Вписанные и центральные углы |
Углы, образованные хордами, касательными и секущими |
Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью |
- Вписанные и центральные углы
- Теоремы о вписанных и центральных углах
- Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
- Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
- Чему равна дуга окружности заключенная внутри угла
- Большая дуга заключенная внутри окружности
- Геометрия. Урок 5. Окружность
- Определение окружности
- Отрезки в окружности
- Дуга в окружности
- Углы в окружности
- Длина окружности, длина дуги
- Площадь круга и его частей
- Теорема синусов
- Примеры решений заданий из ОГЭ
- Большая дуга заключенная внутри окружности
- Углы, связанные с окружностью
- Вписанные и центральные углы
- Теоремы о вписанных и центральных углах
- Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
- Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Вписанные и центральные углы
Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).
Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).
Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Видео:Задача6 №27884 ЕГЭ по математике. Урок 121Скачать
Теоремы о вписанных и центральных углах
Фигура | Рисунок | Теорема | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |
Вписанный угол | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Фигура | Рисунок | Теорема | Формула |
Угол, образованный пересекающимися хордами | |||
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга | |||
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания | |||
Угол, образованный касательной и секущей | |||
Угол, образованный двумя касательными к окружности |
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Формула: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Формула: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Формула: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Формула: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Формулы: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать Доказательства теорем об углах, связанных с окружностьюТеорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5). Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана. Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6). В этом случае справедливы равенства и теорема 1 в этом случае доказана. Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7). В этом случае справедливы равенства что и завершает доказательство теоремы 1. Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 8. Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 9. Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 10. Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства что и требовалось доказать Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 11. Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 12. Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать Чему равна дуга окружности заключенная внутри углаУгол ACO равен Его сторона CA касается окружности. Найдите градусную величину дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах. Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа. Угол ACO равен 24°. Его сторона CA касается окружности. Найдите градусную величину дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах. Заметим, что DB — диаметр окружности. Тогда точка A делит дугу DB на дуги x и 180° − x. Угол между двумя секущими (или между секущей и касательной) равен полуразности высекаемых ими дуг: Приведём другое решение: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, центральный угол равен дуге, на которую он опирается, значит, треугольник OAC — прямоугольный и Видео:ЕГЭ Математика Задание 6#27881Скачать Большая дуга заключенная внутри окружностиВидео:ЕГЭ Математика Задание 6#27883Скачать Геометрия. Урок 5. ОкружностьСмотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись! Содержание страницы:
Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать Определение окружностиОкружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности . Видео:ЗАДАНИЕ 6 из ЕГЭ_21Скачать Отрезки в окружностиРадиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности. Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности. Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ). O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр. Теорема 1: Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности. Теорема 2: Теорема 3: Видео:Задача 6 №27878 ЕГЭ по математике. Урок 119Скачать Дуга в окружностиЧасть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности . Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B . Теорема 4: Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D Видео:Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O - центр окружности, а дуга AD окружностСкачать Углы в окружностиВ окружности существует два типа углов: центральные и вписанные. Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности. ∠ A O B – центральный. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается. Градусная мара всей окружности равна 360 ° . Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. ∠ A C B – вписанный. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α Теорема 5: ∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2 Теорема 6: ∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 ° Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать Длина окружности, длина дугиМы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α . Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α . Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси. Длина окружности находится по формуле: Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна: l α = π R 180 ∘ ⋅ α Видео:Задача 6 №27879 ЕГЭ по математике. Урок 120Скачать Площадь круга и его частейТеперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента. Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности. Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри. Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо. Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка. Площадь круга находится по формуле: S = π R 2 Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер. Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу. Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы. Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой. S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α Видео:ЗАДАНИЕ 6 из ЕГЭ_23Скачать Теорема синусовЕсли вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов: a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности. Видео:ТЕСТ НА ЭРУДИЦИЮ и кругозор: МНОГО УМНЫХ ВОПРОСОВ, ответы знает не каждый. #насколькотыумный #тестСкачать Примеры решений заданий из ОГЭМодуль геометрия: задания, связанные с окружностями. Видео:Задача 6 №27886 ЕГЭ по математике. Урок 123Скачать Большая дуга заключенная внутри окружностиЗадание 6. Угол ACO равен 24°. Его сторона CA касается окружности. Найдите градусную величину большей дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах. Рассмотрим треугольник ACO, в котором угол OAC равен 90° как угол между касательной и радиусом окружности. Тогда третий угол AOB равен , и центральный угол AOD: . Этот угол опирается на дугу AD, которая заключена внутри угла ACO, и градусная мера которой равна центральному углу AOD, что составляет 114°. Видео:Найдите угол ACO, если его сторона CA ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать Углы, связанные с окружностью
Видео:Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать Вписанные и центральные углыОпределение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1). Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2). Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения. Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу. Видео:ОГЭ по математике #17Скачать Теоремы о вписанных и центральных углах
Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |
Вписанный угол | |||
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |
Фигура | Рисунок | Теорема | Формула |
Угол, образованный пересекающимися хордами |
Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами
Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами
Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами
Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами |
Формула: |
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга |
Формула: |
Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания |
Формула: |
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей |
Формула: |
Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности |
Формулы: |