В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника

Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 3 и 4, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.

Пусть ABCD — данный четырёхугольник, O — середина стороны AB, K — середина стороны BC, P — середина стороны CD, H — середина стороны DA. Проведём диагонали AC и BD и отрезки OK, KP, PH и HO, последовательно соединяющие середины сторон четырёхугольника. Тогда, по свойству средней линии треугольника, отрезки OK и PH параллельны диагонали AC и равны её половине, а отрезки KP и HO параллельны диагонали BD и равны её половине. Поэтому OKPH — параллелограмм. А так как, по условию задачи, его диагонали KH и OP равны, то OKPH — прямоугольник, и угол OKP — прямой. Отсюда следует, что и угол между диагоналями AC и BD тоже прямой, и, следовательно, площадь четырёхугольника ABCD будет равна половине произведения его диагоналей, то есть

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

Видео:№529. Диагонали четырехугольника равны 16 см и 20 см и пересекаются под углом в 30°. Найдите площадьСкачать

№529. Диагонали четырехугольника равны 16 см и 20 см и пересекаются под углом в 30°. Найдите площадь

Г. И. Ковалева Итоговое повторение курса планиметрии с привлечением метода ключевой задачи

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Треугольник, образованный основаниями высот

данного остроугольного треугольника

Ключевая задача. АА 1 , ВВ 1 , СС 1 – высоты остроугольного треугольника АВС . Докажите, что а) треугольники АА 1 С и ВВ 1 С подобны; б) треугольники АВС и А 1 В 1 С подобны и В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника

Д о к а з а т е л ь с т в о. Треугольники АА 1 С и ВВ 1 С подобны по двум углам.

Из этого следует, что В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольникаили В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника. Треугольники АВС и А 1 В 1 С подобны, так как В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольникаи В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника– общий и В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

Задача 1. АА 1 , ВВ 1 , СС 1 – высоты остроугольного треугольника АВС . Докажите, что АА 1 , ВВ 1 , СС 1 – биссектрисы углов треугольника А 1 В 1 С 1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Треугольники АВС и А 1 В 1 С подобны, следовательно, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

Треугольники АВС и А 1 ВС 1 подобны, следовательно, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника. Следовательно, АА 1 – биссектриса В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

Задача 2. АА 1 , ВВ 1 , СС 1 – высоты остроугольного треугольника АВС . Докажите, что В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

Имеем В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольникаили В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника. В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника. Откуда В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

Задача 3. АА 1 , ВВ 1 , СС 1 – высоты остроугольного треугольника АВС . Докажите, что отношение периметров треугольников А 1 В 1 С 1 и АВС равно В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника, где r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей около треугольника АВС .

Р е ш е н и е. Так как В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольникаи В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника, то В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника. С другой стороны

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника, где О – центр описанной около треугольника АВС окружности.

Найдем площади треугольников АОВ , ВОС и АОС .

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

Анологично, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольникаВ выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

Приравнивая площади, получим В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

Задача 4. Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 8, 15 и 17. Найдите стороны треугольника.

Р е ш е н и е. Так как В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника, то треугольник А 1 В 1 С 1 – прямоугольный. Следовательно, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

Используя формулу понижения степени В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника, найдем В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника. В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

Рассуждая аналогично, можно найти сторону ВС . В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольникаВ выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

О т в е т: В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника; В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника; В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

Задачи для самостоятельного решения

1. Высота АН и СК остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке D , причем В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника. Найдите сторону ВС .

2. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА 1 , ВВ 1 , и СС 1 . Докажите, что В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

3. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12, а боковой стороны – 18. К боковым сторонам треугольника проведены высоты. Найдите длину отрезка с концами в основаниях высот.

О т в е т: В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

4. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты СС 1 и АА 1 . Известно, что В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольникаи В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника С 1 ВА 1 .

О т в е т: В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

5. В остроугольном треугольнике АВС В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника. На стороне ВС как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АВ и ВС соответственно в точках P и Q . Найдите отношение площадей треугольников ABC и APQ .

О т в е т: В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

Четырехугольник, вершины которого

являются серединами сторон данного четырехугольника

Ключевая задача. Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник.

M , N , P , K – середины сторон АВ, ВС, CD и А D соответственно.

Отрезок MN параллелен диагонали АС и равен ее половине по свойству средней линии.

Аналогично, отрезок PK параллелен АС и равен ее половине. Следовательно, отрезки MN и PK равны и параллельны. По признаку MNPK – параллелограмм.

Для невыпуклого и пространственного четырехугольников доказательство аналогичное.

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольникаВ выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника

1. Если ABCD – выпуклый четырехугольник и M , N , P , K – середины его сторон АВ, ВС, CD и AD соответственно, то В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Треугольники MBN и АВС подобны, следовательно, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника. Аналогично, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника. В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

Аналогично, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

Имеем, В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

2. Середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

3. Середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.

4. Середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Осмыслению ключевой задачи будут способствовать вопросы: Каким условиям должны удовлетворять диагонали данного четырехугольника, чтобы середины его сторон были вершинами прямоугольника, ромба, квадрата? Докажите, что середины сторон трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями являются вершинами прямоугольника.

Составьте обратную задачу. Верна ли она?

Задача 1. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть медианы АА 1 и СС 1 пересекаются в точке О . Отметим точки К и Р – середины отрезков АО и СО . Тогда точки К, Р, С 1 и А 1 середины сторон невыпуклого четырехугольника

АВСО . Следовательно, по ключевой задаче КРС 1 А 1 – параллелограмм. Его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Тогда В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

Рассуждая аналогично, докажем, что медианы АА 1 и ВВ 1 пересекаются в точке Q и В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника. Так как отрезок АА 1 делится в отношении 2:1, считая от точки А, однозначно, то точки О и Q совпадают. Следовательно, медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Задача 2. Докажите, что отрезки, соединяющие середины сторон скрещивающихся ребер тетраэдра пересекаются в одной точке.

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника

Д о к а з а т е л ь с т в о. По ключевой задаче MKPN и MLPR – параллелограммы. Их диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Задача 3. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, длина одной из них равна 6. Длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 5. Найдите площадь трапеции.

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника

Р е ш е н и е. Пусть M и P – середины боковых сторон трапеции. Тогда по ключевой задаче MNPK – прямоугольник. Так как В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника, то В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника MNK В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника. Тогда В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника, а В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

Задача 4. В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей 2 и 4. Найдите площадь четырехугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон равны.

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника

Р е ш е н и е. По ключевой задаче MNPK – параллелограмм. Так как его диагонали равны, то MNPK – прямоугольник. Диагонали данного выпуклого четырехугольника параллельны сторонам прямоугольника и, следовательно, перпендикулярны. Найдем площадь выпуклого четырехугольника как половину произведения диагоналей на синус угла между ними. В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

Задача 5. В выпуклом четырехугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD , равна одному метру. Прямые BC и А D перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и В D .

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника

Р е ш е н и е. Обозначим через M , N , P , K – середины сторон АВ, В D , CD и АС соответственно. Тогда MK ║ NP ║ BC как средние линии треугольников BAC и BDC . Аналогично, MN ║ KP ║ AD . Так как прямые BC и А D перпендикулярны, то параллельные им прямые МК и MN также перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм MNPK является прямоугольником и В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что отрезки, соединяющие середины его смежных сторон, равны 2 и 3, а угол между ними 30 0 .

2. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны 3 и 4, а длина одной из диагоналей четырехугольника равна 5.

3. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что отрезки, соединяющие середины его смежных сторон, равны 3 и 4, а длина одного из отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, равна 5.

4. В равнобедренной трапеции длина средней линии равна 5см, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

5. В выпуклом пятиугольнике ABCDE с единичными сторонами середины P , Q сторон AB , CD и S , T сторон BC , DE соединены отрезками PQ и ST . Пусть M и N – середины отрезков PQ и ST . Найдите длину MN .

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

Нахождение площади выпуклого четырехугольника: формула и пример

Выпуклый четырехугольник – это геометрическая фигура, полученная путем соединения на плоскости четырех точек, которые не должны лежать на одной прямой. При этом образованные таким образом стороны не должны пересекаться.

Видео:Задание 26 Площадь четырехугольникаСкачать

Задание 26 Площадь четырехугольника

Формула вычисления площади

По диагоналям и углу между ними

Площадь (S) выпуклого четырехугольника равняется одной второй (половине) произведения его диагоналей и синуса угла между ними.

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника

По четырем сторонам (формула Брахмагупты)

Чтобы воспользоваться формулой, необходимо знать длины всех сторон фигуры. Также вокруг четырехугольника должна быть возможность описать окружность.

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника

p – полупериметр, вычисляется следующим образом:

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника

По радиусу вписанной окружности и сторонам

Если в четырехугольник можно вписать окружность, вычислить его площадь можно, воспользовавшись формулой:

S = p ⋅ r

В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 и 2 найдите площадь четырехугольника

r – радиус окружности.

Видео:ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)Скачать

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)

Пример задачи

Найдите площадь выпуклого четырехугольника, если его диагонали равны 5 и 9 см, а угол между ними составляет 30°.

Решение:
Подставляем в формулу известные нам значения и получаем: S = 1/2 * 5 см * 9 см * sin 30° = 11,25 см 2 .

🎬 Видео

Площадь ромба. Легче понять...Скачать

Площадь ромба. Легче понять...

№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадьСкачать

№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь

Найдите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a=(1;-1;-4) и b=(-5;3;8)Скачать

Найдите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a=(1;-1;-4) и b=(-5;3;8)

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналямиСкачать

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Площадь четырёхугольника через диагоналиСкачать

Площадь четырёхугольника через диагонали

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

Геометрия Найдите площадь выпуклого четырехугольника диагонали которого равны 3√3 см и 4 см а уголСкачать

Геометрия Найдите площадь выпуклого четырехугольника диагонали которого равны 3√3 см и 4 см а угол

ОГЭ без рекламы математика 11 и 12 вариант задача 25Скачать

ОГЭ без рекламы  математика 11 и 12 вариант задача 25

Геометрия: считаем ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА | Математика 8-11 классСкачать

Геометрия: считаем ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА | Математика 8-11 класс

Найти периметр четырехугольника, вершины которого лежат на серединах сторон другого четырехугольникаСкачать

Найти периметр четырехугольника, вершины которого лежат на серединах сторон другого четырехугольника

Площадь ромба 📐 А бесплатный файлик в комментарияхСкачать

Площадь ромба 📐 А бесплатный файлик в комментариях

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shorts

Диагонали четырехугольника равны 4 и 5.Скачать

Диагонали четырехугольника равны 4 и 5.

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

Площадь квадрата через диагональ 📐 Полезный файлик в комментариях)Скачать

Площадь квадрата через диагональ 📐 Полезный файлик в комментариях)
Поделиться или сохранить к себе: