнение плоскости, проходящей через некоторую точку M(x0,y0,z0) имеет вид (3). Подставляя координаты точки M в (3), получим:
A(x−4)+B(y−(−1))+C(z−2)=0 | (9) |
Так как плоскость параллельна координатной плоскости Oxy, то направляющий вектор имеет следующий вид n=<A,B,C>=, т.е. A=0, B=0, C=1.
Подставляя коэффициенты A,B,C в (9), получим:
0(x−4)+0(y−(−1))+1(z−2)=0 | (9) |
Пример 2. Построить общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат и имеющий нормальный вектор n==.
Решение. Начало координат имеет коэффициенты (0,0,0). Общее уравнение плоскости, проходящей через некоторую точку M(x0,y0,z0) имеет вид (3). Подставляя коэффициенты начальной точки в (3), получим:
A(x−0)+B(y−0)+C(z−0)=0 | (10) |
Так как плоскость имеет нормальный вектор n=<A,B,C>=, т.е. A=2, B=3, C=1, подставляя коэффициенты A,B,C в (10), получим:
2(x−0)+3(y−0)+1(z−0)=0 | (9) |
Онлайн калькулятор для построения общего уравнения плоскости находится здесь. Там же вы найдете примеры построения общего уравнения плоскости, если известны три точки этой плоскости или если известна одна точка и нормальный вектор этой плоскости.
🎥 Видео
Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать
Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать
Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать
Векторы на плоскостиСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
№917. Начертите прямоугольную систему координат Оху и координатные векторы i и j. ПостройтеСкачать
построение точки в плоскости OXYСкачать
Прямоугольная система координат в пространстве. 11 класс.Скачать
Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать
Как выразить вектор через данные векторы параллелограмма. Векторы на плоскости. Геометрия 8-9 классСкачать
Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать
Геометрия. 9 класс. Векторы на плоскости /11.05.2021/Скачать
Вычитание векторов. 9 класс.Скачать