Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Углы, связанные с окружностью
Чему равна дуга окружности заключенная внутри углаВписанные и центральные углы
Чему равна дуга окружности заключенная внутри углаУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Чему равна дуга окружности заключенная внутри углаДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Задача6 №27884 ЕГЭ по математике. Урок 121Скачать

Задача6 №27884 ЕГЭ по математике. Урок 121

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголЧему равна дуга окружности заключенная внутри угла
Вписанный уголЧему равна дуга окружности заключенная внутри углаВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголЧему равна дуга окружности заключенная внутри углаВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголЧему равна дуга окружности заключенная внутри углаДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголЧему равна дуга окружности заключенная внутри углаВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаЧему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Видео:Найдите угол АСО, если сторона СА касается окружностиСкачать

Найдите угол АСО, если сторона СА касается окружности

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиЧему равна дуга окружности заключенная внутри углаЧему равна дуга окружности заключенная внутри угла
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаЧему равна дуга окружности заключенная внутри углаЧему равна дуга окружности заключенная внутри угла
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияЧему равна дуга окружности заключенная внутри углаЧему равна дуга окружности заключенная внутри угла
Угол, образованный касательной и секущейЧему равна дуга окружности заключенная внутри углаЧему равна дуга окружности заключенная внутри угла
Угол, образованный двумя касательными к окружностиЧему равна дуга окружности заключенная внутри углаЧему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла
Формула: Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла
Формула: Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

В этом случае справедливы равенства

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

В этом случае справедливы равенства

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Угол ACO равен Чему равна дуга окружности заключенная внутри углаЕго сторона CA касается окружности. Найдите градусную величину дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Угол ACO равен 24°. Его сторона CA касается окружности. Найдите градусную величину дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Заметим, что DB — диаметр окружности. Тогда точка A делит дугу DB на дуги x и 180° − x. Угол между двумя секущими (или между секущей и касательной) равен полуразности высекаемых ими дуг:

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Приведём другое решение:

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, центральный угол равен дуге, на которую он опирается, значит, треугольник OAC — прямоугольный и

Видео:ЕГЭ Математика Задание 6#27881Скачать

ЕГЭ Математика Задание 6#27881

Большая дуга заключенная внутри окружности

Видео:ЕГЭ Математика Задание 6#27883Скачать

ЕГЭ Математика Задание 6#27883

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение окружности
  • Отрезки в окружности

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Видео:ЗАДАНИЕ 6 из ЕГЭ_21Скачать

ЗАДАНИЕ 6 из ЕГЭ_21

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Видео:Задача 6 №27878 ЕГЭ по математике. Урок 119Скачать

Задача 6 №27878 ЕГЭ по математике. Урок 119

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Видео:Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O - центр окружности, а дуга AD окружностСкачать

Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O - центр окружности, а дуга AD окружност

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Видео:Задача 6 №27879 ЕГЭ по математике. Урок 120Скачать

Задача 6 №27879 ЕГЭ по математике. Урок 120

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Видео:ЗАДАНИЕ 6 из ЕГЭ_23Скачать

ЗАДАНИЕ 6 из ЕГЭ_23

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Видео:ТЕСТ НА ЭРУДИЦИЮ и кругозор: МНОГО УМНЫХ ВОПРОСОВ, ответы знает не каждый. #насколькотыумный #тестСкачать

ТЕСТ НА ЭРУДИЦИЮ и кругозор: МНОГО УМНЫХ ВОПРОСОВ, ответы знает не каждый. #насколькотыумный #тест

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

Видео:Задача 6 №27886 ЕГЭ по математике. Урок 123Скачать

Задача 6 №27886 ЕГЭ по математике. Урок 123

Большая дуга заключенная внутри окружности

Задание 6. Угол ACO равен 24°. Его сторона CA касается окружности. Найдите градусную величину большей дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Рассмотрим треугольник ACO, в котором угол OAC равен 90° как угол между касательной и радиусом окружности. Тогда третий угол AOB равен

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла,

и центральный угол AOD:

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла.

Этот угол опирается на дугу AD, которая заключена внутри угла ACO, и градусная мера которой равна центральному углу AOD, что составляет 114°.

Видео:Найдите угол ACO, если его сторона CA ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Найдите угол ACO, если его сторона CA ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Углы, связанные с окружностью

Чему равна дуга окружности заключенная внутри углаВписанные и центральные углы
Чему равна дуга окружности заключенная внутри углаУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Чему равна дуга окружности заключенная внутри углаДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:ОГЭ по математике #17Скачать

ОГЭ по математике #17

Теоремы о вписанных и центральных углах

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголЧему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанный уголЧему равна дуга окружности заключенная внутри углаВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголЧему равна дуга окружности заключенная внутри углаВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголЧему равна дуга окружности заключенная внутри углаДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголЧему равна дуга окружности заключенная внутри углаВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаЧему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника
ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиЧему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Чему равна дуга окружности заключенная внутри углаУгол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаЧему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Чему равна дуга окружности заключенная внутри углаУгол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияЧему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Чему равна дуга окружности заключенная внутри углаУгол, образованный касательной и секущейЧему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Чему равна дуга окружности заключенная внутри углаУгол, образованный двумя касательными к окружностиЧему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

В этом случае справедливы равенства

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

В этом случае справедливы равенства

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Поделиться или сохранить к себе:
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла
Формула: Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла
Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла
Формула: Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла
Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла