Теорема об угле вписанном окружности доказательство

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№27 - Теорема о вписанном угле.)Скачать

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

В этом случае справедливы равенства

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:73. Теорема о вписанном углеСкачать

Вписанный угол окружности

Вписанный угол окружности — это угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки, то есть вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности.

Угол ABC — вписанный угол. ∠ABC опирается на дугу AC, заключённую между его сторонами.

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Теорема о вписанном угле

Теорема:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Это следует понимать так: вписанный угол содержит в два раза меньше градусов, чем дуга, на которую он опирается:

∠ABC =	1	AC.
	2

При доказательстве этой теоремы следует рассмотреть три возможных случая расположения вписанного угла относительно центра окружности.

Первый случай. Сторона вписанного угла проходит через центр окружности.

Соединим точку A с центром круга (точкой O). Получим равнобедренный треугольник AOB, в котором AO = OB, как радиусы одной окружности. Следовательно, ∠A = ∠B, как углы при основании равнобедренного треугольника.

Так как ∠AOC — внешний угол равнобедренного треугольника, то:

а так как углы A и B равны, то

Но ∠AOC — центральный угол, значит ∠AOC = AC, следовательно ∠B измеряется половиной дуги AC:

∠ABC = ∠B =	1	AC.
	2

Второй случай. Центр окружности лежит между сторонами вписанного угла.

Проведём диаметр BD. Угол ABC разбился на два угла: ∠1 и ∠2.

Точка D разделяет дугу AC на две дуги: AD и DC. По доказательству, рассмотренному в первом случае:

∠1 =	1	AD и ∠2 =	1	DC.
	2		2

Следовательно, весь угол ABC будет измеряться половиной дуги AC:

∠1 + ∠2 =	1	AD +	1	DC
	2		2

∠ABC =	1	AC.
	2

Третий случай. Центр окружности лежит вне вписанного угла.

Проведём диаметр BD.

Но ∠ABD измеряется половиной дуги AD , а ∠CBD измеряется половиной дуги CD. Следовательно,

∠ABC =	1	(AD — CD),
	2

∠ABC =	1	AC.
	2

Видео:70 Теорема о вписанном углеСкачать

Следствия из теоремы

1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги.

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, так как он опирается на половину окружности.

Половина окружности содержит 180°, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90°.

Видео:Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Вписанный угол окружности

Определение 1. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом окружности.

На рисунке 1 угол ABC вписанный. А дуга AMB расположена внутри этого угла. В таком случае говорят, что угол ABC опирается на дугу AMB.

Теорема 1 (теорема о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство. Пусть ( small ABC ) -− вписанный угол окружности с центром O, которая опирается на дугу AC (Рис.2, Рис.3, Рис.4). Докажем, что

Возможны три случая расположения луча BO относительно угла ABC.

1. Луч BO совпадает с одним из сторон угла ABC , например со стороной BC (Рис.2). Поскольку в этом случае дуга AC меньше полуокружности, то (см. статью Центральный угол окружности. Градусная мера дуги окружности).

Рассмотрим треугольник ABO. Данный треугольник равнобедренный так как радиусы OA и OB окружности с центром O равны. Тогда ( small angle 1=angle 2. ) Угол AOC является внешним углом треугольника ABO. Тогда ( small angle AOC=angle 1+angle 2 ) и поскольку ( small angle 1=angle 2, ) получим: ( small angle AOC=2 cdot angle 2. ) Отсюда следует:

2. Луч BO делит угол ABC на два угла и не совпадает со стороной этого угла (Рис.3). Тогда луч BO пересекает дугу AC в некоторой точке D и делит ее на две дуги: AD и DC. По доказанному в пункте 1, имеем:

,

(1)

.

(2)

Складывая равенства (1) и (2), получим:

(3)

3. Луч BO не делит угол ABC на два угла и не совпадает со стороной этого угла (Рис.4). Тогда луч BO пересекает окружность с центром O в некоторой точке D. По доказанному в пункте 1, имеем:

,

(4)

.

(5)

Вычитая из (4) равенство (5), получим:

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (Рис.5).

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность − прямой (Рис.6).

Видео:Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Произведение отрезков пересекающихся хорд

Теорема 2. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство. Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке M. Докажем, что AM · MB=CM · MD (Рис.7). Углы 3 и 4 вертикальные, следовательно ( small angle 3=angle 4 .) Углы 1 и 2 равны, так как они опираются на одну и ту же дугу BC (Следствие 1). Следовательно треугольники AMC и DMB подобны по первому признаку подобия треугольников (см. Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников). Тогда имеет место следующее соотношение ( small frac=frac. )

🎬 Видео

Теорема об угле между касательной и хордой. Доказательство | Как понимать математику #огэматематикаСкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Второй случай доказательства соотношения центрального и вписанного угломСкачать

Теорема о вписанном угле | Геометрия 7-9 класс #71 | ИнфоурокСкачать

Вписанные углы в окружностиСкачать

Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность | ГеометрияСкачать

Теорема о вписанном углеСкачать

Теорема о вписанном углеСкачать

Вписанный угол равен половине центрального углаСкачать

Теорема Фалеса об угле, опирающемся на диаметрСкачать

ВПИСАННЫЙ УГОЛ окружности ТЕОРЕМА 8 класс АтанасянСкачать