Теоретический материал для самостоятельного изучения
Мы уже знаем, что прямы в пространстве могут располагаться параллельно или пересекаться. Существует еще один вид- скрещивающиеся прямые. С ним мы мимолетно познакомились на предыдущем уроке. А сегодня нам предстоит разобраться с этой темой более подробно.
Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. (рис. 1)
Рисунок 1 – скрещивающиеся прямые
На прошлом уроке в качестве наглядного примера нами был приведен куб.
Сегодня предлагаем вам обратить внимание на окружающую вас обстановку и найти в ней скрещивающиеся прямые.
Примеры скрещивающихся прямых вокруг нас:
Одна дорога проходит по эстакаде, а другая под эстакадой
Горизонтальные линии крыши и вертикальные линии стен
Разберем и докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.
Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).
Доказательство. Рассмотрим прямую AB лежащую в плоскости и прямую CD, которая пересекает плоскoсть в точке D, не лежащей на прямой AB (рис. 2).
Допустим, что прямые AB и CD всё-таки лежат в одной плоскости. 2. Значит эта плоскость идёт через прямую AB и точку D, то есть она совпадает с плоскостью α. 3. Это противоречит условиям теоремы, что прямая CD не находится в плоскости α, а пересекает её. Теорема доказана.
Рисунок 2 – скрещивающиеся прямые АВ и СD
Итак, возможны три случая расположения прямых в пространстве:
параллельно
пересекаются
скрещиваются
Разберем и докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых.
Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Доказательство Рассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CD.(рис. 3)
1. Через точку D можно провести прямую DE параллельную AB. 2. Через пересекающиеся прямые CD и DE можно провести плоскость α 3. Так как прямая АB не лежит в этой плоскости и параллельна прямой DE, то она параллельна плоскости.
4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через CD, будет пересекаться с DE и AB, которая ей параллельна. Теорема доказана.
Рисунок 3 – прямые АВ, СD, DЕ
Любая прямая, например ОО1, рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О1А1 параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными.
Лучи О1А1 и ОА не являются сонаправленными. Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости. (рис. 4)
Рисунок 4 – сонаправленные лучи
Теорема.Если стороны двух углов соответственно сонаправленны, то такие углы равны. (рис. 5)
Доказательство:
при доказательстве ограничимся случаем, когда углы лежат в разных плоскостях.
Стороны углов сонаправлены, а, значит, параллельны. Проведем через них плоскости- как показано на чертеже.
Отметим на сторонах угла O произвольные точки A и B.
На соответствующих сторонах угла O1 отложим отрезки OA1 и O₁B₁ равные соответственно ОA и OB.
2. В плоскости рассмотрим четырехугольник OAA1O1.
Так как противолежащие стороны OA и O1A1 этого четырехугольника равны и параллельны по условию, то этот четырехугольник– параллелограмм и, следовательно, равны и параллельны стороны AA1 и OO1.
3. В плоскости, аналогично можно доказать, что OBB1O1 параллелограмм, поэтому равны и параллельны стороны ВВ1 и OO1.
4. Если две отрезка AA1 и BB1 равны параллельны третьему отрезку OO1, значит, они равны и параллельны, т. е. АА1||BB1 и AA1 = BB1.
По определению четырехугольник АВВ1А1 – параллелограмм и из этого получаем АВ=А1В1.
5.Из выше построенного и доказанного АВ=А1В1, ОA =O1A1 и OB =O1B1 следует, что треугольники AOB и A1 O1 B1. равны по трем сторонам, и поэтому О= О1.
Рисунок 5 – равные углы с сонаправленными сторонами
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Существует ли плоскость, параллельная двум данным скрещивающимся прямым?
Геометрия | 5 — 9 классы
Существует ли плоскость, параллельная двум данным скрещивающимся прямым?
Да, сушесивует она скрщивается с прямой, какьы формируя крест.
Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать
Даны скрещивающиеся прямые a и b?
Даны скрещивающиеся прямые a и b.
Докажите что существует плоскость, содержащая прямую a и параллельную прямую b.
Дана прямая СС1 Пользуясь данным рисунком, назовите : 1) плоскость, в которой лежит данная прямая ; 2) плоскость, которую пересекает данная прямая ; 3) плоскость, которой параллельна данная прямая ; 4?
Дана прямая СС1 Пользуясь данным рисунком, назовите : 1) плоскость, в которой лежит данная прямая ; 2) плоскость, которую пересекает данная прямая ; 3) плоскость, которой параллельна данная прямая ; 4) прямые параллельные данной ; 5) прямые пересекающиеся с данной ; 6) прямые скрещивающиеся с данной.
Видео:Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать
7. Выберите верное утверждение?
7. Выберите верное утверждение.
А) Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая также параллельна данной плоскости ; б) если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то другая прямая также пересекает эту плоскость ; в) если две прямые параллельны третьей прямой, то они пересекаются ; г)если прямая и плоскость не имеют общих точек, то прямая лежит в плоскостид) прямая и плоскость называются скрещивающимися, если они не имеют общих точек.
2. Прямая с, параллельная прямой а, пересекает плоскость β.
Прямая b параллельна прямой а, тогда : а) прямые b и с пересекаются ; б)прямая b лежит в плоскости β ; в) прямые b и с скрещиваются ; г) прямые b и с параллельны ; д) прямая а лежит в плоскости β.
8. Прямая а параллельна прямой b и плоскости α.
Выберите верное утверждение.
А) Прямая b параллельна плоскости α ; б) прямая b лежит в плоскости α ; в) прямая b пересекает плоскость α ; г) прямая b лежит в плоскости α или параллельна ей ; д) прямая b скрещивается с плоскостью α.
Верно ли утверждение, что плоскости параллельны, если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым другой плоскости?
Верно ли утверждение, что плоскости параллельны, если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым другой плоскости?
Видео:10 класс - Геометрия - Скрещивающиеся прямыеСкачать
1)Верно ли что любая плоскость содержащая одну из двух скрещивающихся прямых, параллельна второй прямой?
1)Верно ли что любая плоскость содержащая одну из двух скрещивающихся прямых, параллельна второй прямой?
Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать
1) Две различные плоскости перпендикулярны к некоторой прямой тогда эти плоскости?
1) Две различные плоскости перпендикулярны к некоторой прямой тогда эти плоскости.
А)перпендикулярны в)Параллельно с)скрещиваются.
Видео:Стереометрия для ЕГЭ: 2 - параллельные и скрещивающиеся прямыеСкачать
Пожалуйста не?
))) хотя бы просто да, нет напишите, молююю 45 БАЛЛОВ Каждая из плоскостей α, β и γ пересекается с двумя другими.
Определите, возможно лив этом случае выполнение следующих условий : а) любая прямая, пересекающая одну из данных плоскостей, пересекает две другие ; б) любая прямая, параллельная двум данным плоскостям, параллельна третьей плоскости или лежит в ней ; в) существует прямая, пересекаю — щая все три данные плоскости ; г) существует прямая, параллельная двум данным плоскостям и пересекающая третью.
1) Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает данную плоскость.
2) Если одна из двух тпараллельных прямых параллельна данной плоскости, то и другая прямая параллельна данной плоскости.
3) Если две прямые параллельны данной плоскости, то они параллельны.
На этой странице сайта размещен вопрос Существует ли плоскость, параллельная двум данным скрещивающимся прямым? из категории Геометрия с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 5 — 9 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.
Максимальный угол это 360 градусов. Если AOB = 120°, то угол, соответствующий большей дуге равен 240°, а это значит, что длина большей дуги в 2 раза больше, потому что 240 больше 120 в 2 раза. Ответ : длина большей дуги АВ равна 67 * 2 = 134.
Начнем с того, что вспомним : в трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы ее противоположных сторон равны. Следовательно, сумма ее боковых сторон равна 2 + 8 = 10, акаждаябоковая сторона равна5 см. Уголнаклона боковых гран..
1. Угол N равен половине угла О, 39 градусов. В равнобедренном треугольнике OKN угол К равен углу N. Ответ : 39 градусов. 2. Все углы треугольника 60, он равносторонний. Ответ 8 3. Прямоугольный треугольник, два катета по 32. Гипотенуза 32 * sq..
По теореме Пифагора находим диагональ основания АС = √(8² + 15²) = = 17 см. Площадь диагонального сечения равна АС * Н = 102 Н = 102 / 17 = 6 см. V + a * b * H = 8 * 15 * 6 = 720 cм³.
2 угла равно (78°) другие 2 (102°) это если внутренние углы сумма всех внутренних углов параллелограмма равно 360° как то так, чем смог тем помог.
А где окружность? Я помогу.
Держи) Всё достаточно понятно.
Ответ. Удачно разобраться.
Каждую сторону возьмем за X AB = X BC = 2X CD = 3X AD = 4X 1) P = AB + BC + CD + AD 90 = X + 2X + 3X + 4X 90 = 10X X = 9 2) AB = 9 BC = 2 * 9 = 18 CD = 3 * 9 = 27 AD = 9 * 4 = 36.
AD — биссектриса, она делит угол на два равных угла следовательно угол FAO = 30° Треугольник AFD — прямоугольный, так как угол F — прямой Так как сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90° Следовательно угол FAO + угол FOA = 90° Уг..
Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
Скрещивающиеся прямые. Проведение через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На этом уроке мы рассмотрим определение скрещивающихся прямых и докажем теорему – признак скрещивающихся прямых. Далее рассмотрим три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве. Докажем теорему о том, что через каждую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой. В конце урока решим несколько задач в тетраэдре на скрещиваемость прямых.
📹 Видео
Построение общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым | Стереометрия #33 | ИнфоурокСкачать
