В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90° , то эти две прямые параллельны.

2) В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90° , то эти две прямые параллельны» — верно, по признаку параллельности прямых.

2) «В любой четырёхугольник можно вписать окружность» — неверно, поскольку в выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника» — верно, по свойству треугольника.

Видео:Геометрия Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можноСкачать

Геометрия Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно

Вписанная окружность

Окружность вписанная в многоугольник — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника, в который она вписана. Описанный около окружности многоугольник — это многоугольник, в который вписана окружность. На рисунке 1 четырехугольник АВСD описан около окружности с центром О, а четырехугольник АЕКD не является описанным около этой окружности, так как сторона ЕК не касается окружности.

В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

Теорема

В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно илиАВС.

Доказать: в В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно илиАВС можно вписать окружность.

Доказательство:

1. Проведем биссектрисы углов А, В и С, которые пересекутся в точке О (следствие из свойства биссектрис). Из точки О проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (Рис. 2).

В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

2. Точка О равноудалена от сторон В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно илиАВС (свойство биссектрис), поэтому ОК = ОL = ОМ. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно илиАВС касаются этой окружности в точках К, L, М, т.к. они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно илиАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

В треугольник можно вписать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, значит в треугольник можно вписать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности.

Доказательство

На рисунке 2 мы видим, что В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно илиАВС составлен из трех треугольников: АВО, ВСО и САО. Пусть АВ, ВС и АС основания треугольников АВО, ВСО и САО соответственно, тогда высотами данных треугольников окажутся отрезки ОК = ОL = ОМ = r ( r — радиус окружности с центром О). Следовательно, площади этих треугольников вычисляются по формулам: В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или. Тогда, по свойству площадей, площадь треугольника В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно илиАВС выражается формулой: В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или, где В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или— периметр В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно илиАВС. Что и требовалось доказать.

Замечание 3

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т.е. прямоугольник, не являющийся квадратом. В такой прямоугольник можно «поместить» окружность, касающуюся трех его сторон (Рис.3), но нельзя «поместить» окружность так, чтобы она касалась всех четырех его сторон, т.к. диаметр окружности меньше большей стороны прямоугольника т.е. нельзя вписать окружность. Что и требовалось доказать.

В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, описанный около окружности (Рис. 4).

В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

На рисунке 4 одинаковыми буквами обозначены равные отрезки касательных, т.к. отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Тогда АВ + СD = В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно илии ВС + АD = В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или, следовательно, АВ + СD = ВС + АD.

Верно и обратное утверждение:

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство

Пусть в выпуклом четырехугольнике АВСD

АВ + СD = ВС + АD. (1)

Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон АD, АВ и ВС (свойство биссектрис), поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трех сторон (Рис. 5).

В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

Докажем, что эта окружность касается также стороны СD и, значит, является вписанной в четырехугольник АВСD.

Предположим, что это не так. Тогда прямая СD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай (Рис. 6). Проведем касательную С1D1, параллельную стороне СD (С1 и D1 — точки пересечения касательной со сторонами ВС и АD).

В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

Так как АВС1D1 — описанный четырехугольник, то по свойству его противоположных сторон

АВ + С1D1 = ВС1 + AD1. (2)

Но ВС1 = ВСС1С, АD1 = АDD1D, поэтому из равенства (2) получаем:

С1D1 + С1С + D1D = ВС + АDАВ.

Правая часть этого равенства в силу (1) равна СD. Следовательно, приходим к равенству

т.е. в четырехугольник С1СDD1 одна сторона равна сумме трех других сторон. Но этого не может быть, т.к. к аждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон. Значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны СD. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно илиВписанные четырехугольники и их свойства
В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно илиТеорема Птолемея

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаВ выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно илиОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаВ выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно илиОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииВ выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно илиОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаВ выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно илиОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникВ выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

Окружность, описанная около параллелограмма
В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно илиОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно илиОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно илиОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно илиОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или
Окружность, описанная около параллелограмма
В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаВ выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииВ выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаВ выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникВ выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

Видео:8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

Докажем, что справедливо равенство:

В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или

откуда вытекает равенство:

В выпуклом четырехугольнике вписанном в окружность суммы противоположных сторон равны верно или(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

📸 Видео

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

№698. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см, а радиусСкачать

№698. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см, а радиус

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

№699. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 10 см, а его площадьСкачать

№699. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 10 см, а его площадь

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 классСкачать

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 класс

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

ОГЭ Задание 25 Доказательство от противногоСкачать

ОГЭ Задание 25 Доказательство от противного

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

Вписанные и описанные окружности в четырёхугольникиСкачать

Вписанные и описанные окружности в четырёхугольники

№695. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 15 см. НайдитеСкачать

№695. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 15 см. Найдите

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналямиСкачать

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями

Окружность, вписанная в четырехугольникСкачать

Окружность, вписанная в четырехугольник
Поделиться или сохранить к себе: