Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.
Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD ⊥ AB. Аналогично получаем, что BC ⊥ AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
б) Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.
Треугольники BKC и AKD подобны, 
Пусть 
тогда 
У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, 
то есть SAKB = 4S. Аналогично, SCKD = 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.
Вычислим площадь трапеции ABCD. Заметим, что 
Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1: 
Тогда 
Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и SAKB = 4S = 3,2.
Приведем вариант решения п. б) предложенный Рамилем Багавиевым.
Из первого решения известно, что 
Из подобия треугольников AKD и AKB следует 
таким образом AK = 2BK. Напишем теорему Пифагора для треугольника AKB 
Теперь несложно вычислить 
Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.
а) Пусть АВ — диаметр большей из трёх окружностей, О — её центр, O1 — центр окружности радиуса r у касающейся окружности с диаметром АВ в точке А, O2 — центр окружности радиуса R, касающейся окружности с диаметром АВ в точке С, окружности с центром O1 — в точке D, отрезка АВ — в точке Е. Точки О, O2 и С лежат на одной прямой, поэтому OO2 = ОС − O2С = ОС − R. Аналогично ОО1 = OA − О1А = ОА − r и O1O2 = O1D + O2D = r + R. Следовательно, периметр треугольника OO1O2 равен
а так как О1E = OO1 + ОЕ, то 
Полученное уравнение не имеет корней, что означает, что данная конфигурация невозможна.
Рассмотрим случай, когда точка Е лежит между точками О и А. В этом случае О1E = OO1 − ОЕ, то есть 
Из этого уравнения находим, что 
Ответ: 
Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.
а) Докажите, что эти хорды равны.
б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E, F последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен 
а) Пусть две хорды равны 3x и 3y. По теореме о произведении пересекающихся хорд 2x · x = 2y · y. Отсюда находим, что x = y, значит, эти хорды равны. Аналогично докажем, что третья хорда равна каждой из первых двух.
б) Равные хорды равноудалены от центра окружности, поэтому центр равностороннего треугольника с вершинами в точках попарного пересечения хорд совпадает с центром данной окружности. Пусть хорды BE и CF пересекают хорду AD в точках P и Q соответственно, хорды BE и FC пересекаются в точке T, а H — проекция центра O на хорду AD. Тогда H — общая середина отрезков AD и PQ, а OH — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника PQT со стороной PQ.
Через точку T проведём прямую, параллельную AD, через точку P — прямую, параллельную CF, а через точку Q — прямую, параллельную BE. Эти прямые и хорды AD, BE и CF разбивают шестиугольник ABCDEF на 13 одинаковых равносторонних треугольников.
Обозначим PQ = 2a. Тогда
Отсюда находим, что a = 3, значит, PQ = 2a = 6, 
Ответ: 
Я решил другим, но верным способом через площади 6 равных треугольников, перепроверил с репититором, у нас выходит ответ 126 корней из 3. Кстати именно такого альтернативного способа не хватает в решении.
Наверное, в этот момент стоило бы сравнить ваше решение с нашим и попробовать найти ошибку. В математике все просто: или ошибка есть, или ее нет.
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
а) Пусть O — центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OA — диаметр меньшей окружности.
Точка K лежит на окружности с диаметром OA, значит, ∠AKO = 90°. Отрезок OK — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду AB. Поэтому K — середина AB. Аналогично, M — середина AC, поэтому KM — средняя линия треугольника ABC. Следовательно, прямые MK и BC параллельны.
б) Опустим перпендикуляр OH на хорду BC. Тогда H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что
Пусть Q — центр меньшей окружности. Тогда прямые QP и OH параллельны. Опустим перпендикуляр QF из центра меньшей окружности на OH. Тогда
PH 2 = QF 2 = QO 2 − OF 2 = 25 − 1 =24,
OP 2 = OH 2 + PH 2 = 36 + 24 = 60,
а из прямоугольного треугольника APO находим, что
Отрезок KM — средняя линия треугольника ABC, поэтому L средина AP. Следовательно,
Ответ: б) 
Приведём решение Марии Ковалёвой (Москва).
а) Проведём общую касательную к окружностям AT, как показано на рисунке слева. Тогда 
и 
поскольку угол между касательной и хордой равен половине заключённой между ними дуги. Тогда 
равны Соответственные углы при пересечении прямых KM и BC равны, поэтому данные прямые параллельны.
б) По обобщенной теореме синусов, в треугольниках AKM и ABC стороны KM и BC относятся так же, как радиусы данных в условии окружностей, то есть как 1 : 2. Следовательно, KM — средняя линия треугольника ABC, и 
по теореме Фалеса. Осталось найти AР.
Опустим перпендикуляр OH на хорду BC (см. рисунок справа). Тогда H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что
Треугольник OAP прямоугольный, так как угол OРA опирается на диаметр. Углы OAP и OPH равны по теореме об угле между касательной и хордой. Следовательно, прямоугольные треугольники OAP и OPH подобны по острому углу. Имеем: 
то есть 
Следовательно, 
По теореме Пифагора, 
Окончательно получаем:
Решение «сыпется», если концы хорды ВС расположить по разные стороны от диаметра (ОА). Тогда ОН, по-прежнему равный 6 из теоремы Пифагора, будет по чертежу меньше, чем параллельный ему радиус QP=5 меньшей окружности
Да, Ваше рассуждение доказывает, что этот случай невозможен.
Почему К середина АВ при условии,что ОК перпендикуляр? Что за свойство?
Свойство высоты равнобедренного треугольника. Треугольник ОАВ — равнобедренный, ОК — его высота, проведенная к основанию
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Задание а). Обозначим центры окружностей 
и 
соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке 
По свойству касательных, проведённых из одной точки, 
и. 
Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.
Вписанный угол 
прямой, поэтому он опирается на диаметр 
Значит, 
Аналогично получаем, что 
Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
Задание б). Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.
Треугольники BKC и AKD подобны, Пусть тогда
У треугольников 
общая высота, следовательно, то есть 
Аналогично, 
Площадь трапеции ABCD равна 
Вычислим площадь трапеции 
Проведём к AD перпендикуляр 
равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника 
Тогда
Следовательно, 
откуда 
и 
- Задача с двумя окружностями ответ
- Задача с двумя окружностями ответ
- Задача с двумя окружностями ответ
- Задача про круги: кажется сложной, но она очень простая!
- Строим треугольник
- Создаем проекцию
- Находим длину секций
- Две окружности на плоскости
- «Снятие эмоционального напряжения у детей и подростков с помощью арт-практик и психологических упражнений»
- 📺 Видео
Видео:Как решать задачи с окружностями?Скачать
Задача с двумя окружностями ответ
Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Задача с двумя окружностями ответ
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.
Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD ⊥ AB. Аналогично получаем, что BC ⊥ AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
б) Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.
Треугольники BKC и AKD подобны, Пусть тогда
У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, то есть SAKB = 4S. Аналогично, SCKD = 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.
Вычислим площадь трапеции ABCD. Заметим, что Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1:
Тогда
Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и SAKB = 4S = 3,2.
Приведем вариант решения п. б) предложенный Рамилем Багавиевым.
Из первого решения известно, что Из подобия треугольников AKD и AKB следует таким образом AK = 2BK. Напишем теорему Пифагора для треугольника AKB
Теперь несложно вычислить
Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.
а) Пусть АВ — диаметр большей из трёх окружностей, О — её центр, O1 — центр окружности радиуса r у касающейся окружности с диаметром АВ в точке А, O2 — центр окружности радиуса R, касающейся окружности с диаметром АВ в точке С, окружности с центром O1 — в точке D, отрезка АВ — в точке Е. Точки О, O2 и С лежат на одной прямой, поэтому OO2 = ОС − O2С = ОС − R. Аналогично ОО1 = OA − О1А = ОА − r и O1O2 = O1D + O2D = r + R. Следовательно, периметр треугольника OO1O2 равен
а так как О1E = OO1 + ОЕ, то Полученное уравнение не имеет корней, что означает, что данная конфигурация невозможна.
Рассмотрим случай, когда точка Е лежит между точками О и А. В этом случае О1E = OO1 − ОЕ, то есть Из этого уравнения находим, что
Ответ:
Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.
а) Докажите, что эти хорды равны.
б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E, F последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен
а) Пусть две хорды равны 3x и 3y. По теореме о произведении пересекающихся хорд 2x · x = 2y · y. Отсюда находим, что x = y, значит, эти хорды равны. Аналогично докажем, что третья хорда равна каждой из первых двух.
б) Равные хорды равноудалены от центра окружности, поэтому центр равностороннего треугольника с вершинами в точках попарного пересечения хорд совпадает с центром данной окружности. Пусть хорды BE и CF пересекают хорду AD в точках P и Q соответственно, хорды BE и FC пересекаются в точке T, а H — проекция центра O на хорду AD. Тогда H — общая середина отрезков AD и PQ, а OH — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника PQT со стороной PQ.
Через точку T проведём прямую, параллельную AD, через точку P — прямую, параллельную CF, а через точку Q — прямую, параллельную BE. Эти прямые и хорды AD, BE и CF разбивают шестиугольник ABCDEF на 13 одинаковых равносторонних треугольников.
Обозначим PQ = 2a. Тогда
Отсюда находим, что a = 3, значит, PQ = 2a = 6,
Ответ:
Я решил другим, но верным способом через площади 6 равных треугольников, перепроверил с репититором, у нас выходит ответ 126 корней из 3. Кстати именно такого альтернативного способа не хватает в решении.
Наверное, в этот момент стоило бы сравнить ваше решение с нашим и попробовать найти ошибку. В математике все просто: или ошибка есть, или ее нет.
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
а) Пусть O — центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OA — диаметр меньшей окружности.
Точка K лежит на окружности с диаметром OA, значит, ∠AKO = 90°. Отрезок OK — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду AB. Поэтому K — середина AB. Аналогично, M — середина AC, поэтому KM — средняя линия треугольника ABC. Следовательно, прямые MK и BC параллельны.
б) Опустим перпендикуляр OH на хорду BC. Тогда H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что
Пусть Q — центр меньшей окружности. Тогда прямые QP и OH параллельны. Опустим перпендикуляр QF из центра меньшей окружности на OH. Тогда
PH 2 = QF 2 = QO 2 − OF 2 = 25 − 1 =24,
OP 2 = OH 2 + PH 2 = 36 + 24 = 60,
а из прямоугольного треугольника APO находим, что
Отрезок KM — средняя линия треугольника ABC, поэтому L средина AP. Следовательно,
Ответ: б)
Приведём решение Марии Ковалёвой (Москва).
а) Проведём общую касательную к окружностям AT, как показано на рисунке слева. Тогда и поскольку угол между касательной и хордой равен половине заключённой между ними дуги. Тогда равны Соответственные углы при пересечении прямых KM и BC равны, поэтому данные прямые параллельны.
б) По обобщенной теореме синусов, в треугольниках AKM и ABC стороны KM и BC относятся так же, как радиусы данных в условии окружностей, то есть как 1 : 2. Следовательно, KM — средняя линия треугольника ABC, и по теореме Фалеса. Осталось найти AР.
Опустим перпендикуляр OH на хорду BC (см. рисунок справа). Тогда H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что
Треугольник OAP прямоугольный, так как угол OРA опирается на диаметр. Углы OAP и OPH равны по теореме об угле между касательной и хордой. Следовательно, прямоугольные треугольники OAP и OPH подобны по острому углу. Имеем: то есть Следовательно, По теореме Пифагора, Окончательно получаем:
Решение «сыпется», если концы хорды ВС расположить по разные стороны от диаметра (ОА). Тогда ОН, по-прежнему равный 6 из теоремы Пифагора, будет по чертежу меньше, чем параллельный ему радиус QP=5 меньшей окружности
Да, Ваше рассуждение доказывает, что этот случай невозможен.
Почему К середина АВ при условии,что ОК перпендикуляр? Что за свойство?
Свойство высоты равнобедренного треугольника. Треугольник ОАВ — равнобедренный, ОК — его высота, проведенная к основанию
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Задание а). Обозначим центры окружностей и соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке По свойству касательных, проведённых из одной точки, и. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.
Вписанный угол прямой, поэтому он опирается на диаметр Значит, Аналогично получаем, что Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
Задание б). Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.
Треугольники BKC и AKD подобны, Пусть тогда
У треугольников общая высота, следовательно, то есть Аналогично, Площадь трапеции ABCD равна
Вычислим площадь трапеции Проведём к AD перпендикуляр равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника
Тогда
Следовательно, откуда и
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Задача с двумя окружностями ответ
2021-11-23 
В полуокружности расположены две окружности, касающиеся друг друга, полуокружности и её диаметра.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах окружностей и полуокружности равен диаметру полуокружности.
б) Известно, что радиус полуокружности равен 8, а радиус одной из окружностей равен 4. Найдите радиус другой.
а) Пусть $AB$ — диаметр полуокружности, $O$ — её центр, $O_ $ — центр окружности радиуса $r$, $C$ — точка её касания с полуокружностью, $O_ $ — центр окружности радиуса $R$, $D$ — точка её касания с полуокружностью, $E$ — точка касания окружностей с центрами $O_ $ и $O_ $.
Точки $O$, $O_ $ и $C$ лежат на одной прямой, поэтому $OO_ =OC-O_ C=OC-r$. Аналогично $OO_ =OD-O_ D=OD-R$ и $O_ O_ =O_ E+O_ E=r+R$. Следовательно, периметр треугольника $OO_ O_ $ равен
б) Пусть $R=4$, $OC=OD=8$. Тогда диаметр окружности с центром $O_ $ равен радиусу полуокружности, значит, $ODperp AB$, а $O$ — точка касания этой окружности с прямой $AB$.
Пусть окружность с центром $O_ $ касается $AB$ в точке $P$, $F$ — проекция точки $O_ $ на $O_ O$. Тогда
Из прямоугольных треугольников $OO_ P$ и $O_ O_ F$ находим, что
а т.к. $O_ F=OP$, то $64-16r=16r$. Следовательно, $r=2$.
Видео:Как решать задания на окружность ОГЭ 2021? / Разбор всех видов окружностей на ОГЭ по математикеСкачать
Задача про круги: кажется сложной, но она очень простая!
Раздумывая над решением, не спешите сдаваться. Все гораздо легче, чем вам может показаться на первый взгляд. И пусть здесь нет программирования, зато есть возможность развивать логическое мышление.
Условие: даны три одинаковых соприкасающихся круга диаметром 1 м. Их опоясывает эластичная лента.
Задание: найдите длину ленты, натянутой вокруг кругов.
Для того чтобы найти ответ, вам не нужны сложные формулы, такие как расчет кривизны и т.п. На самом деле все гораздо проще.
Видео:Параметр. Серия 13. Решение задач с окружностями. Касание двух окружностейСкачать
Строим треугольник
Для начала соединим центры кругов таким образом, чтобы получился треугольник.
По законам геометрии, центры соприкасающихся кругов можно соединить прямой линией, причем точка касания будет находиться именно на ней. Так как диаметр равен 1 метру, радиусы всех кругов равны 0,5 метра. Укажем это на схеме:
Выходит, что стороны треугольника равны между собой и длина каждой из них составляет 0,5 + 0,5 = 1. Зафиксируем это и двигаемся дальше.
Видео:Окружность. 7 класс.Скачать
Создаем проекцию
Все вершины треугольника соединим с лентой линиями, проведенными под углом 90°.
Получились прямоугольники. Как известно, противоположные стороны этой фигуры равны, а раз длина каждой стороны треугольника равна 1, данные отрезки ленты также равны 1:
Теперь нужно найти длину трех оставшихся секций:
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать
Находим длину секций
В круге 360 градусов. Треугольник, который мы построили из центров кругов, равносторонний. Следовательно, каждый угол в нем равен 60°. У прямоугольников углы по 90°. Обозначим все это на схеме:
Находим неизвестный угол:
90 + 60 + 90 + X = 360
120° — это ровно одна третья часть круга, а мы имеем 3 таких части:
Получается, что все вместе они формируют один полный круг. Нам известно, что радиус данного круга равен 0,5, а диаметр – 1. Это позволяет вычислить длину окружности:
Прибавляем к этому числу длины 3-х отрезков и получаем длину всей ленты: 3 + π.
Видео:Найдите угол: задача по геометрииСкачать
Две окружности на плоскости
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Видео:Задача, которую боятсяСкачать
«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
Тема: «Две окружности на плоскости»
Цель урока: Рассмотреть все случаи взаимного расположения двух окружностей на плоскости, уметь строить эти случаи, строить концентрические окружности.
Предметные: Знать взаимное расположение окружностей, уметь строить эти случаи, строить концентрические окружности
Личностные: способность к самооценке на основе сравнительного анализа своей деятельности.
Регулятивные: умения определять последовательность своих действий и работать по составленному плану, навыки самоконтроля и коррекции. Коммуникативные: умения выражать свои мысли в устной и письменной форме, слушать и понимать речь другого, совместно договариваться о правилах поведения и общения.
Познавательные : умения ориентироваться в своей системе знаний (отличать новое от уже известного), добывать новые знания, развивать навыки доказательного рассуждения, логическое мышление.
Основные понятия: окружность, радиус, расстояние между центрами окружностей
Организация пространства : индивидуальная работа, исследовательская работа в парах, фронтальная работа.
Мотивирование к учебной деятельности (1 мин).
Здравствуйте, ребята! Приятно всех вас видеть вас в классе.
Сегодня вы будете работать в парах, индивидуально. Каждый из вас будет осуществлять самоконтроль и самооценку своей деятельности на уроке, используя листы самооценки и критерии оценивания.
Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии (5-7 мин).
— Над освоением какой темы мы с вами работаем? («Окружность»).
— Что такое радиус окружности? (на слайде)
— С какими геометрическими фигурами мы работали на прошлых уроках?
— Какие случаи взаимного расположения окружности и прямой на плоскости вы знаете? (не пересекаются, касаются, пересекаются) (на слайде)
— Сколько общих точек имеют прямая и окружность в каждом случае?
— От чего зависит взаимное расположение прямой и окружности?
Это еще не все, вам предстоит сегодня еще новое узнать об окружности.
Давайте послушаем сказку (слайд, анимация по щелчку мыши).
В некотором царстве, в математическом государстве жили-были две окружности, одна большая (щелчок), а вторая маленькая (меньшая окружность целиком находится вне большей окружности) (щелчок). Большая Окружность не могла передвигаться, потому что Злой Волшебник приковал ее за точку О к своему домику. Ну а маленькая окружность с центром Р — могла, и поэтому она часто приходила к большей Окружности в гости. Подойдет маленькая окружность к Большей Окружности и постучится (внешнее касание) (щелчок). Окружность протянет ручку, впустит к себе маленькую ( окружности пересекаются ) (щелчок). Войдя в большую окружность маленькая окружность сначала касается ( внутреннее касание ), а после маленькая полностью находится внутри большей ( непересекающиеся окружности – меньшая целиком лежит внутри большей ). Когда точки О и Р полностью совпадают, окружности весело играют ( концентрические окружности ).
Выявление места и причины затруднения (3 мин)
Ответьте, пожалуйста, на вопросы:
— Какие случаи взаимного расположения двух окружностей вы увидели?
-Изобразите их на листах ( приложение 1)
Проверяем работы учащихся.
Вывод: Две окружности :
не пересекаются (слайд )
внешнее касание (слайд )
внутреннее касание (слайд )
целиком лежит внутри (слайд )
центры совпадают (слайд)
— сколько общих точек имеют две окружности в каждом случае?
— от чего зависит взаимное расположение этих окружностей? Это мы выясним сами.
Построение проекта выхода из затруднения (цель и тема, способ, план средство) (3мин )
— Как вы думаете, чем мы будем заниматься на уроке? (изучать взаимное расположение двух окружностей)
— Можете ли сформулировать тему урока («Две окружности на плоскости»)
— Вы можете сказать, в каком случае две окружности могут не пересекаться, в каком касаться, а в каком пересекаться?
Реализация построенного проекта (10 мин)
На столах у вас лежат карточки с утверждениями. Все они начинаются со слов «Верите ли вы, что…». Ответ может быть только «да» или «нет». Если «да», то справа от вопроса в первом столбце поставьте знак «+», если нет, то знак «-». Если сомневаетесь – поставьте знак «?». Работайте в парах .
Работа над текстом учебника п. 5.2. стр. 108
— Обсуждение текста п. 5.2 учебника, правильности заполнения таблицы, заполнение столбца Б.
— Какие утверждения прямо соответствовали тексту учебника, а выяснять верность каких утверждений пришлось размышлением, переработкой информации предложенного материала?
Что вы уже знали, что для вас — новое, а что вы не поняли?
— Давайте попробуем сформулировать правило взаимного расположения двух окружностей.
Чтобы сформулировать правило взаимного расположения двух окружностей вновь обратимся к учебнику. Для каждой пары даны задания. Вы должны с помощью рисунка 5.4. сформулировать для каждого случая правило:
Задание . Сравните расстояние между двумя окружностями и сделайте вывод:
Правило взаимного расположения двух окружностей (на слайде)
Расстояние между центрами
Меньшая окружность целиком находится вне большей окружности
расстояние между центрами окружности больше суммы их радиусов
расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
расстояние между центрами окружностей меньше суммы их радиусов
расстояние между центрами окружностей равно разности радиусов
Меньшая окружность целиком лежит внутри большей
расстояние между центрами окружностей меньше разности радиусов
расстояние между центрами окружностей равно нулю:
Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи
Окружности касаются внешним образом. Радиус меньшей окружности равен 3 см. радиус большей- 5 см. Чему равно расстояние между центрами?
Окружности касаются внутренним образом. Радиус меньшей окружности 3 см. Радиус большей окружности- 5 см. Чему равно расстояние между центрами окружностей?
Окружности касаются внутренним образом. Расстояние между центрами окружностей равно 2,5 см. Чему равны радиусы окружностей?
Ответ: (5,5 см и 3см) (6,5 и 4 см) итд
Включение в систему знаний и повторение (5 мин)
— Сколько можно построить окружностей с общим центром, которые бы пересекали данную окружность? (бесконечно много)
— Сколько можно построить окружностей с общим центром, которые бы не пересекали данную окружность? (бесконечно много)
— Сколько можно построить окружностей с общим центром, которые бы касались данной окружности? (две)
Домашнее задание (1 мин) П 5.2. №419, 422, 423
Рефлексия учебной деятельности. Подведем итоги
— Как могут располагаться две окружности на плоскости?
— В каждом случае взаимного расположения как связаны радиусы окружностей с расстоянием между их центрами?
📺 Видео
7 класс, 23 урок, Примеры задач на построениеСкачать
Составить уравнение окружности. Геометрия. Задачи по рисункам.Скачать
Уравнение окружности (1)Скачать
КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать
Две окружности. ОГЭ. Задача 26. Дополнительные построенияСкачать
9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать
Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать
Как решать задачи в одну строчку?Скачать
✓ Миллион способов решить задачу по геометрии, почти совсем её не зная | Борис ТрушинСкачать
Как решать задачи с окружностью?| Геометрия ОГЭСкачать
Длина окружности. Практическая часть - решение задачи. 6 класс.Скачать
